人教版2024年数学七年级上册 暑假讲义05 有理数的乘方及混合运算+同步练习 (原卷版+教师版)

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1．理解有理数乘方的定义；
2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(pwer)．
即有： SKIPIF 1 < 0 .在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 叫做底数， n叫做指数.
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
【典型例题】
类型一、有理数乘方
1. 把下列各式写成幂的形式：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5；
(3) SKIPIF 1 < 0 ．
【答案与解析】 (1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5＝(-3.7)4×52；
(3) SKIPIF 1 < 0
【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.
2．计算：
（1） SKIPIF 1 < 0 （2） （3） （4）
（5） SKIPIF 1 < 0 （6） SKIPIF 1 < 0 （7） SKIPIF 1 < 0 （8） SKIPIF 1 < 0
【答案与解析】
（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 ；
（5） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；（6） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（7） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；（8） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【总结升华】 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不同， SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 的n次幂的相反数．
举一反三：
【变式1】计算：(1)(-4)4 (2)23 (3) SKIPIF 1 < 0 (4)(-1.5)2
【答案】 (1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256；
(2)23＝2×2×2=8； (3) SKIPIF 1 < 0
(4)(-1.5)2=(-1.5)×(-1.5)=2.25
【变式2】比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（ ）
A．它们底数相同，指数也相同
B．它们底数相同，但指数不相同
C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
D．虽然它们底数不同，但运算结果相同
【答案】D．
解：比较（﹣4）3=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣43=﹣4×4×4=﹣64，
底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.
类型二、乘方的符号法则
3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009， SKIPIF 1 < 0 ，-(-2)2010
【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：
(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负； SKIPIF 1 < 0 运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．
【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．
举一反三：
【变式】计算：(-1)2009的结果是( )．
A．-l B．1 C．-2009 D．2009
【答案】A
类型三、有理数的混合运算
4.计算： （1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 （4） SKIPIF 1 < 0
【答案与解析】
（1）法一：原式＝ SKIPIF 1 < 0 ；
法二：原式= SKIPIF 1 < 0
（2）原式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
(3) 原式 SKIPIF 1 < 0 =-32-3+66-9=22
(4) 原式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．
举一反三：
【变式1】计算： SKIPIF 1 < 0
【答案】原式 SKIPIF 1 < 0
【变式2】计算： SKIPIF 1 < 0
【答案】原式 SKIPIF 1 < 0
5. SKIPIF 1 < 0 （ ）
（A） SKIPIF 1 < 0 （B） SKIPIF 1 < 0 （C） SKIPIF 1 < 0 （D） SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】逆用分配律可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以答案为：C
【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式.
举一反三：
【变式】计算： SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
类型四、探索规律
6. 你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到 根面条，第5次捏合抻拉得到 根面条，第 SKIPIF 1 < 0 次捏合抻拉得到 根面条，要想得到64根细面条，需 次捏合抻拉.
第1次 第2次 第3次
【答案】8; 32; SKIPIF 1 < 0 ; 6
【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：
第1次： SKIPIF 1 < 0 ；第2次： SKIPIF 1 < 0 ；第3次： SKIPIF 1 < 0 ；…；第 SKIPIF 1 < 0 次： SKIPIF 1 < 0 .
第3次捏合抻拉得到面条根数： SKIPIF 1 < 0 ，即8根；第5次得到： SKIPIF 1 < 0 ，即32根；第 SKIPIF 1 < 0 次捏合抻拉得到 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．
举一反三：
【变式】已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．
【答案】6
科学记数法与近似数
【学习目标】
1.理解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示一个较大的数；
2.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度；
3.体会近似数在生活中的实际应用.
【要点梳理】
要点一、科学记数法
把一个大于10的数表示成 SKIPIF 1 < 0 的形式（其中 SKIPIF 1 < 0 是整数数位只有一位的数，l≤| SKIPIF 1 < 0 |＜10， SKIPIF 1 < 0 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 .
要点诠释：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“ SKIPIF 1 < 0 ”照写，其它与正数一样，如 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
（2）把一个数写成 SKIPIF 1 < 0 形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
要点二、近似数及精确度
1. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
2. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
要点诠释：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到 SKIPIF 1 < 0 米，说明结果与实际数相差不超过 SKIPIF 1 < 0 米.
【典型例题】
类型一、科学记数法
1. 用科学记数法表示：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 亿；（3） SKIPIF 1 < 0
【答案与解析】
解：（1）把 SKIPIF 1 < 0 写成 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，它是将原数的小数点向左移动9位得到的，即把原数缩小到 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 亿=300 000 000 000，把 SKIPIF 1 < 0 亿写成 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值应比 300 000 000 000的整数位少1，因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以3000亿= SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 写成 SKIPIF 1 < 0 时，“-”照写，其它和正数一样，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【总结升华】带有文字单位的数先变为原数，再写成 SKIPIF 1 < 0 形式， SKIPIF 1 < 0 的确定：n比这个数的整数位数少1.
举一反三：
【变式】中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（ ）
A．0.675×105B．6.75×104C．67.5×103D．675×102
【答案】B．
2. 把下列用科学记数法表示的数转化成原数.
（1） SKIPIF 1 < 0 ； （2） SKIPIF 1 < 0 ； （3） SKIPIF 1 < 0 千米
【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用
解：（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 千米= SKIPIF 1 < 0 千米
【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数，方法简单： SKIPIF 1 < 0 是几就将 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的小数点向右移动几位.
类型二、近似数及精确度
3．由四舍五入法得到的近似数6.8×103，下列说法中正确的是（ ）
A．精确到十分位，有2个有效数字 B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字 D．精确到千位，有4个有效数字
【思路点拨】103代表1千，那是乘号前面个位的单位，那么小数点后一位是百．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字，用科学记数法表示的数a×10n的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【答案】C．
【解析】解：个位代表千，那么十分位就代表百，乘号前面从左面第一个不是0的数字有2个数字，那么有效数字就是2个．
【总结升华】本题考查了近似数与有效数字，较大的数用a×10n表示，看精确到哪一位，需看个位代表什么；有效数字需看乘号前面的有效数字．
举一反三：
【变式】用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数
（1） SKIPIF 1 < 0 万（精确到千位）；（2）12 341 000（精确到万位）.
【答案】解：（1） SKIPIF 1 < 0 万= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或表示为 SKIPIF 1 < 0 万；
（2）12 341 000 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
4.下列由四舍五入得到的近似数，它们精确到哪一位.
（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 亿； （3） SKIPIF 1 < 0
【答案与解析】
解：(1) SKIPIF 1 < 0 精确到百分位；（2） SKIPIF 1 < 0 亿精确到百万位；（3） SKIPIF 1 < 0 精确到千位.
【总结升华】一般的近似数，四舍五入到哪一位就说它精确到哪一位，例： SKIPIF 1 < 0 精确到百分位，则百分位就是精确度；若是汉字单位“万、千、百”类近似数，精确度是由其最后一位数所在的数位确定的，但必须先把该数写成单位为“个”位的数再确定其精确度；用形如 SKIPIF 1 < 0 的数，其精确度看 SKIPIF 1 < 0 中最后一位数在原数中的数位.
类型三、近似数与精确数
5．测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他身高的精确值x所在范围是_____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】1.66是由四舍五入得到的数，若通过“入”得到1.66，则最小数应是1.655，若通过“舍”得到1.66，则最大数不存在，但能判断小于1.665，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【总结升华】本类型题目的答案一般形式为： SKIPIF 1 < 0 ， “精确度”是用来说明结果与实际数误差大小的，如精确到 SKIPIF 1 < 0 表示结果与实际数字相差不大于 SKIPIF 1 < 0 .
举一反三：
【变式】近似数 SKIPIF 1 < 0 的准确数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_________________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
《乘方》课时练习
一、选择题
计算－22的结果是( )
A.－2 B.－4 C.2 D.4
答案为：B
一个数的偶数次幂是正数，这个数是（ ）
A.正数 B.负数 C.正数或负数 D.有理数
答案为：C
下列各式不成立的是( )
A.22=(-2)2 B.(-2)3=-23 C.-(-2)=-|-2| D.-(-3)=|＋(-3)|
下列各式不成立的是( )
A.22=(-2)2 B.(-2)3=-23 C.-(-2)=-|-2| D.-(-3)=|＋(-3)|
在0,﹣(﹣1),(﹣3)2，﹣32，﹣|﹣3|,a2中，正数的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案为：B
钓鱼岛周围海域面积约为170000平方千米,170000用科学记数法表示为( )
A.1.7×103 B.1.7×104 C.17×104 D.1.7×105
答案为：D.
我国国土面积约960万平方千米,用科学记数法可表示为( )平方千米.
A.96×105 B.960×104 C.9.6×107 D.9.6×106
答案为：D.
据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为( )
A.3.9×1010 B.3.9×109 ×1011 D.39×109
答案为：A.
一个数用科学记数法表示为5.1×10n＋1，则原数的整数位有( )
A.(n－1) 位 B.n位 C.(n＋1) 位 D.(n＋2) 位
答案为：D.
计算3.8×107－3.7×107，结果用科学记数法表示为( )
A.0.1×107 B.0.1×106 C.1×107 D.1×106
答案为：D
下列各对数中，数值相等的是( )
A.－27与(－2)7 B.－32与(－3)2
C.－3×23与－32×2 D.－(－3)2与－(－2)3
答案为：A.
-xn与(-x)n的正确关系是( )
A.相等
B.互为相反数
C.当n为奇数时它们互为相反数，当n为偶数时相等
D.当n为奇数时相等，当n为偶数时互为相反数
答案为：D
下列结论正确的是( )
A.两个负数，绝对值大的反而小
B.两数之差为负，则这两数异号
C.任何数与零相加，都得零
D.正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是负数
答案为：A.
设a=-(-3-2)2，b=(-3)×(-2)，c=(-3)2÷(-2)2，则( )
A.b>a>c B.b>c>a C.a>b >c D.c>a >b
答案为：B
二、填空题
计算：－14＋1=____________
答案为：0
将5700 000用科学记数法表示为 ．
答案为：5.7×106．
据教育部统计，参加全国统一高考的考生有940万人，940万人用科学记数法表示
为 人．
答案为：9.4×106．
已知(a－1)2＋(b－3)2028=0，则a2029b3=________.
答案为：27
比较大小：(－3)2＋42____________2×(－3)×4；
答案为：>
若|a+5|＋(b－4)2=0，则(a＋b)2 026=________.
答案为：1
三、计算题
计算：-32+2-|-4|.
解：原式=-11
计算：-3×2-3×（-2）2
解：原式=-30
计算：-22-（-3）3×（-1）4.
解：原式=23
计算：（-48）÷（-2）3-（-25）×（-4）+（-2）2.
解：原式=－90.
四、解答题
若|a-2|+(b+1)2=0,求a+b的值.
解：由题意知|a-2|=0,(b+1)2=0,所以a-2=0,b+1=0,
所以a=2,b=-1,所以a+b=2+(-1)=1.
探索发现 计算下面两组算式：
(3×5)2与32×52， (-eq \f(1,2))2与(-eq \f(1,2))2×42.
(1)每组算式的结果是否相等？
(2)想一想，当n为正整数时，(a×b)n等于什么？
解：(3×5)2=152=225，32×52=9×25=225.
(-eq \f(1,2)×4)2=(－2)2=4，(-eq \f(1,2))2×42=eq \f(1,4)×16=4.
(1)每组算式的结果都相等.
(2)(a×b)n=an×bn.
阅读下列各式：(a•b)2=a2b2，(a•b)3=a3b3，(a•b)4=a4b4…
回答下列三个问题：
(1)验证：(2×eq \f(1,2))100= ，2100×(eq \f(1,2))100= ；
(2)通过上述验证，归纳得出：(a•b)n= ； (abc)n= .
(3)请应用上述性质计算：(﹣0.125)2023×22022×42021.
解：(1)(2×eq \f(1,2))100=1，2100×(eq \f(1,2))100=1；
②(a•b)n=anbn，(abc)n=anbncn，
③原式=(﹣0.125)2023×22022×42021×[(﹣0.125)×(﹣0.125)×2]
=(﹣0.125×2×4)2021×=(﹣1)2021×=﹣1×=﹣.