还剩13页未读，
继续阅读
新教材(广西专版)高考数学一轮复习单元质检卷一集合、常用逻辑用语与不等式含答案
展开
这是一份新教材(广西专版)高考数学一轮复习单元质检卷一集合、常用逻辑用语与不等式含答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={x|x≥2},B={x|x2-2x<3},则(∁RA)∩B=( )
A.{x|2≤x<3}
B.{x|-1C.{x|2D.{x|-12.(2023贵州贵阳模拟)已知命题p:∀n∈N,2n-2不是素数,则?p为( )
A.∃n∉N,2n-2是素数
B.∀n∈N,2n-2是素数
C.∀n∉N,2n-2是素数
D.∃n∈N,2n-2是素数
3.已知不等式-ax+1x+2>0的解集为(-2,a),则实数a的值是( )
A.-1B.-12
C.1D.±1
4.已知函数f(x)=2x+2-x-a则“a<1”是“f(x)>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2023广西南宁二模)某单位为提升服务质量,花费3万元购进了一套先进设备,该设备每年管理费用为0.1万元,已知使用x年的维修总费用为x2+x27万元,则该设备年平均费用最少时的年限为( )
A.7B.8
C.9D.10
6.某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为30-52R万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是( )
A.[4,8]
B.[6,10]
C.[4%,8%]
D.[6%,100%]
7.已知关于x的不等式mx2-6x+3m<0在区间(0,2]上有解,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,3)B.-∞,127
C.(3,+∞)D.127,+∞
8.已知a,b,c是正实数,且不等式a2+b2+c2+mb(a+c)≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-2]
B.[-2,+∞)
C.[2,+∞)
D.(-∞,2]
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2023湖南张家界二模)下列命题正确的是( )
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>|b|,则a2>b2
C.若a>b,则a3>b3
D.若|a|>b,则a2>b2
10.(2023山东济宁二模)已知m>0,n>0,且m+n=2mn,则下列结论中正确的是( )
A.mn≥1
B.m+n≤2
C.m2+n2≥2
D.2m+n≥3+22
11.已知命题p:x2+3x-4<0,q:2ax-1<0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的值可以是( )
A.-12B.1
C.12D.0
12.已知a>0,b>0,alg42+blg162=516,则下列结论正确的是( )
A.4a+b=5
B.4a+b=52
C.ab的最大值为2564
D.1a+1b的最小值为185
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2023广东佛山一中一模)若两个正实数x,y满足4x+y-xy=0,且不等式xy≥m2-6m恒成立,则实数m的取值范围是 .
14.函数f(x)=9x+31-2x的最小值是 .
15.若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,则b2a2+2c2的最大值为 .
16.已知f(x)=-x2+2x+3,x≤0,x2+4x+3,x>0,若关于x的不等式f(x+a)>f(2a-x2)在区间[a-1,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设全集是R,集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|1-a(1)若a=1,求(∁RA)∩B;
(2)问题:已知 ,求实数a的取值范围.
从下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并进行解答.
①A∩B=B;②A∪B=R;③A∩B=⌀.
18.(12分)已知命题p:∃x∈R,x2+2ax-8-6a=0,命题q:∀x∈[1,2],12x2-ln x+k-a≥0.
(1)若当k=0时,命题p和q都是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件,求实数k的取值范围.
19.(12分)已知f(x)=ax2+(a2-3)x-3a.
(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|x>1或x<-3},求实数a的值;
(2)若关于x的不等式f(x)+x+a<0的解集中恰有2个整数,求正整数a的值.
20.(12分)已知函数f(x)=x2+mx,x>0,lg2(-x),x<0在(0,+∞)上有最小值1.
(1)求实数m的值;
(2)若关于x的方程[f(x)]2-(2k+1)·f(x)+k2+k=0恰好有4个不相等的实数根,求实数k的取值范围.
21.(12分)某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=4-2m+1.已知生产该产品的固定成本为8万元,生产成本为16万元/万件,厂家将产品的销售价格定为8+16xx万元/万件(产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2024年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m(单位:万元)的函数;
(2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
22.(12分)已知函数f(x)=mx2-(m+1)x+1.
(1)若m>0,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若对任意x∈[1,2],f(x)≤2恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若a,b,c为正实数,且2ab+bca2+b2+c2的最大值等于f(2),求实数m的值.
单元质检卷一 集合、常用逻辑用语与不等式
1.B
解析由x2-2x<3,即(x-3)(x+1)<0,解得-12.D
解析命题p为全称量词命题,该命题的否定为?p:∃n∈N,2n-2是素数.故选D.
3.C
解析因为-ax+1x+2>0,即ax-1x+2<0,即不等式(ax-1)(x+2)<0的解集为(-2,a),所以a>0,且1a=a,所以a=1,故选C.
4.A
解析因为2x+2-x-a≥22x·2-x-a=2-a(当且仅当x=0时,等号成立),所以由a<1,得f(x)>1>0;由f(x)>0,得a<2.故“a<1”是“f(x)>0”的充分不必要条件,故选A.
5.C
解析由题意,该设备x年的平均费用y=x2+x27+0.1x+3x=x27+3x+37270(x∈N*),∵x>0,则y=x27+3x+37270≥2x27×3x+37270=217270,当且仅当x27=3x,即x=9时,等号成立.故选C.
6.A
解析根据题意,要使附加税不少于128万元,则30-52R×160×R%≥128,整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8.所以R的取值范围是[4,8].
7.A
解析由题意得,mx2-6x+3m<0,x∈(0,2],即m<6xx2+3,故问题转化为m<6xx2+3在区间(0,2]上有解.设g(x)=6xx2+3,则g(x)=6xx2+3=6x+3x,x∈(0,2],对于x+3x≥23,当且仅当x=3∈(0,2]时取等号,则g(x)max=623=3,故m<3.
8.B
解析因为a,b,c是正实数,所以不等式可化为m≥-a2+b2+c2b(a+c),而a2+b2+c2b(a+c)=a2+b22+b22+c2b(a+c)≥2a2·b22+2b22·c2b(a+c)=2(ab+bc)b(a+c)=2,因此-a2+b2+c2b(a+c)≤-2,当且仅当a2=b22且b22=c2,即b=2a=2c时,等号成立,故-a2+b2+c2b(a+c)的最大值为-2,因此m≥-2,即实数m的取值范围是[-2,+∞),故选B.
9.BC
解析对于A,若c=0,则ac2=bc2,故A错误;对于B,若a>|b|,则a>0,故|a|>|b|,两边平方,可得a2>b2,故B正确;对于C,因为y=x3在R上单调递增,所以若a>b,则a3>b3,故C正确;对于D,若|a|>b,不妨设a=0,b=-2,显然不满足a2>b2,故D错误.故选BC.
10.AC
解析因为m>0,n>0,m+n=2mn,2mn=m+n≥2mn,所以mn≥1,当且仅当m=n=1时,等号成立,故A正确;当m=n=1时,m+n=2mn,则m+n=1+1>2,故B错误;因为mn≥1,所以m2+n2≥2mn≥2,故C正确;当m=n=1时,则2m+n=3<3+22,故D错误.故选AC.
11.CD
解析对于p:-4-1,p是q的既不充分也不必要条件,故A错误;对于B,当a=1时,q:x<12,p是q的既不充分也不必要条件,故B错误;对于C,当a=12时,q:x<1,p是q的充分不必要条件,故C正确;对于D,当a=0时,q:x∈R,p是q的充分不必要条件,故D正确.故选CD.
12.BCD
解析由alg42+blg162=516可得a2+b8=516,即4a+b=52,故A错误,B正确;因为52=4a+b≥24ab⇒ab≤2564,当且仅当a=516,b=54时,等号成立,所以ab的最大值为2564,故C正确;因为1a+1b=251a+1b(4a+b)=255+ba+4ab≥25(5+24)=185,当且仅当a=512,b=56时,等号成立,所以1a+1b的最小值为185,故D正确.故选BCD.
13.[-2,8]
解析∵正实数x,y满足4x+y-xy=0,
∴xy=4x+y≥24xy=4xy,即xy≥4⇒xy≥16,当且仅当y=4x=8时,等号成立,由xy≥m2-6m恒成立,可得m2-6m≤16,解得-2≤m≤8.
14.23
解析f(x)=9x+31-2x=9x+332x=9x+39x≥29x·39x=23,当且仅当9x=39x,即x=14时取等号,所以函数f(x)的最小值为23.
15.2
解析当a=0时,若不等式bx+c≤0的解集为R,则b=0,c≤0,
要使b2a2+2c2有意义,c<0,则b2a2+2c2=0.
当a≠0时,若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,则a<0,Δ=b2-4ac≤0,即a<0,b2≤4ac,所以b2a2+2c2≤4aca2+2c2.
由b2≤4ac,得ac≥0.
当c=0时,b=0,此时b2a2+2c2=0;
当c<0时,ac>0,令t=ca>0,则b2a2+2c2≤4aca2+2c2=4t1+2t2=42t+1t≤422t·1t=2,
当且仅当b2=4ac,2ca=ac时,等号成立.
综上所述,b2a2+2c2的最大值为2.
16.-∞,-14∪(2,+∞)
解析∵y=-x2+2x+3在(-∞,0]上单调递增,y=x2+4x+3在(0,+∞)上单调递增,-02+2×0+3=02+4×0+3,∴f(x)=-x2+2x+3,x≤0,x2+4x+3,x>0在(-∞,+∞)上单调递增.又不等式f(x+a)>f(2a-x2)在区间[a-1,a+1]上恒成立,∴x+a>2a-x2,即aa,∴a∈R,∴a≤-32;当a-1<-12a,∴a<-14,∴-32a,∴a>2或a<0,∴a>2.综上,a<-14或a>2.
17.解(1)解不等式x2-2x-3>0,得A={x|x<-1或x>3},所以(∁RA)={x|-1≤x≤3}.
若a=1,则B={x|0所以(∁RA)∩B={x|0(2)选①:A∩B=B,则B⊆A.
当B=⌀时,有1-a≥2a+3,即a≤-23;
当B≠⌀时,有1-a<2a+3,2a+3≤-1或1-a<2a+3,1-a≥3,此时两不等式组均无解.
综上,所求实数a的取值范围是-∞,-23.
选②:A∪B=R,因为B={x|1-a所以1-a<-1,2a+3>3,解得a>2.
故所求实数a的取值范围是(2,+∞).
选③:A∩B=⌀,因为B={x|1-a当B≠⌀时,有1-a<2a+3,1-a≥-1,2a+3≤3,解得-23综上,所求实数a的取值范围是(-∞,0].
18.解(1)若命题p为真命题,则有Δ=4a2-4(-8-6a)≥0,即a2+6a+8≥0,解得a≤-4或a≥-2;
若当k=0时,命题q为真命题,则12x2-ln x-a≥0,即a≤12x2-ln x在区间[1,2]上恒成立,
令g(x)=12x2-ln x,x∈[1,2],则g'(x)=x-1x=x2-1x≥0,
所以g(x)在区间[1,2]上单调递增,最小值为g(1)=12,故a≤12.
因此当命题p和q都是真命题时,实数a的取值范围是(-∞,-4]∪-2,12.
(2)当命题q为真命题时,12x2-ln x+k-a≥0在[1,2]上恒成立,由(1)可知a≤12+k;
当命题p为假命题时,由(1)可知-4因为“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件,所以12+k≥-2,解得k≥-52.
故实数k的取值范围是-52,+∞.
19.解f(x)=ax2+(a2-3)x-3a=(ax-3)(x+a).
(1)若不等式f(x)<0的解集为{x|x>1或x<-3},则a<0,且-a=1,3a=-3,故a=-1.
(2)不等式f(x)+x+a<0,即ax2+(a2-2)x-2a<0的解集中恰有2个整数,
即不等式(ax-2)(x+a)<0的解集中恰有2个整数.又a为正整数,-a所以解集必含0,即两整数解为-1,0或0,1.
当a>2时,整数解为-2,-1,0,不符合;
故a=1或a=2.
20.解(1)当x>0时,f(x)=x2+mx=x+mx,
若m≤0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,无最小值,所以m>0,
故f(x)=x+mx≥2m,当且仅当x=m时,等号成立,f(x)取到最小值2m=1,所以m=14.
(2)依题意,f(x)=x+14x,x>0,lg2(-x),x<0,作出函数f(x)的大致图象如下:
方程[f(x)]2-(2k+1)f(x)+k2+k=0,
即[f(x)-k][f(x)-k-1]=0,
故f(x)=k或f(x)=k+1.
方程恰好有4个不相等的实数根,作直线y=k和y=k+1,则两直线与函数有4个交点,结合图象可知k+1>1,k<1,解得0故实数k的取值范围为(0,1).
21.解(1)由题意知,每万件产品的销售价格为1.5×8+16xx万元,
又x=4-2m+1,则2024年的利润y=1.5x×8+16xx-8-16x-m=36-16m+1-m(m≥0).
(2)由(1)知,y=36-16m+1-m=-16m+1+m+1+37.
∵当m≥0时,m+1>0,∴16m+1+(m+1)≥216=8,当且仅当m=3时,等号成立,
∴y≤-8+37=29,当且仅当m=3时,ymax=29.
故该厂家2024年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为29万元.
22.解(1)f(x)=mx2-(m+1)x+1=(mx-1)(x-1).
当0当m>1时,f(x)<0的解集为x1m当m=1时,f(x)<0无实数解.
(2)当m=0时,f(x)=-x+1.
对任意x∈[1,2],f(x)≤f(1)=0<2恒成立.
当m>0时,函数f(x)的图象开口向上,若对任意x∈[1,2],f(x)≤2恒成立,只需f(1)≤2,f(2)≤2,
即m-(m+1)+1≤2,4m-2(m+1)+1≤2,解得m≤32.
故当0当m<0时,对任意x∈[1,2],x-1≥0,mx-1<0,f(x)=(mx-1)(x-1)≤0<2恒成立.
综上可知,实数m的取值范围为-∞,32.
(3)若a,b,c为正实数,则由基本不等式得,a2+45b2≥455ab,15b2+c2≥255bc,
两式相加得a2+b2+c2≥255(2ab+bc),
变形得2ab+bca2+b2+c2≤52,
当且仅当a2=45b2且c2=15b2,即a=2c=255b时,等号成立.
所以f(2)=52,即2m-1=52,m=2+54.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={x|x≥2},B={x|x2-2x<3},则(∁RA)∩B=( )
A.{x|2≤x<3}
B.{x|-1
A.∃n∉N,2n-2是素数
B.∀n∈N,2n-2是素数
C.∀n∉N,2n-2是素数
D.∃n∈N,2n-2是素数
3.已知不等式-ax+1x+2>0的解集为(-2,a),则实数a的值是( )
A.-1B.-12
C.1D.±1
4.已知函数f(x)=2x+2-x-a则“a<1”是“f(x)>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2023广西南宁二模)某单位为提升服务质量,花费3万元购进了一套先进设备,该设备每年管理费用为0.1万元,已知使用x年的维修总费用为x2+x27万元,则该设备年平均费用最少时的年限为( )
A.7B.8
C.9D.10
6.某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为30-52R万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是( )
A.[4,8]
B.[6,10]
C.[4%,8%]
D.[6%,100%]
7.已知关于x的不等式mx2-6x+3m<0在区间(0,2]上有解,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,3)B.-∞,127
C.(3,+∞)D.127,+∞
8.已知a,b,c是正实数,且不等式a2+b2+c2+mb(a+c)≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-2]
B.[-2,+∞)
C.[2,+∞)
D.(-∞,2]
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2023湖南张家界二模)下列命题正确的是( )
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>|b|,则a2>b2
C.若a>b,则a3>b3
D.若|a|>b,则a2>b2
10.(2023山东济宁二模)已知m>0,n>0,且m+n=2mn,则下列结论中正确的是( )
A.mn≥1
B.m+n≤2
C.m2+n2≥2
D.2m+n≥3+22
11.已知命题p:x2+3x-4<0,q:2ax-1<0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的值可以是( )
A.-12B.1
C.12D.0
12.已知a>0,b>0,alg42+blg162=516,则下列结论正确的是( )
A.4a+b=5
B.4a+b=52
C.ab的最大值为2564
D.1a+1b的最小值为185
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2023广东佛山一中一模)若两个正实数x,y满足4x+y-xy=0,且不等式xy≥m2-6m恒成立,则实数m的取值范围是 .
14.函数f(x)=9x+31-2x的最小值是 .
15.若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,则b2a2+2c2的最大值为 .
16.已知f(x)=-x2+2x+3,x≤0,x2+4x+3,x>0,若关于x的不等式f(x+a)>f(2a-x2)在区间[a-1,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设全集是R,集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|1-a
(2)问题:已知 ,求实数a的取值范围.
从下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并进行解答.
①A∩B=B;②A∪B=R;③A∩B=⌀.
18.(12分)已知命题p:∃x∈R,x2+2ax-8-6a=0,命题q:∀x∈[1,2],12x2-ln x+k-a≥0.
(1)若当k=0时,命题p和q都是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件,求实数k的取值范围.
19.(12分)已知f(x)=ax2+(a2-3)x-3a.
(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{x|x>1或x<-3},求实数a的值;
(2)若关于x的不等式f(x)+x+a<0的解集中恰有2个整数,求正整数a的值.
20.(12分)已知函数f(x)=x2+mx,x>0,lg2(-x),x<0在(0,+∞)上有最小值1.
(1)求实数m的值;
(2)若关于x的方程[f(x)]2-(2k+1)·f(x)+k2+k=0恰好有4个不相等的实数根,求实数k的取值范围.
21.(12分)某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足x=4-2m+1.已知生产该产品的固定成本为8万元,生产成本为16万元/万件,厂家将产品的销售价格定为8+16xx万元/万件(产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2024年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m(单位:万元)的函数;
(2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
22.(12分)已知函数f(x)=mx2-(m+1)x+1.
(1)若m>0,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若对任意x∈[1,2],f(x)≤2恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若a,b,c为正实数,且2ab+bca2+b2+c2的最大值等于f(2),求实数m的值.
单元质检卷一 集合、常用逻辑用语与不等式
1.B
解析由x2-2x<3,即(x-3)(x+1)<0,解得-1
解析命题p为全称量词命题,该命题的否定为?p:∃n∈N,2n-2是素数.故选D.
3.C
解析因为-ax+1x+2>0,即ax-1x+2<0,即不等式(ax-1)(x+2)<0的解集为(-2,a),所以a>0,且1a=a,所以a=1,故选C.
4.A
解析因为2x+2-x-a≥22x·2-x-a=2-a(当且仅当x=0时,等号成立),所以由a<1,得f(x)>1>0;由f(x)>0,得a<2.故“a<1”是“f(x)>0”的充分不必要条件,故选A.
5.C
解析由题意,该设备x年的平均费用y=x2+x27+0.1x+3x=x27+3x+37270(x∈N*),∵x>0,则y=x27+3x+37270≥2x27×3x+37270=217270,当且仅当x27=3x,即x=9时,等号成立.故选C.
6.A
解析根据题意,要使附加税不少于128万元,则30-52R×160×R%≥128,整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8.所以R的取值范围是[4,8].
7.A
解析由题意得,mx2-6x+3m<0,x∈(0,2],即m<6xx2+3,故问题转化为m<6xx2+3在区间(0,2]上有解.设g(x)=6xx2+3,则g(x)=6xx2+3=6x+3x,x∈(0,2],对于x+3x≥23,当且仅当x=3∈(0,2]时取等号,则g(x)max=623=3,故m<3.
8.B
解析因为a,b,c是正实数,所以不等式可化为m≥-a2+b2+c2b(a+c),而a2+b2+c2b(a+c)=a2+b22+b22+c2b(a+c)≥2a2·b22+2b22·c2b(a+c)=2(ab+bc)b(a+c)=2,因此-a2+b2+c2b(a+c)≤-2,当且仅当a2=b22且b22=c2,即b=2a=2c时,等号成立,故-a2+b2+c2b(a+c)的最大值为-2,因此m≥-2,即实数m的取值范围是[-2,+∞),故选B.
9.BC
解析对于A,若c=0,则ac2=bc2,故A错误;对于B,若a>|b|,则a>0,故|a|>|b|,两边平方,可得a2>b2,故B正确;对于C,因为y=x3在R上单调递增,所以若a>b,则a3>b3,故C正确;对于D,若|a|>b,不妨设a=0,b=-2,显然不满足a2>b2,故D错误.故选BC.
10.AC
解析因为m>0,n>0,m+n=2mn,2mn=m+n≥2mn,所以mn≥1,当且仅当m=n=1时,等号成立,故A正确;当m=n=1时,m+n=2mn,则m+n=1+1>2,故B错误;因为mn≥1,所以m2+n2≥2mn≥2,故C正确;当m=n=1时,则2m+n=3<3+22,故D错误.故选AC.
11.CD
解析对于p:-4
12.BCD
解析由alg42+blg162=516可得a2+b8=516,即4a+b=52,故A错误,B正确;因为52=4a+b≥24ab⇒ab≤2564,当且仅当a=516,b=54时,等号成立,所以ab的最大值为2564,故C正确;因为1a+1b=251a+1b(4a+b)=255+ba+4ab≥25(5+24)=185,当且仅当a=512,b=56时,等号成立,所以1a+1b的最小值为185,故D正确.故选BCD.
13.[-2,8]
解析∵正实数x,y满足4x+y-xy=0,
∴xy=4x+y≥24xy=4xy,即xy≥4⇒xy≥16,当且仅当y=4x=8时,等号成立,由xy≥m2-6m恒成立,可得m2-6m≤16,解得-2≤m≤8.
14.23
解析f(x)=9x+31-2x=9x+332x=9x+39x≥29x·39x=23,当且仅当9x=39x,即x=14时取等号,所以函数f(x)的最小值为23.
15.2
解析当a=0时,若不等式bx+c≤0的解集为R,则b=0,c≤0,
要使b2a2+2c2有意义,c<0,则b2a2+2c2=0.
当a≠0时,若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,则a<0,Δ=b2-4ac≤0,即a<0,b2≤4ac,所以b2a2+2c2≤4aca2+2c2.
由b2≤4ac,得ac≥0.
当c=0时,b=0,此时b2a2+2c2=0;
当c<0时,ac>0,令t=ca>0,则b2a2+2c2≤4aca2+2c2=4t1+2t2=42t+1t≤422t·1t=2,
当且仅当b2=4ac,2ca=ac时,等号成立.
综上所述,b2a2+2c2的最大值为2.
16.-∞,-14∪(2,+∞)
解析∵y=-x2+2x+3在(-∞,0]上单调递增,y=x2+4x+3在(0,+∞)上单调递增,-02+2×0+3=02+4×0+3,∴f(x)=-x2+2x+3,x≤0,x2+4x+3,x>0在(-∞,+∞)上单调递增.又不等式f(x+a)>f(2a-x2)在区间[a-1,a+1]上恒成立,∴x+a>2a-x2,即a
17.解(1)解不等式x2-2x-3>0,得A={x|x<-1或x>3},所以(∁RA)={x|-1≤x≤3}.
若a=1,则B={x|0
当B=⌀时,有1-a≥2a+3,即a≤-23;
当B≠⌀时,有1-a<2a+3,2a+3≤-1或1-a<2a+3,1-a≥3,此时两不等式组均无解.
综上,所求实数a的取值范围是-∞,-23.
选②:A∪B=R,因为B={x|1-a
故所求实数a的取值范围是(2,+∞).
选③:A∩B=⌀,因为B={x|1-a
18.解(1)若命题p为真命题,则有Δ=4a2-4(-8-6a)≥0,即a2+6a+8≥0,解得a≤-4或a≥-2;
若当k=0时,命题q为真命题,则12x2-ln x-a≥0,即a≤12x2-ln x在区间[1,2]上恒成立,
令g(x)=12x2-ln x,x∈[1,2],则g'(x)=x-1x=x2-1x≥0,
所以g(x)在区间[1,2]上单调递增,最小值为g(1)=12,故a≤12.
因此当命题p和q都是真命题时,实数a的取值范围是(-∞,-4]∪-2,12.
(2)当命题q为真命题时,12x2-ln x+k-a≥0在[1,2]上恒成立,由(1)可知a≤12+k;
当命题p为假命题时,由(1)可知-4
故实数k的取值范围是-52,+∞.
19.解f(x)=ax2+(a2-3)x-3a=(ax-3)(x+a).
(1)若不等式f(x)<0的解集为{x|x>1或x<-3},则a<0,且-a=1,3a=-3,故a=-1.
(2)不等式f(x)+x+a<0,即ax2+(a2-2)x-2a<0的解集中恰有2个整数,
即不等式(ax-2)(x+a)<0的解集中恰有2个整数.又a为正整数,-a
当a>2时,整数解为-2,-1,0,不符合;
故a=1或a=2.
20.解(1)当x>0时,f(x)=x2+mx=x+mx,
若m≤0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,无最小值,所以m>0,
故f(x)=x+mx≥2m,当且仅当x=m时,等号成立,f(x)取到最小值2m=1,所以m=14.
(2)依题意,f(x)=x+14x,x>0,lg2(-x),x<0,作出函数f(x)的大致图象如下:
方程[f(x)]2-(2k+1)f(x)+k2+k=0,
即[f(x)-k][f(x)-k-1]=0,
故f(x)=k或f(x)=k+1.
方程恰好有4个不相等的实数根,作直线y=k和y=k+1,则两直线与函数有4个交点,结合图象可知k+1>1,k<1,解得0
21.解(1)由题意知,每万件产品的销售价格为1.5×8+16xx万元,
又x=4-2m+1,则2024年的利润y=1.5x×8+16xx-8-16x-m=36-16m+1-m(m≥0).
(2)由(1)知,y=36-16m+1-m=-16m+1+m+1+37.
∵当m≥0时,m+1>0,∴16m+1+(m+1)≥216=8,当且仅当m=3时,等号成立,
∴y≤-8+37=29,当且仅当m=3时,ymax=29.
故该厂家2024年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为29万元.
22.解(1)f(x)=mx2-(m+1)x+1=(mx-1)(x-1).
当0
(2)当m=0时,f(x)=-x+1.
对任意x∈[1,2],f(x)≤f(1)=0<2恒成立.
当m>0时,函数f(x)的图象开口向上,若对任意x∈[1,2],f(x)≤2恒成立,只需f(1)≤2,f(2)≤2,
即m-(m+1)+1≤2,4m-2(m+1)+1≤2,解得m≤32.
故当0
综上可知,实数m的取值范围为-∞,32.
(3)若a,b,c为正实数,则由基本不等式得,a2+45b2≥455ab,15b2+c2≥255bc,
两式相加得a2+b2+c2≥255(2ab+bc),
变形得2ab+bca2+b2+c2≤52,
当且仅当a2=45b2且c2=15b2,即a=2c=255b时,等号成立.
所以f(2)=52,即2m-1=52,m=2+54.
相关试卷
2025届高考数学一轮总复习单元质检卷一集合常用逻辑用语与不等式： 这是一份2025届高考数学一轮总复习单元质检卷一集合常用逻辑用语与不等式，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025届高考数学一轮复习专项练习单元质检卷一集合常用逻辑用语与不等式： 这是一份2025届高考数学一轮复习专项练习单元质检卷一集合常用逻辑用语与不等式，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
广西专用高考数学一轮复习单元质检一集合常用逻辑用语及不等式含解析新人教A版文.： 这是一份广西专用高考数学一轮复习单元质检一集合常用逻辑用语及不等式含解析新人教A版文.，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
