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新教材(广西专版)高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第二节空间点、直线、平面之间的位置关系课件
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这是一份新教材(广西专版)高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第二节空间点、直线、平面之间的位置关系课件，共45页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，不在一条直线，两个点，有且只有一条，这条直线外一点，提示平行或相交，两边分别对应平行，答案B等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1.平面的基本事实
2.三个推论推论1:经过一条直线与 ,有且只有一个平面; 推论2:经过两条 直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条 直线,有且只有一个平面.
微点拨基本事实1及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法;基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内;基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据;基本事实4是对初中平行线的传递性在空间中的推广.
微思考“有且只有一个平面”“确定一个平面”“共面”三者之间有何区别与联系?
提示 “确定一个平面”与“有且只有一个平面”是等价的,都包括“存在”和“唯一”两个方面.但“共面”的意思是“在同一个平面内”,只强调了“存在性”,不含“唯一性”.所以“共面”与前两者是不同的.
3.空间点、直线、平面之间的位置关系
异面直线既不平行,又不相交
微点拨1.判定直线与平面的位置关系时一定不要忽视“直线在平面内”.2.不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.3.异面直线不具有传递性.
微思考平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等,则直线与平面的位置关系如何?
4.等角定理如果空间中两个角的 ,那么这两个角相等或互补.
常用结论1.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.2.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )(2)两两平行的三条直线可以确定三个平面.( )(3)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )(4)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
2.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,b与平面α的位置关系是( )A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.b∥α或b与α相交
答案 D 解析 因为a,b是两条相交直线,所以a,b确定一个平面β,若β∥α,则b∥α,若β与α相交,则b与α相交,故选D.
3.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形; (2)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为正方形.
答案 (1)AC=BD (2)AC=BD且AC⊥BD
典例突破例1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明(1)如图,连接EF,CD1,A1B.∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥A1B.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面.(2)∵EF∥CD1,EF
对点训练1(1)(多选)(2023湖北龙泉中学模考)已知α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若α∩β=l,点A∈α且点A∈β,则A∈lB.若A,B,C是平面α内不共线三点,A∈β,B∈β,则C∉βC.若点A∈α且点B∈α,则直线AB⊂αD.若直线a⊂α,直线b⊂β,则a与b为异面直线
(2)(多选)已知P,Q,R,S分别是正方体或四面体所在棱的中点,则这四个点共面的是( )
答案 (1) ABC (2)ABC
解析(1)∵A∈α且A∈β,∴A是平面α和平面β的公共点,又α∩β=l,可得A∈l,故A正确;过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面,又A∈β,B∈β,且A,B,C∈α,则C∉β,故B正确;如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内,故C正确;∵平面α,β位置不确定,∴直线a,b的位置关系不确定,故D错误.故选ABC.(2)对于A,PS∥QR,所以四点共面;对于B,PS∥QR,所以四点共面;对于C,PQ∥SR,所以四点共面;对于D,PQ与SR为异面直线,故四点不共面.故选ABC.
典例突破例2.(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列说法正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交
(2)(多选)已知G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有( )
(3)(多选)(2023江苏金陵中学三模)已知m,n,l为空间中三条不同的直线,α,β,γ,δ为空间中四个不同的平面,则下列说法中正确的有( )A.若m⊥l,n⊥l,则m∥nB.已知α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,若l∩m=P,则P∈nC.若m⊥α,m⊥β,α∥γ,则β∥γD.若α⊥β,γ⊥α,δ⊥β,则γ⊥δ
答案 (1)D (2)BD (3)BC
解析 (1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.(2)A中,直线GH∥MN;B中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;C中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;D中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.故选BD.
(3)若m⊥l,n⊥l,则m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误.∵α∩β=l,β∩γ=m,l∩m=P,∴P∈α,P∈γ.∵γ∩α=n,∴P∈n,故B正确.若m⊥α,m⊥β,则α∥β,又α∥γ,则β∥γ,故C正确.
正方体中,设平面α为平面ABCD,平面β为平面BCC1B1,平面γ为平面ABB1A1,平面δ为平面CDD1C1,则α⊥β,α⊥γ,δ⊥β,但γ∥δ,故D错误,故选BC.
方法总结空间两直线位置关系的判定方法
对点训练2如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
解析 如图,连接BD,BE.在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,∴BM,EN是相交直线,排除选项C,D.作EO⊥CD于点O,连接ON.作MF⊥OD于点F,连接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO⊂平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB与△EON均为直角三角形.
例3.(1)(多选)(2023云南玉溪一模)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, M为底面ABCD的中心, ,λ∈(0,1),N为线段AQ的中点,则( )A.CN与QM共面B.三棱锥A-DMN的体积跟λ的取值无关
(2)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心, 为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 .
解析 (1)连接AC,CQ,在△ACQ中,∵M为底面ABCD的中心,四边形ABCD为正方形,∴M为AC的中点,且N为AQ的中点,∴MN∥CQ,∴CN与QM共面,A正确;
(2)如图所示,∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1,∴△B1C1D1为等边三角形.∴B1D1=2.
对点训练3(1)(多选)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,用一个平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,则下列结论正确的是( )A.这两部分的表面积也相等B.截面可以是三角形C.截面可以是五边形D.截面可以是正六边形
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为3,E为棱BB1上靠近B1的三等分点,则平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为( )
解析 (1)因为用平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,所以平面α一定过正方体的中心,所以这两部分的表面积也相等.根据对称性可知,截面不会是三角形、五边形,但可以是正六边形,如图.故选AD.
答案 (1)AD (2)C
知识梳理1.平面的基本事实
2.三个推论推论1:经过一条直线与 ,有且只有一个平面; 推论2:经过两条 直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条 直线,有且只有一个平面.
微点拨基本事实1及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法;基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内;基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据;基本事实4是对初中平行线的传递性在空间中的推广.
微思考“有且只有一个平面”“确定一个平面”“共面”三者之间有何区别与联系?
提示 “确定一个平面”与“有且只有一个平面”是等价的,都包括“存在”和“唯一”两个方面.但“共面”的意思是“在同一个平面内”,只强调了“存在性”,不含“唯一性”.所以“共面”与前两者是不同的.
3.空间点、直线、平面之间的位置关系
异面直线既不平行,又不相交
微点拨1.判定直线与平面的位置关系时一定不要忽视“直线在平面内”.2.不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.3.异面直线不具有传递性.
微思考平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等,则直线与平面的位置关系如何?
4.等角定理如果空间中两个角的 ,那么这两个角相等或互补.
常用结论1.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.2.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )(2)两两平行的三条直线可以确定三个平面.( )(3)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )(4)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
2.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,b与平面α的位置关系是( )A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.b∥α或b与α相交
答案 D 解析 因为a,b是两条相交直线,所以a,b确定一个平面β,若β∥α,则b∥α,若β与α相交,则b与α相交,故选D.
3.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形; (2)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为正方形.
答案 (1)AC=BD (2)AC=BD且AC⊥BD
典例突破例1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明(1)如图,连接EF,CD1,A1B.∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥A1B.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面.(2)∵EF∥CD1,EF
对点训练1(1)(多选)(2023湖北龙泉中学模考)已知α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若α∩β=l,点A∈α且点A∈β,则A∈lB.若A,B,C是平面α内不共线三点,A∈β,B∈β,则C∉βC.若点A∈α且点B∈α,则直线AB⊂αD.若直线a⊂α,直线b⊂β,则a与b为异面直线
(2)(多选)已知P,Q,R,S分别是正方体或四面体所在棱的中点,则这四个点共面的是( )
答案 (1) ABC (2)ABC
解析(1)∵A∈α且A∈β,∴A是平面α和平面β的公共点,又α∩β=l,可得A∈l,故A正确;过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面,又A∈β,B∈β,且A,B,C∈α,则C∉β,故B正确;如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内,故C正确;∵平面α,β位置不确定,∴直线a,b的位置关系不确定,故D错误.故选ABC.(2)对于A,PS∥QR,所以四点共面;对于B,PS∥QR,所以四点共面;对于C,PQ∥SR,所以四点共面;对于D,PQ与SR为异面直线,故四点不共面.故选ABC.
典例突破例2.(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列说法正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交
(2)(多选)已知G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有( )
(3)(多选)(2023江苏金陵中学三模)已知m,n,l为空间中三条不同的直线,α,β,γ,δ为空间中四个不同的平面,则下列说法中正确的有( )A.若m⊥l,n⊥l,则m∥nB.已知α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,若l∩m=P,则P∈nC.若m⊥α,m⊥β,α∥γ,则β∥γD.若α⊥β,γ⊥α,δ⊥β,则γ⊥δ
答案 (1)D (2)BD (3)BC
解析 (1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.(2)A中,直线GH∥MN;B中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;C中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;D中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.故选BD.
(3)若m⊥l,n⊥l,则m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误.∵α∩β=l,β∩γ=m,l∩m=P,∴P∈α,P∈γ.∵γ∩α=n,∴P∈n,故B正确.若m⊥α,m⊥β,则α∥β,又α∥γ,则β∥γ,故C正确.
正方体中,设平面α为平面ABCD,平面β为平面BCC1B1,平面γ为平面ABB1A1,平面δ为平面CDD1C1,则α⊥β,α⊥γ,δ⊥β,但γ∥δ,故D错误,故选BC.
方法总结空间两直线位置关系的判定方法
对点训练2如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
解析 如图,连接BD,BE.在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,∴BM,EN是相交直线,排除选项C,D.作EO⊥CD于点O,连接ON.作MF⊥OD于点F,连接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO⊂平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB与△EON均为直角三角形.
例3.(1)(多选)(2023云南玉溪一模)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, M为底面ABCD的中心, ,λ∈(0,1),N为线段AQ的中点,则( )A.CN与QM共面B.三棱锥A-DMN的体积跟λ的取值无关
(2)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心, 为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 .
解析 (1)连接AC,CQ,在△ACQ中,∵M为底面ABCD的中心,四边形ABCD为正方形,∴M为AC的中点,且N为AQ的中点,∴MN∥CQ,∴CN与QM共面,A正确;
(2)如图所示,∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1,∴△B1C1D1为等边三角形.∴B1D1=2.
对点训练3(1)(多选)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,用一个平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,则下列结论正确的是( )A.这两部分的表面积也相等B.截面可以是三角形C.截面可以是五边形D.截面可以是正六边形
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为3,E为棱BB1上靠近B1的三等分点,则平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为( )
解析 (1)因为用平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,所以平面α一定过正方体的中心,所以这两部分的表面积也相等.根据对称性可知,截面不会是三角形、五边形,但可以是正六边形,如图.故选AD.
答案 (1)AD (2)C
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