北京市大兴精华学校2023-2024学年高三下学期5月高考适应性考试数学试卷

这是一份北京市大兴精华学校2023-2024学年高三下学期5月高考适应性考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知为纯虚数，则实数（ ）
A.0B.1C.D.
2.若集合，，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知平面向量，，则下列结论一定错误的是（ ）
A.B.C.D.
4.下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（ ）
A.B.C.D.
5.已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（ ）
A.1B.C.2D.
6.在的展开式中，x的系数为（ ）
A.9B.15C.D.
7.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A.是最小正周期为的偶函数B.点是的对称中心
C.在区间上的最大值为D.在区间上单调递减
8.已知直线与圆，则“，直线l与圆C有公共点”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
9.连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角，使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.则正方体的旋转轴共有（ ）
A.14条B.13条C.9条D.7条
10.已知函数，则下列命题不正确的是（ ）
A.当时，有唯一极小值B.存在定直线始终与曲线相切
C.存在实数a，使为增函数D.存在实数a，使为减函数
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知，若，则______.
12.双曲线的焦点坐标是______.
13.已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为______.
14.在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被2除余数为1，被3除余数为1，被5除余数也为1的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为______.
15.在棱长为6的正方体中，E为棱上一动点，且不与端点重合，F，G分别为，的中点，给出下列四个结论：
①平面平面；
②平面可能经过的三等分点；
③在线段上的任意点H（不与端点重合），存在点E使得平面；
④若E为棱的中点，则平面与正方体所形成的截面为五边形，且周长为.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求的面积.
17.（本小题14分）如图（1），在中，，，将沿折起到的位置，E，F分别为，上的动点，过作平面，交于点Q，使得平面，如图（2）.
图（1） 图（2）
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.
条件①：平面平面；
条件②：.
18.（本小题13分）某居民小区某栋楼共有10户家庭入住，若该楼住户在2024年4月的用电量（单位：度）如下图所示：
若电力公司组织了线上抽奖活动，各住户抽奖相互独立，但对用电量不同的住户，系统设定了如下中奖率：
（Ⅰ）在该楼中随机抽取一户家庭，求其4月用电量不低于30度的概率；
（Ⅱ）在该楼随机抽取2户家庭，以X表示中奖的户数，试求X的分布列和期望；
（Ⅲ）以频率估计概率，在该小区随机抽取2户家庭，以Y表示中奖的户数，试比较与的大小关系.（结论不要求证明）
19.（本小题15分）已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若，求曲线与曲线的交点个数.
20.（本小题15分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且点在椭圆上，动点C，D分别在直线和椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）若椭圆上存在一点E，使得四边形是矩形，求点D的横坐标.
21.（本小题15分）已知整数，数列A：，，…，是递增的整数数列，即，，…，且.定义数列A的“相邻数列”为B：，，…，，其中，，或（，3，…，）.
（Ⅰ）已知，数列A：2，4，6，8，写出A的所有“相邻数列”；
（Ⅱ）已知，数列A：，，…，是递增的整数数列，，，且A的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列A的个数；
（Ⅲ）已知，数列A：，，…，是递增的整数数列，，，且存在A的一个“相邻数列”B，对任意的i，，，求的最小值.
高三适应性试卷数学答案及评分参考2024.5
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.B 10.C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11.或12.，
13.或14.6815.①③④
三、解答题（共6小题，共85分）
16.（共13分）
解：（1）由已知得
由正弦定理得 得
， 得……6分
（2）法一：由（1）知，代入得
由余弦定理 得
得或
①当时，
②当时，
法二：代入得
∵，∴，或
①时，
②时，
……13分
17.（共14分）
解：（1）因为，所以，
又因为、平面，
所以平面
因为平面，所以平面平面
因为平面平面，
平面平面
所以……6分
（2）选择条件①：平面平面
因为，，
所以为二面角的平面角
因为平面平面 所以
所以建立如图空间直角坐标系
又因为
所以E，F，Q分别是PC，BC，CD的中点
，，
，
平面的法向量为
设平面的法向量为，则
得，令，则，，所以
设二面角的平面角为，
则
由题可知，二面角为钝二面角则
二面角的余弦值为……14分
选择条件②：
因为平面，平面，所以
因为，，BC，平面 所以平面
因为平面 所以
因为平面平面，平面平面，平面平面
所以 所以
因为，，
所以建立如图空间直角坐标系
又因为 所以E，F，Q分别是，，的中点
，，
，
平面的法向量为
设平面的法向量为，
则 得，令，则，
所以
设二面角的平面角为，
则
由题可知，二面角为钝二面角则
二面角的余弦值为……14分
18.（共13分）
解：（1）记“在该楼中随机抽取一户家庭，其4月用电量不低于30度”为事件A，
在该楼10个住户中，用电量不低于30度的共户，
故概率估计值……3分
（2）X的所有可能取值为0，1，2
X的分布列为
X的期望值
解法2：X的所有可能取值为0，1，2
X的分布列为
X的期望值……10分
（3）……13分
19.（共15分）
解：（1）解：由，
得，则有，
所以切线方程为，即
又因为曲线在点处的切线方程为.……5分
（2）令，故，
令，，
令，
.
当时，，，，
∴，∴在上为减函数，即在上为减函数，
又，，
∴在上有唯一的零点，设为，即.
∴在上为增函数，在上为减函数.
又
，
，
∴在上有且只有一个零点，在上无零点；
所以曲线与曲线的交点个数为1.……15分
20.（共15分）
解：（1）由题设，……3分
解得，.
所以椭圆G的方程为.焦点坐标为，……5分
（2）设，，，，
因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以，
则，，所以，
D，E都在椭圆上，，变形得①，
又，所以，即，
则，②
②代入①得，解得：或，
若时，，，此时C与重合，D点坐标为；
若时，联立，
可得：，解得：，
因为，所以，
所以D点横坐标为或.……15分
21.（共15分）
解：（1）根据“相邻数列”的概念可知，，
或，或，
所以A的所有“相邻数列”有2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.
（2）任取A的一个“相邻数列”B：，，…，，
因为或，
或，
所以有且，
对于，，的取值分以下4种情形：
（a），，
（b）；，
（c），，
（d），
由数列A是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到，所以只需考虑第4种情形，
B递增，，即，
由A是递增的整数数列得从而，…，是公差为1的等差数列，
于是，则，即满足数列A的有11个.……9分
（3）令，，所以对任意，，
设，，，则且，
先证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，
若，，令，则，由得，
所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合
若，，令，则，由得，
所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合，
因此，的分布只可能是如下三种情况：
（i），，此时，对任意的，，由得，所以对任意的，，注意到，
所以，
等号当且仅当A：0，2，4，4，6，…，32，3，34，36，37时取到；
（ii）存在整数，使得，
对任意的，，对任意的，，
所以
（iii），.此时，对任意的，，与情形1类似，
对任意的，，注意到，
所以，
综上，的最小值为37.……15分
用电量
中奖率
50%
50%
X
0
1
2
P
X
0
1
2
P