保定市第一中学2023-2024学年高一下学期贯通创新实验班开学考试数学试卷(含答案)

这是一份保定市第一中学2023-2024学年高一下学期贯通创新实验班开学考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在复平面内，对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．若，，，则( )
A.B.2C.D.
3．已知圆台的体积为，两底面圆的半径分别为4和6，则圆台的高为( )
A.6B.C.D.
4．若O是所在平面内的一点，且满足，则的形状为( )
A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形
5．设m、n是不同的直线，，是不同的平面，以下是真命题的为( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
6．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为( )
A.B.
C.D.
7．已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，平面，，，，若球O的表面积为，则( )
A.B.1C.D.
8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的最大值是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知与是共轭复数，以下四个命题一定是正确的是( )
A.B.C.D.
10．已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A.
B.若向量与向量共线，则
C.与共线的单位的量的坐标为
D.在方向上的投影向量为
11．已知函数，则( )
A.点是图象的一个对称中心
B.直线是图象的一条对称轴
C.在上单调递增
D.
12．已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径长为.若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是( )
A.圆锥的侧面积为
B.面积的最大值为
C.圆锥的外接球的表面积为
D.若，E为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题
13．如图，平行四边形是四边形OABC的直观图.若，，则原四边形OABC的周长为______.
14．在锐角中，若，则角______.
15．若复数z满足，则的最小值为_____________.
16．如图，点P是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点P的轨迹长度为____________.
四、解答题
17．已知向量，.
（1）若向量与互相垂直，求k的值：
（2）设，求的最小值.
18．将如图一的矩形沿翻折后构成一四棱锥（如图二），若在四棱锥中有.
（1）求证：；
（2）求四棱锥的体积.
19．已知，.
（1）若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求函数的解析式；
（2）若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值.
20．在中，已知，，P在线段上，且，，设，.
（1）用向量，表示；
（2）若，求.
21．如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）若P是侧棱的中点，求二面角的余弦值.
22．如图，平面四边形中，，，，的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
（1）判断四边形是否有外接圆?若有，求其半径R；若无，说明理由，
（2）求内切圆半径r的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：易知，
其对应的点坐标为，位于第四象限.
故选：D.
2．答案：A
解析：，
故选：A.
3．答案：A
解析：设圆台的高为h，且上下两底面面积分别为，，
根据圆台体积公式可得，解得.
故选：A.
4．答案：D
解析：，，
，两边平方，化简得，.
为直角三角形.
因为不一定等于，所以不一定为等腰直角三角形.
故选：D.
5．答案：B
解析：对于A，如上图正方体中，设平面为，
平面为，为m，
满足，，此时，故A错误；
对于B，因为，，，是不同的平面，则必有，故B正确；
对于C，如上图正方体中，设平面为，
平面为，为m，
满足，，此时，故C错误；
对于D，如上图正方体中，设平面为，
为m，为n，
则满足，，此时，故D错误.
故选:B.
6．答案：C
解析：根据图象可知，
由，可得，
又，可得，；
由可知，可得；
将函数图象上所有的点向左平移个单位长度可得.
故选：C.
7．答案：B
解析：如下图所示：
由平面可知，，又，
所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别为，，三边长的长方体的外接球半径，
设外接球半径为R，
由球O的表面积为，可得，即；
又，，，
所以.
故选：B.
8．答案：B
解析：在中，，
因为，所以，则，
所以，且A，B均为锐角，故，，
由余弦定理得，所以，
又，当且仅当时等号成立，
所以的最大值是.
故选：B.
9．答案：BC
解析：设，，a，，，
则，，所以A不正确；
又由，，所以，所以B正确；
由，所以C正确；
由不一定是实数，所以D不一定正确.
故选：BC.
10．答案：ABD
解析：，故A正确；
若向量与向量共线，
则存在实数使得，
所以，解得，故B正确；
与共线的单位向量为，即或，故C错误；
在方向上的投影向量，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：AB
解析：函数，
，点是图象的一个对称中心，A选项正确；
，是函数最值，直线是图象一条对称轴，B选项正确；
时，，不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误；
，D选项错误.
故选：AB.
12．答案：BCD
解析：对A：由题意可知：，，，
故圆锥的侧面积为，A错误；
对B：面积，
在中，，故为钝角，
由题意可得：，
故当时，面积的最大值为，B正确；
对C：由选项B可得：，为钝角，可得，
由题意可得：圆锥的外接球半径即为的外接圆半径，设其半径为R，
则，即；
故圆锥的外接球的表面积为，C正确；
对D：将平面与平面展开为一个平面，如图所示，
当S，E，B三点共线时，取到最小值，
此时，，
在，，则为锐角，
则，
在，则，
由余弦定理可得，
则，故的最小值为，D正确.
故选：BCD.
13．答案：14
解析：根据题意，平行四边形是四边形OABC的直观图.
若，，则原四边形OABC为矩形，
如图：其中，，
故原四边形OABC的周长.
故答案为：14.
14．答案：/
解析：由，得，
，又是锐角三角形，
.
故答案为：.
15．答案：/
解析：设，（a，b不同时为0），
，
由题意可知，得或，
当时，z的轨迹是x轴（除原点外），此时的几何意义表示复数表示的点和的距离，此时，
当时，复数z的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，
根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，
的最小值是点A与的距离.
故答案为：.
16．答案：
解析：若直线与平面所成的角为，则点P的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，
在平面内，点P的轨迹为对角线（除掉A点，不影响）；
在平面内，点P的轨迹为对角线（除掉A点，不影响）；
在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图，
故点的轨迹长度为.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为向量，，则，，
由向量与垂直，得，
所以.
（2）由，，得，
所以，
所以当时，取到最小值.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）在中，，，，
，，
又，平面，
.
解：（2）取的中点F，连接，
如图二，在中，，，
，，
由（1）可知平面，
，平面，，
在中，，，，
平面，
.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则，
所以，解得，
故函数.
（2）由，函数的图象关于对称，
所以，，所以，，
由，，则，
又函数在上单调，所以，解得，
所以当时.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，
由题得.
（2）由已知得，
.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）在正方形ABCD中，，又，且公用，
所以，所以，即.
因为,,平面ABCD，所以平面ABCD.
所以四棱柱是正四棱柱.
所以.
（2）P是侧棱的中点，由（1）知，在直角中，，
在直角中，，在正方形ABCD中，，
所以为正三角形.
取PC的中点H，连接AH，BH，
所以，且，
又在等腰直角中，，且，
所以为二面角的平面角，
在中，，，，
在直角中，，
即二面角的余弦值为.
22．答案：（1）有，
（2）
解析：（1）在中，，则，
由，得，于是，而，因此，，
在中，，解得，
在中，由正弦定理，得，整理得，
由余弦定理，得，又，因此，有，
于是A，B，C，D四点共圆，且四边形外接圆的半径就等于外接圆的半径，
所以四边形有外接圆，圆半径.
（2）由（1）知：，则，即有，
由，得，
又，由，故不是正三角形，又，则，
于是，又，解得，，
则，
所以内切圆半径r的取值范围是.