46，山西省太原师范学院附属中学等2023-2024学年高一下学期5月质量检测数学试卷

这是一份46，山西省太原师范学院附属中学等2023-2024学年高一下学期5月质量检测数学试卷，共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第九章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z满足，则
A． B． C．2 D．8
2．已知向量，满足，且，则
A．11 B．7 C．6 D．5
3．若异面直线m，n分别在平面，内，且，则直线l
A．与直线m，n都相交 B．可能与m，n都平行
C．与m，n中的一条相交，另一条平行 D．至少与m，n中的一条相交
4．某校调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），发现他们的自习时间都在区间[17.5，30]内，将所得的数据分成5组：[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，制成了如图所示的频率分布直方图，则自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为
A．240 B．180 C．96 D．80
5．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
6．如图，在正三棱锥P-ABC中，，点D，E分别是棱AB，PB的中点，则直线PD与CE所成角试卷源自 期末大优惠，全站资源一元不到！即将回复原价。的余弦值为
A． B． C． D．
7．某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为
A．1.86 B．1.88 C．1.9 D．1.92
8．在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，，点E为线段的中点，点G是线段上的一点，点F是底面ABCD内的一点，则的最小值为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知一组数据，，，，的极差和方差均为4，则下列说法正确的是
A．，，，，的极差为9
A．，，，，的极差为8
C．，，，，的方差为16
D．，，，，的方差为17
10．已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，是等边三角形，，，点D是棱PB的中点，且，则下列说法正确的是
A． B．
C．点D到平面ABC的距离为 D．球O的表面积为
11．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（，），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是
A． B．的最小值为
C．若，则的最小值为
D．若，，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．从某中学抽取12名同学，他们的数学成绩如下：87，85，92，90，83，92，87，98，96，84，99，78（单位：分），则这12名同学数学成绩的第75百分位数为________．
13．如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若，则点P的轨迹长度为________．
14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点D是边CA上的一点，，，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且，求与的夹角的余弦值．
16．（本小题满分15分）
某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40，100]内，将所得数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数（精确到0.1）；
（2）现从[70，80），[80，90），[90，100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求[70，80）这组中抽取的人数．
17．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，，，且，点G是棱PA上的一点（不包含端点）．
（1）求证：．
（2）若，平面PBC与平面GBD的交线为l，求证：．
18．（本小题满分17分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
19．（本小题满分17分）
如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别为棱BC，的中点，点F是线段CE的中点．
（1）求证：；
（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值；
（3）求二面角F-AD-C的余弦值．
2023～2024学年高一5月质量检测卷•数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 因为复数z满足，所以，所以．故选B．
2．A 因为．故选A．
3．D 因为，所以，，则l与m平行或相交，l与n平行或相交，又m，n为异面直线，所以l不能与m，n同时平行，即l与m，n可能都相交，也可能与其中一条相交，故A，B，C错误，D正确．故选D．
4．A 由频率分布直方图可知，自习时间在区间[22.5，27.5）内的频率为，所以自习时间在区间[22.5，27.5）内的人数为．故选A．
5．C 若，，，当m，n都平行于，的交线，则条件满足，则，相交成立，故A错误；若，，，则m，n可能异面，故B错误；若，，，则，故C正确；若，，，则m，n可能平行，故D错误．故选C．
6．C 取线段BD的中点G，连接EG，CG，易得，所以为直线PD与CE所成角或其补角．不妨设，易得，．在中，由余弦定理得，所以．在中，由余弦定理得，即直线PD与CE所成角的余弦值为．故选C．
7．D 由题意，总体的平均数为小时，根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为：．故选D．
8．A 如图1，显然当F是G在底面ABCD的射影时，才可能最小．将平面沿翻折，使其与平面共面，如图2所示，此时易得，，显然当E，G，F三点共线且时，取得最小值，此时．故选A．
9．BC 不妨设，所以，所以，所以，，，，的极差为，故A错误，B正确；设一组数据，，，，的平均数为，所以，所以，，，，的平均数为，所以，，，，的方差为，故C正确，D错误．故选BC．
10．ABD 因为点D是棱PB的中点，所以，又，，所以，所以，所以，故A正确；因为，，所以，，又，，所以，又，所以，故B正确；在平面PAB内，过点D作AB的垂线，垂足为E，又，，所以，又，，，所以，所以点D到平面ABC的距离为DE，又，故C错误；设球O的半径为R，的外接圆的半径为r，所以 ，解得，所以，所以球O的表面积，故D正确．故选ABD．
11．ABD 因为，，所以，故A正确；
以B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．所以B（0，0），C（1，0），D（1，1），A（0，1），设，，所以P（x，1），所以，所以的最小值为，此时，故B正确；因为，（，），所以 ，，所以，当时，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，故C错误；因为，若，，则，所以，所以，即，当且仅当即时，等号成立，所以，即的最大值是，故D正确．故选ABD．
12．94 将这组数据从小到大排列为78，83，84，85，87，87，90，92，92，96，98，99，又，所以第75百分位数为．
13． 在棱上取一点E，使得，连接，EM，如图所示，易得，，所以四边形是平行四边形，所以，又，，所以．在棱上取一点F，使得，连接FN，FE，，如图所示．同理可得，又，，所以．所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为．因为正方体的棱长为3，所以，，所以点P的轨迹长度为．
14． 因为，所以，由余弦定理得，又，所以．又，所以，因为，所以有，即，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．
15．解：（1）因为，且，所以可设，
所以，
解得，
所以或．
（2）因为，所以，所以，
又，所以，解得，
又，所以，
又，
设与的夹角为，所以，
即与的夹角的余弦值为．
16．解：（1）由题意知，
解得．
估计这200名员工所得分数的平均数．
[40，70）的频率为，
[40，80）的频率为，所以中位数落在区间[70，80），设中位数为m，所以，
解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9．
（2）[70，80）的人数：，[80，90）的人数：，
[90，100]的人数：，
所以[70，80）这组中抽取的人数为：．
17．证明：（1）因为，，，，
所以，
又，所以，
又，，，
所以，
又，所以．
（2）连接AC，记，连接GO，如图所示．
因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，又，所以，
又，，所以，
又，，所以，
又，，所以．
18．解：（1）因为，
由正弦定理得，
所以
，
又，所以，所以，即，
所以，可得，
所以或，
又，所以．
（2）由正弦定理，可得，
所以，
所以，
又由为锐角三角形，且，则解得，
因为在上单调递增，所以，
所以，即的面积的取值范围是．
19．（1）证明：在直三棱柱中，，又，所以，
又，，，所以，
又，所以．
在矩形中，，，点E是棱的中点，所以，所以是等边三角形，又点F是线段CE的中点，所以，
又，，所以．
（2）解：在平面BCE内，过点D作BF的垂线，垂足为H，如图所示．
由（1）知，又，所以，又，，，所以，所以是直线DF与平面ABF所成角．
在中，，，所以，又点D为棱BC的中点，所以．
因为，又，所以，
所以，．
在中，由余弦定理得，
所以，
即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为．
（3）解：在平面内，过点F作AC的垂线，垂足为O，在平面ABC内，过O作AD的垂线，垂足为G，连接FG，如图所示．因为，又，所以，又，，，所以，
又，所以，，又，，，所以，又，所以，又，
所以为二面角F-AD-C的平面角．
在中，．
因为，，所以，又易得，，
所以，由等面积法可知．
在中，，，，所以，
所以，即二面角F-AD-C的余弦值为．