2024年上海市崇明区高三上学期期末高考一模数学试卷含详解

这是一份2024年上海市崇明区高三上学期期末高考一模数学试卷含详解，共18页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
1. 不等式的解集为______．
2. 双曲线的焦距为_______________.
3. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为__________．
4. 已知等比数列首项，公比，则__________．
5. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答）
6. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为__________．
7. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离为__________．
8. 如图是小王同学在篮球赛中得分记录茎叶图，则他平均每场得_______分．

9. 已知事件与事件相互独立，如果，，则__________．
10. 用易拉罐包装饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同．
你认为以此3个假设所建立数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．
__________．
11. 已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于__________．
12. 已知正实数满足，，则当取得最小值时，__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）
13. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
14. 若，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
15. 已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：
：过点M有且只有一个平面与和都平行；
：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交．
则以下说法正确的是（ ）
A. 命题是真命题，命题是假命题B. 命题是假命题，命题是真命题
C. 命题，都是真命题D. 命题，都是假命题
16. 若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点B到平面的距离．
18. 在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，.
（1）若，求A和外接圆半径R的值；
（2）若三角形的面积，求c.
19. 交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的4个等级：
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：
（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”概率；
（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求所有X的可能值及其发生的概率．
20. 已知抛物线，，直线交抛物线于点、，交抛物线于点、，其中
2023学年第一学期高三第一次模拟考试
数 学
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
1. 不等式的解集为______．
【答案】
【分析】利用绝对值不等式的解法求解.
【详解】由得，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：.
2. 双曲线的焦距为_______________.
【答案】
【分析】根据，，之间的关系即可求出．
【详解】由已知=1，=4，所以=5，所以焦距为，故答案为．
【点睛】本题考查运用双曲线的基本量关系求焦距，是基础题．
3. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为__________．
【答案】2
【分析】由复数的概念列方程组求解即可.
【详解】由于复数（为虚数单位）是纯虚数，所以，
解得，
故答案为：2.
4. 已知等比数列首项，公比，则__________．
【答案】31
【分析】按照等比数列前项和公式计算即可.
【详解】，
故，
故答案为：31.
5. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答）
【答案】10
【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可．
【详解】由的展开式的通项公式为，，
令，得，
所以展开式中的系数为．
故答案为：10．
6. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为__________．
【答案】
【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，可根据锐角三角函数进行求解底面圆的半径，再利用勾股定理求解母线.
【详解】已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，
因为圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，
所以底面圆半径为1，所以母线长等于.
故答案为：.
7. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离为__________．
【答案】3
【分析】根据空间直角坐标系的定义和点的坐标得到答案.
【详解】在空间直角坐标系中，点到平面的距离为竖坐标的绝对值，即为3.
故答案为：3
8. 如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，则他平均每场得_______分．

【答案】
【分析】根据平均数的求法求得平均数.
【详解】平均数为.
故答案为：
9. 已知事件与事件相互独立，如果，，则__________．
【答案】##
【分析】根据独立事件和对立事件概率公式计算可得答案
【详解】由事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，
又，，
则
故答案为：．
10. 用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同．
你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．
__________．
【答案】假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚
【分析】根据题意，结合易拉罐的几何结构特征，以及要求易拉罐的质量最小，结合假设，即可求解.
【详解】由题意知，某品牌的易拉罐包装的饮料，在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小，
所以假设2不合理，应为“易拉罐的顶部类似于圆台”；
假设3不合理，应为“易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚”.
故答案为：假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚.
11. 已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于__________．
【答案】
【分析】先由数量积的定义推得，再将问题转化为二次不等式恒成立的问题，从而得解.
【详解】依题意，设与的夹角为，，
因为，，所以，即，
则，所以，
因为对任意的，都有成立，
所以，即，即对于恒成立，
故，又，解得，
综上，，则的最小值为.
故答案为：.
12. 已知正实数满足，，则当取得最小值时，__________．
【答案】
【分析】将转化为与两点间距离的平方，进而转化为与圆心的距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.
【详解】可将转化为与两点间距离的平方，
由，得，
而表示以为圆心，1为半径的圆，为圆上一点，
则与圆心的距离为：，
当且仅当，即时等号成立，
此时与圆心距离最小，即与两点间距离的平方最小，
即取得最小值.
当时，，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆上的点到上的点的距离的最小值的求解问题，进而求解.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）
13. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，因此，.
故选：D.
14. 若，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】ABD举反例即可判断，C结合反比例函数即可判断.
【详解】对A，若，则，但，A错误；
对B，若，则，但，B错误
对D，若，则，，D错误；
对C，结合反比例函数知其在单调递减，则，有，C正确.
故选：C
15. 已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：
：过点M有且只有一个平面与和都平行；
：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交．
则以下说法正确的是（ ）
A. 命题真命题，命题是假命题B. 命题是假命题，命题是真命题
C. 命题，都是真命题D. 命题，都是假命题
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，根据异面直线定义和线面平行判断即可.
【详解】已知点为正方体内（不包含表面）的一点，过点的平面为，
如图所示：
对于，在平面与平面之间与平面与平面平行的平面均与和平行，如平面
，当点为正方体内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题是真命题；
对于，平面，所以如果M点在面上时，
过M的直线如果跟相交，则与异面，不会相交，所以命题是假命题.
故选：A.
16. 若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】不等式等价于，原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，，不等式成立，分别讨论，，，的情况，先求出，再求出即可解决问题.
【详解】不等式等价于即，
原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，
等价于存在实数，，不等式成立，
记，则，
（1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
（2）当时，令，解得，
在区间上单调递增，在上单调递减，
，，，
①当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增,
所以；
令，则，，记，
则，
当时，恒成立，
即在区间上单调递减，即，
即；
②当时，此时，
当即时，，
当即时，，
从而当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
（3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增，
①当，即时，，
②当，即时，，
从而当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以；
综上所述，，
所以.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点B到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）设是的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）先证明，再利用等体积法求解即可.
【小问1详解】
证明：取中点，连接、，
由于是的中点，则，，
由于，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
由于上，平面，
所以平面.
【小问2详解】
设点到平面的距离为，
因为平面，平面，所以，
由于，，所以四边形是平行四边形，
由于，所以，
由于平面，
所以平面，
又平面，所以，
在中，，所以，又.
由得，
即，
所以，即点B到平面的距离为.
18. 在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，.
（1）若，求A和外接圆半径R的值；
（2）若三角形的面积，求c.
【答案】（1），；
（2）或.
【分析】（1）由题可得，利用正弦定理即求；
（2）利用三角形面积公式可得，再利用同角关系式及余弦定理即求.a
【小问1详解】
因为，则，且.
由正弦定理，得，即，
即，，
因为，所以，
因此，；
【小问2详解】
由得，
于是.
当时，由余弦定理，得.
当时，由余弦定理，得.
所以，或.
19. 交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的4个等级：
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：
（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求所有X的可能值及其发生的概率．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【分析】（1）利用给定的折线图，求出2022年元旦及前后共7天中“拥堵”的天数，再利用古典概率计算即得.
（2）利用折线图，求出2023年元旦及前后共7天中，道路TPI比2022年同日TPI高的天数，求出的可能值及对应概率即得.
【小问1详解】
根据统计数据可得：2022年元旦及前后共7天中，共有2天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”；
设7天中任取1天，这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为.
【小问2详解】
根据统计数据得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数共有2天，
所以的所有可能值为，
；；.
20 已知抛物线，，直线交抛物线于点、，交抛物线于点、，其中点、位于第一象限．
（1）若点到抛物线焦点距离为2，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离；
（3）若，求与的面积之比．
【答案】20.
21.
22.
【分析】（1）由抛物线的定义根据其方程得出准线，由定义得出抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，或通过焦半径公式，即可得出点的横坐标，代入方程得出纵坐标，根据点所在的象限得出其坐标；
（2）设，得出线段AC的中点坐标，根据已知列式，代入方程得出点的坐标，即可由两点式得出直线的方程，即可由点到直线的距离公式得出答案；
（3）设直线的方程为，设，根据已知与方程的联立与韦达定理得出，，，设原点到直线的距离为，由弦长公式与三角形面积公式的出，即可代入化解得出答案.
【小问1详解】
抛物线的准线为，
因为点到抛物线焦点的距离为2，
所以点到抛物线准线的距离为2，
所以点的横坐标为1，
代入方程的，解得，
因为点位于第一象限，
故点的坐标为.
【小问2详解】
设，则线段AC的中点坐标为
因为线段的中点在轴上，
所以，故，
代入方程得，解得，所以，
所以直线的方程为：，整理得：
所以原点O到直线l的距离
【小问3详解】
由题意，直线的斜率显然存在且，
设直线的方程为，
设
由，得，
由，得：，
因为直线与抛物线交于点、，
所以，即，且，，
同理，，，
所以，，
由①，②得：，代入③得，代入②得
设原点到直线的距离为，
所以.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线中的三角形面积问题一般转化为弦长问题与点到直线距离问题，使用弦长公式利用直线与圆锥曲线联立得出的二次方程由韦达定理转化.
21. 已知．
（1）若函数是实数集R上的严格增函数，求实数m的取值范围；
（2）已知数列是等差数列（公差），．是否存在数列使得数列是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列，并证明此时的数列是等差数列；若不存在，请说明理由；
（3）若，是否存在直线满足：①对任意的都有成立，
②存在使得？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在数列，数列满足：，证明见解析
（3）存在直线满足题意，直线方程为
【分析】（1）此题分析题意，根据实数集题意可得对任意的R都成立，故可得出答案.
（2）利用等差数列性质，结合题意，首先得出对一切正整数成立.
再经过化简计算得出结果.
（3）首先分析题意，按三种不同情况进行分析，最后得出直线方程为.
【小问1详解】
（1）因为函数是实数集R上的严格增函数，
所以对任意的R都成立
因为函数的最小值为，所以
【小问2详解】
，若是等差数列，则对一切正整数成立，
即，
将代入化简得，
即，
展开化简得对一切正整数成立，所以，
故；
此时
，所以为常数，
故是等差数列
【小问3详解】
令
则当时，TPI
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵
TPI
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵