人教版2024年数学七年级上册 暑假讲义12 《一元一次方程的解法》+同步练习 (原卷版+教师版)

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熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.
【要点梳理】
要点一、解一元一次方程的一般步骤
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．
要点诠释：此类问题一般先把方程化为 SKIPIF 1 < 0 的形式，再分类讨论：
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，无解；（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，原方程化为： SKIPIF 1 < 0 ；（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，原方程可化为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时， SKIPIF 1 < 0 ；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
【典型例题】
类型一、解较简单的一元一次方程
1．解方程：5x=3（x﹣4）
举一反三：
【变式】下列方程变形正确的是( )．
A．由2x-3＝-x-4，得2x+x＝-4-3
B．由x+3＝2-4x，得5x＝5
C．由 SKIPIF 1 < 0 ，得x＝-1
D．由3＝x-2，得-x＝-2-3
类型二、去括号解一元一次方程
2．解方程：
举一反三：
【变式】解方程： 5(x-5)+2x＝-4．
类型三、解含分母的一元一次方程
3．解方程： SKIPIF 1 < 0 ．
举一反三：
【变式】解方程：x+=﹣．
类型四、解较复杂的一元一次方程
4．解方程： SKIPIF 1 < 0
5. 解方程： SKIPIF 1 < 0
举一反三：
【变式】 SKIPIF 1 < 0
类型五、解含绝对值的方程
6．解方程|x|-2＝0
《解一元一次方程(一)----合并同类项与移项》课时练习
一、选择题
若2x＋1=4，则4x＋1等于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
当x=4时，式子5(x+m)－10与式子mx+4x的值相等，则m=( )
A.－2； B.2； C.4； D.6；
若关于x的方程3x+5=m与x－2m=5有相同的解，则x的值是( )
A.3； B.－3； C.4； D.－4；
下列方程变形过程正确的是( )
A.由x+1=6x－7得x－6x=7－1
B.由4－2(x－1)=3得4－2x－2=3
C.eq \f(1,5)(2x－3)=0得2x－3=0
D.由eq \f(1,2)x+9=－eq \f(3,2)x得2x=9
关于x的一元一次方程2xa﹣2+m=4的解为x=1，则a+m的值为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
解方程－2(x－5)＋3(x－1)=0时，去括号正确的是( )
A.－2x－10＋3x－3=0 B.－2x＋10＋3x－1=0
C.－2x＋10＋3x－3= D.－2x＋5＋3x－3=0
判断下列移项正确的是( )
A.从13－x=－5，得到13－5=x
B.从－7x+3=－13x－2，得到13x+7x=－3－2
C.从2x+3=3x+4，得到2x－4=3x－3
D.从－5x－7=2x－11，得到11－7=2x－5x
解方程2(x－2)－3(4x－1)=9，正确的是( )
A.2x－4－12x+3=9，－10x=9－4+3，故x=0.8
B.2x－4－12x+3=9，－10x=9+4－3，故x=－1
C.2x－4－12x－3=9，－10x=9+4+3，故x=－1.6
D.2x－2－12x+1=9，－10x=9+2－1，故x=－1
已知1－(2－x)=1－x，则代数式2x2－7的值是( )
A.－5 B.5 C.1 D.－1
已知|m－2|＋(n－1)2=0，则关于x的方程2m＋x=n的解是( )
A.x=－4 B.x=－3 C.x=－2 D.x=－1
若关于y的方程2m+y=1与3y﹣3=2y﹣1的解相同，则m的值为( )
A.2 B.－0.5 C.－2 D.0
小马虎在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是2(x－3)－●=x＋1，怎么办呢？他想了想便翻看书后的答案，方程的解是x=9，那么这个被污染的常数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
当x=_______时，3x－7与－2x＋9互为相反数.
已知关于x的方程2x﹣3a=﹣1的解为x=﹣1，则a的值等于 .
x=3和x=－6中,________是方程x－3(x + 2)=6的解.
若2x－3=0且|3y－2|=0，则xy= 。
当y=________时，2(y－4)与5(y＋2)的值相等.
已知关于y的方程4y+2n=3y+2和方程3y+2n=6y﹣1的解相同，则n= .
三、计算题
解方程：3x﹣2=1﹣2(x+1)；
解方程：5x＋3(2－x)=8；
解方程：4x＋1=2(3－x)；
解方程：4(3x+2)－6(3－4x)=7(4x－3).
四、解答题
m为何值时,关于x的方程4x﹣m=2x+5的解比2(x﹣m)=3(x﹣2)﹣1的解小2.
设”*”是某种运算符号，对任意的有理数a，b有a*b=eq \f(3a＋b,3).求方程2*(2x＋1)=2的解.
已知k是不大于10的正整数，试找出一个k的值，使关于x的方程2(5x－6k)=x－5k－1的解也是正整数，并求出此方程的解.
《解一元一次方程(二)----去括号与去分母》课时练习
一、选择题
方程eq \f(3x＋1,2)=5的解为( )
A.x=3 B.x=eq \f(4,3) C.x=－eq \f(4,3) D.x=5
解方程eq \f(1,2)(x-5)+ eq \f(1,3)(x-1)=1时，去分母后得到的方程是( )
A.3(x﹣5)+2(x﹣1)=1 B.3(x﹣5)+2x﹣1=1
C.3(x﹣5)+2(x﹣1)=6 D.3(x﹣5)+2x﹣1=6
下列各题正确的是( )
A.由7x=4x－3移项得7x－4x=3
B.由eq \f(1,3)(2x-1)=1+eq \f(1,2)(x-3)，去分母得2(2x－1)=1+3(x－3)
C.由2(2x－1)－3(x－3)=1， 去括号得 4x－2－3x－9=1
D.由2(x+1)=x+7去括号、 移项、合并同类项得 x=5
在解方程eq \f(1,2)(x-1)- eq \f(1,3)(2x+3)=1时，去分母正确的是( )
A.3(x－1)－2(2x+3)=6 B.3x－3－4x+3=1
C.3(x－1)－2(2x+3)=1 D.3x－3－4x+3=6
如果eq \f(1,3)(2a-9)与eq \f(1,3)a+1是互为相反数，那么a的值是( )
A.6 B.2 C.12 D.﹣6
下列变形中，正确的是( )
A.若5x－6=7，则5x=7－6 B.若－3x=5，则x=－eq \f(3,5)
C.若eq \f(x－1,3)＋eq \f(x＋1,2)=1，则2(x－1)＋3(x＋1)=1 D.若－eq \f(1,3)x=1，则x=－3
方程，可以化成( )
A. B.
C. D.
将方程eq \f(2x－1,2)－eq \f(x－1,3)=1去分母得到方程6x－3－2x－2=6，其错误的原因是( )
A.分母的最小公倍数找错
B.去分母时，漏乘分母为1的项
C.去分母时，分子部分的多项式未添括号
D.去分母时，分子未乘相应的数
在解方程eq \f(1,2)(x－1)－eq \f(1,3)(2x+3)=1时，去分母正确的是( )
A.3(x－1)－2(2x＋3)=1 B.3(x－1)－2(2x＋3)=6
C.3x－1－4x＋3=1 D.3x－1－4x+3=6
把方程去分母正确的是( )
A.18x＋2(2x－1)=18－3(x＋1)
B.3x＋(2x－1)=3－(x＋1)
C.18x＋(2x－1)=18－(x＋1)
D.3x＋2(2x－1)=3－3(x＋1)
已知关于x的方程eq \f(x＋a,2)=1＋eq \f(x＋2a,3)的解为x=10，则a的值是( )
A.0 B.4 C.3 D.8
小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x=5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业.同学们，你能补出这个常数吗？它应该是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题
方程eq \f(1,2)(x+1)－eq \f(1,3)(2－3x)=1的解为 .
若代数式eq \f(x－1,2)与eq \f(x＋2,6)的值的和是1，则x=________.
若代数式3x＋2与－eq \f(1,3)互为倒数，则x=_______.
已知关于x的方程3a﹣x=eq \f(1,2)x+3的解是4，则﹣a2﹣2a= .
如果代数式6(eq \f(1,2)x－4)+2x与7－(eq \f(1,3)x－1)的值相等，那么x=________.
已知关于x的方程eq \f(1,2)(x+a)=eq \f(2,3)=eq \f(1,3)(2x+a)+1的解与方程4x﹣5=3(x﹣1)的解相同，则a的值 .
三、计算题
解方程：eq \f(2x＋1,3)－eq \f(5x－1,6)=1； LISTNUM OutlineDefault \l 3 解方程：3x+eq \f(1,2)(x﹣1)=3﹣eq \f(1,3)(2x﹣1).
解方程：x﹣eq \f(1,5)(x﹣2)=eq \f(1,3)(2x﹣5)﹣3. LISTNUM OutlineDefault \l 3 解方程：1﹣eq \f(1,6)(2x﹣5)=eq \f(1,4)(3﹣x)
四、解答题
若方程3(x﹣1)+8=x+3与方程eq \f(1,5)(x+k)=eq \f(1,3)(2-x)的解相同，求k的值.
当x为何值时，式子的值比式子的值大5？
关于x的方程eq \f(1,4)(x+a)﹣eq \f(1,6)(ax﹣3)=1的解是x=1，对于同样的a，求另一个关于x的方程eq \f(1,6)(x+a)﹣eq \f(1,4)(ax﹣3)=1的解.
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
(1)移项要变号
(2)不要丢项
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
字母及其指数不变
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 SKIPIF 1 < 0 ．
不要把分子、分母写颠倒