2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（下）开学数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N}，B={6,8,10,14}，则A∩B中的元素个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
2.已知角α的终边与单位圆交点坐标为P(− 55,2 55)，则csα的值为( )
A. −2B. 2 55C. −2 55D. − 55
3.一元二次方程x2+2x+m=0有实数解的一个必要不充分条件为( )
A. m<1B. m≤1C. m≥1D. m<2
4.若函数y=f(x)的定义域为M={x|−2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.已知sinθ+csθ= 52，且0<θ<π4，则sin2θ=( )
A. 18B. −18C. 14D. −14
6.下列函数的最小值为2的是( )
A. y=x2+2xB. y=x+3+1x+3(x>−3)
C. y=x−1+1x−1(x>2)D. y=sinx+1sinx
7.若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，则满足f(x)<0的x的取值范围是( )
A. (−2,2)∪(2,+∞)B. (−2,0)∪(0,2)
C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(2,+∞)
8.设a=lg34，b=lg45，c=lg56，则( )
A. a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若a，b，c，为实数，且0A. 1a<1bB. ab10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 周期为π
B. 直线x=π是f(x)图像的一条对称轴
C. 点(−π12,0)是f(x)图像的一个对称中心
D. 将f(x)的图像向左平移π12个单位长度后，可得到一个偶函数的图像
11.如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y=at，关于下列说法正确的是( )
A. a的值为3
B. 浮萍每月的增长面积相同
C. 第3个月时，浮萍面积超过25m2
D. 若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t2=t1+t3
12.若定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足：f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，则下列结论中正确的是( )
A. f(1)=0B. f(4)=2
C. f(x)−f(−x)=0D. f(x)+f(−x)=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.tan30°的值是______．
14.已知函数f(x)=lg2x,x>02x,x≤0，则f(4)= ______；f(−1)= ______．
15.命题“∀x∈R，x2+3x−1≥0”的否定是______．
16.设x1满足2x+lnx=3，x2满足ln(1−x)−2x=1，则x1+x2= ______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知0<β<α<π2，且_____，求csβ的值.请从下列①②③中任选两个补充在空格上，并给予解答.三个条件分别是：
①csα=17；
②cs(α+β)=−1114；
③cs(α−β)=1314．
注：若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．
18.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=xα经过(12,14)．
(1)求α的值；
(2)若g(x)=f(x)−2x，试判断g(x)在(0,+∞)的单调性并用定义法证明．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π2)，f(π4)=12．
(1)求φ的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)求函数f(x)在区间[−π2,π2]上的最小值．
20.(本小题12分)
若函数f(x)=|x|(x−a)(a>0)．
(1)写出当x≥0时，f(x)的解析式；
(2)在给定的坐标轴上，画出f(x)的图像；
(3)试讨论函数y=f(x)的图像与直线y=−1的交点个数．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x−13x+1．
(1)证明：f(x)为奇函数；
(2)若不等式a⋅f(x)−f(2x)>0对任意x>0都成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由集合A={x|x=3n+2,n∈N}得：A={2,5,8,11,14,...}，
又B={6,8,10,14}，
所以A∩B={8,14}．
故选：C．
先列举出集合A的元素，再根据交集定义求得结果．
本题考查交集的运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：三角函数的定义，角的终边与单位圆交点的横坐标为该角的余弦值，即csα=− 55，
故选：D．
根据三角函数的定义可得答案．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：方程x2+2x+m=0有实数解⇔Δ=4−4m≥0，解得m≤1．
∴方程x2+2x+m=0有实数解的一个必要不充分条件为m<2．
故选：D．
方程x2+2x+m=0有实数解⇔Δ=4−4m≥0，解得m范围即可判断出．
本题考查了一元二次方程有实数根的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的图象与函数的对应关系，函数的定义域，值域的应用，是基础题．
通过函数的定义域以及函数的值域，结合函数的定义判断选项的正误即可．
【解答】
解：函数y=f(x)的定义域为M={x|−2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，
可知A图象定义域不满足条件；
B图象不满足函数的值域；
C图象满足题目要求；
D图象，不是函数的图象；
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：由sinθ+csθ= 52两边平方，得(sinθ+csθ)2=54，
即1+2sinθ⋅csθ=54，所以sin2θ=14．
故选：C．
把sinθ+csθ= 52两边平方，根据二倍角公式整理得到到结果．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：选项A，当x<0时，y<0，所以函数的最小值为2错误，故A错误；
选项B，由x>−3得x+3>0，根据均值不等式，y=x+3+1x+3≥2 (x+3)×1x+3=2，当x=−2时，y取最小值2，故B正确；
选项C，由x>2得x−2>0，y=x−1+1x−1≥2，而当x=2时，y才能取最小值，所以取不到最小值，故C错误；
选项D，sinx∈[−1,1]，当sinx<0时，y<0，所以函数的最小值为2错误，故D错误．
故选：B．
均值不等式使用的条件是“一正二定三相等”，判断各选项时注意验证这些条件．
本题主要考查了基本不等式应用条件的检验，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：因为定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，f(−2)=0，
所以由f(x)<0可得x∈(−2,0)∪(2,+∞)，
故选：D．
根据奇函数可得函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，f(−2)=0，然后可得答案．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意，在f(x)=lgx(x+1)=lg(x+1)lgx中，y=lg(x+1)的图象在函数y=lgx图象的上方，且随着x的增大，两条曲线越来越接近，
这说明，随着x的增大，两个函数的值越来越接近，
∵lg(x+1)>lgx>0，所以随着x的增大，比值lg(x+1)lgx越来越小，且趋向1，
∴f(x)=lgx(x+1)是(−1,+∞)上的减函数，
∴f(3)>f(4)>f(5)，
即a>b>c．
故选：B．
构造函数，然后根据对数函数的性质，得到构造函数的单调性，即可得出结论．
本题主要考查对数函数的图象和性质，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A：因为0对于选项B：因为0对于选项C：因为0对于选项D：因为0故选：BCD．
利用不等式的性质逐一判断即可．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由函数图像可知，A=2，最小正周期为T=4(5π12−π6)=π，
∴ω=2ππ=2，将点(π6,2)代入函数解析式中，得：2=2sin(π3+φ)，
又|φ|<π2，∴φ=π6，故f(x)=2sin(2x+π6)．
对于选项A：函数的最小正周期为T=π，故A正确；
对于选项B：令2x+π6=π2+kπ,k∈Z，即x=π6+kπ2,k∈Z，
因此其对称轴为x=π6+kπ2，k∈Z，无论k取何值，x≠π，故B不正确；
对于选项C：令2x+π6=kπ,k∈Z，所以x=−π12+kπ2,k∈Z，
即f(x)的对称中心为(−π12+kπ2,0),k∈Z，
点(−π12,0)是f(x)图像的一个对称中心，故C正确；
对于选项D：将f(x)的图像向左平移π12个单位长度后，
得到g(x)=2sin[2(x+π12)+π6]=2sin(2x+π3)的图像，该函数不是偶函数，故D不正确．
故选：AC．
根据图像最高点得到A，由周期得到ω，再将点(π6,2)代入函数解析式中求得φ，再根据正弦型函数的图像性质，对选项逐一判断即可得到结果．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A选项，由图像可知，函数过点(1,3)，∴a=3，
∴函数解析式为y=3t，选项A正确；
对于B选项，∵函数y=3t是指数函数，是曲线型函数，∴浮萍每月增加的面积不相等，选项B错误，
对于C选项，当t=3时，y=33=27>25，故选项C正确，
对于D选项，∵3t1=2，3t2=4，3t3=8，∴t1=lg32，t2=lg34，t3=lg38，
又∵2lg34=lg316=lg32+lg38，∴2t2=t1+t3，选项D正确．
故选：ACD．
根据函数图像过点(1,3)可求出a的值，即可判断A，根据指数函数的知识可判断B，求出t=3时的函数值可判断C，t1=lg32，t2=lg34，t3=lg38，然后根据对数的运算可判断D．
本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．
12.【答案】ABC
【解析】解：由已知可得函数f(x)的定义域为(−∞,0)⋃(0,+∞)，
满足f(xy)=f(x)+f(y)①，且f(2)=1，
对于A，可令x=y=1，代入①式，得f(1)=f(1)+f(1)，得f(1)=0，故A正确；
对于B，可令x=y=2，代入①式，得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2，得f(4)=2，故B正确；
令x=y=−1，代入①式，得f(1)=f(−1)+f(−1)=2f(−1)，而f(1)=0得f(−1)=0，
可令y=−1代入①式，得f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)，整理得f(−x)=f(x)，
故C正确，D错误．
故选：ABC．
利用赋值法，对x、y灵活赋值，对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的运用，考查函数与方程思想与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】 33
【解析】解：tan30°= 33．
故答案为： 33．
直接根据特殊角的三角函数值解答．
本题考查任意角的三角函数的定义以及特殊角的三角函数值．特殊角三角函数值计算在考试中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
14.【答案】2 12
【解析】解：由f(x)=lg2x,x>02x,x≤0，
得f(4)=lg24=2，f(−1)=2−1=12．
故答案为：2；12．
根据函数解析式直接求函数值即可．
本题主要考查函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】∃x0∈R，x02+3x0−1<0
【解析】解：命题“∀x∈R，x2+3x−1≥0”的否定是“∃x0∈R，x02+3x0−1<0”，
故答案为：∃x0∈R，x02+3x0−1<0．
根据全称命题的否定可得答案．
本题主要考查了命题的否定，属于基础题．
16.【答案】1
【解析】解：根据题意，2x1+lnx1=3，ln(1−x2)−2x2=1，
令1−x2=t，则2t+lnt=3，
∵f(x)=2x+lnx在(0,+∞)上单调递增，
∴t=x1，
∴x1+x2=1．
故答案为：1．
根据题意可得出2x1+lnx1=3，ln(1−x2)−2x2=1，可令1−x2=t，从而得出2t+lnt=3，并可判断f(x)=2x+lnx是单调函数，从而得出t=x1，进而可求出x1+x2的值．
本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，单调函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：若选择①②，
∵α∈(0,π2)，∴sinα= 1−cs2α=4 37，
∵0<β<α<π2，∴α+β∈(0,π)，
∴sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=5 314，
∴csβ=cs[(α+β)−α]=cs(α+β)csα+sin(α+β)sinα=−1114×17+5 314×4 37=12；
若选择①③，
∵α∈(0,π2)，∴sinα= 1−cs2α=4 37，
∵0<β<α<π2，∴0<α−β<π2，
∴sin(α−β)= 1−cs2(α−β)=3 314，
∴csβ=cs[α−(α−β)]=csαcs(α−β)+sinαsin(α−β)=17×1314+4 37×3 314=12；
若选择②③，
∵0<β<α<π2，∴0<α+β<π，0<α−β<π2，
∴sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=5 314，sin(α−β)= 1−cs2(α−β)=3 314，
∴cs(2β)=cs[(α+β)−(α−β)]=cs(α+β)cs(α−β)+sin(α+β)sin(α−β)=−1114×1314+5 314×3 314=−12．
∴cs2β=cs2β+12=−12+12=14，
∵csβ>0，∴csβ=12．
【解析】选择①②，先由所给余弦值结合角的范围，分别求出正弦值，csβ=cs[(α+β)−α]展开求值即可；
选择①③，先由所给余弦值结合角的范围，分别求出正弦值，csβ=cs[α−(α−β)]展开求值即可；
选择②③，先由所给余弦值结合角的范围，分别求出正弦值，先求出cs(2β)=cs[(α+β)−(α−β)]，再根据二倍角公式求得结果；
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵幂函数f(x)=xα经过(12,14)，
∴(12)α=14，
解得α=2；
(2)由f(x)=x2，得g(x)=x2−2x，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，
g(x)在(0,+∞)上单调递增，证明如下：
任取0∵x1−x2<0，x1⋅x2>0，x1x2+2>0，
∴g(x1)−g(x2)<0，
即g(x1)∴g(x)在(0,+∞)上单调递增．
【解析】(1)把图像上的点代入函数解析式，解出α；
(2)利用函数单调性的定义，判断并证明．
本题主要考查了幂函数的定义，考查了函数的单调性的定义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵f(π4)=12，∴sin(π2+φ)=12，
∴csφ=12，∵0<φ<π2，∴φ=π3；
(2)f(x)=sin(2x+π3)，令2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，
得2kπ−5π6≤2x≤2kπ+π6，k∈Z，即kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z；
(3)∵−π2≤x≤π2，∴−2π3≤2x+π3≤4π3，
∴当2x+π6=−π2，即x=−π3时，f(x)min=−1．
【解析】(1)根据f(π4)=12，结合诱导公式即可得解；
(2)根据正弦函数的单调性结合整体思想求解即可；
(3)根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可．
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)当x≥0时，f(x)的解析式为f(x)=x(x−a)．
(2)由(1)知，当x∈R时，f(x)=x(x−a),x≥0−x(x−a),x<0，
如图所示，为所求函数图像．

(3)由(2)可得，当x≥0时，f(x)min=f(a2)=−a24．
结合(2)所画图像，函数y=f(x)图像与直线y=−1的交点个数情况如下：
①当0−1，函数y=f(x)图像与直线y=−1有1个交点；
②当a=2时，−a24=−1，函数y=f(x)图像与直线y=−1有2个交点；
③当a>2时，−a24<−1，函数y=f(x)图像与直线y=−1有3个交点．
综上所述，函数y=f(x)图像与直线y=−1的交点个数情况是：
当02时，两个图像有3个交点．
【解析】(1)直接可得答案；
(2)当x∈R时，f(x)=x(x−a),x≥0−x(x−a),x<0，然后根据二次函数的知识画出图像即可；
(3)讨论−a24与−1的大小即可．
本题主要考查函数解析式的求法，函数图像的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：函数f(x)定义域为(−∞,+∞)，
又f(−x)=3−x−13−x+1，=1−3x1+3x，
则f(−x)=−f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(2)由题知：当x∈(0,+∞)，a⋅3x−13x+1−32x−132x+1>0恒成立，
则a>(3x+1)232x+1，
令t=3x，t∈(1,+∞)，
所以a>(t+1)2t2+1，
即a>1+2tt2+1=1+2t+1t，
又1+2t+1t≤1+22 t⋅1t=2，当且仅当t=1时等号成立，
而t>1，
所以(t+1)2t2+1<2，
则a≥2，
即实数a的取值范围为[2,+∞)．
【解析】(1)根据奇函数的定义判断即可；
(2)把函数f(x)代入不等式，进行参变分离，根据均值不等式求得函数的最值，从而得到结果．
本题考查函数的奇偶性以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．