上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了04，已知,其中,满足以下三个条件，已知,其中等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.函数的最小正周期为 .
2.若,则点在第 象限.
3.已知平面上两点的坐标分别是为直线上一点,且,则点的坐标为 .
4.若,则 .
5.若为第二象限角,且,则 .
6*.已知平面向量与的夹角为,若,则在方向上的投影向量的坐标为 .
7.在中,是方程的两个根,则 .
8.已知,其中,满足以下三个条件:(1)函数的最小正周期为;(2)函数的图像关为直线对称;(3)函数在上足严格㺂函数.则函数的表达式为 .
9.窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一,图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10,点在其边上运动,则的取值范围是 .
10.已知,其中.若函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点,则的取值范围为 .
11.设若函数在区间内恰有7个零点,则的取值范围是 .
12*.若均为单位向量,下列结论中正确的是 (填写你认为所有正确结论的序号)
(1)若且,且,则的取值范围为;
(2)若且,且,则的取值范围为;
(3)若且对任意实数恒成立,则的最小值为;
(4)若且对任意实数恒成立,则的最小值为.
二、选择题(本大题满分18分)本大题共4题,第题每题4分,第题每题5分
13.下列说法错误的是（ ）.
A.若,则
B.若,则
C.若与都是非零向照且,则与的方向相同或者相反
D.若与都是单位向量,则
14.在中,角所对的边分别为,其中.若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
15.设是正整数,集合.当时,集合元素的个数为（ ）
A.1012 B.1013 C.2023 D.2024
16*.对于实数,用表示不超过的最大整数,例如.已知,,则下列3个命题4,真命题的个数为（ ）.
(1)函数是周期函数;(2)函数的图像关于直线对称;(3)方程有2个实数根.
A.0 B.1 C.2 D.3
三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题
17.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知
(1)若与垂直,求实数的值;
(2)若与方向相反,求实数的值.
18.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分4分,第3小题满分4分.
已知向量.设.
（1）求函数的表达式，并写出该函数图像对称轴的方程;
（2）将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像,直接写出函数的表达式;
（3）求关于的方程在区间上的解集.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.
简车是我国古代发明的一种水利利溉T.具.如图,假定在水流挺稳定的情况下,一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动,每分钟转1圈,筒车的轴心距离水面的高度为米.设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为(单位:米)(在水面下则为负数).若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间,则与时少(单位:秒)之少的关系为,其中.
（1）求的值;
（2）当时,判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态),并说明理由.
20*.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
如图所示,已知与的夹角为,点是的外接圆优孤上的一个动点(含端点),记与的夹角为,并设,其中为实数.
（1）求外接圆的直径;
（2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域;
（3）求为直径时,的值.
21.(本题满分18分)本共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
对于定义域为的函数,若存在常数,使得是以为周期的周期函数,则称为“正弦周期函数”,且称为其“正弦周期”.
（1）判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由;
（2）已知是定义在上的严格增函数，值域为,且是以为“正弦周期”的“止弦周期函数”,若,且存在,使得,求的值;
（3）已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和,使得对任意,都有,证明:是周期函数.
复旦附中2023学年第二学期高一年级数学期中A卷
2024.04
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.函数的最小正周期为 .
【答案】
2.若,则点在第象限 .
【答案】二
3.已知平面上两点的坐标分别是为直线上一点,且,则点的坐标为 .
【答案】
4.若,则 .
【答案】
5.若为第二象限角,且,则 .
【答案】
6*.已知平面向量与的夹角为,若,则在方向上的投影向量的坐标为 .
【答案】
7.在中,是方程的两个根,则 .
【答案】1
8.已知,其中,满足以下三个条件:(1)函数的最小正周期为;(2)函数的图像关为直线对称;(3)函数在上足严格㺂函数.则函数的表达式为 .
【答案】（也可化简为
9.窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一,图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10,点在其边上运动,则的取值范围是 .
【答案】
10.已知,其中.若函数在区间上有且只有一个最大值点和一个最小值点,则的取值范围为 .
【答案】也算对
11.设若函数在区间内恰有7个零点,则的取值范围是 .
【答案】
12*.若均为单位向量,下列结论中正确的是 (填写你认为所有正确结论的序号)
(1)若且,且,则的取值范围为;
(2)若且,且,则的取值范围为;
(3)若且对任意实数恒成立,则的最小值为;
(4)若且对任意实数恒成立,则的最小值为.
【答案】(1)(2)(3)(4)
二、选择题(本大题满分18分)本大题共4题,第题每题4分,第题每题5分
13.下列说法错误的是（ ）.
A.若,则
B.若,则
C.若与都是非零向照且,则与的方向相同或者相反
D.若与都是单位向量,则
【答案】A
14.在中,角所对的边分别为,其中.若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
15.设是正整数,集合.当时,集合元素的个数为（ ）
A.1012 B.1013 C.2023 D.2024
【答案】B
16*.对于实数,用表示不超过的最大整数,例如.已知,,则下列3个命题4,真命题的个数为（ ）.
(1)函数是周期函数;(2)函数的图像关于直线对称;(3)方程有2个实数根.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题
17.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知
(1)若与垂直,求实数的值;
(2)若与方向相反,求实数的值.
【答案】（1） （2）
18.(本题满分14分)本题共有3个小题,第1小题满分6分,第2小题满分4分,第3小题满分4分.
已知向量.设.
（1）求函数的表达式，并写出该函数图像对称轴的方程;
（2）将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像,直接写出函数的表达式;
（3）求关于的方程在区间上的解集.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】(1)分
令,得对称轴为直线..6分
（2）.
（3）由得,由于分
所以或,故所求解集为分
另解:由得或,得或分而,所以或,所求解集为.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.
简车是我国古代发明的一种水利利溉T.具.如图,假定在水流挺稳定的情况下,一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动,每分钟转1圈,筒车的轴心距离水面的高度为米.设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为(单位:米)(在水面下则为负数).若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间,则与时少(单位:秒)之少的关系为,其中.
（1）求的值;
（2）当时,判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态),并说明理由.
【答案】（1）
（2）单调递减,6分所以盛水筒处于向下运动的状态.
【解析】(1)如图,设简车与水面的交点为，连接,过点作于点,
过点分别作于点于点,则.
因为筒车转一周需要1分钟,所以,故.
在Rt中,,
所以,即.(四个答案各2分)
（2）盛水筒处于向下运动的状态
分理由如下:,当,
此时单调递减,6分所以盛水筒处于向下运动的状态.
20*.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
如图所示,已知与的夹角为,点是的外接圆优孤上的一个动点(含端点),记与的夹角为,并设,其中为实数.
（1）求外接圆的直径;
（2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域;
（3）求为直径时,的值.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)在中,由余弦定理,
即分
(2)连接,在中,由正弦定理,
则分
又,则,
于是
则由正弦定理得.
所以分（定义域1分，注意格式）
另解:.
（3）设与交于点,当为直径时,,
此时分
又由正弦定理可得
于是分
因此由正弦定理得分
而由向量的共线定理可得存在,使得,且
故分
另解:.
由于此时,得分
同理,由得,,得.
解得,因此分
21.(本题满分18分)本共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
对于定义域为的函数,若存在常数,使得是以为周期的周期函数,则称为“正弦周期函数”,且称为其“正弦周期”.
（1）判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由;
（2）已知是定义在上的严格增函数，值域为,且是以为“正弦周期”的“止弦周期函数”,若,且存在,使得,求的值;
（3）已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和,使得对任意,都有,证明:是周期函数.
【答案】（1）是 （2） （3）见解析
【解析】(1),
所以是正弦周期函数.……过程、结论各2分
（2）由，
故分
则由,且严格增,得其中整数,
下证.
若不然,,则,由的值域为知,存在使得,,
则
由
得,这与矛盾.分
因此综上所述,分
（3）假设不是周期函数,则与均不恒成立.
特别地,.
因为不恒成立,所以存在,使得反证法2分
因为,所以存在,使得且.
其中若,取为负整数;若,取为正整数.分
此时,由正弦周期性得,
即,
综上,是周期函数.
另解:若,则由可知为周期函数.分
若,则对任意,存在正整数,使得且.
此时,.若，则同理可证（取为负整数即可）.分
综上,得证.