2024年上海市长宁区高三上学期高考一模数学试卷含详解

这是一份2024年上海市长宁区高三上学期高考一模数学试卷含详解，共18页。
2. 复数满足（为虚数单位），则__________.
3. 不等式解集为________．
4. 设向量，若∥，则__________.
5. 将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有__________种不同排法.
6. 物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为______．
7. 现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为______．
95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623
92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925
8. 在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为__________.
9. 若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______．
10. 若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围__________.
11. 若函数在上是严格单调函数，则实数a的取值范围为_____________．
12. 设，记函数在区间上的最大值为，若对任意，都有，则实数的最大值为__________.
二､选择题
13. 下列函数中既是奇函数又是增函数是（ ）
A. B.
C. D.
14. “”是“事件A与事件互相独立”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
15. 设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（ ）
A. B. C. D.
16. 豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（ ）
A B. C. D.
三､解答题
17. 已知等差数列的前项和为，公差.
（1）若，求的通项公式；
（2）从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率.
18. 如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.
（1）求证：；
（2）若，求异面直线与所成的角的大小.
19. 汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心：如图1，某汽车四轮中心分别为，向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为.设该汽车左右轮距为米，前后轴距为米.
（1）试用和表示；
（2）如图2，有一直角弯道，内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮与路边相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.
假设：①转向过程中，左前轮转向角的值始终为；②设转向中心到路边的距离为，若且，则汽车可以通过，否则不能通过；③.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？
20. 已知椭圆为的左､右焦点，点A在上，直线与圆相切.
（1）求的周长；
（2）若直线经过右顶点，求直线的方程；
（3）设点在直线上，为原点，若，求证：直线与圆相切.
21. 若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.
（1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由：
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.
2024届长宁区高考数学一模
一､填空题
1. 已知集合，则__________.
【答案】
【分析】根据集合的交集运算求解.
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
2. 复数满足（为虚数单位），则__________.
【答案】
【分析】根据复数的除法运算可得，在结合共轭复数的对于以及复数的模长公式运算求解.
【详解】由题意可得，
所以.
故答案为：.
3. 不等式的解集为________．
【答案】
【分析】由题设可得，利用分式不等式的解法求解即可.
【详解】由题设，，
∴，解得，
∴解集为.
故答案为：
4. 设向量，若∥，则__________.
【答案】2
【分析】根据向量平行的坐标表示分析求解.
【详解】因为∥，则，解得.
故答案为：2.
5. 将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有__________种不同排法.
【答案】12
【分析】利用捆绑法，先将甲乙看成一个整体，再与剩余学生排列.
【详解】先将甲乙看成一个整体，共有种不同排法，
再与剩余学生排列，共有种不同排法，
所以共有种不同排法.
故答案为：12.
6. 物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为______．
【答案】80
【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度.
【详解】因为.
所以该物体时，物体的瞬时速度为.
故答案为：80
7. 现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为______．
95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623
92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925
【答案】14
【分析】根据随机数表法的读取规则，即可求解.
【详解】由题意可知，第一支为01，以后依次为17，09，08，06，14，所以第6支水笔的编号为14.
故答案：14
8. 在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为__________.
【答案】130
【分析】将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解.
【详解】因为，，
所以其相应的声强级为.
故答案为：130.
9. 若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.
【详解】向量，，则，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：
10. 若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围__________.
【答案】
【分析】由题意可得：“任意，使得”是真命题，参变分离结合基本不等式运算求解.
【详解】由题意可得：“任意，使得”是真命题，
注意到，整理得，
原题意等价于“任意，使得”是真命题，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
故答案为：.
11. 若函数在上是严格单调函数，则实数a的取值范围为_____________．
【答案】
【分析】转化为，或，由得，当时即求，当时即求由时得，当时即求，当时即求.
【详解】，
函数在上是严格单调函数，
所以，或，
当时，不符合题意；
由时，得，
当时，，所以在上恒成立，
即求，因为，所以，，
所以；
当时，，所以在上恒成立，
即求，因为，所以，，
即；
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由，或，转化为求最值的问题.
12. 设，记函数在区间上的最大值为，若对任意，都有，则实数的最大值为__________.
【答案】
【分析】根据在内单调递增，分析可知或，整理得关于的不等式或的解集为，可得，运算求解即可.
【详解】因为，则在内单调递增，
则在内单调递增，
又因为在区间上的最大值为，
可得或，
由题意可知：或，
则或，
整理得或，
即关于的不等式或的解集为，
可知，
整理得，则，
又因为，则，解得，
所以最大值为.
故答案为：．
【点睛】方法点睛：恒成立问题解题方法指导：
方法1：分离参数法求最值.
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)恒成立⇔；
恒成立⇔；
能成立⇔；
能成立⇔.
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
二､选择题
13. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据奇偶性和单调性逐项分析判断.
【详解】对于选项A：为定义在上的奇函数且在定义域内单调递增，故A正确；
对于选项B：为定义在上的偶函数，故B错误；
对于选项CD：、均非奇非偶函数，故CD错误；
故选：A.
14. “”是“事件A与事件互相独立”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据事件互斥，对立，独立的关系得出即可.
【详解】因为对于任意两个事件，如果，则事件与事件相互独立，若事件与事件相互独立，则事件A与事件也互相独立，所以充分性成立；
若事件A与事件互相独立，则事件与事件也相互独立，则成立，所以必要性成立；
故选：C
15. 设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由在单位圆上，得到的坐标，再根据三角函数的定义得出的值，从而求出的值，再运用两角差的正弦公式求解.
【详解】由题可知，且，
因为，可知
则，
所以
.
故选：D.
16. 豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由题意可知：是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果.
【详解】空间中，在垂直于平面的角度看，如下图所示：
其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱；
，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为；
区域内的几何体是高为的直三棱柱.
因为四边形和为矩形，则，
可得，
同理可得：，，
所以，
可得，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为的球，
则，，区域内的几何体的体积之和；
又因为，和区域内的几何体的体积之和；
区域内的直三棱柱体积，
所以的体积为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查立体几何中的体积问题，解题关键是能够根据的形状，进而由对应几何体的体积公式求得结果.
三､解答题
17. 已知等差数列的前项和为，公差.
（1）若，求的通项公式；
（2）从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据题意，利用等差数列的求和公式，列出方程，求得，进而求得数列的通项公式；
（2）根据题意，得到所有的不同取法有20种，再利用列举法求得事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由等差数列的前项和为，公差，
因为，可得，解得，
所以，即数列的通项公式为.
【小问2详解】
解：由题意，从集合中任取3个元素，共有种不同的取法，
其中这3个元素能成等差数列有
，有6种不同的取法，
所以事件的概率为.
18. 如图，在三棱锥中，平面平面为的中点.
（1）求证：；
（2）若，求异面直线与所成的角的大小.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得.
（2）分别取的中点，利用几何法求出异面直线与所成的角.
【小问1详解】
在三棱锥中，由为的中点，得，
而平面平面，平面平面，平面，
因此平面，又平面，
所以.
【小问2详解】
分别取的中点，连接，于是，
则是异面直线与所成的角或其补角，
由（1）知，，又，，
则，于是，
令，则，又，
则有，
，又平面，平面，
则，，，
由分别为的中点，得，
显然，即有，，则，
所以异面直线与所成的角的大小.
19. 汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心：如图1，某汽车四轮中心分别为，向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为.设该汽车左右轮距为米，前后轴距为米.
（1）试用和表示；
（2）如图2，有一直角弯道，为内直角顶点，为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮与路边相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.
假设：①转向过程中，左前轮转向角的值始终为；②设转向中心到路边的距离为，若且，则汽车可以通过，否则不能通过；③.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
分析】（1）根据题意可知，，结合题中数据分析求解；
（2）以EF和FS分别为轴和轴建立坐标系，设，结合题中假设运算求解即可.
【小问1详解】
由已知，，
所以，，
所以.
【小问2详解】
以EF和FS分别为轴和轴建立坐标系，
则，，，
设，
可得，，，
由，可得，解得，
由，得，
所以当时，且，此时汽车可以通过弯道.
可知选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道.
20. 已知椭圆为的左､右焦点，点A在上，直线与圆相切.
（1）求的周长；
（2）若直线经过的右顶点，求直线的方程；
（3）设点在直线上，为原点，若，求证：直线与圆相切.
【答案】（1）
（2）或
（3）证明见解析
【分析】（1）根据题意结合椭圆的定义分析求解；
（2）直线，结合直线与圆相切列式求解；
（3）设，根据垂直关系可得，求直线的方程，证明圆心到直线的距离即可.
【小问1详解】
设椭圆的半长轴为，半短轴为，半焦距为，
则，
所以的周长为.
【小问2详解】
由题意可知：直线经过的右顶点，圆的圆心为，半径，
若直线与圆相切，显然直线的斜率存在，设直线，即，
则，解得，
所以直线的方程为或.
【小问3详解】
设，则，
若，则，即，
又因为，
设直线上任一点，则，
因为∥，则，
整理得，
即直线的方程为，
圆心到直线的距离
，
所以直线与圆相切.
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
21. 若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.
（1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由：
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.
【答案】（1）是偶函数；理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义分析证明；
（2）根据题意结合的单调性分析可得，，设，，可知与均为上的严格增函数，利用导数分析求解；
（3）根据题意分析可得任意，都有，利用反证法先证当时，，再明当时，，即可得结果.
【小问1详解】
因为，故对任意的都有．
又因为函数是函数的“约束函数”，
则对任意，都有，
取，可得恒成立，
即对任意的成立，故是偶函数；
【小问2详解】
因为是上的严格增函数，则是上的严格增函数，
设，则，
进而，
可得，，
所以，，
设，，
则与均为上的严格增函数，
因为，恒成立，
对于恒成立，
因为，，当且仅当时，等号成立，
所以，解得得，
当时，恒成立，
所以实数取值范围为.
【小问3详解】
设，因为是严格减函数，所以，即，
而，所以，
所以对任意，都有，
①首先证明：当时，，
假设存在，且，
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论对任意，矛盾，
所以不存在，使得，
同理可得：也不存在，使得，
所以当时，.
②再证明：当时，，
假设存在，使得，则，
设，则，，
所以存在，使得，
得，与结论对任意，矛盾，
所以假设不成立，即对任意，都有
所以是上的严格增函数.
【点睛】关键点睛：“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，（3）中也结合反证法分析求解.