山东省德州市陵城区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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一、选择题（每小题4分，共48分）
1. 要使代数式有意义，的取值应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了代数式有意义的条件，根据分母不为零且被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
∴．
故选B．
2. 下列条件中，不能判定一个三角形是直角三角形的是（ ）
A. 三个角的度数之比为B. 三边长满足关系式
C. 三条边的长度之比为D. 三个角满足关系式
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键．
【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、，
∴，
∴，故三角形三个内角的度数分别为、、，
∴三个角的度数之比为的三角形是直角三角形，不符合题意；
、∵，
∴，
∴三条边满足关系式的三角形是直角三角形，不符合题意；
、结合题意可设三角形的三条边分别为、、（为正数），
∵，
∴三条边的长度之比为的三角形不是直角三角形，符合题意；
、∵，
∴，
∴三个角满足关系的三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的加减乘除法则依次判断
【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B. ，故正确；
C. ，故错误；
D. ，故错误；
故选：B
【点睛】此题考查了二次根式计算法则，正确掌握二次根式的加减乘除计算法则是解题的关键
4. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质、化简绝对值、数轴，正确掌握相关的性质内容是解题的关键．
根据数轴判断a、b、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】由数轴知，，且
，，
，
，
，
．
故选：D
5. 如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A. 2kmB. 4kmC. 10 kmD. 14 km
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键．
6. 综合实践课上，嘉嘉设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程如下：
根据嘉嘉尺规作图痕迹，完成下面的证明．
证明：∵ ① ，，∴四边形平行四边形（ ② ）（填推理依据）．
又∵，∴四边形是矩形（ ③ ）（填推理依据）．
①②③应该填的内容分别是（ ）
A. 、对角线互相平分的四边形是平行四边形、有一个角是直角的平行四边形是矩形
B. 、对角线互相平分的四边形是平行四边形、有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 、对角线互相平分的四边形是平行四边形、有一个角是直角的平行四边形是矩形
D. 、有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形和平行四边形的判定，先根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，然后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明四边形是矩形，熟知矩形和平行四边形的判定是关键．
【详解】证明：由题意可知：垂直平分，
，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
又∵，
∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故选：B．
7. 如图，点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG=DH．则下列结论中不正确的是（ ）
A. B. 四边形EGFH是平行四边形
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接EF交BD于O，易证四边形EGFH是平行四边形，然后证明是否得出选项．
【详解】解：连接EF交BD于点O，
在平行四边形ABCD中，AD=BC，∠EDH=∠FBG，
∵E、F分别是AD、BC边的中点，
∴DE=BF=BC，∠EDO=∠FBO，∠DOE=∠BOF，
∴△EDO≌△FBO，
∴EO=FO，DO=BO，
∵BG=DH，
∴OH=OG，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴GF=EH，EG=HF，故选项A、B、C正确；
∵∠EHG不一定等于90°，
∴EH⊥BD不正确，故选项D不正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△EDO≌△FBO是解题的关键．
8. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. 2B. C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】先求出大、小正方形的边长，进而求出整个图形面积，最后根据阴影部分的面积=大矩形面积-两个正方形面积，本题得以解决．
【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根，二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
9. 已知三角形三边长分别为a、b、c，求其面积．
对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．
古希腊几何学家海伦（Hern，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：
，其中 ①
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202~1261），给出了著名秦九韶公式：
．②
若一个三角形的三边长依次为，，，请选用适当的公式求出这个三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分析可得，代入公式②中比较容易计算，把分别代入进行计算解答．
【详解】解：∵，，不是同类二次根式，无法合并，代入公式①中计算不方便，
∴可代入公式②进行计算，
∵，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
10. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若，，则等于（ ）
A. 45B. 49C. 50D. 53
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解“垂美”四边形的性质，则，根据，，，，，等量代换，即可．
【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，
∴，
∴在直角三角形中，；
在直角三角形中，，
∴，
∵在直角三角形，；
在直角三角形中，，
∴，
故选：D．
11. 如图，四边形是菱形，过点作交对角线于点．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、用勾股定理解三角形，先根据勾股定理求得的长，然后利用等面积法可求得的长，再根据勾股定理可求得结果，正确求得边长的结果是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
12. 如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：
①若G为的中点，则四边形是正方形；
②若G为上任意一点，则；
③点G在运动过程中，的值为定值4；
④点G在运动过程中，线段的最小值为．

A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定①正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，则，即可判定②正确；证明，，从而得，即可判定③正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小， 利用求得，即得线段的最小值为，即可判定④正确．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
于点，于点，
，
四边形是矩形，，，
∴，，
∵G为的中点，
∴
∴
∴四边形是正方形，故①正确；
连接，

∵四边形是矩形，
∴，
在与中，
，
，
，
，故②正确；
∵
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
即的值为定值4，故③正确；
∵，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，
在 中，，
∵
∴
∴，
∴线段的最小值为，故④正确；
∴正确的有①②③④．
故选：A．
【点睛】此题考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．解题关键是熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．
【详解】解：∵，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
14. 如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可．
【详解】解：是公路的中点，
，
，
，
，两点间的距离为．
故答案为：．
15. 已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的应用，先求出，，再根据计算即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
16. 在的网格中，有、、三个格点，当是直角三角形时，则点的坐标可以是______.
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，也考查了三角形直角三角形的性质，利用三角形直角三角形的性质确定点C的位置即可．
【详解】解：由题意得：当是直角三角形时，则点的坐标可以是或或，
故答案为：或或
17. 如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值是 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出．
【详解】解：连接，如图，

∵四边形是菱形，
∴，
∵，分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
当时，则，最小，得到最小值，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 在矩形中，，，若是射线上一个动点，连接，点关于直线的对称点为．连接，，当，，三点共线时，的长为______．
【答案】1或
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线时，根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：当点线段上时，如图，

与关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得，
；
当点在的延长线时，如图，

与关于直线对称，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为1或9，
故答案为：1或9．
三、解答题（7小题，共78分）
19. 计算：（1）；（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先进行二次根式的除法运算，然后把二次根式化为最简二次根式即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20. 当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）小亮 （2）
（3）-2
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可求出答案．
（2）根据二次根式的性质化简即可求出答案．
（3）根据的范围判断与的符号，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案．
【小问1详解】
原式，
，
∵，
∴，
∴原式，
故小亮的解法错误，
故答案为：小亮．
【小问2详解】
，
故答案为：．
【小问3详解】
∵，
，，
∴原式，



．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
21. 如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，为格点三角形．
（1）建立平面直角坐标系，使点的坐标为，点的坐标为．此时，点的坐标为
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析，
（2）直角三角形，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形：
（1）根据题意建立平面直角坐标系，然后写出点C的坐标即可；
（2）求出三角形各边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可．
【小问1详解】
解：建立平面直角坐标系如图，
点C的坐标为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由勾股定理得，，
∴
∴直角三角形，且．
22. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变．
（1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号）
（2）此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？
【答案】（1）米
（2）不能
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键．
（1）根据勾股定理求的长，然后作差求解即可；
（2）先求出从A处移动到岸边点F的时间，比较大小，然后作答即可．
小问1详解】
解：∵，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴求男子需向右移动的距离为米；
【小问2详解】
解：由题意知，需收绳的绳长（米），
∴此人的收绳时间为秒，
∵，
∴该男子不能在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置．
23. 如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理得，，，，则，，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，再由勾股定理求出的长，再根据为中点即可求答案．
【小问1详解】
证明：点D、E分别为，的中点，点G、F分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
24. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定及性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质．
（1）由和平分可得，从而，进而根据菱形的定义得证结论；
（2）由求出，进而，，在中，根据勾股定理构造方程，即可求得的长，根据面积公式即可解答．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
即，
∴，
∵在菱形中，，
∴．
25. 在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．
（1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）？答：________；（直接填空，不用说理）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值；
（3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值．
【答案】（1）四边形是平行四边形
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明；
（2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解；
（3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，
理由如下：由题意得：，
四边形是矩形，
，，
，
，分别是，中点，
，，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
由（1）得，，，
四边形是矩形，
，
①如图，当四边形是矩形时，
，
，
，
，
；
②如图，当四边形是矩形时，
，
，，
，
；
综上，四边形为矩形时或；
【小问3详解】
解：如图，连接，，，与交于，
，
四边形为菱形，
，，，
，，
四边形为菱形，
，
设，则，
由勾股定理可得：，
解得：，
，即，
当时，四边形为菱形．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，直线交于点O；
作射线，在上截取，使得；
连接，，则四边形就是所求作的矩形．