2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年四川省泸州市龙马潭区高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z=(1+i)(2−i)，则在复平面内复数z对应的点位于.( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.设e是单位向量，AB=e，CD=−e，|AD|=1，则四边形ABCD是( )
A. 梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
3.在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记AC=a，DB=b，则AE=( )
A. 12a−14bB. 23a+13bC. a+12bD. 34a+14b
4.已知向量a，b满足|a|=1，|b|= 3，|a−2b|=3，则a⋅b=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
5.已知sinθ+sin(θ+π3)=1，则sin(θ+π6)=( )
A. 12B. 33C. 23D. 22
6.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcsC+ccsB=asinA，则△ABC的形状为.( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定
7.已知sinα−csα=15,0≤α≤π，则sin(2α−π4)=( )
A. −17 250B. 17 250C. −31 250D. 31 250
8.已知|a|=|b|=2，a⋅b=2，(2a−c)⋅(b−c)=0，则|a−c|的最大值为( )
A. 1+ 3B. 2− 3C. 2D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列等式成立的是( )
A. sin26∘−cs26∘=cs12∘B. 4sin15∘cs15∘=1
C. sin6∘−cs6∘=− 2sin39∘D. 3−tan15∘1+ 3tan15∘=1
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ是常数，A>0，ω>0，−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的值域为[− 2, 2]
B. f(x)的最小正周期为π
C. φ=π6
D. 将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)= 2cs2x的图象
11.已知AC为圆锥SO底面圆O的直径(S为顶点，O为圆心)，点B为圆O上异于A，C的动点，SO=1,OC= 3，则下列结论正确的为( )
A. 圆锥SO的侧面积为2 3π
B. ∠SAB的取值范围为(π6,π3)
C. 若AB=BC，E为线段AB上的动点，则(SE+CE)min= 10+2 15
D. 过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面内给定三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)，若(a+kc)//(2b−a)，则实数k等于______.
13.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acs(B−C)+acsA=2 3csinBcsA，b2+c2−a2=2，则△ABC的面积为______.
14.在△ABC中，AB= 3，C=π3，当BC+3AC取最大值时，AC=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果AB=e1+e2，BC=2e1+8e2，CD=3(e1−e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使4ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值．
16.(本小题15分)
设函数f(x)=sinx+csx(x∈R).
(1)求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；
(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在[0,π2]上的最大值.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin(2x+π3)+cs(2x+π6)−2sinxcsx.
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=g(x)的图象，求y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=b( 3sinC+csC).
(1)求B；
(2)已知BC=2 3，D为边AB上的一点，若BD=1，∠ACD=π2，求AC的长．
19.(本小题17分)
如图，在△ABC中，B=π3，AB=2，
(1)若BC=5，M、N分别为AC、BC的中点，设AN、BM交于点P，求∠MPN的余弦值；
(2)若点M满足AM=13AC，BM⋅AC=43，O为BM中点，点N在线段BC上移动(包括端点)，求OA⋅ON的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
【解答】
解：∵z=(1+i)(2−i)=2−i+2i−i2=3+i，
∴在复平面内复数z对应的点的坐标为(3,1)，位于第一象限．
故答案选：A.
2.【答案】B
【解析】解：因为AB=e，CD=−e，
所以AB=e=−CD，即AB//CD，
所以|AB|=|CD|=|e|=1，
所以四边形ABCD是平行四边形，
因为|AD|=1，即|AB|=|AD|，
由菱形的判定定理可知，四边形ABCD是菱形．
故选：B.
根据共线向量及菱形知识可得解．
本题主要考查向量的概念与向量的模，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：如图所示，
可得CB=OB−OC=12DB−12AC=12b−12a，
所以AE=AC+CE=AC+12CB=a+12(12b−12a)=34a+14b.
故选：D.
根据向量的线性运算法则，求得CB=12b−12a，结合AE=AC+CE=AC+12CB，即可求解．
本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为向量a，b满足|a|=1，|b|= 3，|a−2b|=3，
所以|a−2b|= (a−2b)2= a2−4a⋅b+4b2= 1−4a⋅b+4×3=3，
两边平方得，
13−4a⋅b=9，
解得a⋅b=1，
故选：C.
利用|a−2b|= (a−2b)2，结合数量积的性质计算可得结果．
本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键，难度不大．
利用两角和差的三角公式，进行转化，利用辅助角公式进行化简即可．
【解答】
解：∵sinθ+sin(θ+π3)=1，
∴sinθ+12sinθ+ 32csθ=1，
即32sinθ+ 32csθ=1，
得 3(12csθ+ 32sinθ)=1，
即 3sin(θ+π6)=1，
得sin(θ+π6)= 33.
故选：B.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正弦定理及变形、两角和与差的正弦公式的逆用、利用诱导公式化简，属于基础题．
由题意利用正弦定理可得sinBcsC+sinCcsB=sinAsinA，利用两角和的正弦公式和诱导公式求得sinA的值，进而可得角A的大小，由此即可判断△ABC的形状．
【解答】
解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由题意知bcsC+ccsB=asinA，
由正弦定理得b=2RsinB，c=2RsinC，a=2RsinA，
则sinBcsC+sinCcsB=sinAsinA，则sin(B+C)=sinAsinA，
因为sin(B+C)=sin[π−(B+C)]=sinA，所以sinA=sinAsinA
因为sinA≠0，所以sinA=1，所以A=π2，故三角形为直角三角形．
故选：B.
7.【答案】D
【解析】解：sinα−csα=15,0≤α≤π，
所以sin2α+cs2α−sin2α=125，
解得sin2α=2425，即sin2α=2sinαcsα=2425>0，
所以0<α<π2，
故：sinα+csα= (sinα+csα)2= 1+2425=75，
cs2α=(csα+sinα)(csα−sinα)=−725，
sin(2α−π4)= 22sin2α− 22cs2α= 22⋅2425+ 22⋅725=31 250.
故选：D.
首先利用同角三角函数关系式的变换，求出sin2α的值，进一步求sinα+csα的值，最后利用差角公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：同角三角函数关系式的变换，二倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
8.【答案】A
【解析】解：如图，∵|a|=|b|=2，∴a⋅b=2×2×cs=2，∴cs=12，∴=60∘，
∴设OA=a，OP=2a，OB=b，OC=c，
则A(2,0)，P(4,0)，B(2cs60∘,2sin60∘)，即B(1, 3)，
又(2a−c)⋅(b−c)=0，∴(OP−OC)⋅(OB−OC)=0，
∴CP⋅CB=0，∴CP⊥CB，
∴点C在以BP为直径的圆Q上，
又易知BP=2 3，AQ=12OB=1，圆的半径r= 3，
∴|a−c|=|OA−OC|=CA，
∴|a−c|的最大值即为CA的最大值，
由图可知CA的最大值为AQ+r=1+ 3，
故选：A.
根据平面向量数量积的定义，向量垂直的性质，将数化为形，数形结合即可求解．
本题考查向量数量积的定义，向量垂直的性质，数形结合思想，属基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：A选项，sin26∘−cs26∘=−cs12∘，A错误；
B选项，4sin15∘cs15∘=2sin30∘=1，B正确；
C选项，sin6∘−cs6∘= 2sin(6∘−45∘)= 2sin(−39∘)=− 2sin39∘，C正确；
D选项， 3−tan15∘1+ 3tan15∘=tan60∘−tan15∘1+tan60∘tan15∘=tan(60∘−15∘)=tan45∘=1，D正确．
故选：BCD.
A选项，逆用余弦二倍角公式进行求解；B选项，逆用正弦二倍角公式进行求解；C选项，利用辅助角公式和诱导公式求出答案；D选项，将 3换为tan60∘，逆用正切差角公式进行求解．
本题考查两角和与差的三角函数的应用，属于中档题．
10.【答案】AB
【解析】解：对于A，由图象可知，A= 2，即f(x)= 2sin(ωx+φ)，
∵sin(ωx+φ)∈[−1,1]，
∴f(x)= 2sin(ωx+φ)∈[− 2, 2]，
故f(x)的值域为[− 2, 2]，则选项A正确；
对于B，由图象可知，T4=7π12−π3=π4，
所以T=π，故选项B正确；
对于C，∵T=2π|ω|=π，且ω>0，可得ω=2，
∴f(x)= 2sin(2x+φ)，
又f(x)的图象过点(7π12,− 2)，
即 2sin(2×7π12+φ)=− 2，则sin(7π6+φ)=−1，
且−π2<φ<π2，可得2π3<7π6+φ<5π3，
可得7π6+φ=3π2，则φ=π3，故选项C错误；
对于D，由前面的分析可知，f(x)= 2sin(2x+π3)，
将函数f(x)的图象向左平移π6个单位，得到g(x)=f(x+π6)= 2sin[2(x+π6)+π3]= 2sin[(2x+π6)+π2]= 2cs(2x+π6)，则选项D错误；
故选：AB.
对A、B、C：根据函数图象求A，ω，φ，即可分析判断；对D：根据图象变换结合诱导公式求解析式，即可得结果．
本题考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，母线长SC= 12+( 3)2=2，侧面积为S=πrl=2 3π，故A正确；
对于B，△SAB中，SA=SB=2，0对于C，△ABC为等腰直角三角形，AB=BC= 6，将△SAB放平得到△S1AB，如图2所示，当S1，E，C三点共线时SE+CE最小，F为AB中点，连接S1F，则S1F⊥AB，
sin∠ABS1=S1FS1B= 22−( 62)22= 104，
S1C= BS12+BC2−2BS1⋅BC⋅cs∠S1BC= 4+6−2×2× 6×cs(π2+∠ABS1)= 10+2 15，故C正确；
对于D，如图3，设截面为SMN，Q为MN中点，连接OQ，SQ，设MN=2a，a∈(0, 3],
则S△SMN=12⋅MN⋅SQ=a⋅ 1+OQ2=a 1+3−a2=a⋅ 4−a2≤a2+4−a22=2，
当且仅当a= 4−a2，即a= 2时等号成立，故D错误．
故选：AC.
依次判断每个选项，直接计算A正确；当AB=2时，∠SAB=π3，B错误；当S1，E，C三点共线时SE+CE最小，根据余弦定理计算得到C正确；计算截面S△SMN=a⋅ 4−a2，根据均值不等式计算得到D错误，得到答案．
本题主要考查圆锥的结构特征，棱锥的侧面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】−1613
【解析】解：三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)，
a+kc=(3+4k,2+k)
2b−a=(−5,2)，
(a+kc)//(2b−a)，
可得：−5(2+k)=2(3+4k)，可得k=−1613.
故答案为：−1613.
求出向量a+kc，2b−a，通过斜率共线的充要条件求解即可．
本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．
13.【答案】 32
【解析】解：因为acs(B−C)+acsA=2 3csinBcsA，
所以acs(B−C)−acs(B+C)=2 3csinBcsA，
可得a(csBcsC+sinBsinC)−a(csBcsC−sinBsinC)=2 3csinBcsA，
可得2asinBsinC=2 3csinBcsA，
由正弦定理可得2sinAsinBsinC=2 3sinCsinBcsA，
又B，C为三角形内角，sinBsinC≠0，
所以sinA= 3csA，即tanA= 3，
又A∈(0,π)，
所以A=π3，
又b2+c2−a2=2，
所以由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=22bc=12，可得bc=2，
则△ABC的面积S=12bcsinA=12×2× 32= 32.
故答案为： 32.
由三角形内角和定理，诱导公式，两角和与差的余弦公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA= 3，结合A∈(0,π)，可求A=π3，由余弦定理可得bc的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了三角形内角和定理，诱导公式，两角和与差的余弦公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
14.【答案】7 1313
【解析】解：在△ABC中，AB= 3，C=π3，
由正弦定理可得ACsinB=BCsinA=ABsinC= 3 32=2，
即AC=2sinB，BC=2sinA，
则BC+3AC=6sinB+2sinA=6sinB+2sin(2π3−B)=7sinB+ 3csB=2 13sin(B+φ)，其中csφ=7 1326，sinφ= 3926，
当B+φ=π2时，BC+3AC取最大值2 13，
此时B=π2−φ，
则sinB=sin(π2−φ)=csφ=7 1326，
即AC=2sinB=7 1313.
即当BC+3AC取最大值时，AC=7 1313.
故答案为：7 1313.
由正弦定理，结合辅助角公式求三角函数的最值即可．
本题考查了正弦定理，重点考查了辅助角公式，属中档题．
15.【答案】(1)证明：∵AB=e1+e2，BC=2e1+8e2，CD=3(e1−e2)，
∴BD=5e1+5e2=5AB，
∴BD//AB，且有公共点B，
故A，B，D三点共线；
(2)解：∴4ke1+e2和e1+ke2共线，
∴存在实数λ，使得4ke1+e2=λ(e1+ke2)，
∴4k=λ且1=λk，可得k=±12.
【解析】(1)根据已知得到BD//AB，进而求解结论，
(2)根据向量共线得到4ke1+e2=λ(e1+ke2)，进而求解结论．
本题运用平面向量基本定理考查向量共线，垂直的概念，属于综合性概念考查题．
16.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sinx+csx(x∈R)，
∴函数y=[f(x+π2)]2=[sin(x+π2)+cs(x+π2)]2=(csx−sinx)2=1−sin2x的最小正周期为2π2=π.
(2)函数y=f(x)f(x−π4)=(sinx+csx)⋅[sin(x−π4)+cs(x−π4)]=(sinx+csx)⋅sinx
=sin2x+sinxcsx=1−cs2x2+12sin2x=12(sin2x−cs2x)+12= 22sin(2x−π4)+12，
在[0,π2]上．2x−π4∈[−π4,3π4]，
故当2x−π4=π2时，函数y取得最大值为 22+12= 2+12.
【解析】(1)由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．
(2)由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
17.【答案】(1)f(x)=12sin2x+ 32cs2x+ 32cs2x−12sin2x−sin2x，f(x)= 3cs2x−sin2x=2( 32cs2x−12sin2x)=2(cs2xcsπ6−sin2xsinπ6)=2cs(2x+π6)，
所以函数f(x)的最小正周期为π，
令2x+π6=kπ，k∈Z，得函数f(x)的对称轴方程为x=−π12+kπ2，k∈Z.
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位后所得图象的解析式为y=2cs[2(x+π12)+π6]=2cs(2x+π3)，所以g(x)=2cs(2×12x+π3)=2cs(x+π3)，
令2kπ≤x+π3≤π+2kπ，所以−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ,k∈Z.又x∈[0,2π]，
所以y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为[0,2π3],[5π3,2π].
【解析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称轴方程．
(2)利用关系式的平移和伸缩变换，进一步利用整体思想求出函数的单调递减区间．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用、周期性的应用，函数关系式的平移和伸缩变换及相关的运算问题．
18.【答案】解：∵a=b( 3sinC+csC)，
∴sinA=sinB( 3sinC+csC)，
即sinBcsC+csBsinC= 3sinBsinC+sinBcsC，
所以csBsinC= 3sinBsinC，因为sinC>0，
所以csB= 3sinB，tanB= 33，
因为B∈(0,π)，
所以B=π6;
(2)因为BC=2 3，BD=1，∠B=π6，根据余弦定理得
CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅csB=1+12−2×1×2 3× 32=7，∴CD= 7.
∵∠BDC=π2+∠A
∴sin∠BDC=sin(π2+∠A)=csA.
在ΔBDC中，由正弦定理知，BCsin∠BDC=CDsin∠B，
∴2 3csA= 712，csA= 217，
∴tanA=2 33=CDAC，
∴AC= 212.
【解析】本题考查解三角形和三角恒等变换，属于一般题.
(1)利用正弦定理和三角恒等变换求得tanB= 33，即可求B；
(2)利用余弦定理求CD，求出sin∠BDC=csA，再由正弦定理求csA，即可得AC.
19.【答案】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，
(1)在△ABC中，B=π3，AB=2，
BC=5，M、N分别为AC、BC的中点，设AN、BM交于点P，
∵AB=2，B=π3，
∴A(1, 3)，C(5,0)，N(2.5,0)，M(3, 32)，
∴BM=(3, 32)，AN=(1.5,− 3)，
∴|BM|= 392，|AN|= 212，
∴csθ=AN⋅BM|AN|⋅|BM|=4 9191，
则∠MPN的余弦值为4 9191；
(2)点M满足AM=13AC，BM⋅AC=43，O为BM中点，点N在线段BC上移动(包括端点)，
设C(t,0)，t>0，
∵AB=2，B=π3，∴A(1, 3)，
设M(x,y)，∴AM=(x−1,y− 3)，AC=(t−1,− 3)，
∵AM=13AC，∴x−1=13(t−1)，x=t+23，
y− 3=13×(− 3)，y=2 33，
∴M(t+23,2 33)，
∴BM=(t+23,2 33)，AC=(t−1,− 3)，
∵BM⋅AC=43，即(t+2)(t−1)3−2=43，解得t=3，
∴M(53,2 33)，因为O为BM中点，∴O(56, 33)，
设N(n,0)，0≤n≤3，∴OA=(16,2 33)，ON=(n−56,− 33)，
∴OA⋅ON=16(n−56)−23=16n−2936，
∵0≤n≤3，
所以当n=0时(16n−2936)min=−2936，即(OA⋅ON)min=−2936，
则OA⋅ON的最小值为−2936.
【解析】(1)以B为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，得到A(1, 3)，C(5,0)，N(2.5,0)，M(3, 32)，利用向量夹角公式即可求解；
(2)设C(t,0)，t>0，设M(x,y)，利用向量的坐标运算和数量积公式即可求解．
本题考查了平面向量的夹角公式和平面向量数量积的运算，属于中档题．