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2025届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量第二节空间点直线平面之间的位置关系课件
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这是一份2025届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量第二节空间点直线平面之间的位置关系课件，共44页。PPT课件主要包含了强基础增分策略，不在一条直线，两个点，有且只有一条，这条直线外一点，提示平行或相交，两边分别对应平行，增素能精准突破，答案B，典例突破等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1.平面的基本事实
2.三个推论推论1:经过一条直线与 ,有且只有一个平面; 推论2:经过两条 直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条 直线,有且只有一个平面.
微点拨基本事实1及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法;基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内;基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据;基本事实4是对初中平行线的传递性在空间中的推广.
微思考“有且只有一个平面”“确定一个平面”“共面”三者之间有何区别与联系?
提示 “确定一个平面”与“有且只有一个平面”是等价的,都包括“存在”和“唯一”两个方面.但“共面”的意思是“在同一个平面内”,只强调了“存在性”,不含“唯一性”.所以“共面”与前两者是不同的.
3.空间点、直线、平面之间的位置关系
异面直线既不平行,又不相交
微点拨1.判定直线与平面的位置关系时一定不要忽视“直线在平面内”.2.不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.3.异面直线不具有传递性.
微思考平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等,则直线与平面的位置关系如何?
4.等角定理如果空间中两个角的 ,那么这两个角相等或互补.
常用结论1.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.2.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )(2)两两平行的三条直线可以确定三个平面.( )(3)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )(4)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
2.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,b与平面α的位置关系是( )A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.b∥α或b与α相交
答案 D 解析 因为a,b是两条相交直线,所以a,b确定一个平面β,若β∥α,则b∥α,若β与α相交,则b与α相交,故选D.
3.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形; (2)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为正方形.
答案 (1)AC=BD (2)AC=BD且AC⊥BD
典例突破例1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明(1)如图,连接EF,CD1,A1B.∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥A1B.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面.(2)∵EF∥CD1,EF
对点训练1(1)(多选)(2023湖北龙泉中学模考)已知α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若α∩β=l,点A∈α且点A∈β,则A∈lB.若A,B,C是平面α内不共线三点,A∈β,B∈β,则C∉βC.若点A∈α且点B∈α,则直线AB⊂αD.若直线a⊂α,直线b⊂β,则a与b为异面直线
(2)(多选)已知P,Q,R,S分别是正方体或四面体所在棱的中点,则这四个点共面的是( )
答案 (1) ABC (2)ABC
解析(1)∵A∈α且A∈β,∴A是平面α和平面β的公共点,又α∩β=l,可得A∈l,故A正确;过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面,又A∈β,B∈β,且A,B,C∈α,则C∉β,故B正确;如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内,故C正确;∵平面α,β位置不确定,∴直线a,b的位置关系不确定,故D错误.故选ABC.(2)对于A,PS∥QR,所以四点共面;对于B,PS∥QR,所以四点共面;对于C,PQ∥SR,所以四点共面;对于D,PQ与SR为异面直线,故四点不共面.故选ABC.
典例突破例2.(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列说法正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交
(2)(多选)已知G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有( )
(3)(多选)(2023江苏金陵中学三模)已知m,n,l为空间中三条不同的直线,α,β,γ,δ为空间中四个不同的平面,则下列说法中正确的有( )A.若m⊥l,n⊥l,则m∥nB.已知α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,若l∩m=P,则P∈nC.若m⊥α,m⊥β,α∥γ,则β∥γD.若α⊥β,γ⊥α,δ⊥β,则γ⊥δ
答案 (1)D (2)BD (3)BC
解析 (1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.(2)A中,直线GH∥MN;B中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;C中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;D中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.故选BD.
(3)若m⊥l,n⊥l,则m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误.∵α∩β=l,β∩γ=m,l∩m=P,∴P∈α,P∈γ.∵γ∩α=n,∴P∈n,故B正确.若m⊥α,m⊥β,则α∥β,又α∥γ,则β∥γ,故C正确.
正方体中,设平面α为平面ABCD,平面β为平面BCC1B1,平面γ为平面ABB1A1,平面δ为平面CDD1C1,则α⊥β,α⊥γ,δ⊥β,但γ∥δ,故D错误,故选BC.
方法总结空间两直线位置关系的判定方法
对点训练2如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
解析 如图,连接BD,BE.在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,∴BM,EN是相交直线,排除选项C,D.作EO⊥CD于点O,连接ON.作MF⊥OD于点F,连接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO⊂平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB与△EON均为直角三角形.
例3.(1)(多选)(2023云南玉溪一模)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, M为底面ABCD的中心, ,λ∈(0,1),N为线段AQ的中点,则( )A.CN与QM共面B.三棱锥A-DMN的体积跟λ的取值无关
(2)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心, 为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 .
解析 (1)连接AC,CQ,在△ACQ中,∵M为底面ABCD的中心,四边形ABCD为正方形,∴M为AC的中点,且N为AQ的中点,∴MN∥CQ,∴CN与QM共面,A正确;
(2)如图所示,∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1,∴△B1C1D1为等边三角形.∴B1D1=2.
对点训练3(1)(多选)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,用一个平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,则下列结论正确的是( )A.这两部分的表面积也相等B.截面可以是三角形C.截面可以是五边形D.截面可以是正六边形
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为3,E为棱BB1上靠近B1的三等分点,则平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为( )
解析 (1)因为用平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,所以平面α一定过正方体的中心,所以这两部分的表面积也相等.根据对称性可知,截面不会是三角形、五边形,但可以是正六边形,如图.故选AD.
答案 (1)AD (2)C
知识梳理1.平面的基本事实
2.三个推论推论1:经过一条直线与 ,有且只有一个平面; 推论2:经过两条 直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条 直线,有且只有一个平面.
微点拨基本事实1及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法;基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内;基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据;基本事实4是对初中平行线的传递性在空间中的推广.
微思考“有且只有一个平面”“确定一个平面”“共面”三者之间有何区别与联系?
提示 “确定一个平面”与“有且只有一个平面”是等价的,都包括“存在”和“唯一”两个方面.但“共面”的意思是“在同一个平面内”,只强调了“存在性”,不含“唯一性”.所以“共面”与前两者是不同的.
3.空间点、直线、平面之间的位置关系
异面直线既不平行,又不相交
微点拨1.判定直线与平面的位置关系时一定不要忽视“直线在平面内”.2.不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.3.异面直线不具有传递性.
微思考平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等,则直线与平面的位置关系如何?
4.等角定理如果空间中两个角的 ,那么这两个角相等或互补.
常用结论1.异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.2.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )(2)两两平行的三条直线可以确定三个平面.( )(3)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( )(4)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( )
2.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,b与平面α的位置关系是( )A.b∥αB.b与α相交C.b⊂αD.b∥α或b与α相交
答案 D 解析 因为a,b是两条相交直线,所以a,b确定一个平面β,若β∥α,则b∥α,若β与α相交,则b与α相交,故选D.
3.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形; (2)当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为正方形.
答案 (1)AC=BD (2)AC=BD且AC⊥BD
典例突破例1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.
证明(1)如图,连接EF,CD1,A1B.∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥A1B.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四点共面.(2)∵EF∥CD1,EF
对点训练1(1)(多选)(2023湖北龙泉中学模考)已知α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若α∩β=l,点A∈α且点A∈β,则A∈lB.若A,B,C是平面α内不共线三点,A∈β,B∈β,则C∉βC.若点A∈α且点B∈α,则直线AB⊂αD.若直线a⊂α,直线b⊂β,则a与b为异面直线
(2)(多选)已知P,Q,R,S分别是正方体或四面体所在棱的中点,则这四个点共面的是( )
答案 (1) ABC (2)ABC
解析(1)∵A∈α且A∈β,∴A是平面α和平面β的公共点,又α∩β=l,可得A∈l,故A正确;过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面,又A∈β,B∈β,且A,B,C∈α,则C∉β,故B正确;如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内,故C正确;∵平面α,β位置不确定,∴直线a,b的位置关系不确定,故D错误.故选ABC.(2)对于A,PS∥QR,所以四点共面;对于B,PS∥QR,所以四点共面;对于C,PQ∥SR,所以四点共面;对于D,PQ与SR为异面直线,故四点不共面.故选ABC.
典例突破例2.(1)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列说法正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交
(2)(多选)已知G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有( )
(3)(多选)(2023江苏金陵中学三模)已知m,n,l为空间中三条不同的直线,α,β,γ,δ为空间中四个不同的平面,则下列说法中正确的有( )A.若m⊥l,n⊥l,则m∥nB.已知α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,若l∩m=P,则P∈nC.若m⊥α,m⊥β,α∥γ,则β∥γD.若α⊥β,γ⊥α,δ⊥β,则γ⊥δ
答案 (1)D (2)BD (3)BC
解析 (1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中至少有一条与l相交.(2)A中,直线GH∥MN;B中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;C中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;D中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面.故选BD.
(3)若m⊥l,n⊥l,则m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误.∵α∩β=l,β∩γ=m,l∩m=P,∴P∈α,P∈γ.∵γ∩α=n,∴P∈n,故B正确.若m⊥α,m⊥β,则α∥β,又α∥γ,则β∥γ,故C正确.
正方体中,设平面α为平面ABCD,平面β为平面BCC1B1,平面γ为平面ABB1A1,平面δ为平面CDD1C1,则α⊥β,α⊥γ,δ⊥β,但γ∥δ,故D错误,故选BC.
方法总结空间两直线位置关系的判定方法
对点训练2如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
解析 如图,连接BD,BE.在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,∴BM,EN是相交直线,排除选项C,D.作EO⊥CD于点O,连接ON.作MF⊥OD于点F,连接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO⊂平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB与△EON均为直角三角形.
例3.(1)(多选)(2023云南玉溪一模)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, M为底面ABCD的中心, ,λ∈(0,1),N为线段AQ的中点,则( )A.CN与QM共面B.三棱锥A-DMN的体积跟λ的取值无关
(2)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心, 为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 .
解析 (1)连接AC,CQ,在△ACQ中,∵M为底面ABCD的中心,四边形ABCD为正方形,∴M为AC的中点,且N为AQ的中点,∴MN∥CQ,∴CN与QM共面,A正确;
(2)如图所示,∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1,∴△B1C1D1为等边三角形.∴B1D1=2.
对点训练3(1)(多选)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,用一个平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,则下列结论正确的是( )A.这两部分的表面积也相等B.截面可以是三角形C.截面可以是五边形D.截面可以是正六边形
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为3,E为棱BB1上靠近B1的三等分点,则平面AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为( )
解析 (1)因为用平面α截这个正方体,把该正方体分为体积相等的两部分,所以平面α一定过正方体的中心,所以这两部分的表面积也相等.根据对称性可知,截面不会是三角形、五边形,但可以是正六边形,如图.故选AD.
答案 (1)AD (2)C
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