保定市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份保定市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若是第一象限角,则下列结论一定成立的是( )
A.B.C.D.
2．定义在R上的函数满足,当时,,则( )
A.B.C.0D.
3．设是定义在R上的奇函数，且，当时，，则的值为( )
A.-1B.-2C.2D.1
4．函数在上单调递减的一个充分不必要条件是( )
A.B.C.D.
5．已知函数,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
6．已知函数的部分图像如图所示,则的解析式可能为( )
A.B.
C.D.
7．已知正实数a,b满足 则( )
A.B.C.D.
8．已知是定义在R上的偶函数,当,,且时,恒成立,,则满足的m的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,,则( )
A.B.
C.D.
10．函数的图象恒过定点P,若点P在直线上,则( )
A.B.
C.D.
11．定义在R上的函数（且,）,若存在实数m使得不等式恒成立,则下列叙述正确的是( )
A.若,,则实数m的取值范围为
B.若,,则实数m的取值范围为
C.若,,则实数m的取值范围为
D.若,,则实数m的取值范围为
三、填空题
12．已知,则_____________.
13．已知函数,,,若对任意的,总存在使得成立,则实数a的取值范围是__________．
14．已知函数,下列四个命题正确的是_____________．（只填序号）
①函数的单调递增区间是;
②若,其中,,,则;
③若的值域为,则;
④若,则.
四、解答题
15．已知函数
（1）求的值;
（2）若,求的值．
16．我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本是6万元,天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：,若无隔热层,则每年能源消耗费用为5万元,设为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.
（1）求k值和的表达式;
（2）当隔热层修建多少厘米厚时,最小？请说明理由并求出的最小值.
17．在单位圆中,锐角的终边与单位圆相交于点,连接圆心O和P得到射线,将射线绕点O按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点B,其中.
（1）求的值;
（2）记点B的横坐标为,若,求的值.
18．已知二次函数同时满足以下条件：①,②,③．
（1）求函数的解析式;
（2）若,,求：
①的最小值;
②讨论关于m的方程的解的个数．
19．已知函数,在时最大值为2,最小值为1．设．
（1）求实数m,n的值;
（2）若存在,使得不等式成立,求实数k的取值范围;
（3）若关于x的方程有四个不同的实数解,求实数a的取值范围．
参考答案
1．答案：C
解析：因为在第一象限,所以,,
所以,,所以是第一､三象限角,
当是第一象限角时,,,,;
当是第三象限角时,,,,;
综上,一定成立.
故选：C.
2．答案：A
解析：根据题意,有
.
故选：A.
3．答案：B
解析：由题意知，则，
即，所以，
即，所以函数的周期为4，
所以，
故选：B.
4．答案：A
解析：由于是定义在上的递减函数,故命题等价于在上单调递增且取值恒为正.
若,则,从而在上取值不恒为正,不满足条件;
若,则对任意都有,
且由知对任意都有.
故在上单调递增且取值恒为正,满足条件.
所以使得原命题成立的充分必要条件是,从而观察选项可知A是充分不必要条件,B是充要条件,C,D是既不充分也不必要条件.
故选：A.
5．答案：A
解析：,定义域为R,又,故为偶函数;
又当时,,均为单调增函数,故为上的单调增函数;
又,故当时,,则此时为上的单调增函数,故时,为单调减函数;
,即,则,即,,
也即,解得.
故选：A.
6．答案：A
解析：对于B,当时,,易知,,
则,不满足图象,故B错误;
对于C,,定义域为,
又,则的图象关于y轴对称,故C错误;
对于D,当时,,
由反比例函数的性质可知,在上单调递减,故D错误;
检验选项A,满足图中性质,故A正确.
故选：A.
7．答案：B
解析：由可得,
因,则有,即（*）,
设,则（*）即,因在上为增函数,故可得：.
故选：B.
8．答案：D
解析：设,由,
得,
所以,
令,则,
所以函数在上单调递增,
因为是定义在R上的偶函数,所以,
所以对任意的,,
所以,函数为R上的偶函数,且,
由,可得,即,
即,所以,解得,
故选：D.
9．答案：AD
解析：,
,
,故A正确B错误;
由,所以,,
又,
所以,故C错误D正确
故选：AD.
10．答案：BCD
解析：设,则对任意都有,这得到.
由恒为常值,知,,所以,,故点P的坐标是.
而点P在直线上,故条件即为.
对于A,取,则此时,故A错误;
对于B,有,故B正确;
对于C,有,故C正确;
对于D,有,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：BD
解析：对于函数,
因
,则函数是奇函数.
不妨设,则,
对于A项,当时,在定义域内为增函数,
因,则在R上也是增函数,故在R上也是增函数.
由,则,即（*）,
①当时,此时恒成立;② 当时,由（*）可得,解得,综上可知,,故A项错误;
对于B项,当时,在定义域内为减函数,因,则在R上也是减函数,故在R上是增函数,
由A项分析可得,恒成立可得,,故B项正确;
对于C项,当时,在定义域内为增函数,因,则在R上是减函数,故在R上是减函数,
由,则,即（*）,
①当时,无解;②当时,由（*）可得,解得或,综上可知,,故C项错误;
对于D项,当时,在定义域内为减函数,因,则在R上也是增函数,故在R上是减函数,
由C项分析可得,恒成立可得,,故D项正确.
故选：BD.
12．答案：
解析：因为,
所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：因函数在上单调递减,
所以,即,
所以函数值域为,
因为对任意的,总存在使得成立,
故的值域是值域的子集,
对,,
当时,,符合题意;
当时,函数在单调递增,所以,
所以解得,又,所以,
综上,实数a的取值范围是．
故答案为：.
14．答案：①②④
解析：对于①,由于定义在上且单调递减,的单调递减区间是.
故可解不等式组得到,
从而的单调递增区间是,①正确;
对于②,由及单调递减,知,
而,故,即.
代入表达式得,即,所以,②正确;
对于③,由于当时有,
而对任意实数M,取就有.
所以时亦有的值域为R,从而原条件并不能推出,③错误;
对于④,若,注意到等价于,
而这又等价于,即,即.
而显然成立,故④正确.
故答案为：①②④.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）
,
所以.
（2）因为,
原式=.
16．答案：（1）;
（2）,
解析：（1）当时,,则,
故,
所以;
（2）由,
当且仅当,即取等号,
故时,
即隔热层修建4厘米厚时,总费用达到最小,最小值为64万元.
17．答案：（1）1
（2）
解析：（1）由于点P在单位圆上,且是锐角,可得,
所以,
所以
;
（2）由（1）可知,且为锐角,可得,
根据三角函数定义可得：,
因为,且,
因此,所以
所以
.
18．答案：（1）
（2）①;②答案见解析
解析：（1）由得,对称轴为,
设,
,得,
．
（2）①,,对称轴,
ⅰ当即时,在单调递增,
,
ⅱ即时,在单调递减,在单调递增,
∴,
ⅲ当即时,在单调递减,
,
综上：
②画出函数的图象图下图所示：

利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：

方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数,由图象可知：
当时,方程无解;当时,方程有4个解;当或时,
方程有2个解;当时,方程有3个解.
19．答案：（1）,
（2）
（3）
解析：（1）由可知关于对称,又,
所以函数在上单调递增,可得,即,
解得,.
（2）由（1）可知,则不等式,
可化为,所以,
即,令,又,可得,
即,显然函数,为对称轴,
所以在上单调递增,
由题意得,即可,
所以,所以k的取值范围为.
（3）,所以,
即为,
可化为：,令,
即,所以关于x的方程
有四个不同的实数解等价于有两个不相等的
正实数根,,满足,,
解得,
所以实数a的取值范围为.