2024年湖北省黄石八中教联体中考数学质检试卷（3月份）（含详细答案解析）

这是一份2024年湖北省黄石八中教联体中考数学质检试卷（3月份）（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是−20℃，−10℃，0℃，2℃，其中最低气温是( )
A. −20℃B. −10℃C. 0℃D. 2℃
2.企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美.下列企业标志图为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是( )
A. −c−cC. |a−b|=b−aD. |c−a|=a−c
5.下列计算中，结果正确的是( )
A. (−pq)3=p3q3B. x⋅x3+x2⋅x2=x8
C. 25=±5D. (a2)3=a6
6.估计 2( 8+ 10)的值应在( )
A. 7和8之间B. 8和9之间C. 9和10之间D. 10和11之间
7.下列运算正确的是( )
A. a5÷a2=a3B. a3+a3=a6C. (a3)2=a5D. a2=a
8.化简4x+2+x−2的结果是( )
A. 1B. x2x2−4C. xx+2D. x2x+2
9.如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D.若AB=10，PC=12，则sin∠CAD等于( )
A. 125B. 1312C. 135D. 1213
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵.从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；(31,37)…如果单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律.请写出第n个数对：______.
11.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是______.
12.废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池，大约会污染水7600000L.数据7600000用科学记数法可表示______.
13.化简：21−x−2x1−x的结果为______.
14.一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60∘方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45∘方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是______海里.
15.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，点M为BC的中点，E是BM上的一点，连接AE，作点B关于直线AE的对称点B′，连接DB′并延长交BC于点F.当BF最大时，点B′到BC的距离是______.
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
(1)计算：|− 3|+(12)−1+(π+1)0−tan60∘.
(2)解不等式组：2x+1>3(x−2),x+x−13<1.
17.(本小题6分)
先化简，再求值：(3aa−1−aa+1)÷aa2−1，其中a=1 2+1.
18.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，点M，N分别在边BC，AD上，且AM//CN，对角线BD分别交AM，CN于点E，F.求证BE=DF.
19.(本小题8分)
4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格).数据整理如图表：
学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)写出统计表中a，b，c的值；
(2)若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
(3)从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义.
20.(本小题8分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A(−1,4)，B(a,−1)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)点p(n,0)在x轴负半轴上，连接AP，过点B作BQ//AP，交y=mx的图象于点Q，连接PQ.当BQ=AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值.
21.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE.
(1)求证：DE是⊙O的切线.
(2)若∠ABC=60∘，AB=4，求图中阴影部分的面积.
22.(本小题10分)
在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量.如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为50∘，后退60m(CD=60m)到D处有一平台，在高2m(DE=2m)的平台上的E处，测得B的仰角为26.6∘.则该电视发射塔的高度AB为多少？(精确到1m.参考数据：tan50∘≈1.2，tan26.6∘≈0.5)
23.(本小题11分)
综合与实践：
【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题.
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1,−4).
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB=∠CBD，求点P的坐标；
(3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题可知：−20<−10<0<2，
所以最低气温是−20℃.
故选：A.
明确在实数中负数小于0小于正数，且负数之间比较大小绝对值越大负数越小．
本题考查了实数的比较大小，题目难度较小，一般出现在期末第一题．
2.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C.
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3.【答案】D
【解析】解：俯视图有3列，从左到右小正方形的个数是2，1，1，
故选：D.
从上往下看，看到的平面图形就是俯视图，选择正确选项即可．
本题主要考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从上往下看得到的平面图形．
4.【答案】C
【解析】解：由数轴可得，a∴−c>b，故选项A错误，不符合题意；
a<−c，故选项B错误，不符合题意；
|a−b|=b−a，故选项C正确，符合题意；
|c−a|=c−a，故选项D错误，不符合题意；
故选：C.
根据数轴可得：a本题考查实数与数轴、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5.【答案】D
【解析】解：A：(−pq)3=(−p)3q3=−p3q3，故选项A错误，
B：x⋅x3+x2⋅x2=x4+x4=2x4，故选项B错误，
C： 25=5，故选项C错误，
D：(a2)3=a2×3=a6.
故答案为：D.
本题考查整式的乘法中幂的乘方和积的乘方，算术平方根，同底数幂的乘法的运算．
本题考查整式的乘法中幂的乘方和积的乘方，算术平方根，同底数幂的乘法的运算．解题的关键是理解算术平方根的意义，幂的乘方的运算．
6.【答案】B
【解析】解：原式=4+2 5.
∵2.52=6.25，
∴2< 5<2.5，
∴4<2 5<5，
∴8<4+2 5<9.
故选：B.
化简题干中的式子得到4+2 5，计算出2< 5<2.5.利用不等式的性质，得出式子的值所在的范围．
本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对无理数范围确定及不等式的性质的掌握，解题关键是化简式子并确定无理数的范围利用不等式的性质解决问题．解题时应注意合理缩小无理数的范围得到最准确的答案．
7.【答案】A
【解析】解：A、a5÷a2=a3，故A符合题意；
B、a3+a3=2a3，故B不符合题意；
C、(a3)2=a6，故C不符合题意；
D、 a2=|a|，故D不符合题意；
故选：A.
根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：原式=4x+2+(x−2)(x+2)x+2
=4+x2−4x+2
=x2x+2，
故选：D.
利用分式的加法法则进行计算即可．
本题考查分式的加法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9.【答案】D
【解析】【分析】
连接OC、OD、CD，CD交PA于E，如图，利用切线的性质和切线长定理得到OC⊥CP，PC=PD，OP平分∠CPD，根据等腰三角形的性质得到OP⊥CD，则∠COB=∠DOB，根据圆周角定理得到∠CAD=12∠COD，所以∠COB=∠CAD，然后求出sin∠COP即可．
本题考查了切线的性质，切线长定理．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
【解答】
解：连接OC、OD、CD，CD交PA于点E，如图，
∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，PC=PD，OP平分∠CPD，
∴OP⊥CD，
∴CB=DB，
∴∠COB=∠DOB，
∵∠CAD=12∠COD，
∴∠COB=∠CAD，
∵AB=10，
∴AO=OC=OB=5，
∵OC=5，PC=12，
在Rt△OCP中，
OP= OC2+PC2= 52+122=13，
∴sin∠COP=PCOP=1213，
∴sin∠CAD=1213.
故选：D.
10.【答案】(n2+n+1,n2+2n+2)
【解析】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，...，
即1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，...，
则第n个数对的第一个数为n(n+1)+1，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，...，
即22+1，32+1，42+1，52+1，...，
则第n个数对的第二个数为(n+1)2+1=n2+2n+2，
∴第n个数对为(n2+n+1,n2+2n+2).
故答案为：(n2+n+1,n2+2n+2).
根据题意把每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第n个数对的第一个数为n(n+1)+1，第n个数对的第二个数为(n2+1)+1，于是得到结论．
本题考查了数字的变化规律，找出数字的排列规律，利用拐弯处数字的差的规律求得结果是解题的关键．
11.【答案】16
【解析】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是212=16，
故答案为：16.
画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12.【答案】7.6×106
【解析】解：7600000=7.6×106，
故答案为：7.6×106.
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：原式=2−2x1−x
=2(1−x)1−x
=2，
故答案为：2.
根据分式的运算法则进行计算即可．
本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】6( 3+1)
【解析】解：过点C作CH⊥AB于H.
∵∠DAC=60∘，∠CBE=45∘，
∴∠CAH=90∘−∠CAD=30∘，∠CBH=90∘−∠CBE=45∘，
∴∠BCH=90∘−45∘=45∘=∠CBH，
∴BH=CH，
在Rt△ACH中，∠CAH=30∘，AH=AB+BH=12+CH，tan30∘=CHAH，
∴CH= 33(12+CH)，
解得CH=6( 3+1).
答：渔船与灯塔C的最短距离是6( 3+1)海里．
故答案为：6( 3+1).
过点C作CH⊥AB于H.证得BH=CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出辅助线，熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
15.【答案】165
【解析】解：如图，过点B′作BH⊥BC于H，
∵点B关于直线AE的对称点B′，
∴AB=AB′，BE=B′E，∠AEB=∠AEB′，∠ABE=∠AB′E，
当DF⊥AB′时，BF有最大值，
∴∠AB′F=∠AB′E=90∘，
∴点E与点F重合，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB=∠AEB′，
∴AD=DE=10，
∴CE= DE2−CD2= 100−64=6，
∴BE=4=B′E，
∵B′H⊥BC，DC⊥BC，
∴B′H//CD，
∴△EB′H∽△EDC，
∴EB′DE=B′HCD，
∴410=EB′8，
∴EB′=165，
∴点B′到BC的距离是165，
故答案为：165.
当DF⊥AB′时，BF有最大值，即点E与点F重合，由勾股定理可求CE的长，可求BE=B′E=4，通过证明△EB′H∽△EDC，即可求解．
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，确定点F的位置是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式= 3+2+1− 3
=3；
(2)由2x+1>3(x−2)得x<7，
由x+x−13<1得：x<1，
则不等式组的解集为x<1.
【解析】(1)先计算绝对值、乘方、代入三角函数值，再计算加减即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：原式=(3a2+3aa2−1−a2−aa2−1)⋅a2−1a
=2a2+4a(a+1)(a−1)⋅(a+1)(a−1)a
=2a+4，
当a=1 2+1= 2−1( 2+1)( 2−1)= 2−1时，原式=2( 2−1)+4=2 2+2.
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，利用分母有理化把a化简，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】证明：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，BO=DO，
∵AM//CN，
∴∠EAC=∠FCA，
在△AEO与△CFO中，
∠EAC=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，
∴BO−OE=OD−OF，
∴BE=DF.
【解析】连接AC交BD于O，根据平行四边形的性质得到AO=OC，BO=DO，根据全等三角形的性质得到OE=OF，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由扇形统计图可得，
a=8，b=1−20%=80%，
由频数分布直方图可得，
八年级成绩中5分有3人，6分有2人，7分有5人，8分有4人，9分有3人，10分有3人，
故中位数是c=(7+8)÷2=7.5，
由上可得，a=8，b=80%，c=7.5；
(2)600×85%=510(人)，
答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为510人；
(3)根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势一样(答案不唯一).
【解析】(1)根据统计图中的数据，可以写出a的值，计算出b、c的值；
(2)根据八年级抽取的人数的合格率进行求解即可；
(3)根据中位数、众数的的意义解答即可．
本题考查频数分布直方图，平均数、中位数、扇形统计图，掌握平均数、中位数的计算方法是正确解答的前提．
20.【答案】解：(1)反比例函数y=mx的图象过A(−1,4)，B(a,−1)两点，
∴m=−1×4=a×(−1)，
∴m=−4，a=4，
∴反比例函数为y=−4x，B(4,−1)，
把A、B的坐标代入y=kx+b得4k+b=−1−k+b=4，
解得k=−1b=3，
∴一次函数为y=−x+3；
(2)∵A(−1,4)，B(4,−1)，P(n,0)，BQ//AP，BQ=AP，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A向左平移−1−n个单位，向下平移4个单位得到P，
∴点B(4,−1)向左平移−1−n个单位，向下平移4个单位得到Q(5+n,−5)，
∵点Q在y=−4x上，
∴5+n=45，
解得n=−215.
∴Q(45,−5)，
如图，连接AQ，交x轴于点C，
设直线AQ为y=k′x+b′，
则−k′+b′=445k′+b′=−5解得k′=−5b′=−1
∴直线AQ为y=−5x−1，
令y=0，则x=−15，
∴C(−15,0)，
∴PC=−15+215=4，
∴S△APQ=s△APC+S△QPC=12×4×(4+5)=18，
∴四边形APQB的面积为36，
故n=−215符合题意.
【解析】(1)根据反比例函数过A(−1,4)，B(a,−1)，求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式；
(2)证得四边形APQB是平行四边形，根据平移的思想得到Q点的坐标，代入反比例函数解析式即可求得n的值．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质，平行四边形的性质，不是出Q点的坐标是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：连接OD，
∵DE⊥CB，
∴∠E=90∘，
∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠DBE，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABD，
∴∠ODB=∠DBE，
∴OD//BE，
∴∠ODE=180∘−∠E=90∘，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，
∵∠ABC=60∘，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=12AB=2，∠BOC=60∘，
在Rt△OBF中，OF=OB⋅sin60∘=2× 32= 3，
∴图中阴影部分的面积=扇形BOC的面积−△BOC的面积
=60π×22360−12BC⋅OF
=2π3−12×2× 3
=2π3− 3，
∴图中阴影部分的面积为2π3− 3.
【解析】(1)连接OD，根据垂直定义可得∠E=90∘，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得OD//BE，然后利用平行线的性质可得∠ODE=90∘，即可解答；
(2)连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，根据已知易得△OBC是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得OB=OC=BC=2，∠BOC=60∘，然后在Rt△OBF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，最后根据图中阴影部分的面积=扇形BOC的面积−△BOC的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，
由题意得：AF=DE=2m，EF=AD，BA⊥DA，
设AC=xm，
∵CD=60m，
∴EF=AD=AC+CD=(x+60)m，
在Rt△ABC中，∠BCA=50∘，
∴AB=AC⋅tan50∘≈1.2x(m)，
在Rt△FBE中，∠BEF=26.6∘，
∴BF=EF⋅tan26.6∘≈0.5(x+60)m，
∴AB=BF+AF=[2+0.5(x+60)]m，
∴1.2x=2+0.5(x+60)，
解得：x=3207，
∴AB=1.2x≈55(m)，
∴该电视发射塔的高度AB约为55m.
【解析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：AF=DE=2m，EF=AD，BA⊥DA，然后设AC=xm，则EF=AD=(x+60)m，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在Rt△FBE中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)四边形ABCD是正方形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90∘，
∵GD⊥DF，
∴∠FDG=90∘，
∴∠ADG=∠CDF，
又∵AG=CF，∠G=∠DFC=90∘，
∴△ADG≌△CDF(AAS)，
∴AD=CD，
∴矩形ABCD是正方形；
(2)HF=AH+CF，
理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，
∴四边形HFDG是矩形，
∴∠G=∠DFC=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90∘，
∴∠ADG=∠CDF，
∴△ADG≌△CDF(AAS)，
∴AG=CF，DG=DF，
∴矩形HFDG是正方形，
∴HG=HF=AH+AG=AH+CF；
(3)连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45∘，
∵AH⊥CE，AH=HM，
∴△AHM是等腰直角三角形，
∴∠HAM=45∘，
∴∠HAB=∠MAC，
∵AHAM=ABAC= 22，
∴△AHB∽△AMC，
∴BHCM=AHAM= 22，
即BH= 22CM.
【解析】【分析】
(1)根据矩形的性质得到∠ADC=90∘，得到∠ADG=∠CDF，根据全等三角形的判定和性质得到AD=CD，于是得到四边形ABCD是正方形；
(2)根据矩形的判定定理得到四边形HFDG是矩形，求得∠G=∠DFC=90∘，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=90∘，求得∠ADG=∠CDF，根据全等三角形的判定和性质得到AG=CF，DG=DF，根据正方形的判定定理得到矩形HFDG是正方形，于是得到HG=HF=AH+AG=AH+CF；
(3)连接AC，根据正方形的性质得到∠BAC=45∘，根据等腰直角三角形的性质得到∠HAM=45∘，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵顶点D的坐标为(1,−4)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2−4，将点A(−1,0)代入，
得0=a(−1−1)2−4，
解得：a=1，
∴y=(x−1)2−4=x2−2x−3，
∴该抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)∵抛物线对称轴为直线x=1，A(−1,0)，
∴B(3,0)，
设直线BD解析式为y=kx+e，
∵B(3,0)，D(1,−4)，
∴3k+e=0k+e=−4，
解得：k=2e=−6，
∴直线BD解析式为y=2x−6，
过点C作CP1//BD，交抛物线于点P1，
设直线CP1的解析式为y=2x+d，将C(0,−3)代入，
得−3=2×0+d，
解得：d=−3，
∴直线CP1的解析式为y=2x−3，
结合抛物线y=x2−2x−3，可得x2−2x−3=2x−3，
解得：x1=0(舍)，x2=4，
故P1(4,5)，
过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，
∵OB=OC，∠BOC=∠OBG=∠OCG=90∘，
∴四边形OBGC是正方形，
设CP1与x轴交于点E，则2x−3=0，
解得：x=32，
∴E(32,0)，
在x轴下方作∠BCF=∠BCE交BG于点F，
∵四边形OBGC是正方形，
∴OC=OB=BG=3，∠COE=∠G=90∘，∠OCB=∠GCB=45∘，
∴∠OCB−∠BCE=∠GCB−∠BCF，
即∠OCE=∠GCF，
∴△OCE≌△GCF(ASA)，
∴FG=OE=32，
∴BF=BG−FG=3−32=32，
∴F(3,−32)，
设直线CF解析式为y=k1x+e1，
∵C(0,−3)，F(3,−32)，
∴e1=−33k1+e1=−32，
解得：k1=12e1=−3，
∴直线CF解析式为y=12x−3，
结合抛物线y=x2−2x−3，可得x2−2x−3=12x−3，
解得：x1=0(舍)，x2=52，
∴P2(52,−74)，
综上所述，符合条件的P点坐标为：P1(4,5)，P2(52,−74)；
(3)设直线AC解析式为y=m1x+n1，直线BC解析式为y=m2x+n2，
∵A(−1,0)，C(0,−3)，
∴−m1+n1=0n1=−3，
解得：m1=−3n1=−3，
∴直线AC解析式为y=−3x−3，
∵B(3,0)，C(0,−3)，
∴3m2+n2=0n2=−3，
解得：m2=1n2=−3，
∴直线BC解析式为y=x−3，
设M(t,t−3)，
①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，
此时∠NMQ=90∘，MN=MQ，如图2，
∵MQ//x轴，
∴Q(−13t,t−3)，
∴|t−3|=|t−(−13t)|，
解得：t=−9或97，
∴M1(97,−127)，Q1(−37,−127)；M2(−9,−12)，Q2(3,−12)；
②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，
此时∠MNQ=90∘，MN=NQ，如图3，
∵N(t,0)，
∴Q(−1,0)，
∴|t−3|=|t−(−1)|，
解得：t=1，
∴M3(1,−2)，Q3(−1,0)；
③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，
此时∠MQN=90∘，MQ=NQ，如图4，
∴Q(−t+36,t−32)，
∴|t−3|=2|t−(−t+36)|，
解得：t=−3或35，
∴M4(−3,−6)，Q4(0,−3)；M5(35,−125)，Q5(−35,−65)；
综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：
M1(97,−127)，Q1(−37,−127)；
M2(−9,−12)，Q2(3,−12)；
M3(1,−2)，Q3(−1,0)；
M4(−3,−6)，Q4(0,−3)；
M5(35,−125)，Q5(−35,−65).
【解析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函数与二次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角形性质等，本题属于中考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．
(1)根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y=a(x−1)2−4，将点A(−1,0)代入，求出a即可得出答案；
(2)利用待定系数法求出直线BD解析式为y=2x−6，过点C作CP1//BD，交抛物线于点P1，再运用待定系数法求出直线CP1的解析式为y=2x−3，联立方程组即可求出P1(4,5)，过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，证明△OCE≌△GCF(ASA)，运用待定系数法求出直线CF解析式为y=12x−3，即可求出P2(52,−74)；
(3)利用待定系数法求出直线AC解析式为y=−3x−3，直线BC解析式为y=x−3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．七年级
八年级
平均数
7.55
7.55
中位数
8
c
众数
a
7
合格率
b
85%