2023-2024学年云南省昭通市绥江县八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省昭通市绥江县八年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中属于最简二次根式的是( )
A. 2B. 36C. 23D. 0.5
2.下列运算，结果正确的是( )
A. 7− 5= 2B. 3+ 3=3 3C. 3× 4=2 3D. 6÷ 2=3
3.下列二次根式中，可与 2进行合并的二次根式为( )
A. 32B. 6C. 27D. 75
4.估计 7+1的值在( )
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
5.若a、b、c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是( )
A. a=3，b=4，c=5B. a=6，b=8，c=10
C. a= 3,b= 4,c= 5D. a=1,b=1,c= 2
6.若 (x−3)2=3−x，则x的取值范围是( )
A. x≤3B. x<3C. x≥3D. x>3
7.把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的( )
A. 2倍B. 4倍C. 3倍D. 5倍
8.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则下列说法错误的是( )
A. BC2+AB2=AC2B. AB2=2BC2
C. AC=BCD. ∠C=90°
9.化简( 2−1)2016⋅( 2+1)2017的结果为( )
A. − 2−1B. 2+1C. 2−1D. −1
10.如果y= 1−2x+ 2x−1，则x−y的值为( )
A. 12B. 1C. 2D. 0
11.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是( )
A. 10B. 10或2 7C. 2 7D. 2 7或 10
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，若S1=5，S2=15，则S3的值是( )
A. 5
B. 8
C. 10
D. 16
13.若点P在边长为2等边三角形ABC的边AC上移动，则BP的最小值是( )
A. 2
B. 12
C. 32
D. 3
14.如图，长方形纸片ABCD中，AB=6，AD=18，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A. 6
B. 18
C. 24
D. 48
15.如图，正方体盒子的棱长为4，AB中点为M，一只蚂蚁从点M沿正方体的表面爬到点C′，蚂蚁爬行的最短距离是( )
A. 10
B. 2 13
C. 2 5
D. 4+2 5
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.代数式 3x−9x−2有意义的条件是______．
17.计算 14× 16的结果为______．
18.如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第2013个三角形的面积为______．
19.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AB=5，AC=3，AD=2，则△ABC边BC上的高为______．
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
计算：
(1)( 48−4 18)−( 12− 2)．
(2) 7× 21+(4 2−14 6)÷2 2．
21.(本小题6分)
先化简，再求值：a2−b2a2b+ab2÷(a2+b22ab−1)，其中a= 3+ 2，b= 3− 2．
22.(本小题7分)
如图，一架长5m的梯子AB斜靠在墙AC上，墙面垂直于地面，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为4m．
(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；
(2)如果梯子的顶端A下滑了1m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？
23.(本小题6分)
已知x=1+ 2，y=1− 2，求下列代数式的值：
(1)(x−y)2+4xy；
(2)x2−y2．
24.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=CB=CD=1，AD= 3．
(1)求∠BCD的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
25.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，已知AD=5，AB=8，BC=6，CD=3 5，DE=3，且DE⊥AC，求△ABC的边AC上的高．
26.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=2cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
27.(本小题11分)
阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如5 3， 23，2 3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：5 3=5× 3 3× 3=5 33(一)
23= 2×33×3= 63(二)
2 3+1=2×( 3−1)( 3+1)( 3−1)=2( 3−1)( 3)2−12= 3−1(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
2 3+1还可以用以下方法化简：
2 3+1=3−1 3+1=( 3)2−12 3+1=( 3+1)( 3−1) 3+1= 3−1(四)
(1)直接写出化简结果①1 2+1=______，②1 5=______．
(2)请选择适当的方法化简2 5+ 3．
(3)化简：1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+…+1 2n+1+ 2n−1．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、 2是最简二次根式，故选项符合题意；
B、 36=6，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
C、 23= 63，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
D、 0.5= 22，不是最简二次根式，故选项不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的定义进行解题即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、 7与 5不是同不类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、3与 3不是同不类二次根式，不能合并，不符合题意；
C、 3× 4=2 3，计算正确，符合题意；
D、 6÷ 2= 3，原式计算错误，不符合题意，
故选：C．
分别根据同类二次根式的概念、二次根式的乘除运算法则计算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
3.【答案】A
【解析】解：A、 32=4 2，与 2是同类二次根式，可以合并，符合题意，
B、 6与 2不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意，
C、 27=3 3与 2不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意，
D、 75=5 3与 2不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意，
故选：A．
将各选项化成最简根式，根据同类二次根式的定义，即可判断求解．
本题考查了同类二次根式，解题的关键是：熟练掌握同类二次根式的定义．
4.【答案】B
【解析】解：∵2< 7<3，
∴3< 7+1<4，
故选：B．
直接利用2< 7<3，进而得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 7的取值范围是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、32+42=52，能构成直角三角形；
B、62+82=102，能构成直角三角形；
C、( 3)2+( 4)2≠( 5)2，不能构成直角三角形；
D、12+12=( 2)2，能构成直角三角形．
故选：C．
欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股定理逆定理，解答此题关键是掌握勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
6.【答案】A
【解析】解：∵若 (x−3)2=3−x
∴3−x≥0，解得x≤3．
故选：A．
因为 (x−3)2为非负数，即 (x−3)2≥0，所以3−x≥0，解答即可．
算术平方根是非负数，这是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c.则a2+b2=c2；
另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为 (2a)2+(2b)2=2c．
即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．
故选：A．
根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．
本题考查勾股定理，熟练运用勾股定理对式子进行变形．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°×11+1+2=45°，∠B=180°×11+1+2=45°，∠C=180°×21+1+2=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵∠A=∠B=45°，
∴AC=BC，
∴2BC2=AB2，
故B、C、D正确，A错误，
故选：A．
根据三角形内角和定理和已知易得：∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，从而利用勾股定理可得AC2+BC2=AB2，然后根据等角对等边可得AC=BC，从而可得2BC2=AB2，即可解答．
本题考查了勾股定理，三角形内角和定理，等腰直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：( 2−1)2016⋅( 2+1)2017
=( 2−1)2016×( 2+1)2016×( 2+1)
=[( 2−1)×( 2+1)]2016×( 2+1)
=[( 2)2−12]2016×( 2+1)
=12016×( 2+1)
= 2+1，
故选：B．
先逆用积的乘方变形，然后根据平方差公式计算．
本题考查积的乘方的逆用、平方差公式、二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵1−2x≥0，2x−1≥0，
∴1−2x=0，
∴x=12，y=0，
∴x−y=12−0=12，
故选：A．
根据被开方数大于等于零进行解题即可．
此题考查了二次根式有意义的条件，已知字母的值求代数式的值，正确掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：当边长为8的边是直角边时，
第三边为斜边，边长为： 62+82=10；
当边长为8的边是斜边时，
第三边为直角边，边长为： 82−62=2 7；
因此第三边的长是10或2 7，
故选：B．
题目中没有说明两条边是否包含斜边，因此需分边长为8的边是直角和斜边两种情况，利用勾股定理分别求解．
本题主要考查勾股定理，正确分情况讨论是解题关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵S1=5，S2=15，S1，S2，S3分别表示三个正方形的面积，
∴BC2=5，AB2=15，
∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∴AC2=15−5=10，
∴S3=AC2=10，
故选：C．
根据题意和题目中的图形，可以发现S1=BC2，S2=AB2，S3=AC2，再根据S1=5，S2=15以及AC2+BC2=AB2，即可得到S3的值．
本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理是关键．
13.【答案】D
【解析】解：过点B作BD⊥AC，交AC于点D，
∵等边三角形ABC，
∴AB=BC=AC=2，
∵BD⊥AC，
∴DC=12AC=12×2=1，
在Rt△DBC中，BD= BC2−DC2= 22−12= 3，
∵BD⊥AC，点边AC上移动，
∴BP≥BD= 3，
当点P与点D重合时，BP取得最小值 3，
故选：D．
作BD⊥AC，由等边三角形的性质，得到AB=BC=AC=2，结合BD⊥AC，根据等腰三角形三线合一的性质，得到DC的长度，在Rt△DBC中，应用勾股定理，求出BD的长，根据垂线段最短，即可求解，
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
14.【答案】C
【解析】解：由折叠可知ED=BE，
设AE=x，BE=ED=18−x，
由勾股定理可得AB2+AE2=BE2，
即62+x2=(18−x)2，
解得x=8，
∴△ABE的面积为：6×8÷2=24，
故选：C．
由折叠可知ED=BE，设AE=x，BE=ED=18−x，利用勾股定理进行分析计算即可．
本题考查了折叠的性质以及勾股定理的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
15.【答案】B
【解析】解：∵AB中点为M，
∴MB=12AB=4，
当沿前面和上面爬行时，将正方体展开，连接MC′，
BC′=BC+CC′=4+4=8，
在Rt△MBC′中，MC′= MB2+BC′2= 22+82=2 17，
当沿前面和右面爬行时，将正方体展开，连接MC′，
MC=MB+BC=2+4=6，
在Rt△MCC′中，MC′= MC2+CC′2= 62+42=2 13，
2 13<2 17，
故选：B．
根据题意，将正方体以不同方式展开，根据两点之间线段最短，应用勾股定理，即可求解，
本题考查了，勾股定理的应用最短路径，解题的关键是：熟练掌握立方体的不同展开方式．
16.【答案】x≥3
【解析】解：由题意可知：
3x−9≥0,x−2≠0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
根据被开方数大于等于0且分母不等于0进行解题即可．
本题考查二次根式的性质和分式的意义．掌握被开方数大于等于0且分母不等于0是解题的关键．
17.【答案】2
【解析】解：原式= 14× 16= 14×16= 4=2．
故答案为：2．
根据二次根式的乘除法法则进行解题即可．
此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．
18.【答案】 20132
【解析】解：第1个三角形的面积为：12×1×1=12，
∴OA1= 12+12= 2，OA3= 1+2= 3，
第2个三角形的面积为： 22，
第3个三角形的面积为： 32，
则第2013个三角形的面积为： 20132，
故答案为： 20132．
先求出第1个三角形的面积，根据勾股定理，求出OA1，进而求出第二个三角形的面积，根据规律即可求解，
本题考查了图形规律探索，勾股定理解直角三角形，解题的关键是：找到图形的构成规律．
19.【答案】6 1313
【解析】解：如图，延长AD到E，使得DE=AD=2，连接BE，作AF⊥BC于点F，
则AE=2AD=4．
∵点D为BC的中点，
∴CD=BD，
在△ADC和△EDB中，
AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴BE=CA=3，
∴BE2+AE2=32+42=25，
∵AB2=52=25，
∴BE2+AE2=AB2，
∴∠E=90°，
∴S△BDE=12BD⋅DE=3，BD= BE2+DE2= 32+22= 13，
∴S△ADC=S△BDE=3，CD=BD= 13，
∵AF⊥BC，
∴12CD⋅AF=S△ADC，
即 132⋅AF=3，
∴AF=6 1313．
故答案为：6 1313．
延长AD到E，使得DE=AD=2，连接BE，作AF⊥BC于点F，先证明△ADC≌△EDB，得到BE=CA=3，根据勾股定理逆定理得到∠E=90°，进而得到S△BDE=3，BD= 13，即可得到S△ADC=3，CD= 13，利用三角形面积公式即可求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，关键是勾股定理及其逆定理等知识的掌握，综合性强．
20.【答案】解：(1)( 48−4 18)−( 12− 2)
=4 3− 2−2 3+ 2
=2 3；
(2) 7× 21+(4 2−14 6)÷2 2
=7 3+2−7 3
=2．
【解析】(1)根据二次根式的运算法则，即可求解；
(2)根据二次根式的运算法则，应用乘法分配律，即可求解．
本题考查了，二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握二次根式的运算法则．
21.【答案】解：a2−b2a2b+ab2÷(a2+b22ab−1)
=(a+b)(a−b)ab(a+b)÷a2−2ab+b22ab
=a−bab⋅2ab(a−b)2
=2a−b；
∵a= 3+ 2，b= 3− 2；
∴2a−b=2 3+ 2−( 3− 2)=22 2= 22．
【解析】根据分式的混合运算法则，完全平方公式，平方差公式，进行化简，再代入a、b的值，即可求解，
本题考查了，分式的化简求值，二次根式的加减运算，解题的关键是：熟练掌握分式的运算法则．
22.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，
∴AC2=AB2−BC2
=52−42=9，
∴AC=3米．
(2)∵AA′=1，
∴A′C=CA−AA′=3−1=2，
∴B′C2=A′B′2−A′C2=52−22=21，
∴B′C= 21，
∴BB′= 21−4，
答：梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了( 21−4)m．
【解析】(1)直接利用勾股定理计算即可；
(2)先计算A′C=2，再利用勾股定理计算B′C，再利用线段的和差可得答案．
本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵x=1+ 2，y=1− 2，
∴x+y=2，
∴(x−y)2+4xy
=x2−2xy+y2+4xy
=(x+y)2
=22
=4；
(2)∵x=1+ 2，y=1− 2，
∴x+y=2，x−y=2 2，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)
=2×2 2
=4 2．
【解析】(1)得到x+y=2，将(x−y)2+4xy变形后代入，即可求解，
(2)得到x+y=2，x−y=2 2，将x2−y2变形后代入，即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，平方差公式．
24.【答案】解：(1)连接AC，如图，

∵∠B=90°，AB=CB=CD=1，
∴AC= 2，∠BCA=45°，
∵AD= 3，CD=1，
∴CD2+AC2=12+( 2)2=3，AD2=3，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠ACD+∠BCA=135°．
(2)在Rt△ABC中，S△ABC=12⋅BC⋅AB=12×1×1=12，
在Rt△ADC中，S△ADC=12⋅CD⋅AC=12×1× 2= 22．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12+ 22．
【解析】(1)连接AC，如图，分别证明△ABC为等腰直角三角形，△ACD为直角三角形，从而可得结论；
(2)直接利用割补法求解四边形的面积即可．
本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的证明三角形是直角三角形是解本题的关键．
25.【答案】解：∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠CED=90°，
在Rt△ADE中，
AE= AD2−DE2= 52−32=4，
在Rt△CDE中，CE= CD2−DE2=6，
∴AC=4+6=10，
在△ABC中，
BC=6，AB=8，AC=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
设AC边上的高为h，
则12×AC×h=12AB×BC，
解得：h=4.8．
【解析】根据勾股定理进行计算即可．
本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，正确进行计算是解题关键．
26.【答案】解：(1)∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵CD=2cm，
∴DE=2cm，
又∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
又∵∠C=90°，
∴∠B=45°，
∴∠BDE=90°−45°=45°，
∴BE=DE=2cm，
在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD= BE2+DE2=2 2cm，
∴AC=BC=CD+BD=2+2 2(cm)．
(2)
在Rt△ACD和Rt△AED中，
DC=DE AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE．
又∵CD=DE=BE，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
【解析】(1)依据角平分线的性质可证明DC=DE，接下来证明△BDE为等腰直角三角形，从而得到DE=EB=2，然后依据勾股定理可求得BD的长，然后由AC=BC=CD+DB求解即可；
(2)先证明AC=AE，然后由EB=DC=DC求解即可．
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、勾股定理的应用，根据HL判定Rt△ACD≌Rt△AED是解题的关键．
27.【答案】 2−1 55
【解析】解：(1)①原式= 2−1；
②原式= 55；
故答案为 2−1； 55；
(2)原式=2( 5− 3)( 5+ 3)( 5− 3)
= 5− 3；
(3)原式= 3−12+ 5− 32+…+ 2n+1− 2n−12
= 2n+1−12．
(1)①把1 2+1分子分母有乘以( 2−1)②把1 5分子分母都乘以 5；
(2)把2 5+ 3的分子分母都乘以 5− 3；
(3)先分母有理化，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．