浙教版七年级数学下册专题4.1因式分解-提公因式(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册专题4.1因式分解-提公因式(知识解读)(原卷版+解析)，共13页。
1. 使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法之间的联系．
2. 了解公因式和提公因式的方法，会用提公因式法分解因式．
3. 理解因式分解的最后结果是每个因式都不能分解．
4. 在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法．
【知识点梳理】
考点1：因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
考点2：公因式
像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
考点3：提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
【典例分析】
【考点1 因式分解定义】
【典例1】（2023春•洪江市期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bxB．2x2﹣2x+1＝2x（x﹣1）+1
C．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）D．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1
【变式1-1】（2023春•泗阳县期末）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．ab+ac+1＝a（b+c）+1
C．6ab＝2a•3bD．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2
【变式1-2】（2023春•秦都区期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．6x2y＝2x•3y2D．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y
【变式1-3】（2023春•姜堰区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y）
C．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1D．x2+4x+4＝（x+2）2
【考点2 公因式】
【典例2】（2023秋•大荔县期末）24ab与4ab2的公因式是（ ）
A．4B．4aC．4abD．4ab2
【变式2-1】（2023春•清城区校级期中）多项式12ab2c+8a3b的公因式是（ ）
A．4a2B．4abcC．2a2D．4ab
【变式2-2】（2023春•蒲城县期末）多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是（ ）
A．xyB．2xzC．3xyD．3yz
【变式2-3】（2023春•滦南县期末）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（ ）
A．mB．m（a﹣x）
C．m（a﹣x）（b﹣x）D．（a﹣x）（b﹣x）
【典例3】（2023春•桂平市期中）多项式x2﹣4y2与x2+4xy+4y2的公因式是（ ）
A．x﹣4yB．x+4yC．x﹣2yD．x+2y
【变式3-1】（2023秋•乳山市期中）多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是（ ）
A．yB．x+2C．x﹣2D．y（x+2）
【变式3-2】（2023秋•海兴县期末）多项式ax2﹣4a与多项式2x2﹣8x+8的公因式是（ ）
A．x﹣2B．x+2C．x2﹣2D．x﹣4
【考点3 提公因式】
【典例4】（2023春•乐安县期中）分解因式：
（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）； （2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
【变式4-1】（2023秋•白云区期末）分解因式：
（1）2y+3xy； （2）2（a+2）+3b（a+2）．
【变式4-2】（2023春•源城区校级期中）分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）．
【变式4-3】（2023秋•东城区校级月考）分解因式：y（2a﹣b）+x（b﹣2a）．
【变式4-4】（2023春•桂平市期中）将下列多项式因式分解：
（1）2x2﹣6x； （2）﹣6a2+12a﹣6；
（3）4x2﹣（y2﹣4y+4）．
【典例5】（2023春•济阳区期末）边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（ ）
A．15B．30C．60D．120
【变式5】（2023•播州区二模）如图，矩形的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值是 ．
专题4.1 因式分解-提公因式（知识解读）
【学习目标】
1. 使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法之间的联系．
2. 了解公因式和提公因式的方法，会用提公因式法分解因式．
3. 理解因式分解的最后结果是每个因式都不能分解．
4. 在探索提供公式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透划归的思想方法．
【知识点梳理】
考点1：因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
考点2：公因式
像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
考点3：提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
【典例分析】
【考点1 因式分解定义】
【典例1】（2023春•洪江市期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bxB．2x2﹣2x+1＝2x（x﹣1）+1
C．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）D．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1
答案:C
【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；
B．右边是整式和的形式不是最简整式的乘积形式，不属于因式分解，故不符合题意；
C．右边是最简整式的乘积形式，故符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；
故选：C．
【变式1-1】（2023春•泗阳县期末）下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．ab+ac+1＝a（b+c）+1
C．6ab＝2a•3bD．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2
答案:D
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、没有把多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、等号左边不是一个多项式，故本选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式1-2】（2023春•秦都区期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
C．6x2y＝2x•3y2D．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y
答案:A
【解答】解：A．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；
B．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；
C．等号左侧不是多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式1-3】（2023春•姜堰区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y）
C．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1D．x2+4x+4＝（x+2）2
答案:D
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意
B、左边不等于右边的多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【考点2 公因式】
【典例2】（2023秋•大荔县期末）24ab与4ab2的公因式是（ ）
A．4B．4aC．4abD．4ab2
答案:C
【解答】解：24ab与4ab2的公因式是4ab．
故选：C．
【变式2-1】（2023春•清城区校级期中）多项式12ab2c+8a3b的公因式是（ ）
A．4a2B．4abcC．2a2D．4ab
答案:D
【解答】解：12ab2c+8a3b＝4ab（3bc+2a2），
4ab是公因式，
故选：D．
【变式2-2】（2023春•蒲城县期末）多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是（ ）
A．xyB．2xzC．3xyD．3yz
答案:A
【解答】解：6xy+3x2y﹣4x2yz3＝xy（6+3x﹣4xz3），
故多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是xy．
故选：A．
【变式2-3】（2023春•滦南县期末）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（ ）
A．mB．m（a﹣x）
C．m（a﹣x）（b﹣x）D．（a﹣x）（b﹣x）
答案:C
【解答】解：m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x），
＝m（a﹣x）（x﹣b）+mn（a﹣x）（x﹣b），
＝m（a﹣x）（x﹣b）（1+n）
＝﹣m（a﹣x）（b﹣x）（1+n），
故选：C．
【典例3】（2023春•桂平市期中）多项式x2﹣4y2与x2+4xy+4y2的公因式是（ ）
A．x﹣4yB．x+4yC．x﹣2yD．x+2y
答案:D
【解答】解：∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），x2+4xy+4y2＝（x+2y）2，
∴多项式x2﹣4y2与x2+4xy+4y2的公因式是x+2y．
故选：D．
【变式3-1】（2023秋•乳山市期中）多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是（ ）
A．yB．x+2C．x﹣2D．y（x+2）
答案:D
【解答】解：x2y+2xy＝xy（x+2），x2y﹣4y＝y（x+2）（x﹣2），
∴多项式x2y+2xy与x2y﹣4y的公因式是y（x+2）．
故选：D．
【变式3-2】（2023秋•海兴县期末）多项式ax2﹣4a与多项式2x2﹣8x+8的公因式是（ ）
A．x﹣2B．x+2C．x2﹣2D．x﹣4
答案:A
【解答】．解：ax2﹣4a＝a（x2﹣4）＝a（x+2）（x﹣2）
2x2﹣8x+8＝2（x2﹣4x+4）＝2（x﹣2）2，
∴公因式是（x﹣2）．
故选：A
【考点3 提公因式】
【典例4】（2023春•乐安县期中）分解因式：
（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）； （2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
【解答】解：（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）
＝a（x﹣2y）+b（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（a+b）；
（2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
＝x（x+y）[x﹣y﹣（x+y）]
＝x（x+y）（x﹣y﹣x﹣y）
＝﹣2xy（x+y）．
【变式4-1】（2023秋•白云区期末）分解因式：
（1）2y+3xy；
（2）2（a+2）+3b（a+2）．
【解答】解：（1）原式＝y（2+3x）；
（2）原式＝（a+2）（2+3b）．
【变式4-2】（2023春•源城区校级期中）分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）．
【解答】解：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）
＝x（m+n）﹣y（m+n）+（m+n）
＝（m+n）（x﹣y+1）．
【变式4-3】（2023秋•东城区校级月考）分解因式：y（2a﹣b）+x（b﹣2a）．
【解答】解：原式＝y（2a﹣b）﹣x（2a﹣b）
＝（2a﹣b）（y﹣x）．
【变式4-4】（2023春•桂平市期中）将下列多项式因式分解：
（1）2x2﹣6x；
（2）﹣6a2+12a﹣6；
（3）4x2﹣（y2﹣4y+4）．
【解答】解：（1）2x2﹣6x＝2x（x﹣3）；
（2）﹣6a2+12a﹣6＝﹣6（a2﹣2a+1）
＝﹣6（a﹣1）2；
（3）4x2﹣（y2﹣4y+4）＝4x2﹣（y﹣2）2
＝（2x+y﹣2）（2x﹣y+2）．
【典例5】（2023春•济阳区期末）边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为（ ）
A．15B．30C．60D．120
答案:B
【解答】解：由题意得：2（a+b）＝10，ab＝6，
∴a+b＝5，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝6×5
＝30，
故选：B．
【变式5】（2023•播州区二模）如图，矩形的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值是 ．
答案:30
【解答】解：根据题意得：2（m+n）＝10，mn＝6，
整理得：m+n＝5，mn＝6，
则原式＝mn（m+n）＝6×5＝30．
故答案为：30．