还剩16页未读，
继续阅读
所属成套资源：高二下学期期中考试数学试卷含答案
成套系列资料，整套一键下载
2021-2022学年吉林省吉林市第一中学高二下学期期中考试数学试题（平行班）含解析
展开
这是一份2021-2022学年吉林省吉林市第一中学高二下学期期中考试数学试题（平行班）含解析
吉林一中2021—2022学年度下学期期中考试高二数学（平行班）试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】因为或，，所以，，因此，.故选：A.2. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由偶次根式的被开方式大于等于0，及分式的分母不等于0即可求解.【详解】解：由题意，，即，所以，所以函数的定义域为，故选：A.3. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】函数是奇函数, 若，则，则，即成立,即充分性成立，若，满足是奇函数，当时满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，所以A选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.4. 若随机变量，且，则（ ）A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的对称即可计算结果.【详解】解：根据正态分布的对称性，.故选：A.5. 若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】由题知，进而得，，再根据期望、方差的性质求解即可.【详解】解：因为随机变量服从两点分布，其中，所以，所以，，，.故BD错误，AC正确.故选：BD6. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数，则函数y＝[f(x)]的值域为（ ）A B. {－1，0，1}C. {－1，0，1，2} D. {0，1，2}【答案】B【解析】【分析】利用换元法求得的值域，由高斯函数的定义求得正确答案.【详解】,令，令，二次函数开口向上，对称轴为，，所以，也即.所以.故选：B7. 2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出“4个医疗小组去的国家各不相同”且“小组甲独自去一个国家”的概率，再求“小组甲独自去一个国家”的概率，代入条件概率公式计算即可．【详解】事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（AB），P（B），P（A|B），故选：A．【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题8. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，得函数为偶函数，且当时，为单调递增函数，进而将问题转换为，再结合奇偶性，对数函数单调性解不等式即可.【详解】解：由题知，函数的定义域为，，所以为偶函数，因为当时，，所以，当时，为单调递增函数，所以，当时，为单调递减函数，因为,所以即为，所以，即，所以.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）A. 目标未被命中的概率为 B. 目标恰好被命中一次的概率为C. 目标恰好被命中两次的概率为 D. 目标被命中的概率为【答案】CD【解析】【分析】根据题意，结合概率的计算，逐项分析即可得解.【详解】对A，目标未被命中，则两次都不中，概率为，故A错误；对B，目标恰好被命中一次，则甲中乙不中，或乙中甲不中，概率为，故B错误；对C，目标恰好被命中两次，则两次都中，概率为，故C正确；对D，目标被命中，从反面考虑可得概率为，故D正确；故选：CD10. 已知（），则下列结论正确的是（ ）A. B. 当时，n=5C. 若（）的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于12或13 D. 当n=4时，【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由二项式展开式的系数的性质判断即可，对于B，由题意可得，从而可求出的值，对于C，利用二项式展开式的系数的性质判断即可，对于D，当时，将代入结合可求得的值【详解】，A正确；的系数，则，所以，B正确；若的展开式中第7项的二项式系数最大，当n为偶数，则n等于12，当n为奇数，则n等于11或13，C错误；当时，，令，则，又，所以，D正确.故选：ABD11. 袋中有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取一个小球，直到取到白球后停止取球，则下列结论正确的是（ ）A. 抽取次后停止取球的概率为B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为C. 取球次数的期望为D. 取球次数的方差为【答案】BD【解析】【分析】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可判断出A选项的正误，计算出取出的白球个数不少于黑球的概率为，可判断出B选项的正误，利用数学期望公式和方差公式计算出随机变量的期望和方差，可判断C、D选项的正误，综合可得出结论.【详解】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，则，，.对于A选项，抽取次后停止取球的概率为，A选项错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为，B选项正确；对于C选项，取球次数的期望为，C选项错误；对于D选项，取球次数的方差为，D选项正确.故选：BD.12. 已知函数，则（ ）A. 在单调递增B. 的值域为C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称【答案】AD【解析】【分析】根据函数的性质分别判断每个选项即可.【详解】对于A，因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递增，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，，，所以的图象不关于直线对称，故C错误；对于D，，，，则的图象关于点对称，故D正确.故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．13. 函数的单调递增区间是__________.【答案】（2，+∞）【解析】【分析】根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域.【详解】是复合函数，可以写成，，根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知外层函数是增函数，所以只需求在定义域内的单调递增区间，，解得：或，函数在单调递增，在单调递减，所以函数的单调递增区间是.故答案为：14. 幂函数在上单调递增，则m的值为______．【答案】【解析】【分析】利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答.【详解】解：因为函数是幂函数，则有，解得或，当时，函数在上单调递增，符合题意，当时，函数在上单调递减，不符合题意.所以的值为故答案为：15. 设，若是的最小值，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用定义可知在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，再根据是的最小值，可知且，解得结果即可得解.【详解】解：当时，，任设，则，当时，，，所以，所以，当时，，，所以，所以，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，又因为是的最小值，所以且，解得.故答案为：.16. 某同学高考后参加国内3所名牌大学，，的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学，，招生考试的概率分别为，，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为___________；该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值为___________.【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求出该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，从而求出该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再结合基本不等式即可得的最小值，进而求出该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值．【详解】该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，该同学至少通过1所大学招生考试的概率为，由得，，，即，解得或，又，，，，该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率为，最大值为．故答案为：，．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列为等差数列，公差，前n项和为，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据，且，，成等比数列．列出方程，即可解出，即可得出答案.（2）由（1）知，代入，再利用裂项相消求出，即可说明.【详解】（1）由题意得：，，整理得，因为，所以，所以，．（2），，，即．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，裂项相消法求数列的前项和.属于基础题.常见的裂项相消: .18. 根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2016年某村在寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯，下表是对2016年以来近5年该村庄100位少年儿童的假期周人均读书时间的统计：现要建立关于的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一；模型二，即使画出关于的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为.（1）请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；（2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为.附：参考数据：，其中，.参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.【答案】（1）；（2）模型二的拟合效果更好.【解析】【分析】（1）首先换元令，先求得和，再根据数据和参考公式求得模型二的方程；（2）利用残差公式，求模型二的残差，比较大小，即可判断.【详解】（1）令，则模型二可化为关于的线性回归问题，则，，则由参考数据可得，，则模型二的方程为；（2）由模型二的回归方程可得，，，，，，∴，故模型二的拟合效果更好.19. 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：（1）求出表中x，y的值；（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的分布列与均值．附：，．附表：【答案】（1）， （2）见解析 （3），分布列见解析【解析】【分析】（1）设被抽取的20人中，男、女生人数分别为；根据分层抽样的原理，求得，进而求得x，y的值；（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论（3）X可能的取值为0，1，2，3，根据组合数公式和古典概型概率公式计算概率，再得出X的数学期望.【小问1详解】设抽取的20人中，男、女生人数分别为，则, 所以，．【小问2详解】列联表如下：的观测值，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．【小问3详解】的可能取值为0，1，2，3，则，，， ， 所以．其分布列如下表：20. 已知函数.（1）若时，存在，使得不等式成立，求的最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.（参考数据）【答案】（1）；（2）.【解析】分析】(1)由存在使不等式成立，只需，利用导数即可得的最小值；(2)分类讨论a保证在上是单调函数，从而确定a的范围【详解】（1）存在，使得不等式成立，则只需，∵，∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，∴在处取得极小值，即，又，∴，∴，∴，故；（2），当时，，则在上单调递增；当时，∵，∴，∴，则在上单调递增；当时，设，函数开口向下，其对称轴，故只需，即，此时上单调递减，综上可得，.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式能成立问题，及利用导数研究函数的单调性求参数范围，考查了分类讨论的思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.21. 设抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为，若椭圆的右焦点也为，离心率为.（1）求抛物线方程和椭圆方程；（2）若不经过的直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.【答案】（1）抛物线方程为，椭圆方程为；（2）.【解析】【分析】（1）由点到抛物线准线的距离为可得，进而求出，再根据离心率求出，即可求出抛物线方程和椭圆方程；（2）设直线方程为：，联立抛物线方程，利用可求出，再联立直线与椭圆，即可求出弦长表示出面积，即可求出最值.【详解】（1）由已知得，，，所以抛物线方程为，椭圆方程为.（2）设直线方程为：，由消去得，，设，则因为所以或（舍去），所以直线方程为：.由消去得，.设，则所以令，则，所以，当且仅当时，即时，取最大值.【点睛】本题考查抛物线方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最值问题，属于较难题.22. 吉林化工集团是是集炼油、烯烃、合成树脂橡胶、合成氨于一体的特大型综合性石油化工生产企业，其子公司-星云化工厂即将交付客户一批产品“星云军防冻液”，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．（2）已知每件产品检验的成本为10元，若有不合格品进入用户手中，则工厂需要对每件不合格品赔付110元，现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，（ⅰ）若余下的产品不再作检验，以（1）中作为的值，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，试求．（ⅱ）以（ⅰ）检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ）应该作检验【解析】【分析】（1）由二项分布的概率公式求解即可，再根据导数研究单调性即可得；（2）（ⅰ）令表示余下的180件产品中不合格的件数，则，，进而根据期望的性质求解即可；（ⅱ）计算全部作检验的费用，作比较即可得答案.【小问1详解】解：根据题意，，所以，，令得，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减；所以，当时，取得最大值，即.【小问2详解】解：（ⅰ）由（1）知每件产品合格的概率为，所以，令表示余下的180件产品中不合格的件数，则，则，即，所以，.（ⅱ）若对余下的产品作检测，则这一箱产品所需的检测费用为，所以，应该对余下的产品作检测. 年份20162017201820192020年份代码12345每周人均读书时间（小时）1.32.85.78.913.8A类B类C类男生x53女生y33男生女生总计不参加课外阅读参加课外阅读总计a0.100.0050.012.7063.8416.635男生女生总计不参加课外阅读426参加课外阅读8614总计12820
吉林一中2021—2022学年度下学期期中考试高二数学（平行班）试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】因为或，，所以，，因此，.故选：A.2. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由偶次根式的被开方式大于等于0，及分式的分母不等于0即可求解.【详解】解：由题意，，即，所以，所以函数的定义域为，故选：A.3. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】函数是奇函数, 若，则，则，即成立,即充分性成立，若，满足是奇函数，当时满足，此时满足，但，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，所以A选项正确.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.4. 若随机变量，且，则（ ）A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3【答案】A【解析】【分析】根据正态分布的对称即可计算结果.【详解】解：根据正态分布的对称性，.故选：A.5. 若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】由题知，进而得，，再根据期望、方差的性质求解即可.【详解】解：因为随机变量服从两点分布，其中，所以，所以，，，.故BD错误，AC正确.故选：BD6. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数，则函数y＝[f(x)]的值域为（ ）A B. {－1，0，1}C. {－1，0，1，2} D. {0，1，2}【答案】B【解析】【分析】利用换元法求得的值域，由高斯函数的定义求得正确答案.【详解】,令，令，二次函数开口向上，对称轴为，，所以，也即.所以.故选：B7. 2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出“4个医疗小组去的国家各不相同”且“小组甲独自去一个国家”的概率，再求“小组甲独自去一个国家”的概率，代入条件概率公式计算即可．【详解】事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（AB），P（B），P（A|B），故选：A．【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题8. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，得函数为偶函数，且当时，为单调递增函数，进而将问题转换为，再结合奇偶性，对数函数单调性解不等式即可.【详解】解：由题知，函数的定义域为，，所以为偶函数，因为当时，，所以，当时，为单调递增函数，所以，当时，为单调递减函数，因为,所以即为，所以，即，所以.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）A. 目标未被命中的概率为 B. 目标恰好被命中一次的概率为C. 目标恰好被命中两次的概率为 D. 目标被命中的概率为【答案】CD【解析】【分析】根据题意，结合概率的计算，逐项分析即可得解.【详解】对A，目标未被命中，则两次都不中，概率为，故A错误；对B，目标恰好被命中一次，则甲中乙不中，或乙中甲不中，概率为，故B错误；对C，目标恰好被命中两次，则两次都中，概率为，故C正确；对D，目标被命中，从反面考虑可得概率为，故D正确；故选：CD10. 已知（），则下列结论正确的是（ ）A. B. 当时，n=5C. 若（）的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于12或13 D. 当n=4时，【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由二项式展开式的系数的性质判断即可，对于B，由题意可得，从而可求出的值，对于C，利用二项式展开式的系数的性质判断即可，对于D，当时，将代入结合可求得的值【详解】，A正确；的系数，则，所以，B正确；若的展开式中第7项的二项式系数最大，当n为偶数，则n等于12，当n为奇数，则n等于11或13，C错误；当时，，令，则，又，所以，D正确.故选：ABD11. 袋中有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取一个小球，直到取到白球后停止取球，则下列结论正确的是（ ）A. 抽取次后停止取球的概率为B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为C. 取球次数的期望为D. 取球次数的方差为【答案】BD【解析】【分析】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可判断出A选项的正误，计算出取出的白球个数不少于黑球的概率为，可判断出B选项的正误，利用数学期望公式和方差公式计算出随机变量的期望和方差，可判断C、D选项的正误，综合可得出结论.【详解】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，则，，.对于A选项，抽取次后停止取球的概率为，A选项错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为，B选项正确；对于C选项，取球次数的期望为，C选项错误；对于D选项，取球次数的方差为，D选项正确.故选：BD.12. 已知函数，则（ ）A. 在单调递增B. 的值域为C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称【答案】AD【解析】【分析】根据函数的性质分别判断每个选项即可.【详解】对于A，因为在单调递增，在单调递增，所以在单调递增，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，，，所以的图象不关于直线对称，故C错误；对于D，，，，则的图象关于点对称，故D正确.故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．13. 函数的单调递增区间是__________.【答案】（2，+∞）【解析】【分析】根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域.【详解】是复合函数，可以写成，，根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法可知外层函数是增函数，所以只需求在定义域内的单调递增区间，，解得：或，函数在单调递增，在单调递减，所以函数的单调递增区间是.故答案为：14. 幂函数在上单调递增，则m的值为______．【答案】【解析】【分析】利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答.【详解】解：因为函数是幂函数，则有，解得或，当时，函数在上单调递增，符合题意，当时，函数在上单调递减，不符合题意.所以的值为故答案为：15. 设，若是的最小值，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用定义可知在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，再根据是的最小值，可知且，解得结果即可得解.【详解】解：当时，，任设，则，当时，，，所以，所以，当时，，，所以，所以，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，又因为是的最小值，所以且，解得.故答案为：.16. 某同学高考后参加国内3所名牌大学，，的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学，，招生考试的概率分别为，，，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为___________；该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值为___________.【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求出该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，从而求出该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再结合基本不等式即可得的最小值，进而求出该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率最大值．【详解】该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率，该同学至少通过1所大学招生考试的概率为，由得，，，即，解得或，又，，，，该同学恰好通过，两所大学招生考试的概率为，最大值为．故答案为：，．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知数列为等差数列，公差，前n项和为，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据，且，，成等比数列．列出方程，即可解出，即可得出答案.（2）由（1）知，代入，再利用裂项相消求出，即可说明.【详解】（1）由题意得：，，整理得，因为，所以，所以，．（2），，，即．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前项和公式，裂项相消法求数列的前项和.属于基础题.常见的裂项相消: .18. 根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2016年某村在寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯，下表是对2016年以来近5年该村庄100位少年儿童的假期周人均读书时间的统计：现要建立关于的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一；模型二，即使画出关于的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为.（1）请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；（2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为.附：参考数据：，其中，.参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.【答案】（1）；（2）模型二的拟合效果更好.【解析】【分析】（1）首先换元令，先求得和，再根据数据和参考公式求得模型二的方程；（2）利用残差公式，求模型二的残差，比较大小，即可判断.【详解】（1）令，则模型二可化为关于的线性回归问题，则，，则由参考数据可得，，则模型二的方程为；（2）由模型二的回归方程可得，，，，，，∴，故模型二的拟合效果更好.19. 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表：（1）求出表中x，y的值；（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名女生中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的分布列与均值．附：，．附表：【答案】（1）， （2）见解析 （3），分布列见解析【解析】【分析】（1）设被抽取的20人中，男、女生人数分别为；根据分层抽样的原理，求得，进而求得x，y的值；（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论（3）X可能的取值为0，1，2，3，根据组合数公式和古典概型概率公式计算概率，再得出X的数学期望.【小问1详解】设抽取的20人中，男、女生人数分别为，则, 所以，．【小问2详解】列联表如下：的观测值，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．【小问3详解】的可能取值为0，1，2，3，则，，， ， 所以．其分布列如下表：20. 已知函数.（1）若时，存在，使得不等式成立，求的最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.（参考数据）【答案】（1）；（2）.【解析】分析】(1)由存在使不等式成立，只需，利用导数即可得的最小值；(2)分类讨论a保证在上是单调函数，从而确定a的范围【详解】（1）存在，使得不等式成立，则只需，∵，∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，∴在处取得极小值，即，又，∴，∴，∴，故；（2），当时，，则在上单调递增；当时，∵，∴，∴，则在上单调递增；当时，设，函数开口向下，其对称轴，故只需，即，此时上单调递减，综上可得，.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式能成立问题，及利用导数研究函数的单调性求参数范围，考查了分类讨论的思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.21. 设抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为，若椭圆的右焦点也为，离心率为.（1）求抛物线方程和椭圆方程；（2）若不经过的直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.【答案】（1）抛物线方程为，椭圆方程为；（2）.【解析】【分析】（1）由点到抛物线准线的距离为可得，进而求出，再根据离心率求出，即可求出抛物线方程和椭圆方程；（2）设直线方程为：，联立抛物线方程，利用可求出，再联立直线与椭圆，即可求出弦长表示出面积，即可求出最值.【详解】（1）由已知得，，，所以抛物线方程为，椭圆方程为.（2）设直线方程为：，由消去得，，设，则因为所以或（舍去），所以直线方程为：.由消去得，.设，则所以令，则，所以，当且仅当时，即时，取最大值.【点睛】本题考查抛物线方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最值问题，属于较难题.22. 吉林化工集团是是集炼油、烯烃、合成树脂橡胶、合成氨于一体的特大型综合性石油化工生产企业，其子公司-星云化工厂即将交付客户一批产品“星云军防冻液”，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．（2）已知每件产品检验的成本为10元，若有不合格品进入用户手中，则工厂需要对每件不合格品赔付110元，现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，（ⅰ）若余下的产品不再作检验，以（1）中作为的值，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，试求．（ⅱ）以（ⅰ）检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ）应该作检验【解析】【分析】（1）由二项分布的概率公式求解即可，再根据导数研究单调性即可得；（2）（ⅰ）令表示余下的180件产品中不合格的件数，则，，进而根据期望的性质求解即可；（ⅱ）计算全部作检验的费用，作比较即可得答案.【小问1详解】解：根据题意，，所以，，令得，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减；所以，当时，取得最大值，即.【小问2详解】解：（ⅰ）由（1）知每件产品合格的概率为，所以，令表示余下的180件产品中不合格的件数，则，则，即，所以，.（ⅱ）若对余下的产品作检测，则这一箱产品所需的检测费用为，所以，应该对余下的产品作检测. 年份20162017201820192020年份代码12345每周人均读书时间（小时）1.32.85.78.913.8A类B类C类男生x53女生y33男生女生总计不参加课外阅读参加课外阅读总计a0.100.0050.012.7063.8416.635男生女生总计不参加课外阅读426参加课外阅读8614总计12820
相关试卷
2022-2023学年吉林省吉林市第一中学高一（平行班）上学期期末测试数学试题含答案： 这是一份2022-2023学年吉林省吉林市第一中学高一（平行班）上学期期末测试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省吉林市高二上学期期中数学试题含解析： 这是一份2022-2023学年吉林省吉林市高二上学期期中数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年吉林省吉林市第一中学高二下学期期末数学试题解析版： 这是一份2021-2022学年吉林省吉林市第一中学高二下学期期末数学试题解析版，共21页。试卷主要包含了0分，则下列结论正确的是，【答案】A，【答案】D，【答案】C，【答案】AD等内容，欢迎下载使用。
