四川省射洪市2024届高三下学期高考模拟测试（文）数学试卷（解析版）

这是一份四川省射洪市2024届高三下学期高考模拟测试（文）数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，
,．
故选：．
2. 复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】依题意，，
在复平面内该复数对应的点位于第一象限.
故选：A.
3. 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A. 8号学生B. 200号学生
C. 616号学生D. 815号学生
【答案】C
【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，
所以，
若，则，不合题意；若，则，不合题意；
若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
.故选：B.
5. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，则为异面直线； ②若，则；
③若，则； ④若，则.
则上述命题中真命题的序号为（ ）
A. ①②B. ③④C. ②③D. ②④
【答案】C
【解析】①若时，若则不是异面直线；④若，则；而②③是正确的.故选：C.
6. 在中，点F为线段BC上任一点（不含端点）,若，则的最小值为（ ）
A. 9B. 8C. 4D. 2
【答案】A
【解析】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A
7. 已知函数是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由是R上的奇函数，且是上的严格减函数，若可知：且在也严格单调递减，故
当和时，，当和时，，
故等价于和，解得，
故选：B
8. 函数，（其中，，） 其图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】由函数图象可知：，函数过两点，设的最小正周期为，因为，所以有，而，
因此，
即，因为，
所以，因为，
所以，即，因此，
而，
而，因此该函数向右平移个单位长度得到函数的图象，
故选：B
9. 设为双曲线的左、右焦点，直线过左焦点且垂直于一条渐近线，直线与双曲线的渐近线分别交于点,点在第一象限,且
，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，双曲线的渐近线方程为，
显然与垂直的渐近线为，则，，
由，得点是线段的中点，
由对称性得，
则在中，，所以双曲线的离心率.
故选：B.
10. 在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当两个小球的表面积之和最大时两小球相切，且两小球均与半球形封闭容器相切，
此时设两小球的球心分别为，，半球形封闭容器的底面圆心为O，
作出过，，O的截面如图所示，连接并延长，交半圆于点A，
则A为圆与半圆的切点，设两个小球的半径为r，
得，所以，解得，
所以这两个小球的表面积之和的最大值为．
故选：A
11. 若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题设知：，，，
令，则，易知上单调递增，
上单调递减，即，
∴.
故选：A.
12. 设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，两点在上，且关于坐标原点对称，，则（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】由题知，长轴长为8，焦距等于，
如图，由椭圆的对称性可知，，
所以四边形为平行四边形，因为，所以，
记，在中，由余弦定理得：，
由椭圆定义得，联立求解可得，
在中，由余弦定理得，
所以.
故选：C.
第Ⅱ 卷（非选择题）
二、填空题
13. 若满足约束条件，设的最大值为______．
【答案】
【解析】由题意，画出可行域，如图阴影部分.
由，
所以表示斜率为的直线在轴上的截距.
所以当直线经过点时，取得最大值
由.
所以.
故答案为：10
14. 从0，1，2，3，4这5个数字中，任取两个不同的数字排成1个两位数，则排成的数是偶数的概率为___________.
【答案】
【解析】由题意任取两个不同的数字排成1个两位数，共有：
10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个；
其中偶数有：10，12，14，20，24，30，32，34，40，42，共10个；
故所求概率.
故答案为：.
15. 如图，有三座城市．其中在正东方向，且与相距120；在的北偏东30°方向，且与相距60．一架飞机从城市出发，沿北偏东75°航向飞行．当飞机飞行到城市的北偏东45°的D点处时，飞机出现故障，必须在城市，，中选择一个最近城市降落，则该飞机必须再飞行_______，才能降落．
【答案】
【解析】连接BC，在中：
余弦定理知：
在中，，


故答案为
16. 已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为______.
【答案】6
【解析】如图：取中点，因为，圆的半径为2，所以，点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，.
，
由点到直线距离公式，得：，所以，
所以.
故答案为：6.
三、解答题
17. 某保险公司为了给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段，，，，分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，
每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.
（1）用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费至少为多少元？（精确到整数）
（2）经调查，年龄在之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，为加强宣传，按分层抽样的方法从年龄在和的中年人中选取6人进行教育宣讲，再从选取的6人中随机选取2人，被选中的2人免一年的保险费. 在保费取到（1）中求得的最小值的条件下，求被免去的保费超过150元的概率.
解：（1）由知，故.
由条件知，该公司的收入不小于支出，
即，
从而，即.
从而至少为元.
（2）由于，
故按分层抽样的方法从年龄在和的中年人中选取6人后，
年龄在和中的人数分别为和.
而年龄在和的人需要交的保费分别为元和元，
故从选取的6人中随机选取2人后，被免去的保费超过150元当且仅当选出的2人的年龄都在内，
所以所求概率.
18. 已知等比数列{an}的前n项和Sn＝﹣m.
（1）求m的值，并求出数列{an}的通项公式；
（2）令，设Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.
解：（1）等比数列{an}的前n项和Sn＝﹣m①.
当n＝1时，解得，
当n≥2时，②，
①﹣②得：，又{an}是等比数列，n＝1时也符合，
当n＝1时，，故m＝.
（2）由（1）得：，
所以T2n＝﹣1+2﹣3+4+...+﹣（2n﹣1）+2n＝（﹣1+2）+（﹣3+4）+...+（﹣2n+1+2n）＝n.
19. 如图，在多面体中，四边形为菱形，，，⊥，且平面⊥平面.
（1）在DE上确定一点M，使得平面；
（2）若，且，求多面体的体积.
解：（1）当M是ED的中点时，满足平面，理由如下：
取AD中点G，过点G作交DE于点M，则，
连接，
又由题，有，，所以，，
即四边形平行四边形，所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）取AB中点，连接，，
由条件知是边长为1的正三角形，于是CN⊥AB，且.
因为四边形为菱形，所以⊥，
因为平面⊥平面，交线为，
又平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，所以⊥，
所以⊥，又BF⊥AD，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为，平面，所以⊥平面，
即CN是四棱锥C－ABFE的高..
设梯形的面积为，则，
，
同理可知C点到平面ADE的距离也等于，
于是.
于是多面体ABCDEF的体积.
20. 已知过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线为，在点处的切线为，直线与直线交于点，当直线的倾斜角为时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）设线段的中点为，求的取值范围．
解：（1）当的斜率为时，则，不妨设，
由可得，，所以，
,
即，因为，解得：．从而抛物线的方程为
（2）由题意可知直线有斜率，
设直线，，
由可得，，则
所以，
于是，
即
而
由，则，
于是抛物线在点处的切线的方程为
即①
同理可得，在点处的切线的方程为②
联立①②，解得，于是 则
从而
所以，的取值范围是
21. 已知函数，，直线为曲线与的一条公切线.
（1）求；
（2）若直线与曲线，直线,曲线分别交于
三点，其中，且成等差数列，证明：满足条件的有且只有一个.
（1）解：设与相切于点，而，
则，即，，则切点为，，即；
设与相切于点，而，
，即，则切点为，，，
所以，.
（2）证明：依题意，，则，，，
由成等差数列，得，即，，
令，求导得，
令，求导得，显然函数在上单调递增，
，， 则，使得，即，
当时，；当时，，在上递减，在上递增，
，
由，得，则，即，
函数在上单调递增，，，
因此在上存在唯一零点，所以满足条件的有且只有一个.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
【选修4—4：坐标系与参数方程】
22. 如图，在极坐标系中，已知点， 曲线是以极点为圆心，以为半径的半圆，曲线是过极点且与曲线相切于点的圆.
（1）分别写出曲线、的极坐标方程；
（2）直线与曲线、分别相交于点、（异于极点），求面积的最大值.
（1）解：由题意可知，曲线是以极点为圆心，以为半径半圆，
结合图形可知，曲线的极坐标方程为.
设为曲线上的任意一点，可得．
因此，曲线极坐标方程为．
（2）解：因为直线与曲线、分别相交于点、（异于极点），
设、，由题意得，，
所以，．
因为点到直线的距离为，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.
【选修4—5：不等式选讲】
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为，正数，满足，求证：.
（1）解：当时，得，∴；
当时，得，
∴无解；
当时，得；
综上，不等式的解集为或.
（2）证明：∵，
∴，即，
又由均值不等式有：，，
两式相加得，
∴.
年龄
保费