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新教材(广西专版)高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第五节空间向量及其运算课件
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这是一份新教材(广西专版)高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第五节空间向量及其运算课件，共48页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，平行或重合，∠AOB，答案BCD，答案B，典例突破，答案A，答案1B等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1.空间向量的有关概念
抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向
微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.
微思考“空间中任何两个向量都是共面向量”,这个结论是否正确?
提示 正确.根据向量相等的定义,可以把向量进行平移,空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为共面向量.
2.空间向量中的有关定理
微点拨1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题.
微思考基向量和基底一样吗?0是否能作为基向量?
提示 不一样.基底是指一个向量组,基向量是基底中的某一个向量;因为0与其他两个非零向量共面,所以0不能作为基向量.
3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角①已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b,则 叫做向量a,b的夹角,记作.
(1)两个向量有相同的起点;(2)向量的方向
②范围:0≤≤π.(2)两个非零向量a,b的数量积:a·b= .
|a||b|cs
微点拨向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c成立,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
4.空间向量的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决
a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
常用结论1.证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:
2.证明空间四点共面的方法对空间四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明共面:
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.( ) (2)空间中任意两非零向量a,b共面.( )(3)对于空间非零向量a,b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角.( )(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.( )
2.(多选)已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),下列结论正确的是( )A.(2a+b)∥a
3.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是( )A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直
名师点析空间向量线性运算中的三个关键点
例2.(1)(2023新疆和田一模)已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且2b∥(a-b),则 ( )
解析由a=(1,2,-y),b=(x,1,2),得2b=(2x,2,4),a-b=(1-x,1,-y-2),∵2b∥(a-b),∴令2b=λ(a-b),
名师点析向量共线的判定与向量法证明四点共面的关键
对点训练2(1)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ).若向量a,b,c共面,则实数λ等于( )
(2)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n= .
答案 (1)D (2)-3
解析 (1)因为向量a,b,c共面,所以由共面的向量基本定理,存在唯一实
考向1.求空间向量的数量积典例突破
例3. (多选)如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于-a2的是( )
方法总结空间向量的数量运算的两条途径
考向2.利用数量积求长度与夹角典例突破
(2)已知空间向量a=(1,-λ,λ-1),b=(-λ,1-λ,λ-1)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是 .
例4.(1)(2023浙江温州三模)四面体OABC满足∠AOB=∠BOC= ∠COA=90°,OA=1,OB=2,OC=3,点D在棱OC上,且OC=3OD,点G为△ABC的重心,则点G到直线AD的距离为( )
解析(1)由题意知OA,OB,OC两两垂直,以O为原点,直线OA,OB,OC分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
方法总结利用数量积求长度与夹角的一般方法
(2)(2023广东佛山模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是a,且AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=60°,E为CC1的中点,则点E到直线AC1的距离为( )
答案 (1)C (2)A
考向3.解决垂直问题典例突破例5.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是( )
解析 依题意得,(ka+b)·(2a-b)=0,即2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,∴4k+k-2-5=0,解得k= .故选D.
名师点析将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
对点训练5在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,BC=t,若在线段AB上存在点E,使得EC1⊥ED,则实数t的取值范围是 .
解析如图,以D为原点,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设E(t,m,0)(0≤m≤2),C1(0,2,n),
知识梳理1.空间向量的有关概念
抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向
微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.
微思考“空间中任何两个向量都是共面向量”,这个结论是否正确?
提示 正确.根据向量相等的定义,可以把向量进行平移,空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为共面向量.
2.空间向量中的有关定理
微点拨1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题.
微思考基向量和基底一样吗?0是否能作为基向量?
提示 不一样.基底是指一个向量组,基向量是基底中的某一个向量;因为0与其他两个非零向量共面,所以0不能作为基向量.
3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角①已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b,则 叫做向量a,b的夹角,记作
(1)两个向量有相同的起点;(2)向量的方向
②范围:0≤
|a||b|cs
微点拨向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c成立,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
4.空间向量的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决
a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
常用结论1.证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:
2.证明空间四点共面的方法对空间四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明共面:
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.( ) (2)空间中任意两非零向量a,b共面.( )(3)对于空间非零向量a,b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角.( )(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.( )
2.(多选)已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),下列结论正确的是( )A.(2a+b)∥a
3.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是( )A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直
名师点析空间向量线性运算中的三个关键点
例2.(1)(2023新疆和田一模)已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且2b∥(a-b),则 ( )
解析由a=(1,2,-y),b=(x,1,2),得2b=(2x,2,4),a-b=(1-x,1,-y-2),∵2b∥(a-b),∴令2b=λ(a-b),
名师点析向量共线的判定与向量法证明四点共面的关键
对点训练2(1)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ).若向量a,b,c共面,则实数λ等于( )
(2)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n= .
答案 (1)D (2)-3
解析 (1)因为向量a,b,c共面,所以由共面的向量基本定理,存在唯一实
考向1.求空间向量的数量积典例突破
例3. (多选)如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于-a2的是( )
方法总结空间向量的数量运算的两条途径
考向2.利用数量积求长度与夹角典例突破
(2)已知空间向量a=(1,-λ,λ-1),b=(-λ,1-λ,λ-1)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是 .
例4.(1)(2023浙江温州三模)四面体OABC满足∠AOB=∠BOC= ∠COA=90°,OA=1,OB=2,OC=3,点D在棱OC上,且OC=3OD,点G为△ABC的重心,则点G到直线AD的距离为( )
解析(1)由题意知OA,OB,OC两两垂直,以O为原点,直线OA,OB,OC分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
方法总结利用数量积求长度与夹角的一般方法
(2)(2023广东佛山模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是a,且AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=60°,E为CC1的中点,则点E到直线AC1的距离为( )
答案 (1)C (2)A
考向3.解决垂直问题典例突破例5.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是( )
解析 依题意得,(ka+b)·(2a-b)=0,即2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,∴4k+k-2-5=0,解得k= .故选D.
名师点析将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.
对点训练5在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=2,BC=t,若在线段AB上存在点E,使得EC1⊥ED,则实数t的取值范围是 .
解析如图,以D为原点,以直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设E(t,m,0)(0≤m≤2),C1(0,2,n),
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