河北省石家庄市辛集市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷(含答案)

这是一份河北省石家庄市辛集市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在复数范围内,有下列命题:①的平方根只有i;
②i是1的平方根;
③若复数是某一元二次方程的根,则一定是方程的另一个根;
④若z为纯虚数i,则z的平方根为虚数.上述命题中真命题的个数为( )
A.3B.2C.0D.1
2．下列命题中成立的是( )
A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
B.有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C.一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形,那它一定是正棱锥
D.各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
3．在所有的两位数中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是( )
A.B.C.D.
4．从3,4,5,6四个数中任取三个数作为三角形的三边长,则构成的三角形是锐角三角形的概率是( )
A.B.C.D.
5．已知按从小到大顺序排列的两组数据:甲组:27,30,37,m,40,50:乙组:24,n,33,44,48,52,若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等,则等于( )
A.B.C.D.
6．某地区为了解最近11天该地区的空气质量,调查了该地区过去11天PM2.5的浓度(单位:),数据依次为53,56,69,70,72,79,65,80,45,41,.已知这组数据的极差为40,则这组数据的第m百分位数为( )
A.71B.75.5C.79D.72
7．在中，AD为BC上的中线，G为AD的中点，M，N分别为线段AB，AC上的动点（不包括端点A，B，C），且M，N，G三点共线，若，，则的最小值为( )
A.B.C.2D.
8．在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,则下列命题中正确的是( )
A.若,则
B.若是边长为1的正三角形,则
C.若,,,则有一解
D.若,则是钝角三角形
10．设有两条不同的直线m,n和两个不同的平面,,下列命题中错误的命题是( )
A.若,,则
B.若,,,,则
C.若,,则
D.若,,则
11．若,其中i为虚数单位,则( )
A.B.
C.z的共轭复数为D.z的实部为1
12．甲､乙两盒中皆装有若干个不同色的小球,从甲盒中摸出一个红球的概率是,从乙盒中摸出一个红球的概率是,现小明从两盒各摸出一个球,每摸出一个红球得3分,摸出其他颜色小球得0分,下列说法中正确的是( )
A.小明得6分的概率为B.小明得分低于6分的概率为
C.小明得分不少于3分的概率为D.小明恰好得3分的概率为
三、填空题
13．已知,,,若点A,B,C在同一条直线上,且,则___________.
14．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如,在不超过11的素数中,随机选取两个不同的数,其和为偶数的概率是________(用分数表示).
15．在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件发生的概率为__________.
16．在中,已知,,,则________.
四、解答题
17．已知,是两个单位向量,且与的夹角为.
（1）求;
（2）求与的夹角的余弦值.
18．已知复数是虚数单位.
（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限,求实数的取值范围;
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根,求实数值.
19．在中,AB=3,AC=1,∠A=60°.
（1）求sin∠ACB;
（2）若D为BC的中点,求AD的长度.
20．如图,四棱锥中,平面ABCD,,,.过点C作直线AB的平行线交AD于F,G为线段PD上一点.
（1）求证:平面平面CFG;
（2）求平面PBC与平面PDC所成二面角的余弦值.
21．甲,乙两人进行围棋比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜;若第四周结束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲胜的概率为,负的概率为,且每局比赛之间的胜负相互独立.
（1）求第三局结束时乙获胜的概率;
（2）求甲获胜的概率.
22．我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(单位:吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费,为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中a的值;
（2）设该市有50万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
（3）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),求x的值,并说明理由.(结果保留到小数点后三位)
参考答案
1．答案：D
解析：对于①,的平方根有两个,分别为i和,故①错误;
对于②,1的平方根是和1,故②错误;
对于③,令,,则是方程的一个根,但方程的另一个根是,并非,
实际上,只有实系数方程的虚根才是共轭复数,故③错误;
对于④,设的平方根为,则,即,
故,解得或,
所以的平方根为或,显然z的平方根是虚数,故④正确;
综上:①②③错误,④正确,故真命题的个数为.
故选:D.
2．答案：B
解析：对A,只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起,
所得多面体的每个面都是三角形,但这个多面体不是棱锥,如图,故A错误;
对B,若棱柱有两个相邻侧面是矩形,则侧棱与底面两条相交的边垂直,
则侧棱与底面垂直,此时棱柱一定是直棱柱,故B正确;
对于C,如图所示,若,,
满足侧面均为全等的等腰三角形,但此时底面BCD不是正三角形,故C错误;
对D,各个侧面都是矩形的棱柱不一定是长方体,
比如底面为三角形的直三棱柱,故D错误.
故选:B.
3．答案：B
解析：因为所有的两位数共有90个,
其中被2整除的有10,12,14,…,98,共计45个;
被3整除的有12,15,18,…,99,共计30个;
被6整除的有12,18,24,…,96,共计15个;
故能被2或3整除的数有个,
所以任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率为.
故选:B.
4．答案：A
解析：从3,4,5,6四个数中任取三个数,
共有,,,四种情况
由,可得构成直角三角形;
由,可得构成钝角三角形;
由,可得构成钝角三角形;
由,可得构成锐角三角形
则构成的三角形是锐角三角形的概率是
故选:A
5．答案：A
解析：因为,
甲组:第30百分位数为,第50百分位数为,
乙组:第30百分位数为,第50百分位数为,
由已知得:,,解得,
所以
故选:A
6．答案：C
解析：由题意得,数据的极差为40,因为数据中最小值为41,
故m应为最大值,为81,
则,
将数据53,56,69,70,72,79,65,80,45,41,81,
从小大大排列为:41,45,53,56,65,69,70,72,79,80,81,
故这组数据的第m百分位数为79,
故选:C
7．答案：D
解析：由题意
设，，
则
所以，，得
，
所以
当且仅当，即，时等号成立，
的最小值为.
故选:D.
8．答案：A
解析：由,则,
所以,
则,
所以或(舍),故,
综上,,且
所以,
,
由锐角△,则,可得,则,
所以,故.
故选:A
9．答案：AD
解析：选项A:由,由正弦定理可得,则.判断正确;
选项B:是边长为1的正三角形,
则.判断错误;
选项C:由,,,可得,则,
又,则或.则有二解.判断错误;
选项D:由,
可得,,
则,则,
又,则.则是钝角三角形.判断正确.
故选:AD
10．答案：ABC
解析：对于A,若,,则m,n可能平行,异面或相交,A错误;
对于B,若,,,,m,n不一定为相交直线,
只有当m,n为相交直线时,才可得到,故B错误;
对于C,当,时,可能是,推不出一定是,C错误;
对于D,若,,根据面面平行的性质可知,D正确,
故选:ABC
11．答案：BD
解析：因,
所以,
A选项:,故A错误;
B选项:,故B正确;
C选项:z的共轭复数为,故C错误;
D选项:,实部为1,故D正确.
故选:BD.
12．答案：BD
解析：设“从甲盒中摸出一个红球”为事件,“从乙盒中模出一个红球”为事件,
则,,且,独立.
在A中,小明得6分的概率为,A错误;
在B中,小明得分低于6分的概率为,B正确;
在中,小明得分不少于3分的概率为,C错误;
在D中,小明恰好得3分的概率为,D正确.
故选:BD
13．答案：9或
解析：由题意可得,
.
因为A,B,C三点共线,所以与共线,,①
又②,解①②组成的方程组,得或,
因此,或,故答案为:9或.
14．答案：/
解析：因为不超过11的素数有2,3,5,7,11五个数,
从中选取两个不同的数的基本事件有,,,,,,,,,共10件;
其中和为偶数的基本事件有,,,,,共6件;
所以和为偶数的概率为.
故答案为:.
15．答案：
解析：随机抛掷一枚骰子共有6种不同的结果，其中事件A“不大于4的偶数点出现”包括出现2，4两种结果，，事件B“小于5的点数出现”的对立事件为，，，且事件A和事件是互斥件，.故答案为.
16．答案：4
解析：在中,,,,
由余弦定理得,即,解得或(舍),
所以.
故答案为:4.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意可得,
所以.
（2）设与的夹角为,
因为,
所以
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知得到,因为在复平面上对应点落在第一象限,所以,
解得,所以
（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根,所以是方程的另一个根,所以,所以,
所以,,
所以,所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为在中,,,.
所以由余弦定理可得
,
所以由正弦定理,可得sin∠ACB=.
（2）因为D为BC的中点,所以CD=BC=.
又因为,
所以在中,由余弦定理可得
.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为平面ABCD,平面ABCD,所以,
因为,所以,
因为PAAD=A,PA,平面PAD,所以平面PAD,
因为,所以CF⊥平面PAD,
因为平面CFG,所以平面平面PAD;
（2）连结AC,过点B作于点E,连接DE,
如图,
平面ABCD,AD,AC平面ABCD,所以,,
因为,,,
由勾股定理得:,则,
同理可得,,
故,所以三角形ACD为等边三角形,,
故,,,
在中,由余弦定理得:,
则,,
在中,由余弦定理得:,
在中,,
因为,所以,
所以为平面PBC与平面PDC所成二面角的平面角,
由余弦定理得:.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）设事件A为“第三局结束乙获胜”
由题意知,乙每局获胜的概率为,不获胜的概率为.
若第三局结束乙获胜,则乙第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).
故
（2）设事件B为“甲获胜”.
若第二局结束甲获胜,则甲两局连胜,此时的概率.
若第三局结束甲获胜,则甲第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜).
此时的概率.
若第四局结束甲以积分获胜,则甲第四局必定获胜,前三局为1胜2平或1胜1平1负,总共有9种情
况:(胜,平,平,胜),(平,胜,平,胜),(平,平,胜,胜),(胜,平,负,胜),(胜,负,平,胜),(平,胜,负,胜),(负,胜,平,胜),(平,负,胜,胜),(负,平,胜,胜).
此时的概率
若第四局结束甲以积分获胜,则乙的积分为0分,总共有4种情况:(胜,平,平,平),(平,胜,平,平),(平,平,胜,平),(平,平,平,胜).
此时的概率
故
22．答案：（1）
（2）60000,理由见解析
（3）2.733
解析：（1）由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为,
同理,在,,,,,中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02,
由,解得.
（2）由（1）,100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为.
根据样本估计总体,由以上样本的频率分布,可以估计全市50万居民中月均用水量不低于3吨的人数为人.
所以,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为60000人.
（3）因为前6组的频率之和为,
而前5组的频率之和为,
所以.
由,解得.
所以,估计月用水量标准为2.733吨时,80%的居民每月的用水量不超过标准.