2024年河北高考数学模拟试卷及答案

这是一份2024年河北高考数学模拟试卷及答案，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


（一）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知抛物线C： ，则C的准线方程为
A． B．C．D．
2．已知复数 ，复数，则
A． B． C． D．10
3．已知命题，则
A．是假命题，
B．是假命题，
C．是真命题，
D．是真命题，
4．已知圆台上下底面圆的半径分别为，，母线长为，则该圆台的侧面积为
A． B． C． D．
5．下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：
由上表制作成如图所示的散点图：
由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点（167，90）对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是
A． B．
C． D．
7．函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，函数的n 阶导数记为，例如的n 阶导数．若，则
A． B．C．D．
8．已知函数的部分图象如下，与其交于A，B两点. 若，则
A．1 B．2C．3D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．甲在一次面试活动中，7位考官给他的打分分别为：61、83、84、87、90、91、92．则下列说法正确的有
A．这7个分数的第70百分位数为87
B．这7个分数的平均数小于中位数
C．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的方差会变小
D．去掉一个最低分和一个最高分后，分数的平均数会变小
10．如图，在圆柱中，轴截面为正方形，点是的上一点，为与轴的交点，为的中点，为在上的射影，且平面，则下列选项正确的有
A．平面 B．平面
C．平面 D．是的中点
11.已知是双曲线的左、右焦点，，为右支上一点，，的内切圆的圆心为，半径为，直线与轴交于点，则下列结论正确的有
A． B．
C． D．若△的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知向量，的夹角为，且， ，则=_____．
13．已知是第二象限角，若，则_____．
14．已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则 ；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为 ．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)求角C的大小；
(2)若b=1，c＝2bcs B，求△ABC的面积.
16．（15分）
如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的直径，△为等边三角形，是圆锥底面的圆心．为底面圆的内接正三角形，且边长为，点为线段中点．
（1）求证：平面平面；
（2）为底面圆的劣弧上一点，且．求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）
已知椭圆过点，且其离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的斜率不为零的直线与椭圆交于两点，分别为椭圆的左、右顶点．直线交于一点，为线段上一点，满足．问是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由（为坐标原点）．
18.（17分）
某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面。游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否则游戏结束，不获得任何礼券．最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一，继续投掷之前抽取的那枚硬币，如果掷出向上的面为正面，则获得200元礼券，方案二，不使用之前抽取的硬币，从盒子里剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷，如果掷出向上的面为正面，则获得300元礼券，不管选择方案一还是方案二，如果掷出向上的面为反面，则获得100元礼券.
（1）求第一次投掷后，向上的面为正面的概率.
（2）若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷，向上的面均为正面，求该硬币是正常硬币的概率.
（3）在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.
19.（17分）
已知函数，
（1）若函数有3个不同的零点，求的取值范围；
（2）已知为函数的的导函数，，对于某点，在点的切线方程为，若对于，都有，则称为好点.
①求的值；②求所有的好点.
答案
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1-4 BCDB 5-8 CADD
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 .BC 10.BCD 11 ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12． ． 13． 14． 27
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（解答题仅提供一种或两种解法的评分细则，其他解法请各校教研组依据本评分标准商讨进行）
15. （13分）
解：（1）∵，
∴，∴ ………………………………………2分
…………………………………………………3分
∵C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))，∴ …………………………………………………5分
(2) ∵c＝2bcs B
由正弦定理可得： …………………………………………………7分
∴ …………………………………………………8分
∵
∴B∈(0,)，2 B∈(0,)
∴ …………………………………………………9分
∴
∴a=b=1 …………………………………………………11分
△ABC的面积为 …………………………………………………13分
16．（15分）
解析：（1）设交于，连接
在△中，由正弦定理知，， ………………………………………2分在△中，，
所以为中点，所以， ………………………………………4分
又平面，所以平面
平面，因此平面平面 ………………………………………6分
（2）法一：
以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，………………………8分
故， …………………………………9分
设平面的法向量
由得…………………………11分
令，解得 ………………………………12分
平面的法向量……………………………13分
因此平面与平面夹角的余弦值为 …………………………………15分
法二：如图所示，过作于，过作于,连接

,………………………………8分
,
为二面角的平面角 ………………………………………9分
在中，
在中，…………………………11分
等边中，为的中点
………………………………………12分
在中， ……………………………14分
因此平面与平面夹角的余弦值为 ………………………………………15分17．（15分）
解析：（1）因为，，所以……………………………2分
又，所以，解得 ………………………………………4分
所以，因此椭圆 ………………………………………5分
（2）设直线，，
由得，…………………………7分
，， ……………………………………9分
因为，所以，同理，
因此， ………………………………………11分
由韦达定理知，
所以，解得， ……………………13分
又，所以为中点，因此，，
故 ………………………………………………………………………………15分
18.（17分）
设第一次抽到正常硬币为事件A，抽到双面都印着字的硬币为事件B，抽到双面都印着花的硬币为事件C，
第一次投掷出正面向上为事件，第二次投掷出正面向上为事件，选择方案一进行第三次投掷并正面向上为事件，选择方案二进行第三次投掷并正面向上为事件
（1）由全概率公式可得， ------------------------------------------------------------------------------------------------------2分
（2）连续两次都是正面的概率
=
------------------------------------------------------------------------------------------------------4分
所以 ------------------------------------------------6分
（3）
（一）若选择方案一，设第三次投掷后最终获得的礼券为X元，第三次掷出正面向上为事件S，则
= ---------------------------------------------------------------------------------------------8分
, ，---------------------------------10分
（二）若选择方案二，设第三次投掷后最终获得的礼券为Y元，第三次掷出正面向上为事件T，
如果第一次抽到的是正常硬币，设第二次抽到正常硬币为事件，第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件，则
----------------------------------------12分
如果第一次抽到的是两面都是字的硬币，设第二次抽到正常硬币为事件，第二次抽到两面都是字的硬币为事件，第二次抽到两面都是花的硬币为事件，则
所以， ， .
------------------------------------------------14分
, ， ---------------------------16分
综上，由（一）、（二）可得， ，所以选择方案二的收益更高.-----------------------17分
19.(17分)
（1）当时，单调递增，
且，，，因此在区间上存在唯一零点．
---------------------1分
当时，只要存在两个根即可，即存在两个根，
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；---------------------3分
又，当时，；当时，，
故时，在区间存在两个零点，
因此的取值范围为---------------------5分
（2）①，，令，
令，可得，
时，，单调递减，时，，单调递增，
故，解得 .----------------------------------------------- ---------------7分
②设为好点，对于，都有，
当时，，成立.
当时，即为
当时，恒成立，
当时，恒成立. -----------------------------------------------------------------8分
因为在在点的切线方程为，
所以，
设
---------------------------------------------------------------------------------------9分
又因为在上单调递减，上单调递增，故分情况讨论.
①当时，因为为好点，所以恒成立
若，在上单调递增，，，
所以在时单调递增，，满足条件.故时成立.
-------------------------------------11分
若,在上单调递减，在上单调递增,
在时，，，
所以在时单调递减，，矛盾，不满足条件.
---------------------------------------------------13分
②当时，因为为好点，所以恒成立
若，在上单调递减，，，
所以在时单调递增，，满足条件.故时成立.
------------------------------------------15分
若,在上单调递减，在上单调递增,
在时，，，
所以在时单调递减，，矛盾，不满足条件.
综上，由①、②可得，且，即，所以只有一个好点.-------------------------17分
（二）
一､选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知甲乙两组数据分别为和，则下列说法中不正确的是
A.甲组数据中第70百分位数为23 B.甲乙两组数据的极差相同
C.乙组数据的中位数为25.5 D.甲乙两组数据的方差相同
4.函数的导数为，则的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5.若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6.一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的体积为（ ）
A.18 B.27 C.36 D.54
7.关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③的最大值为，最小值为，则；
④最小正周期是.
其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，点在以为直径的圆上，，过作圆经过点的切线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A.2 B.1 C.0 D.-1
第II卷
注意事项：
1.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
2.用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上.
3.本卷共11小题，共105分.
二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上）
10.是虚数单位，复数满足，则__________.
11.若的展开式中常数项为，则__________.
12.直线将圆分成两段圆弧，则较短圆弧与较长圆弧的弧长之比为__________.
13.已知某地区烟民的肺癌发病率为，先用低剂量药物进行肺癌䈐查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病.医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为，即患有肺癌的人其化验结果呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果呈阴性.则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为__________；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为__________.
14.已知，则的最小值为__________.
15.函数若函数恰有两个不同的笭点，则实数的取值范围为__________.
三､解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分14分）
在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若，求的值；
（3）若为的中点，且，求的面积.
17.（本小题满分15分）
如图，三棱台中，，侧棱平面，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离：
（3）求平面和平面夹角的余弦值.
18.（本小题满分15分）
设椭圆的离心率等于，拋物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）动点为椭圆上异于的两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线经过定点.
19.（本小题满分15分）
已知是等差数列，其公差大于1，其前项和为是等比数列，公比为，已知.
（1）求和的通项公式；
（2）若正整数满足，求证：不能成等差数列；
（3）记，求的前项和.
20.（本小题满分16分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）证明：；
（3）若，且，求证：
数学答案
一､选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.
二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
10.； 11.-40； 12.；
13.； 14.18； 15.或.
三､解答题：本大题共5小题，共75分.
16.（本小题满分14分）
解：（1），由正弦定理，得
，
.
（2），
，
.
（3）中，由余弦定理，得，
，
中，由余弦定理，得，
，
联立得，
代入，解得.
的面积.
17.（本小题满分15分）
证明：（1）平面，以为原点，分别以､
的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
，点是的中点，
，
，
则.
设平面的法向量为，则有
不妨令，得，
.
平面.
（2），
设平面的法向量为，则有
不妨令，得，
.
则，
点到平面的距离为.
（3）设平面与平面的夹角为，
平面的法向量为，平面的法向量为，
，
平面和平面夹角的余弦值等于.
18.（本小题满分15分）
解：（1）的焦点的坐标，由，，
，得，
椭圆的方程为.
（2），
由题意可知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的斜率，
直线的方程为，
联立消去，
得.
直线过点，
.
代入，得，
.
同理：直线的方程为，
联立消去，
得.
直线过点，
.
代入，得，
.
若，即
直线的斜率
，
直线的方程为，
令，解得，
直线过定点.
若，此时，直线也过点.
直线过定点.
19.（本小题满分15分）
解：（1）
由题意.
联立即
代入整理，，
.
.
（2），
若成等差数列，
则有，即，
等式的左右两边同时除以，
可得，
，
为偶数，为偶数，而1是奇数，
等式不成立，
不能成等差数列.
（3），
，
，
，
，
.
（20）（本小题满分15分）
解：（1），
，
令，
解得.
，
当变化时，的变化情况如下表：
当时，有极大值，也就是最大值，
而，
在上恒成立，
在上单调递减.
（2）要证，
只要证.
，
令，
，
解得：.
，当变化时，的变化情况如下表：
当时，有极大值，也就是最大值.
而，
当时，.
令，
，
当时，恒成立，
在上单调递增，
而，
当时，，
.
（3）已知，且，
.
由（1）可知，函数在上单调递减，
.
由（2）可知，当时，，即，
即，
，
.
（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线与圆相交于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
4.高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内估计所有参赛同学成绩的第百分位数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长都等于，则该四棱锥的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，，过原点的直线与椭圆交于，两点，椭圆上异于，的点满足，，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.甲、乙等人去，，三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，，则( )
A.
B.
C. 在上单调递减
D. 的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
10.在中，，，，为的中点，点在线段上，且，将以直线为轴顺时针转一周围成一个圆锥，为底面圆上一点，满足，则( )
A.
B. 在上的投影向量是
C. 直线与直线所成角的余弦值为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
11.已知非常数函数的定义域为，且，则( )
A. B. 或
C. 是且上的增函数D. 是上的增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，且，则 ______， ______．
14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是等差数列，，且，，成等比数列．
求的通项公式；
若数列满足，且，求的前项和．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，已知，，．
当时，证明：平面．
若，且，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为．
设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为，求的分布列与数学期望；
若小明同学第二次借阅“文献书籍”，试分析他第一次借哪类图书的可能性更大，并说明理由．
18.本小题分
已知是抛物线：上任意一点，且到的焦点的最短距离为直线与交于，两点，与抛物线：交于，两点，其中点，在第一象限，点，在第四象限．
求抛物线的方程．
证明：．
设，的面积分别为，，其中为坐标原点，若，求．
19.本小题分
已知函数．
判断的单调性；
当时，求函数的零点个数．
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为是等差数列，，设公差为，
由题可得，
解得，
则，
故；
由，得，
所以，
所以当时，
，
又，上式也成立，所以，
即，
所以
．
16.【答案】解：证明：在直三棱柱中，已知，，，
当时，连接，交于点，连接，
可知是的中位线，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
由题意知，，两两垂直，
以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，

当时，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，得．
由题意知为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则．
17.【答案】解：用表示第次借阅“期刊杂志”，用表示第次借阅“文献书籍”，，，
则，，．
依题意知，的可能取值为，，，
，
，
，
所以的分布列为：
数学期望为．
若小明第二次借阅“文献书籍”，则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大．
理由如下：．
若第一次借阅“期刊杂志”，则．
若第一次借阅“文献书籍”，则．
因为，所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大．
18.【答案】解：设，易知，准线方程为，
所以，
当时，取得最小值，由，解得，
所以抛物线的方程为；
证明：设直线与轴交于点，因为直线的斜率显然不为，
所以设直线的方程为，
联立，消去得，，
所以，，
所以，
联立，消去化简得，，
所以，，
则，
所以；
解：因为，
所以，即，
因为，，
所以，即，
所以，
由知，
所以，故，
所以，即，
化简得，
解得或，
若，则，这与矛盾，
所以，，，，
所以．
19.【答案】解：函数的定义域为，，
令，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减，在上单调递减；
且的零点等价于且的零点，
，
令，
易知，
因为，，
所以存在，，使得，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
当时，，
所以在，上不存在零点，
取，
则，
所以在上存在一个零点，设为，
又，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，，
所以，所以在上存在一个零点，
综上所述，当时，函数的零点个数为．
身高（单位：cm）
167
173
175
177
178
180
181
体重（单位：kg）
90
54
59
64
67
72
76
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
A
A
C
D
D
C
B
B
+
0
-
极大值
1
+
0
-
极大值