2024年河北省石家庄市高考数学模拟试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年河北省石家庄市高考数学模拟试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合A={α|α=−2024∘+k⋅180∘,k∈Z}中的最大负角α为( )
A. −2024∘B. −224∘C. −44∘D. −24∘
2.已知z=(1+i)41−i，则z−的虚部为( )
A. 2iB. −2iC. −2D. 2
3.已知平面内的向量a在向量b上的投影向量为12b，且|a|=|b|=1，则|a−2b|的值为( )
A. 3B. 1C. 34D. 32
4.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且−a3，a2，a4成等差数列，则S2024与a2024的关系是( )
A. S2024=2a2024−1B. S2024=2a2024+1
C. S2024=4a2024−3D. S2024=4a2024+1
5.已知变量x和y的统计数据如表：
根据上表可得回归直线方程y =0.6x+a ，据此可以预测当x=8时，y=( )
A. 8.5B. 9C. 9.5D. 10
6.现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为( )
A. 216B. 432C. 864D. 1080
7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2为左、右焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60∘，直线l：y=−x+t经过点P.若点F2关于l的对称点在线段F1P的延长线上，则C的离心率是( )
A. 13B. 22C. 12D. 23
8.已知函数f(x)=xx，x∈(0,+∞)，则下列命题不正确的是( )
A. f(x)有且只有一个极值点
B. f(x)在(1e,+∞)上单调递增
C. 存在实数a∈(0,+∞)，使得f(a)=1e
D. f(x)有最小值1e1e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12
B. 两组样本数据x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分别为s12，s22，若已知xi+yi=10(i=1,2,3,4)，则s12=s22
C. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，若P(X≥−2)+P(X≥6)=1，则μ=2
D. 已知一系列样本点(xi,yi)(i=1,2,3,…)的回归方程为y =3x+a ，若样本点(m,3)与(2,n)的残差(残差=实际值yi−模型预测值y )相等，则3m+n=10
10.若关于x的不等式ex−2+x≥2ax2−xlnx在(0,+∞)上恒成立，则实数a的值可以是( )
A. 1eB. 12C. e3D. 2
11.已知定义在实数集R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy，f(1)=0，f′(1)=12，则( )
A. f(x)的图像关于点(1,0)成中心对称B. f′(2)=32
C. f(2024)=1012×2023D. k=12024f′(k)=1012×2024
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合M={x|x2−2x−30)的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率为______.
14.如图，在梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90∘，AB=BC=12AD=2，将△BAC沿直线AC翻折至△B1AC的位置，3AM=MB1，当三棱锥B1−ACD的体积最大时，过点M的平面截三棱锥B1−ACD的外接球所得的截面面积的最小值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=eax−ex−b在x=0处的切线为x轴.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间.
16.(本小题15分)
如图，三棱锥A−BCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E为线段AC的中点.
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB=BD=3,BF=2FD,EF⋅BD=0，求直线CF与平面ABC所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
有无穷多个首项均为1的等差数列，记第n(n∈N*)个等差数列的第m(m∈N,m≥2)项为am(n)，公差为dn(dn>0).
(1)若a2(2)−a2(1)=2，求d2−d1的值；
(2)若m为给定的值，且对任意n有am(n+1)=2am(n)，证明：存在实数λ，μ，满足λ+μ=1，d100=λd1+μd2；
(3)若{dn}为等比数列，证明：am(1)+am(2)+…+am(n)≤[am(1)+am(n)]n2.
18.(本小题17分)
设椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2,−1)，且离心率e= 22，直线m：x=3垂直x轴交x轴于T，过T的直线l1交椭圆E于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，连接PA，PB，PT.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2.
(ⅰ)求k1+k2的值；
(ⅱ)如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求|MN||NA|的值.
19.(本小题17分)
在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式00型或∞∞型极限的一种重要方法，其含义为：若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
①x→alimf(x)=0且x→alimg(x)=0(或x→alimf(x)=∞，x→alimg(x)=∞)；
②在点a的附近区域内两者都可导，且g′(x)≠0；
③x→alimf′(x)g′(x)=A(A可为实数，也可为±∞).
则x→alimf(x)g(x)=x→alimf′(x)g′(x)=A.
(1)用洛必达法则求x→0limxsinx；
(2)函数f(x)=1+x+x22!+x33!+⋯+x2n−1(2n−1)!(n≥2,n∈N*)，判断并说明f(x)的零点个数；
(3)已知g(2x)=g(x)⋅csx，g(0)=1，x∈(−π2,π2)，求g(x)的解析式.
参考公式：x→alimf(x)=f(x→alimx)，x→alimkf(x)=kx→alimf(x).
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为−2024∘=−44∘−11×180∘，
所以集合A={α|α=−2024∘+k⋅180∘,k∈Z}中的最大负角α为−44∘.
故选：C.
利用任意角的定义与集合A所表示的角即可得解．
本题主要考查了终边相同角的表示，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：z=(1+i)41−i=4i21−i=−4(1+i)(1−i)(1+i)=−2−2i，
则z−=−2+2i，其虚部为2.
故选：D.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：平面内的向量a在向量b上的投影向量为12b，|b|=1，
则a⋅b|b|×b|b|=12b，解得a⋅b=12，
故|a−2b|= a2−4a⋅b+4b2= 1−4×12+4= 3.
故选：A.
根据已知条件，先求出a⋅b=12，再将|a−2b|平方并开方，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由a1=1，且−a3，a2，a4成等差数列，
得2q=q3−q2，解得q=2(q>0)，
∴S2024=a1−a2024⋅q1−q=1−2a20241−2=2a2024−1.
故选：A.
由已知列式求解等比数列的公比，再由等比数列的前n项和公式求解．
本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，考查等差数列的性质，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：x−=1+2+3+4+55=3，y−=6+6+7+8+85=7，
则样本点的中心为(3,7)，代入y =0.6x+a ，
得7=0.6×3+a ，∴a =5.2，
∴y =0.6x+5.2，
取x=8时，预测y=0.6×8+5.2=10.
故选：D.
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解a ，再取x=8得答案．
本题考查线性回归方程及其应用，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有A33种方法，
再把4名语文教师按2：1：1分成3组，并分配到三所学校，有C42A33种方法，
最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有A22种方法，
由分步乘法计数原理得不同的安排种数为A33⋅C42A33⋅A22=432.
故选：B.
根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合分组分配列式计算得解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由直线l：y=−x+t，且点F2关于l的对称点在线段F1P的延长线上，
如图所示，可得点M与点F2关于PH对称，且∠F1PF2=60∘，
可得△PF2M为等边三角形，则∠PF2M=60∘，
又PH的倾斜角为135∘，则∠F2NH=45∘，所以∠NF2H=45∘，
在△PF1F2中，有∠F1PF2=60∘，∠PF1F2=105∘，∠PF2F1=15∘，
又由|PF1|sin∠PF2F1=|PF2|sin∠PF1F2=|F1F2|sin∠F1PF2，可得|PF1|+|PF2|sin15∘+sin105∘=|F1F2|sin∠F1PF2，
即2asin15∘+sin105∘=2csin∠F1PF2，
又因为sin15∘=sin(45∘−30∘)= 22× 32− 22×12= 6− 24，
sin105∘=sin(60∘+45∘)= 32× 22+12× 222= 6+ 24，
所以e=ca=sin60∘sin15∘+sin105∘= 32 6− 24+ 6+ 24= 22.
故选：B.
根据题意，得到点M与点F2关于PH对称，且△PF2M为等边三角形，在△PF1F2中，利用正弦定理得到|PF1|+|PF2|sin15∘+sin105∘=|F1F2|sin∠F1PF2，结合e=ca=sin60∘sin15∘+sin105∘，即可求解．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由y=xx得lny=xlnx，令z=xlnx，
则函数z=xlnx可以看作为函数z=lny与函数y=xx的复合函数，
因为z=lny为增函数，
所以z=xlnx与y=xx单调性，图象变换等基本一致，
z′=lnx+1，
由z′=0得x=1e，列表如下：
由表知，z=xlnx在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，
所以在x=1e时，取得极小值(最小值)−1e，
所以f(x)=xx在(1e,+∞)上单调递增，在x=1e时，取得唯一极值(极小值，也是最小值)(1e)1e=1e1e，
故A，B，D正确，
因为f(x)的最小值(1e)1e>1e，所以不存在实数a∈(0,+∞)，使得f(a)=1e，
故C错误．
故选：C.
由y=xx得lny=xlnx，令z=xlnx，则函数z=xlnx可以看作为函数z=lny与函数y=xx的复合函数，由复合函数的单调性可知z=xlnx与y=xx单调性，图象变换等基本一致，利用导数研究z=xlnx的单调性和极值，进而得到f(x)的单调性和极值．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22，共10个，
0.4×10=4，
故该组数据的第40百分位数为12+132=12.5，故A错误；
样本数据x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分别为s12，s22，
二者数据波动性相同，由方差的定义以及线性公式可知，s12，s22，故B正确；
随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，
若P(X≥−2)+P(X≥6)=1，
则P(X≥−2)=1−P(X≥6)=P(X12时，令u(x)=x−2−lnx，因为u(1)=−10，故u(x)在(1,4)内必有零点，设为x0，
则x0−2=lnx0，则ex0−2=x0，故ex0−2x0+1−2ax0+lnx0=(1−2a)x012时，令u(x)=x−2−lnx，判断函数有零点，设为x0，即可判断出ex0−2x0+1−2ax0+lnx0=(1−2a)x0