上海财经大学附属北郊高级中学2023届高三上学期开学考试数学试题（Word版含答案）

2022-2023年北郊高级中学高三上开学考

一､填空题

1.已知集合，则__________.

2.函数的定义域是__________.

3.若复数满足为虚数单位），则__________.

4.的展开式中的系数为__________.（结果用数值表示）.

5.已知，则的值为__________.

6.设为直线上的一点，且位于第一象限，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为27，则点的坐标为__________.

7.已知，且，则的最小值为__________.

8.已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是__________.

9.已知数列的用项和为，且满足，则__________.

10.袋中有一个白球和个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进个白球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是__________.

11.已知定义在R上的函数满足，当时，，则方程有__________个根.

12.在平面直角坐标系中，已知是上的两个不同的动点，满足，且恒成立，则的数最小值是__________.

二､选择题

13.已知，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不允分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

14.下列函数中，以为周期在区间上单调递增的是（    ）

A.    B.

C.    D.

15.如图，在棱长为1的正方体，中，P､O､R分别是棱的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

16.设，定义运算“”利“”如下：.若正数满足，则（    ）

A.    B.

C.    D.

三､解答题

17.如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截而是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.

（1）求此圆锥的表面积；

（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小.

18.甲､乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独：②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知，若，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖.

（1）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；

（2）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏：这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望.

19.已知函数.

（1）设是的反函数，若，求的值：

（2）足否存在常数，使得函数为奇函数.若存在，求的值，并证明此时在上单调递增；若不存在，请说明理由.

20.已知为椭圆内一定点，为直线上一动点，直线与椭圆交于两点（点位于两点之间），为坐标原点.

（1）当直线的倾斜角为吋，求直线的斜率：

（2）当的面积为时，求点的横坐标；

（3）设，试问是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由.

21.已知函数，无穷数列满足，.

（1）若，写出数列的通项公式（不必证明）；

（2）若，且，，成等比数列，求的值；问是否为等比数列，并说明理由；

（3）证明：，，，，成等差数列的充要条件是.

2022-2023年北郊高级中学高三上开学考

一､填空题

1.【答案】

2.【解析】由题意得，故定义域是.

3.【解析】，则.

4.【解析】的系数为.

5.【解析】.

6.【解析】设，双曲线的两条渐近线为，

因为点到双曲线的两条渐近线的距离之积为27，所以，

解得，所以点的坐标为.

7.【解析】

当且仅当x=y时取等号，故4x+y的最小值为25.

8.【解析】由题意得二次函数的对称轴，

由在区间上是増函数，

故，故实数的取值范围是.

9.已知数列的用项和为，且满足，则__________.

【解析】因为，所以，解得，

所以，故数列为等差数列，故

10.【解析】取了N次都没有取到黑球的概率为

11.【解析】因为，所以的周期为2，

当时，，

作出函数与的图象如图所示，

由图象得函数与的图象由10个交点，

所以方程有10个根.

12.【解析】因为，所以垂直平分，设与交于点，

其中点.

设，则，

所以.

因为恒成立，只需求出的最大值即可，

在中，由余弦定理得

所以，

因为，所以，即，

所以的最小值为49.

二､选择题

13.【解析】当时，满足，不满是；

当时，满是，不满是：

故为既不充分也不必要条件，故选D.

14.【解析】因为的周期为，故排除D，且在区间上单调递增，

故选A.

15.【解析】如图，连接，并分别取它们的十点，

连接，

则且，

连接，得，因为平面，又平面，

则，又平面，

所以平面，又平面，所以，

同理可得，又，则平面，

所以平面平面平面，

则三棱柱为直三棱柱，

由正方体的棱长为1，得，

故.故选.

16.【解析】，

当时，，故选项错误；

当时，，故选项错误；

因为，且，所以，

因为，所以，故选项正确；

故选.

三､解答题

17.（1）由，得.

又，故

即此圆锥的表面积为.

（2）法一：取的中点，连控.因点为母线的巾点，故.

所以为异面直线与所成的角.

存Rt中，，故.

H点为半圆坬的中点，得，

在中，.

由底面得底面，

在中，，

故

即异面直线与所成角的大小为.

法二：以为原点，为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，由题意得，

则，

，

设异面直线与所成角的大小为，

则，

所以异面直线与所成角的大小为.

18.【解析】（1）基本事件的总数为个，记事件A为“甲乙两人一次竞猜成功”，

若，则共有6种竞猜成功；

若时，b分别有2个值，

而或5时，只有一种取值.

由古典概型的概率计算公式得.

设随机变量表示在3次竞猜中竞猜成功的次数，

则甲乙两人获奖的概率

（2）由题意得从6人中选取4人共有种选法，

双胞胎的对数的取值为.

则，

随机变量的分布列为，

期望为.

19.【解析】（1）因为函数，所以.

（2）由题意得.

法一：因为为奇函数，所以，

即，

整理得，故.

法二：因为是定义域为的奇函数，故，即，

解得.

此时，定义域为关寸原点对称，

且

故当时，为奇函数.

任取，则

因为，所以且，

故，即函数在上单调递增.

20.【解析】（1）当直线的倾斜角为时，其斜率，

直线的方程为.

联立，解得，即.从而，

即直线的斜率为

（2）由题意，设直线的方程为.

联立，消去，整理得.

设，则

由，得，

解得

故直线的方程为.

令，得点的横坐标为.

（3）法一：①当直线与轴重合忖，，

故.

②当直线不与轴重合时，设直线的方程为.

设，由（2）得

从而

即

综上，定值1.

法二：已知直线的斜率存在，设㚗线的方程为，

山得，

设，

所以

因为，

所以，

则.

21.（1）由题意，代入计算得.

所以

（2）法一：，

①当时，，

所以，得；

②当时，，

所以，得（舍去）或.

综合①②得或..

当，易求是等比数列.

当时，易求，

因为.所以不是等比数列..

（3）充分性：

当时，，所以是一个等差数列.

必要性：

假设这样的等差数列存在，那么

，由得，

以下分情况讨论：

①当时，由得，与矛盾：

②当时，由得，从而，

所以是个等差数列；

③当时，则公差，

因此存在使得，

此时，矛盾.

综合①②③得，当成等差数列时，.

综上所述，成等差数列的充要条件是