2023年上海市崇明区高三上学期高考一模数学试卷含详解

这是一份2023年上海市崇明区高三上学期高考一模数学试卷含详解，共21页。试卷主要包含了本试卷分设试卷和答题纸等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】
1 已知集合，，则______.
2. 不等式的解集为______.
3. 已知复数，，若是纯虚数，则实数______.
4. 若对数函数且）的图象经过点，则实数______.
5. 设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
6. 已知方程组无解，则实数的值等于______.
7. 已知角的终边与单位圆交于点，则______.
8. 将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为______.
9. 已知函数，则曲线在点处的切线方程是______.
10. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小取值等于______.
11. 在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.
12. 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】
13. 下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格增函数的是（ ）
A. B. C. D.
14. 设， 则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
15. 设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为
A B. C. D.
16. 已知曲线C：，命题p：曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（ ）
A. p、q都是真命题B. p是真命题，q是假命题
C. p是假命题，q是真命题D. p、q都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】
17. 如图，长方体中，，与底面ABCD所成的角为
.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
18. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）在中,为角对边，且满足，且，求的取值范围.
19. 某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在线段或曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米.
（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
（2）求面积关于的函数解析式；
（3）试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.（结果精确到0.1米）
20. 已知椭圆的右焦点为F，左右顶点分别为A、B，直线l过点B且与x轴垂直，点P是椭圆上异于A、B的点，直线AP交直线l于点D.
（1）若E是椭圆上顶点，且是直角三角形，求椭圆的标准方程；
（2）若，，求的面积；
（3）判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明.
21. 已知数列满足.
（1）若数列的前4项分别为4，2，，1，求的取值范围；
（2）已知数列中各项互不相同.令，求证：数列是等差数列充要条件是数列是常数列；
（3）已知数列是m（且）个连续正整数1，2，…，m的一个排列.若，求m的所有取值.
2022学年第一学期高三第一次模拟考试
数学
考生注意：
1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】
1. 已知集合，，则______.
【答案】
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】解：因为，，
所以.
故答案为：
2. 不等式的解集为______.
【答案】
【分析】直接根据分式不等式计算方法进行求解即可.
【详解】由，得，
解得，即不等式的解集为.
故答案为：
3. 已知复数，，若是纯虚数，则实数______.
【答案】
【分析】根据复数的乘法运算，求得，再根据为纯虚数，即可求解.
【详解】，若是纯虚数
所以即
故答案为：
4. 若对数函数且）的图象经过点，则实数______.
【答案】2
【分析】直接将点代入计算即可.
【详解】将点代入得，解得
故答案为：2.
5. 设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
【答案】-8
【详解】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由可得：，代入①可得，
由等比数列的通项公式可得.
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
6. 已知方程组无解，则实数的值等于______.
【答案】
【分析】方程组无解，转化为直线与直线平行，即可解决.
【详解】由题知，方程组无解，
所以直线与直线平行，
所以，解得，
当时，两直线重合，方程组有无数解，不满足题意，
当时，两直线平行，方程组有无解，满足题意，
故答案为：
7. 已知角的终边与单位圆交于点，则______.
【答案】##0.5
【分析】由三角函数的定义可得，然后利用诱导公式可计算出，可得答案.
【详解】把代入单位圆，可得，故，
由三角函数的定义可得，因此，.
故答案为：.
8. 将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为______.
【答案】
【分析】根据圆锥侧面展开图即可计算.
【详解】如图所示，图1是圆锥(图2)的侧面展开图，
，则扇形弧长，
设圆锥底面圆半径为，则，得，
则在Rt中，圆锥的高，
故答案为:.
9. 已知函数，则曲线在点处的切线方程是______.
【答案】
【分析】求导得，从而可得切线的斜率，用点斜式写出切线方程再化简即可.
【详解】解：因为，
所以，
所以曲线在点处的切线的斜率，
所以切线方程为：，
即或.
故答案为：
10. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小取值等于______.
【答案】2
【分析】对任意实数x都成立，这个条件说明，解方程可得答案.
【详解】对任意的实数x都成立，，
，
又
故答案为：2
11. 在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】利用数量积几何意义去求的取值范围即可解决.
详解】正六边形ABCDEF中，过点B作于，则
又
即，故的取值范围为
故答案为：
12. 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______.
【答案】##
【分析】根据P点是椭圆和双曲线的交点，结合椭圆双曲线的定义表示出，，在△中结合余弦定理即可列出方程求解．
【详解】设椭圆标准方程为，椭圆离心率为，
设双曲线标准方程为，双曲线离心率为，
由题可知：．
设，，
则，
由①②得，，，
代入③整理得，，
两边同时除以得，，
即，
即，
解得，即．
故答案为：
【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义，结合焦点三角形中的余弦定理，列出方程组即可求解.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】
13. 下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及常见基本函数的单调性即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A; 的定义域为，定义域不关于原点对称，因此不是奇函数，不符合题意，
对于B; 的定义域为,关于原点对称，且，故，因此为奇函数，但是，故不是上是严格增函数，不符合题意，
对于C; 的定义域为，定义域不关于原点对称，因此不是奇函数，不符合题意，
对于D, 的定义域为,关于原点对称，且，故，因此为奇函数，又根据正弦函数的性质可知在上单调递增，而，所以在上是严格增函数，符合题意，
故选：D
14. 设， 则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分性、必要性的定义进行分析判断即可.
【详解】当成立时，显然，
当时，例如时，分式没有意义，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A
15. 设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】
先求，再由存在唯一确定的，使得，得，从而得解.
【详解】当时，有，所以.
在区间上总存在唯一确定的，使得，
所以存在唯一确定的，使得.
，所以.
故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.
16. 已知曲线C：，命题p：曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（ ）
A. p、q都是真命题B. p是真命题，q是假命题
C. p是假命题，q是真命题D. p、q都是假命题
【答案】A
【分析】结合均值不等式得到当且仅当时，等号成立，以及，从而可判断命题q的真假性，检验点是否在曲线上即可判断命题p的真假性.
【详解】因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
因此曲线C所围成的区域的在圆上或者内部，即，
故曲线C上的点到原点的最大距离是2，因此命题q为真命题，
圆上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有，
其中点显然在曲线C上，但是不在曲线上，
故曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p为真命题，
故选：A.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】
17. 如图，长方体中，，与底面ABCD所成的角为
.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先求得长方体高的值，进而求得四棱锥的体积；
（2）先作出异面直线与所成角，再利用余弦定理求其大小即可解决.
【小问1详解】
连接AC，因为平面ABCD，
所以是与底面ABCD所成的角.
所以，所以，
所以.
【小问2详解】
联结BD，则，
所以就是异面直线与所成的角（或其补角）
中，，，
所以，
又，则
所以异面直线与所成角的大小为.
18. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）在中,为角的对边，且满足，且，求的取值范围.
【答案】（1）（）；
（2）.
【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简函数可得，然后利用正弦函数的性质即得；
（2）根据正弦定理及二倍角的余弦公式可得，再利用三角函数的性质即得.
【小问1详解】
由题知
，
由（），
解得 ，
所以单调递增区间为（）；
【小问2详解】
依题意，由正弦定理，，
因为在三角形中，所以，
即，
当时，，
当时，，，
∴，，
由于，所以，则，则，
又，
所以，由，
所以的取值范围是.
19. 某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在线段或曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于米.设米，游乐场的面积为平方米.
（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
（2）求面积关于的函数解析式；
（3）试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.（结果精确到0.1米）
【答案】（1）
（2）
（3）当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大
【分析】（1）先以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；
（2）分别求出在不同线段的解析式，然后计算面积；
（3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定的位置.
【小问1详解】
以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则，，，
设曲线段所在抛物线的方程为，
由题意可知，点和在此抛物线上，
代入可得：，.
所以曲线段BC的方程为：.
【小问2详解】
由题意，线段的方程为，
当点在曲线段上时，，
当点在线段上时，，
所以.
【小问3详解】
当时，，令，得，（舍去）.
当时，；当时，.
因此当时，是极大值，也是最大值.
当时，，
当时，是最大值.
因为，
所以当时，取得最大值，此时，
所以当点在曲线段上且其到的距离约为米时，游乐场的面积最大.
20. 已知椭圆的右焦点为F，左右顶点分别为A、B，直线l过点B且与x轴垂直，点P是椭圆上异于A、B的点，直线AP交直线l于点D.
（1）若E是椭圆的上顶点，且是直角三角形，求椭圆的标准方程；
（2）若，，求的面积；
（3）判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明.
【答案】（1）
（2）
（3）以BD为直径的圆与直线PF相切，证明见解析
【分析】（1）根据题意得，然后利用列方程得到，再结合，解方程得到即可得到椭圆的标准方程；
（2）根据得到椭圆方程，根据得到直线AP的方程为，联立直线和椭圆方程得到点坐标，然后利用三角形面积公式求面积即可；
（3）设，得到直线AP的方程为，跟直线的方程联立得到，BD中点，然后根据点到直线的距离和半径的关系判断以为直径的圆与直线的位置关系即可.
【小问1详解】
由题意，，，，
由题意，，，，故，所以，
又，所以，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
当时，椭圆方程为，则，，
由对称性，不妨设点P在x轴上方，则直线AP的方程为，代入椭圆方程，得
，解得（舍去），，所以，
所以.
【小问3详解】
设，则，
直线AP方程为，
令则，所以，BD中点，
当直线PF的斜率不存在时，方程为；
当直线PF的斜率不存在时，方程为即，
经检验满足，故直线PF方程为，
点M到直线PF的距离，
所以以BD为直径的圆与直线PF相切.
【点睛】方法点睛：涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21. 已知数列满足.
（1）若数列的前4项分别为4，2，，1，求的取值范围；
（2）已知数列中各项互不相同.令，求证：数列是等差数列的充要条件是数列是常数列；
（3）已知数列是m（且）个连续正整数1，2，…，m的一个排列.若，求m的所有取值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）4或5
【分析】（1）根据题意，找到关于的不等关系，即可求解.
（2）分别从充分性、必要性两个角度证明即可.
（3）对取不同的值进行判断，再对分情况讨论即可.
【小问1详解】
由题意，，令，得，即，则或，此时解得或；令，得，即，两边同时平方解得.则求交集可得，，即
【小问2详解】
必要性：若数列是等差数列，设公差为d，
则，所以数列是常数列.
充分性：若数列是常数列，
则，即.
所以或.
因为数列的各项互不相同，所以.
所以数列是等差数列.
【小问3详解】
当时，因为，所以，不符合题意；
当时，数列为3，2，4，1，此时，符合题意；
当时，数列为2，3，4，5，1，此时，符合题意；
下证当时，不存在m满足题意.
令，
则，且，
所以有以下三种可能：
①；
②；
③.
当时，因为，
由（2）知：，，…，是公差为1（或－1）的等差数列.
当公差为1时，由得或，
所以或，与已知矛盾.
当公差为－1时，同理得出与已知矛盾.
所以当时，不存在m满足题意.
其它情况同理可得.
综上可知，m的所有取值为4或5.