黑龙江省大庆市肇源县五校2023-2024学年八年级下学期月考数学试卷（4月份）（五四学制）

这是一份黑龙江省大庆市肇源县五校2023-2024学年八年级下学期月考数学试卷（4月份）（五四学制），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列方程中，一元二次方程的个数是( )
①；
②；
③；
④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，，，则AD的长是( )
A. B. C. 5D. 10
3.关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为( )
A. B. 1C. 1或D.
4.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则为( )
A.
B.
C.
D.
5.用配方法解方程时，原方程应变形为( )
A. B. C. D.
6.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. 且D. 且
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，，则线段OH的长为( )
A.
B.
C. 3
D. 5
8.一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A. 12B. 9C. 13D. 12或9
9.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分交BD于点E，则DE长( )
A.
B.
C. 1
D.
10.已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是( )
A. 当时，四边形ABCD是矩形
B. 当，时，四边形ABCD是菱形
C. 当时，四边形ABCD是菱形
D. 当，时，四边形ABCD是正方形
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知a是方程的一个根，则的值是______.
12.顺次连结菱形各边中点所得的四边形必定是__________.
13.一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，第三边长为整数acm，且a满足，则此三角形的周长为______
14.方程是关于x的一元二次方程，则m的值为______.
15.已知，x，y为实数，则______.
16.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，，且，，矩形ABCD的周长为32cm，则AE的长为______
17.以正方形ABCD的边BC为边作等边，连接AP、DP，则______.
18.如图，在中，，且，，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接MN，则线段MN的最小值为______.
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19.已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．
如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．
20.阅读下面的解题过程，求的最小值.
解：，
而，即最小值是
的最小值是
依照上面解答过程，求：
的最小值；
的最大值.
四、解答题：本题共8小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题8分
解下列方程：
；
22.本小题5分
如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使与AD交于点若，，求的面积.
23.本小题6分
已知关于x的方程
求证：方程总有两个不相等的实数根；
若此方程的一个根是1，求出方程的另一个根．
24.本小题6分
如图，已知点D在的BC边上，交AB于E，交AC于
求证：；
若AD平分，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
25.本小题6分
如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且，连接BE，AF，BE与AF有怎样的关系？试说明理由.
26.本小题6分
已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、
求证：四边形AFCE是菱形；
若，，，求菱形AFCE的面积.
27.本小题8分
如图，在矩形ABCD中，，、N在对角线AC上，且，E、F分别是AD、BC的中点．
求证：≌；
点G是对角线AC上的点，，求AG的长．
28.本小题9分
如图，在矩形ABCD中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、设点P、Q运动的时间为t秒
当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
当时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；
直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：①，是一元二次方程，故本小题正确；
②，时是一元二次方程，故本小题错误；
③，整理后是一元二次方程，故本小题符合题意；
④，是一元二次方程，故本小题符合题意．
故选：
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是
2.【答案】B
【解析】解：因为在矩形ABCD中，所以，
又因为，所以是等边三角形，所以，
所以，
所以，
所以
故选
本题的关键是利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度．
此题考查的知识点是解直角三角形，解答此题的关键是由矩形的性质和等边三角形的性质首先得出，然后由勾股定理求得
3.【答案】D
【解析】解：把代入方程得，
解得：，
是关于x的一元二次方程，
，
即，
的值是
故选：
根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出，，求出a的值即可．
本题考查了一元二次方程的解，能得出关于a的方程是解此题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，
又是等边三角形，
，，
，
，，
，
又，
故选：
根据正方形的性质及等边三角形的性质求出，，再求
本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出
5.【答案】A
【解析】解：，
，
则，即，
故选：
常数项移到方程右边，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
本题主要考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
6.【答案】D
【解析】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，即，解得，
的取值范围为且
当且时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：
由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且，即，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上中线的性质．
先根据菱形的性质得到，，，再利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上中线的性质得到OH的长．
【解答】
解：四边形ABCD为菱形，
，，，
在中，，
为BC中点，
故选：
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
【解答】
解：，
，
，，
，，
①等腰三角形的三边是2，2，5
，
不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是；
即等腰三角形的周长是
故选
9.【答案】A
【解析】解：过点E作于点F，
四边形ABCD是正方形，
，，
平分交BD于点E，
，
正方形ABCD的边长为1，
，
由勾股定理得，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
故选：
过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，由正方形的性质求出CO的长，再证和全等，得出，从而求出DF的长，再证为等腰直角三角形，于是可求出DE的长．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握这些几何图形的性质是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：A、对角线AC与BD互相垂直，时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；
B、当，时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；
C、当两条对角线AC与BD互相垂直，时，，，
四边形ABCD是平行四边形，
两条对角线AC与BD互相垂直，
平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；
D、当，时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误；
故选：
根据平行四边形、菱形的判定与性质分别判断得出即可．
此题主要考查了菱形的判定以及矩形和正方形的判定，熟练掌握相关判定是解题关键．
11.【答案】16
【解析】解：是方程的一个根，
，
，
故答案为：
利用一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
12.【答案】矩形
【解析】【分析】
本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．
根据三角形的中位线定理首先可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．再根据对角线互相垂直，即可证明平行四边形的一个角是直角，则有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解答】
解：如图，四边形ABCD是菱形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
则，；，，
故四边形EFGH是平行四边形，
又，
，
四边形EFGH是矩形．
故答案为：矩形．
13.【答案】17
【解析】解：解方程得或7cm，
根据三角形三边之间的关系，可得第三边a的取值范围为，故，
故此三角形的周长为
先根据题意求出方程的解，再根据三角形的三边关系判断出第三边的长，进而求出其周长即可．
解答此题应根据三角形三边之间的关系判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
14.【答案】2
【解析】解：方程是关于x的一元二次方程，
且，
解得：
故答案为：
根据一元二次方程的定义得出且，再求出m即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出和是解此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
，，
，，
，
故答案为：
本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，代数式求值，负整数指数幂，根据已知条件式，利用完全平方公式推出，据此得到，，最后代值计算即可得到答案．
本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，代数式求值，负整数指数等知识，解题的关键是学会利用配方法解决问题．
16.【答案】6
【解析】解：在和中，
而
，
在与中，
，
≌
，
矩形ABCD的周长为
，即，
整理得：
解得：
故答案为
先证，再证，然后结合题目中已知的线段关系求解．
本题综合考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
17.【答案】或
【解析】解：如图，当点P在正方形ABCD内部时，
是等边三角形，
，，
四边形ABCD是正方形，
，，
，，
；
如图，当点P在正方形ABCD外部时，
是等边三角形，
，，
四边形ABCD是正方形，
，，
，，
；
综上所述，或
故答案为：或
分两种情况讨论：当点P在正方形ABCD内部时；当点P在正方形ABCD外部时，即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，且，，
，
，，
，
四边形DMAN是矩形，
，
当时，AD的值最小，
此时，的面积，
，
的最小值为；
故答案为：
由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.【答案】解：是等腰三角形．理由如下：
是方程的根，
，
，
，
，
是等腰三角形；
是直角三角形．理由如下：
方程有两个相等的实数根，
，
，
，
是直角三角形．
【解析】见答案；
见答案.
根据方程解的定义把代入方程得到，整理得，即，于是根据等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形；
根据判别式的意义得到，整理得，然后根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
20.【答案】解：，
，
，
的最小值为2019；
，
，
，
的最大值为
【解析】根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
21.【答案】解：，
，，，
，
，
解得；
，
，
，
或，
解得
【解析】利用公式法解方程即可；
先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，掌握求根公式和因式分解是解题的关键．
22.【答案】解：设，则，
在直角中，，
即，
解得：，
则，，
则
故的面积为：
【解析】设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得AE的长是解决本题的关键．
23.【答案】证明：，
而，
方程总有两个不相等的实数根；
解：方程的一个根是1，
，
解得：，
原方程为：，
解得：，
故方程的另一个根是
【解析】要证明方程有两个不相等的实数根，即证明即可．，因为，可以得到；
将代入方程，求出m的值，进而得出方程的解．
此题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．
24.【答案】证明：，，
四边形AEDF是平行四边形，
；
若AD平分，四边形AEDF是菱形，
理由：平分，
，
，
，
，
，
又四边形AEDF是平行四边形，
平行四边形AEDF为菱形．
【解析】本题考查了平行四边形的判定，及菱形的判定的掌握情况．
利用平行四边形的判定和性质得出；
利用AD是角平分线，结合，易证，利用等角对等边，可得，再根据四边形AEDF是平行四边形，从而可证平行四边形AEDF为菱形．
25.【答案】解：，且，理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，

【解析】根据正方形的四条边都相等可得，每一个角都是直角可得，然后利用“边角边”证明≌，从而得出结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
26.【答案】解：证明：四边形ABCD是矩形，
，
，
是AC的垂直平分线，
，
，
四边形AFCE是平行四边形，
，
平行四边形AFCE是菱形．
在矩形ABCD中，，
在中，，，
根据勾股定理得：，
，
故菱形AFCE的面积
【解析】根据矩形性质可得，可得，根据EF是AC的垂直平分线，即可证明结论；
根据勾股定理可得AC的长，进而可得菱形的面积．
本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，菱形的判定等知识点的运用，关键是根据题意推出，题目比较典型，难度适中．
27.【答案】解：证明四边形ABCD是矩形，
，
在和中，
，
≌；
如图，连接EF，交AC于点O，易得，且
在和中，
，
≌，
，，
为EF、AC中点．
，，
，，由勾股定理，，
，
或，
的长为1或
【解析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据四边形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论；
连接EF，交AC于点证明≌，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到结论．
28.【答案】解：在矩形ABCD中，，，
，，
由已知可得，，，
在矩形ABCD中，，，
当时，四边形ABQP为矩形，
，
解得：，
当时，四边形ABQP为矩形；
故答案为：8
结论：四边形AQCP为菱形；理由如下：
，
，，
，，
，，
四边形AQCP为平行四边形，
在中，，
，
平行四边形AQCP为菱形，
当时，四边形AQCP为菱形；
正方形面积为96，
正方形的边长为：，
；
分两种情况：
①如图1所示：作于M，
则，，，
由勾股定理得：，
，
，
解得：；
②如图2所示：，，
，
，
解得：；
综上所述，以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值为：或；

【解析】由矩形性质得出，，由已知可得，，，当时，四边形ABQP为矩形，得出方程，解方程即可；
时，，，得出，，，，四边形AQCP为平行四边形，在中，由勾股定理求出，得出，即可得出结论；
分两种情况：求出正方形的边长为，则对角线PQ为，由勾股定理求出QM的长，由题意得出方程，解方程即可；
本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握正方形的判定与性质和勾股定理是解题关键．