浙教版七年级数学下册专题3.4乘法公式(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册专题3.4乘法公式(知识解读)(原卷版+解析)，共23页。

1. 掌握平方差公式、完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
4.能用平方差公式和完全平方公式的逆运算解决问题
【知识点梳理】
知识点1：平方差公式
平方差公式：
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
知识点2：平方差公式的特征
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
① 位置变化，xyyxx2y2
② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2
③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4
④ 系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤ 换式变化，xyzmxyzm
xy2zm2
x2y2zmzm
x2y2z2zmzmm2
x2y2z22zmm2
⑥ 增项变化，xyzxyz
xy2z2
xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2
知识点3：完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍
注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

知识点4：拓展、补充公式

；；
；.
【典例分析】
【考点1：平方差公式】
【典例1】用平方差公式计算：
（1+x）（1﹣x）； （2）（a+3b）（a﹣3b）；
（3）（3+2a）（3﹣2a）； （4）（x﹣2y）（﹣x﹣2y）．
【变式1-1】计算：（a﹣b）（a+b）．
【变式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．
【变式1-3】（2023秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）
【典例2】用简便方法计算下列各题：
（1）992；
（2）1022﹣101×103．
【变式2-1】计算20212﹣2020×2022的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2×20212﹣1
【变式2-2】简便计算：
（1）20222﹣2020×2024； （2）1882﹣376×88+882．
【考点2：平方差公式的几何背景】
【典例3】（2023秋•邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
【变式3-1】（2023秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【变式3-2】乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；如图2，阴影部分的面积是 ；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式 ；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①103×97； ②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．
【变式3-3】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 ．
（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：．
【考点3：完全平方公式】
【典例4】（2023春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：
（1）（3a+b）2 （2）（x﹣2y）2
（3）（﹣x﹣y）2 （4）1992．
【变式4-1】（2023春•沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣）2．
【变式4-2】（2023春•沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）2．
【变式4-3】（2023秋•静安区校级月考）（a+b﹣c）2．
【典例5】（2023秋•丰宁县校级期末）若x2+mx+81是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±18B．±9C．9D．18
【变式5-1】（2023秋•新会区校级期末）已知x2﹣ax+16可以写成一个完全平方式，则a可为（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
【变式5-2】（2023秋•沙坪坝区期末）若x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3或1D．±2
【考点4：完全平方公式的几何背景】
【典例6】（2023秋•西岗区校级期末）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形的边长是 ；（用含a、b的式子表示）
（2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系；
（3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值．
【变式6-1】（2023秋•南关区校级期末）如图1，三种纸片A、B、C分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和宽与长分别为a与b的长方形．
（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片A，一张纸片B和两张纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是 ；
（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长方形，需要A、B、C三种纸片分别 张．
【变式6-2】（2023秋•黄石港区期末）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（ ）
A．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
C．（x+y）2＝x2+2xy+y2D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2
【变式6-3】（2023春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．
【考点5：完全平方公式拓展运用】
【典例7】（2023春•巨野县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．
（1）求x2+y2的值；
（2）求（x﹣y）2的值．
【变式7-1】（2023春•平桂区 期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．
【变式7-2】（2023秋•尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）（x﹣y）2．
【变式7-3】（2023秋•汝阳县期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：
（1）xy；
（2）x﹣y．
专题3.4 乘法公式（知识解读）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
4.能用平方差公式和完全平方公式的逆运算解决问题
【知识点梳理】
知识点1：平方差公式
平方差公式：
语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
知识点2：平方差公式的特征
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
① 位置变化，xyyxx2y2
② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2
③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4
④ 系数变化，2ab2ab4a2b2
⑤ 换式变化，xyzmxyzm
xy2zm2
x2y2zmzm
x2y2z2zmzmm2
x2y2z22zmm2
⑥ 增项变化，xyzxyz
xy2z2
xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2
知识点3：完全平方公式
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍
注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

知识点4：拓展、补充公式

；；
；.
【典例分析】
【考点1：平方差公式】
【典例1】用平方差公式计算：
（1）（1+x）（1﹣x）； （2）（a+3b）（a﹣3b）；
（3）（3+2a）（3﹣2a）； （4）（x﹣2y）（﹣x﹣2y）．
【解答】解：（1）原式＝1﹣x2；
（2）原式＝a2﹣（3b）2＝a2﹣9b2；
（3）原式＝32﹣（2a）2＝9﹣4a2；
（4）原式＝＝．
【变式1-1】计算：（a﹣b）（a+b）．
【解答】解：原式＝a2﹣b2．
【变式1-2】（2m+n）（2m﹣n）．
【解答】解：（2m+n）（2m﹣n）
＝4m2﹣n2．
【变式1-3】（2023秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）
答案:A
【解答】解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；
∴选项A符合题意；
∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，
∴选项B不符合题意；
∵（x+2）（2+x）＝（x+2）2，
∴选项C不符合题意；
∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，
∴选项D不符合题意，
故选：A．
【典例2】用简便方法计算下列各题：
（1）992；
（2）1022﹣101×103．
【解答】解：（1）原式＝（100﹣1）2
＝1002﹣2×100×1+1
＝10000﹣200+1
＝9801；
（2）原式＝1022﹣（102﹣1）（102+1）
＝1022﹣1022+1
＝1．
【变式2-1】计算20212﹣2020×2022的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2×20212﹣1
答案:A
【解答】解：原式＝20212﹣（2023﹣1）×（2023+1）
＝20212﹣（20232﹣1）
＝20212﹣20212+1
＝1．
故选：A．
【变式2-2】简便计算：
（1）20222﹣2020×2024；
（2）1882﹣376×88+882．
【解答】（1）20222﹣2020×2024
＝20222﹣（2023﹣2）（2023+2）
＝20222﹣（20232﹣4）
＝20222﹣20222+4
＝4．
（2）1882﹣376×88+882
＝1882﹣2×188×88+882
＝（188﹣88）2
＝1002
＝10000．
【考点2：平方差公式的几何背景】
【典例3】（2023秋•邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；
（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
【解答】解：（1）根据题意，由图1可得，
阴影部分的面积为：a2﹣b2，
由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，
∵x+3y＝4
∴x﹣3y＝3
（3）＝＝＝．
【变式3-1】（2023秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
答案:B
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
【变式3-2】乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；如图2，阴影部分的面积是 ；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式 ；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①103×97；
②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．
【解答】解：（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
由图形1，图形2的面积相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）
＝1002﹣32
＝10000﹣9
＝9991；
②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]
＝（2x）2﹣（y﹣3）2
＝4x2﹣（y2﹣6y+9）
＝4x2﹣y2+6y﹣9．
【变式3-3】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）探究：上述操作能验证的等式是 ．
（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：．
【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）⋯（1﹣）（1+）
＝××××⋯××
＝．
【考点3：完全平方公式】
【典例4】（2023春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：
（1）（3a+b）2 （2）（x﹣2y）2
（3）（﹣x﹣y）2 （4）1992．
【解答】解：（1）（3a+b）2＝9a2+6ab+b2；
（2）（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2；
（3）（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；
（4）1992＝（200﹣1）2＝40000﹣400+1＝39601．
【变式4-1】（2023春•沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣）2．
【解答】解：原式＝（4x+）2
＝16x2+4xy+y2．
【变式4-2】（2023春•沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）2．
【解答】解：（3a﹣b）2＝（3a）2﹣2×3a×b+b2
＝9a2﹣6ab+b2．
【变式4-3】（2023秋•静安区校级月考）（a+b﹣c）2．
【解答】解：原式＝[（a+b）﹣c]2
＝（a+b）2﹣2（a+b）c+c2
＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2．
【典例5】（2023秋•丰宁县校级期末）若x2+mx+81是完全平方式，则m的值是（ ）
A．±18B．±9C．9D．18
答案:A
【解答】解：∵x2+mx+81是一个完全平方式，
∴mx＝±2•x•9，
解得：m＝±18．
故选：A．
【变式5-1】（2023秋•新会区校级期末）已知x2﹣ax+16可以写成一个完全平方式，则a可为（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
答案:D
【解答】解：若x2﹣ax+16＝（x﹣4）2时，此时a＝8，
若x2﹣ax+16＝（x+4）2时，此时a＝﹣8，
所以a＝±8，
故选：D．
【变式5-2】（2023秋•沙坪坝区期末）若x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．﹣3B．1C．﹣3或1D．±2
答案:C
【解答】解：∵（x±1）2＝x2±2x+1，
∴k+1＝±2，
∴k＝﹣3或1，
故选：C
【考点4：完全平方公式的几何背景】
【典例6】（2023秋•西岗区校级期末）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形的边长是 ；（用含a、b的式子表示）
（2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系；
（3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m﹣n的值．
【解答】解：（1）由拼图可知，阴影部分是边长为a﹣b的正方形，
故答案为：a﹣b；
（2）图2整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，图2各个部分的面积和为（a﹣b）2+4ab，
所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
答：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）∵m+n＝8，mn＝12，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn
＝64﹣48
＝16，
∴m﹣n＝±4．
【变式6-1】（2023秋•南关区校级期末）如图1，三种纸片A、B、C分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和宽与长分别为a与b的长方形．
（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片A，一张纸片B和两张纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是 ；
（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长方形，需要A、B、C三种纸片分别 张．
【解答】解：（1）由题意知，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，
∴需要A、B、C三种纸片分别2张，1张，3张，
故答案为：2，1，3．
【变式6-2】（2023秋•黄石港区期末）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（ ）
A．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
C．（x+y）2＝x2+2xy+y2D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2
答案:C
【解答】解：首先看四个等式都是成立的，但是却并未都正确反映图示内容．
图中大正方形的边长为：x+y，其面积可以表示为：（x+y）2
分部分来看：左下角正方形面积为x2，右上角正方形面积为y2，
其余两个长方形的面积均为xy，
各部分面积相加得：x2+2xy+y2，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2
故选：C．
【变式6-3】（2023春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．
【解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26，
∴xy＝13．
（2）①令a＝4﹣x，b＝x，
则a+b＝4，ab＝5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\，
∴（4﹣x）2+x2＝6，
故答案为：6．
②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，
则a﹣b＝﹣1，ab＝8，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17，
故答案为：17．
（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，
令a＝25﹣x，b＝15﹣x，
则：a﹣b＝10，ab＝200，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500，
∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500，
所以阴影部分的面积和为500平方米．
【考点5：完全平方公式拓展运用】
【典例7】（2023春•巨野县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．
（1）求x2+y2的值；
（2）求（x﹣y）2的值．
【解答】解：（1）∵x+y＝﹣5，xy＝﹣3，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝（﹣5）2﹣2×（﹣3）
＝25+6
＝31；
（2）∵xy＝﹣3，x2+y2＝31，
∴（x﹣y）2
＝x2+y2﹣2xy
＝31﹣2×（﹣3）
＝37．
【变式7-1】（2023春•平桂区 期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．
【解答】解：x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝52﹣2×2
＝21．
【变式7-2】（2023秋•尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2+y2；
（2）（x﹣y）2．
【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，x+y＝3，xy＝﹣1，
∴9＝x2+y2﹣2，
∴x2+y2＝11；
（2）∵x2+y2＝11，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝11﹣2×（﹣1）＝13．
【变式7-3】（2023秋•汝阳县期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：
（1）xy；
（2）x﹣y．
【解答】解：（1）∵x+y＝7，
∴（x+y）2＝49，
∴x2+2xy+y2＝49，
∵x2+y2＝29，
∴2xy＝20，
∴xy＝10．
（2）∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝29﹣20＝9，
∴x﹣y＝±3．