2023-2024学年河南省驻马店二中八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年河南省驻马店二中八年级（下）期中数学试卷，共18页。

A．B．
C．D．
2．（3分）已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的是（ ）
A．a＞bB．﹣a＞﹣bC．a+2＞b+2D．2a＞2b
3．（3分）下列条件中，a、b、c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2+b2＝c2B．∠A+∠B＝∠C
C．a：b：c＝1：2：3D．a＝3，b＝4，c＝5
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（-3，-2）向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B′的坐标为（ ）
A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，﹣2）D．（2，﹣2）
5．（3分）已知方程组：的解x,y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣B．m≥C．m≥1D．﹣≤m≤1
6．（3分）如图，直线y=-2x+2与直线y=kx+b（k、b为常数，k≠0）相交于点A（m,4），则关于x的不等式-2x+2＜kx+b的解集为（ ）
A．x＞﹣1B．x＜﹣2C．x＜﹣1D．x＞﹣2
7．（3分）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．E△ABC＝7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．4B．3C．6D．5
8．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=126°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′刚好落在BC边上，且AB′=CB′，则∠C′的度数为（ ）
A．18°B．16°C．15°D．14°
9．（3分）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x,根据题意x应满足的不等式（组）为（ ）
A．4x+19﹣7（x﹣1）＞0
B．4x+19﹣7（x﹣1）＜5
C．
D．
10．（3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，将△AOB沿x轴依次以三角形三个顶点为旋转中心顺时针旋转，分别得图②，图③，则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是（ ）
A．（28，4）B．（36，0）C．（39，0）D．（，）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设 ．
12．（3分）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ．
13．（3分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A=50°，则它的特征值k等于 ．
14．（3分）如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，DE⊥BC于点E，CE=6，则线段BE的长为 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）解不等式组：
（1）
（2）
17．（9分）如图，在△ABC中，BD是中线，使CE=CD，若DB=DE，∠E=30°．求证：△ABC是等边三角形．
18．（9分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，已知Rt△ABC的三个顶点A（-3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣3，﹣4），请画出平移后对应的△A2B2C2；若△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
19．（9分）如图，在△ABC中∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，连接CE，交AD于点F．
（1）求证：AD是线段CE的垂直平分线；
（2）若∠BAC=60°，AD=16，求DF的长．
20．（9分）若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的2x-4=0解为x=2．不等式组集为1＜x＜5．因为1＜2＜5．所以称方程2x-4=0为不等式组，的“友好方程”．
（1）请你写出一个方程 ，使它和不等式组为“友好方程”；
（2）若关于x的方程2x﹣k＝4是不等式组的“友好方程”，求k的取值范围；
（3）若关于x的方程x+3﹣4m＝0是关于x的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求m的取值范围．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40°．
（1）利用直尺和圆规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
①在BC上求作一点D，使得AD+DC=BC；
②连接AD，在DC上找一点E，使得点E到AD，AC的距离相等．
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
22．（9分）某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费120元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋4个共花费88元．
（1）求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；
（2）若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为w元．
①求w关于x的函数关系式；
②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
23．（12分）探究：
如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°．
①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；
②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D=180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE=45°，若BD=1，请直接写出DE的长．
2023-2024学年河南省驻马店二中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【答案】D
【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
2．【答案】B
【解答】解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，3a＞2b．
故选：B．
3．【答案】C
【解答】解：A、∵a2+b2＝c4，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
B、∵∠A+∠B＝∠C，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
C、∵a：b：c＝1：2：5，12+42≠37，
∴△ABC不是直角三角形，
故符合题意；
D、∵a＝3，c＝5，52+43＝25＝52，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
故选：C．
4．【答案】C
【解答】解：点A（﹣3，﹣2）向右平移6个单位长度得到的B的坐标为（﹣3+5，即（2，
则点B关于y轴的对称点B′的坐标是：（﹣2，﹣2）．
故选：C．
5．【答案】A
【解答】解：，
②﹣①×2得，
6x＝﹣m+1，
解得x＝﹣﹣﹣③；
把③代入①得，
y＝﹣﹣﹣④；
∵2x+y≥0，
∴×2+，
解得m≥﹣．
故选：A．
6．【答案】A
【解答】解：把A（m，4）代入y＝﹣2x+7得﹣2m+2＝5，
当x＞﹣1时，﹣2x+7＜kx+b．
故选：A．
7．【答案】B
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝4，
∴5＝，
∴7＝×4×4，
∴AC＝5．
故选：B．
8．【答案】A
【解答】解：由旋转的性质可知，AB＝AB′，
∴AB＝AB′＝CB′，
∴∠ABB′＝∠B，∠C＝∠B′AC，
∴∠B＝∠ABB′＝∠C+∠B′AC＝2∠C，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴3∠C+126°＝180°，
解得，∠C＝18°，
故选：A．
9．【答案】C
【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，
∴学生总人数为（4x+19）人，
由题意得：，
故选：C．
10．【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，
∴AB＝＝＝5，
根据图形，每5个图形为一个循环组，
所以，图⑨的直角顶点在x轴上，
所以，图⑨的顶点坐标为（36，
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，
∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故选：B．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案为：∠B≥90°．
12．【答案】a＞2．
【解答】解：不等式整理得：，
∵不等式组无解，
∴＜a，
解得：a＞2．
故答案为：a＞4．
13．【答案】或．
【解答】解：当∠A为顶角时，∠B＝∠C＝，
∴它的特征值k＝＝；
当∠A为底角时，顶角＝180°﹣7∠A＝80°，
∴它的特征值k＝＝．
故答案为：或．
14．【答案】18．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，BC＝AC，
∵DE⊥BC于点E，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE＝12，
∵D为AC的中点，
∴AC＝2CD＝24，
∴BC＝24，
∴BE＝BC﹣CE＝18，
故答案为：18．
15．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（i）当B′D＝B′C时，
过B′点作GH∥AD，则∠B′GE＝90°，
当B′C＝B′D时，AG＝DH＝，
由AE＝6，AB＝16．
由翻折的性质，得B′E＝BE＝13．
∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝4，
∴B′G＝＝＝12，
∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4，
∴DB′＝＝＝3
（ii）当DB′＝CD时，则DB′＝16（易知点F在BC上且不与点C．
（iii）当CB′＝CD时，则CB＝CB′，得EB＝EB′、C在BB′的垂直平分线上，由折叠，∴点F与点C重合，C重合的一个动点”不符，应舍去．
综上所述，DB′的长为16或4．
故答案为：16或4．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．【答案】（1）﹣2＜x＜1；
（2）x＜1．
【解答】解：（1）解，
解不等式①得：x＞﹣7，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集为﹣2＜x＜5；
（2），
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＜6，
∴不等式组的解集为x＜7．
17．【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠BDC＝90°，
∵BD是中线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
18．【答案】（1）作图见解析部分；
（2）作图见解析部分，旋转中心（0，﹣1）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C为所作；
（2）如图，△A5B2C2为所作；旋转中心的坐标为（7．
19．【答案】（1）见解答；
（2）4．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（AAS），
∴AE＝AC，DE＝DC，
∴AD是线段CE的垂直平分线；
（2）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠EAD＝∠BAC＝30°，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，
∴DE＝AD＝8，
∵AD是线段CE的垂直平分线，
∴∠DFE＝90°，
∴∠DEF＝90°﹣∠ADE＝30°，
∴DF＝DE＝4，
∴DF的长为7．
20．【答案】（1）x﹣3＝0；
（2）﹣6＜k≤6；
（3）＜m＜1．
【解答】解：（1）解不等式组得1＜x≤5，
不等式组为“友好方程”可以是x﹣8＝0，
故答案为：x﹣3＝7；
（2）解不等式组得：﹣6＜x≤5，
解方程2x﹣k＝2得：x＝，
∵关于x的方程5x﹣k＝4是不等式组的“友好方程”，
∴﹣1＜≤5，
解得：﹣6＜k≤7，
即k的取值范围是﹣6＜k≤6；
（3）解方程x+8﹣4m＝0得x＝7m﹣3，
解关于x的不等式组得7＜x≤3m+1，
∵不等式组有2个整数解，
∴3≤3m+2＜4，
∴≤m＜1，
∵关于x的方程x+3﹣3m＝0是关于x的不等式组的“友好方程”，
∴2＜4m﹣3≤7m+1，
解得m≤4，
所以m的取值范围是＜m＜1．
21．【答案】（1）①见解答．
②见解答．
（2）40°．
【解答】解：（1）①若AD+DC＝BC，
则AD＝BD，
∴点D在线段AB的垂直平分线上．
如图，点D即为所求．
②由题意得，点E在∠CAD的平分线上．
如图，点E即为所求．
（2）∵∠B＝30°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝110°，
由（1）可知，AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴＝40°．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设购进A品牌文具袋的单价为x元，B品牌文具袋的单价为y元，
，得
答：购进A品牌文具袋的单价为7元，B品牌文具袋的单价为16元；
（2）①由题意可得，
w＝（12﹣8）x+（23﹣16）（100﹣x）＝﹣3x+700，
即w关于x的函数关系式为w＝﹣5x+700；
②∵所获利润不低于进货价格的45%，
∴﹣3x+700≥[8x+16（100﹣x）]×45%，
解得，x≥33，
∵x为整数，w＝﹣3x+700，
∴当x＝34时，w取得最大值，100﹣x＝66，
答：购进A品牌文具袋34个，B品牌文具袋66个时，最大利润是598元．
23．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①如图1，
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°
∴F、D、G共线，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠DAG+∠DAF＝45°，
即∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，
故答案为：EF＝BE+DF；
②成立，
理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，
则AE＝AG，∠B＝∠ADG，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠ADG＝180°，
∴C、D、G在一条直线上，
与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵BE＝DG，
∴EF＝GF＝BE+DF；
（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由勾股定理得：BC＝＝4，
如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，连接DF．
则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△FAD和△EAD中，
，
∴△FAD≌△EAD（SAS），
∴DF＝DE，
设DE＝x，则DF＝x，
∵BC＝3，
∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝7﹣x，
∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝90°，
由勾股定理得：DF2＝BF2+BD5，
x2＝（3﹣x）7+12，
解得：x＝，
即DE＝．