2024年新高考数学一轮复习达标检测第15讲导数的应用__导数与函数的极值最值（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习达标检测第15讲导数的应用__导数与函数的极值最值（教师版），共15页。

A．B．C．0D．2
【分析】求导得，易推出在和，上单调递增，在，上单调递减，从而得解．
【解答】解：，，
令，则或，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减．
函数的极大值点为．
故选：．
2．函数的极值点的个数为
A．0B．1C．2D．3
【分析】求出函数的导数，然后构造函数，再导函数，利用导函数的符号，判断原函数的导函数的单调性，然后求出原函数的最小值，说明原函数是增函数，推出结果．
【解答】解：函数，可得，
令，则函数，
所以当时，，是增函数，即是增函数
当时，，是增减函数，
所以的最小值为，
所以是增函数，没有极值点．
故选：．
3．函数在区间上存在极值点，则整数的值为
A．，0B．，C．，D．，0
【分析】求出导函数，判断函数的单调性，利用函数的极值所在位置，求解的值即可．
【解答】解：函数，可得，
当和时，，当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减．
若在上无极值点，则或或，
，，．时，在上无极值点，
，，时，在上存在极值点．
因为是整数，故或，
故选：．
4．已知函数，，．则下列叙述正确的有
A．函数有极大值B．函数有极小值
C．函数有极大值D．函数有极小值
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值判断即可．
【解答】解：，，，
，
令，解得：
令，解得：，
故在，递增，在，递减，
故极大值，
故选：．
5．已知函数，其导函数的图象经过点、，如图所示，则下列命题正确的是
A．当时函数取得极小值B．有两个极大值点
C．（1）D．
【分析】求出导函数，结合导函数的图象，判断函数的极值以及函数值，判断选项的正误即可．
【解答】解：函数，其导函数，由函数的图象可知，，（1），（2），
，是函数的两个极值点，（1）是极大值，（2）是极小值，所以，不正确；不正确；
，由图象可得，，，所以，可得，所以正确；
故选：．
6．若函数不存在极值点，则的取值范围是
A．或B．或C．D．
【分析】由于函数不存在极值，可得恒成立，求解出一元二次不等式即可得到的取值范围．
【解答】解：函数，
，
函数不存在极值，且的图象开口向上，
对恒成立，
△，
即，
的取值范围是．
故选：．
7．函数的最小值为
A．B．C．D．
【分析】用换元法设，则，，设，求导，分析单调性，再求最值即可．
【解答】解：因为，
设，则，且，
设，则，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以的最小值为．即的最小值为．
故选：．
8．已知函数，，，若，，不等式成立，则的最大值为
A．4B．3C．2D．1
【分析】问题转化为则，分别求出函数的最值，得到关于的不等式，解出即可．
【解答】解：若，，不等式成立，
则，
，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故（1），
而，
①即时，，，
在递增，，成立，
②，即时，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
故只需，
即，
令，
则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
（1），（2），（3），（4），
故满足的的最大值是3，
故选：．
9．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是
A．是函数的极小值点 B．是函数的极小值点
C．函数在区间上单调递增 D．函数在处切线的斜率小于零
【分析】结合图象求出函数的单调区间，求出函数的极值点，判断选项即可．
【解答】解：由图象得时，，时，，
故在递减，在递增，
故是函数的极小值点，
故选：．
10．（多选）已知函数，下列说法中正确的有
A．函数的极大值为，极小值为
B．当，时，函数的最大值为，最小值为
C．函数的单调减区间为，
D．曲线在点处的切线方程为
【分析】可以通过求导，来分析函数的单调性，及极值，最值，进而得出结论．
【解答】解：定义域为，
，
令，得或2，
所以在，上单调递增，
在上单调递减，故正确，
（2）（2）（2），故正确，
（3）（3）（3），
（4）（4）（4），
所以当，时，最大值为，最小值为
故不正确，
，
曲线在点处切线方程为，即，
故正确．
故选：．
11．设函数，则的极小值是 ．
【分析】去绝对值，化为分段函数，画出函数的图象，由图象可得答案．
【解答】解：当时，，
当时，，
则其图象如图所示，
由图象可得在，上单调递增，在上单调递减，
函数的极小值为（2），
故答案为：0．
12．函数在处有极值，则的值是 ．
【分析】求出函数的导数，得到关于的方程，解出检验即可．
【解答】解：，
，
若函数在处有极值，
必有，即，解得：，
故答案为：2．
13．已知函数，则它的极小值为 ；若函数，对于任意的，，总存在，，使得，则实数的取值范围是 ．
【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值；
（2）问题转化为，结合函数的单调性得到关于的不等式，解出取并集即可．
【解答】解：（1）由，
得，
，，的变化如下表：
；
（2），，，，使得，即
，
当时，单调递增，，
，即；
当时，单调递减，（2），
故，即；
当时，，不符合题意，舍．
综上：；
故答案为：；．
14．已知函数在区间，上的最大值与最小值的和为18，则实数的值为 ．
【分析】用换元法令，则，，可得原函数变为，令，，，则函数为奇函数且，推出，，进而解出的值．
【解答】解：令，则，，
所以原函数变为，
令，，，则函数为奇函数且，
所以，，
所以，
因为为奇函数，所以，
所以，
所以．
15．已知函数，是奇函数．
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）求函数的极值．
【分析】（Ⅰ）求导得，于是，结合奇函数的特点，可列出关于、的方程，解之即可．
（Ⅱ）由（1）可知，，令，则或，然后列表写出、随的变化情况，从表中可知函数的单调性，从而得解．
【解答】解：（Ⅰ），，
，
为奇函数，，解得，
．
（Ⅱ）由（1）可知，，，
令，则或．
、随的变化情况如下表：
函数的极小值为，
极大值为．
16．已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）设函数；
①求在，的最小值；
②若函数在，上恰有两个不同零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出；
（2）①根据导数和函数最值得关系即可求出；
②函数在，上恰有两个不同零点，则，解得即可．
【解答】解：（1），，
，
令，解的，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（1），无极大值；
（2）①，，，
，
当，时，，函数单调递减，
当，时，，函数单调递增，
（2）．
②由（1），（3），（2），
函数在，上恰有两个不同零点，
，即，解得，
，
，
．
17．已知函数．
（Ⅰ）若函数的极小值为1，求实数的值；
（Ⅱ）若函数在时，其图象全部都在第一象限，求实数的取值范围．
【分析】先对函数求导，然后结合导数与极值关系对进行分类讨论，进而可求；
原问题等价于时，恒成立，构造函数，结合导数与单调性关系分析函数的特征，进而可求．
【解答】解：，
①若，则在上恒成立，
在单调递增，所以无极值．
②若，当时，，当时，，
即在单调递减，在单调递增，
所以的极小值为，由，解得．
，函数图象全部在第一象限，等价于时，恒成立，
令，，
令，，
令，
显然在，单调递增，
．
当时，，所以，
在单调递增，
，即，
在单调递增，
所以，此时符合题意；
当时，，
，使．
故在恒为负值，在单调递减，此时，
所以在单调递减，所以，此时不符合题意．
故所求的取值范围为，．
[B组]—强基必备
1．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．C．，D．
【分析】求出函数的等式，结合函数的极值点的个数求出的范围，求出，令（a），，根据函数的单调性求出的范围即可．
【解答】解：，，
，
若函数有两个不同的极值点，，
则方程有2个不相等的正实数根，
故，解得，
所以，
，
令（a），，
（a），
故（a）在递增，
故（a），
故，
故选：．
2．已知函数，若函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围为 ．
【分析】由题意可得，，作比得，令，结合条件将写成关于的函数，求导分析得到的范围，再结合得到的范围，与函数有两个极值点时的范围取交集即可．
【解答】解：函数由两个极值点，，有两个零点，，
即，，作比得，
令①，则有，
，代入①，得，
由题意知，，，
令，，，
令，则，单调递减，
，单调递减，
，即，
而，令，则，
在，上单调递增，
，即，
又有两个零点，，在上与有两个交点，
而，在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，，
综上，．
故答案为：．
3．已知函数，．
（1）当时，比较与的大小，并证明；
（2）令函数，若是函数的极大值点，求的取值范围．
【分析】（1）时，设，（1）．，，令，利用导数研究函数在上单调性，即得出大小关系．
（2）函数．．根据1是函数的极大值点，可得时，时，．利用导数研究函数的单调性极值即可得出．
【解答】解：（1）时，设，（1）．
则，，
令，，
可得时，函数取得极大值，（1）．
，
是上的减函数，
，，即，．
时，可得．
时，．
（2）函数．
．
是函数的极大值点，
时，时，．
①时，．
化为：，
令，．
，
令，，
．（1）．
（1）．．
在上单调递增．
时，，
，可得．
②时，．
同理可得：
综上可得：，
解得．
的取值范围是，．0
0
极小值
，
，
0
0
极小值
极大值