2021-2022学年山西省太原师范学院附属中学高二下学期开学测试（A卷）数学试题含解析

2021-2022学年山西省太原师范学院附属中学高二下学期

开学测试（A卷）数学试题

一、单选题

1．设，，且，则等于（       ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】根据空间向量垂直的坐标表示计算即可

【详解】∵，∴，∴，

故选:A.

2．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，

从而得出l的斜率的取值范围,即得解

【详解】设直线过定点，则直线可写成，

令解得直线必过定点．

，．直线与线段相交，

由图象知，或，解得或，

则实数的取值范围是．

故选：A

【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．

3．已知函数在处的导数为，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用导数的定义即可求出．

【详解】

故选：C．

4．已知等差数列的公差为1，且，，成等比数列，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接利用等差数列公式和等比中项公式得到答案.

【详解】∵，，成等比数列，故,

又∵等差数列的公差为1，

即 解得：,

∴,

故选:D.

5．正项等比数列中，已知，那么（       ）

A．4042 B．2021 C．4036 D．2018

【答案】B

【分析】利用等比数列的中项性质结合对数的运算公式计算.

【详解】正项等比数列中，，

，

∴

．

故选：B．

6．已知双曲线：，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线左支上，且，则（       ）

A．1 B．13 C．17 D．1或13

【答案】B

【分析】根据双曲线的定义和点的位置可知，可得出的值.

【详解】由题意可知 ，

并且

.

故选：B

【点睛】本题考查双曲线的定义的简单应用，属于基础题型.

7．圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意设圆心坐标，建立方程，求解即可.

【详解】解：设圆心坐标为，因为圆心在轴上且圆与轴相切，所以即为半径,

则根据题意得：，解得，

所以圆心坐标为：，半径为5，该圆的方程是,

展开得：.

故选：C.

8．已知F是椭圆=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（       ）

A．10 B．11 C．13 D．21

【答案】D

【分析】利用椭圆的定义转化为P到M和到另一焦点的距离的差的最大值来解决.

【详解】解：如图，

由椭圆=1，得

得，则椭圆右焦点为，

则

.

当与射线与椭圆的交点重合时取到等号,

的最大值为21.

故选：D.

9．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且与直线交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的标准方程是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及中点的横坐标可得、的一个方程，又双曲线中有，则另得、的一个方程，最后解、的方程组即得双曲线方程．

【详解】设双曲线方程为．

将代入，整理得．

由韦达定理得，则．

又抛物线的焦点，所以，解得，，

所以双曲线的方程是．故选C．

【点睛】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．

10．函数 的导函数的图象如图所示，给出下列命题：

①是函数的极值点；

②是函数的最小值点；

③在区间上单调递增；

④在处切线的斜率小于零．

以上正确命题的序号是（　　）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④

【答案】C

【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．

【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，故③正确；

则是函数的极小值点，故①正确；

在上单调递增，

不是函数的最小值点，故②不正确；

函数在处的导数大于，

切线的斜率大于零，故④不正确．

故选：C．

11．已知奇函数是定义在R上的可导函数，的导函数为，当时，有，则不等式的解集为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的不等式构造函数，再探讨函数的性质，借助性质解不等式作答.

【详解】依题意，令，因是R上的奇函数，则，即是R上的奇函数，

当时，，则有在单调递增，

又函数在R上连续，因此，函数在R上单调递增，

不等式，

于是得，解得，

所以原不等式的解集是.

故选：B

12．过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（       ）

A． B．

C．＋1 D．

【答案】A

【解析】设F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，根据圆的切线性质和三角形中位线得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用双曲线的定义求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立关系即可求得离心率的值.

【详解】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:

因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，

又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，

又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，

根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，

所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，

在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，

即a2＋4a2＝c2，所以e＝，

故选A.

【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，联想到双曲线的另一个焦点，作辅助线，利用双曲线的定义是求解离心率问题的有效方法.

二、填空题

13．已知数列的通项公式是，则________.

【答案】

【分析】利用并项求和法求得正确答案.

【详解】.

故答案为：

14．在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为_______．

【答案】

【分析】由双曲线的离心率为，可以得到，再根据求出的关系，从而得出渐近线的方程.

【详解】解：因为双曲线的离心率为，

所以，

故，

又因为，

所以，即，即，

所以双曲线的渐近线.

【点睛】本题考查了双曲线渐近线的问题，解题的关键是由题意解析出的关系，从而解决问题.

15．若函数有两个极值点，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】由题意得出有两个零点，可得出，进而可求得实数的取值范围.

【详解】因为，所以．

又因为函数有两个极值点，所以函数有两个零点，

则，解得．

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用函数的极值点个数求参数，解题时要理解函数的极值点与导函数零点之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

16．设P为直线上的动点，PA、PB为圆的两条切线，A、B为切点，则四边形APBC面积的最小值为__________ .

【答案】

【分析】由题意可得四边形的面积等于两个相等的直角三角形的面积，，由于的最小值即为圆心到直线的距离，求出圆心到直线的距离即可求得答案．

【详解】解：圆的圆心，半径，

连接，，，可得，，且，，

，

的最小值是圆心到直线的距离，

所以四边形面积的最小值为．

故答案为：．

三、解答题

17．已知函数在处取得极值．

（1）求、的值；

（2）求在处的切线方程．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意得出，，可得出关于、的方程组，解出即可；

（2）计算出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.

【详解】（1），则，

由题知，，，即，

解得.

检验：当，时，，

当或时，，当时，.

所以，是函数的极小值点，合乎题意.

综上所述，，；

（2）由（1）知，，则，，

因此，所求切线方程为，即.

【点睛】本题考查利用函数的极值求参数，同时也考查了利用导数求函数图象的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题.

18．已知数列的前项和为，且对于任意正整数，有成等差数列.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）见解析；（2）.

【分析】（1）根据等差数列的性质，可得，根据与之间关系，然后进一步可得，结合等比数列的概念，可得结果.

（2）根据（1）的条件，可得，进一步可得，然后使用错位相减法可得.

【详解】（1）证明：由成等差数列，可知.

当时，，∴.

当时，，与相减，可得，

∴，∴，

∴数列为首项为，公比为的等比数列；

（2）解：由（1）知，所以，

所以，①

.②

由②①：，

则

则.

【点睛】本题考查与之间关系以及错位相减法求和，掌握，以及常用的求和方法，比如：公式法、裂项相消法、错位相减等，属中档题.

19．如图，在直三棱柱中，，，为的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成的二面角大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）方法一: 取的中点，的中点，由勾股定理可得，，在三棱柱中易知平面，由于，由此平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结果.

方法二：以为坐标原点建立空间坐标系，分析求出向量 的坐标，进而根据，结合线面垂直的判定定理得到平面，再由面面垂直的判定定理即可得到平面平面平面．

（2）求出平面与平面的法向量坐标，代入向量夹角公式，求出平面与平面所成的二面角的余弦值，进而可以求出平面与平面所成的二面角．

【详解】（1）方法一：

证明：取的中点，的中点，连接

，.

E、F分别为AC1、AC的中点

，，

，，故四边形是平行四边形

.

在直三棱柱中，，

又且

平面.

由于.

平面平面

平面平面.

方法二：

证明：

，

由勾股定理知，，则如图所示建立直角坐标系，坐标分别为：

分别是之中点.

故

，

平面，平面

平面平面

（2）设平面的法向量，且

令，

显然平面的法向量为，平面的法向量

，故两平面的夹角为.

【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，空间向量在立体几何中的应用，本题属于基础题．

20．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【分析】（1）利用导数，并讨论、时的符号研究单调性；

（2）由（1）知且极小值，即可求a的范围.

【详解】（1）且，

∴当时，，递增；

当时：若时，，递减；当时，，递增；

∴时，在上递增；时，在上递减，在上递增；

（2）由（1）知：时才可能存在两个零点，且，

∴，可得.

21．已知双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使（O为坐标原点)，求t的值及点D的坐标．

【答案】(1)＝1

(2)t＝4，点D的坐标为(4，3)

【分析】（1）易知a＝2，再根据焦点到渐近线的距离为，得到b2＝3求解；

（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，根据，得到x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，再将直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理利用向量共线求解.

【详解】(1)由题意知a＝2，所以一条渐近线方程为y＝，

因为焦点到渐近线的距离为，所以，所以b2＝3．

所以双曲线的方程为＝1．

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，

因为，

所以x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0．

将直线方程与双曲线方程联立，得x2－16，

则x1＋x2＝，y1＋y2＝12．

所以，解得，

由＝t，得，

所以t＝4，点D的坐标为(4，3)．

22．已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）若直线与曲线相交于，两点，试问：在轴上是否存在定点，使当变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在定点.

【分析】（1）根据题意得，进而得，所以有，故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，再根据椭圆的定义即可得答案；

（2）假设存在点满足题设，设，，联立直线与椭圆方程得，，再将平分转化为

直线与直线的斜率之和为零，最后将式子带入化简即可求解.

【详解】（1）圆，圆心，

由线段的垂直平分线交于点得，

又，

所以，

所以由椭圆的定义知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

设其标准方程，

则，，所以，，

所以曲线.

（2）设存在点满足题设，

联立直线与椭圆方程消得

，

设，，

则由韦达定理得①，②，

由题设知平分直线与直的倾斜角互补，

即直线与直线的斜率之和为零，

即，即，

即③，

把①、②代入③并化简得，即④，

所以当变化时④成立，只要即可，   所以存在定点满足题设.

【点睛】本题考查利用定义法求椭圆的方程，椭圆中的定点问题，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.