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2024年重庆市十一中教育集团九年级下学期第二次模拟考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年重庆市十一中教育集团九年级下学期第二次模拟考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年重庆市十一中教育集团九年级下学期第二次模拟考试数学试题原卷版docx、2024年重庆市十一中教育集团九年级下学期第二次模拟考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据左视图是从左向右观察到的图形，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：“卯”的左视图为：
故选D．
3. 下列反比例函数的图象经过第二、四象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】主要考查反比例函数图象的性质：（1）时，图象是位于一、三象限．（2）时，图象是位于二、四象限．熟练掌握反比例函数图象的性质是解题关键． 根据反比例函数图象的性质对各选项逐一判断解答即可．
【详解】解：A．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意，
B．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意，
C．，反比例函数图象位于二、四象限，故该选项符合题意，
D．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意，
故选C．
4. 如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为4，则的面积是（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为，
∴与的面积之比为，
∵的面积为4，
∴的面积是9，
故选C．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
5. 将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（ ）
A. 28°B. 52°C. 62°D. 72°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．先求得的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解．
【详解】解：由题意得，
∴，
∵直尺两边平行，
∴，
故选：C．
6. 估算的结果应在（ ）
A. 13和14之间B. 14和15之间C. 15和16之间D. 25和26之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的大小估算，解题的关键是：熟练掌握算术平方根的估算．先计算，根据算术平方根的知识进行估算，即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故选：．
7. 如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找出每幅图中“●”个数的变化规律，并归纳公式，然后代入求值即可．
【详解】解：第1幅图形中“●”的个数为a1=3=1×3；
第2幅图形中“●”的个数为a2=8=2×4；
第3幅图形中“●”的个数为a3=15=3×5；
第4幅图形中“●”的个数为a4=24=4×6；
∴第n幅图形中“●”的个数为an=n（n+1）；
∴+++++++
=+++++++
=+++++++
=
=
=
故选A．
【点睛】此题考查的是探索规律题和有理数的运算，找出规律并归纳公式是解决此题的关键．
8. 如图，分别切 的两边于点、，点在优弧上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识，连接、，利用切线的性质、四边形内角和为可求的度数，然后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接、，如图：
分别切的两边，于点，，
，，
，
，
．
故选：B．
9. 如图，在正方形中，是边上一动点，连接，过点作，垂足为，连接，若，则的长度为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．过点作于， 可证明，根据全等三角形的性质得到，，由，可求出、的长度，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．
10. 有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（ ）个
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算以及探索规律，正确理解题意和熟练进行整式的运算是解题的关键．根据题意依次进行作差，重复操作可知6个一循环，然后再依次判断即可．
【详解】解：由题意依次计算可得：
，
，
，
，
，
，
．
以此类推，6个一循环，
∴当时，，故①错误；
当时，则，
∴或，
∴或0，
∴，故②正确；
∵，，，
∴，，，
∴，
，
∴和不一定相等，故③错误，
综上所述，正确的说法有1个，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11. 计算：2－1+sin30°＝_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据整数的负指数幂运算法则以及特殊角的三角函数，即可得到答案．
【详解】解：原式，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了整数负指数幂和特殊角的三角函数，是基础题，掌握负指数幂的运算法则和特殊角的三角函数是解题的关键．
12. 若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：．
13. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的结果有2种，
抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为．
故答案为：．
14. 如果一次函数的图像不经过第一象限，那么的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图像的性质，根据一次函数图像的性质列出关于b的不等式组求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图像不经过第一象限，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在扇形中，，，是的垂直平分线，交弧于点E，点C是的中点，连接，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不规则图形的面积，涉及扇形面积公式、线段垂直平分线的性质、解直角三角形等知识，先根据线段垂直平分线的性质和锐角三角函数求得，，则，由结合扇形和三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，过E作于F，则，
∵，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，又，
∴，则，
∵点C是的中点，
∴，
∴
，
故答案为：．
16. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值，先解不等式组和分式方程，根据不等式组解集的情况和分式方程解的情况，求出所有整数的值，再求和即可，熟练掌握由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值是解题的关键．
【详解】解：，
解得：，
又∵关于的一元一次不等式组的解集为，
∴；
，
解得：，
又∵关于的分式方程的解是整数，
∴为整数，且．
综上所述，要满足：，为整数，且，
∴整数的值可以为：，，，，，
∴符合条件的所有整数的和，
故答案为：．
17. 如图，正方形的边长为6cm，E为的中点，连接AE，过点D作于点F，连接，过点C作于点G，交AE于点M，交AD于点N，则MN的长为______
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长交于．首先证明，由，推出，，由，推出，推出，再证明即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交于．
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18. 对于任意一个三位自然数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k倍（k为整数），则称M为“k阶比例中项数”此时，记去掉其个位数字后剩余的两位数为，去掉百位数字后剩余的两位数为，规定，则最大的“4阶比例中项数”是__________；若（其中 ，，m，n均为正整数）是一个“k阶比例中项数”，且能被8除余3，则满足条件的N之和是__________．
【答案】 ①. 961 ②. 823
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，能够运用题干当中的新定义是解答本题的关键．（1）根据“k阶比例中项数”的含义直接作答即可；（2）经过分析确定个位数为1，根据N是“k阶比例中项数”得到m与n的数量关系，根据被8除余3，得到另外一个m与n的数量关系，通过列举法确定N的值．
【详解】解：（1）若一个三位数是“4阶比例中项数”那百位和个位数字积的4倍是十位上数字的平方，
设这个三位数为，
则c，且，其中，均为整数，且均在1到9之间，
∴为4的倍数，
∴b可能是2，4，6，8，
当时，此时，这个三位数是121；
当时，此时，当，时，这个三位数最大，为441；
当时，此时，当，时，这个三位数最大，为961；
当时，此时，当，时，这个三位数最大，为882；
则最大的“4阶比例中项数”是961；
（2）由题意可知，
，
，
∴是8的倍数，
∵ ，，m，n均为正整数，
∴n可能是2，3，4，5，6，7，8，
当时，m的值为1、2、4，，
当时，不是8的倍数，不符合题意；
当时，不是8的倍数，不符合题意，
当时，是8的倍数，符合题意，此时；，
当时，m的值为1、3，，
当，不是8的倍数，不符合题意；
当时，不是8的倍数，不符合题意，
当时，m的值为1、2、4，，
同理，当，，符合题意，此时，其余不符合题意；
当时，m的值为1，同理，不符合题意；
当时，m的值为1、2、3、4，，
同理，当时，，符合题意，此时；
当时，m的值为1，同理，不符合题意；
当时，m的值为1、2、4，，
同理，当时，均不符合题意；
综上，符合条件的N有421或141或261，故符合条件的N之和为823．
故答案为：961，823．
三、解答题：（本题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键．
（1）先根据单项式与多项式的乘法法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可；
（2）把括号内通分，并把除法转化为乘法，再利用完全平方公式、平方差公式整理，然后约分化简即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
=
．
20. 某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有，两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买．为了解两款软件的性能，测试员小文随机选取了段短文，其中每段短文都含个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
款软件每段短文中识别错误的字数记录为：
5， 6， 6，6，6， 6， 6， 6， 6， 7， 9，
9， 9， 9， 9， 10， 10， 10， 10， 10．
款软件每段短文中识别错误的字数如右图所示：
、两款软件每段短文中识别错误的字数的统计表如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中的 ， ， ．
（2）若你是测试员小文，根据上述数据，你会向部门推荐哪款软件？请说明理由；
（3）若会议记录员用、两款软件各识别了段短文，每段短文有个文字，请估计两款软件完全识别错误的短文共有多少段？
【答案】（1）；；
（2）推荐款软件，理由见解析
（3）两款软件完全识别错误的短文共有段
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、用调查数据作决策、用样本估计总体，熟练掌握知识点、数据处理与应用是解题的关键．
（1）根据记录的数据和折线统计图中的数据以及平均数、中位数的定义，得出，，的值即可；
（2）平均数相近，可以比较两款软件完全识别错误的段数所占百分比得出答案；
（3）根据款语音识别完全错误的百分比和款语音识别完全错误的百分比求解即可．
【小问1详解】
解：；
∵由折线统计图得，将款软件每段短文中识别错误字数从小到大排列，第，位都是，
∴；
∵由折线统计图得，款软件完全识别错误的有段，
∴，
故答案为：；；；
【小问2详解】
解：向部门推荐款软件，理由如下，
∵两款软件每段短文中识别错误的字数的平均数相近，但款软件完全识别错误的段数所占百分比为，款软件完全识别错误的段数所占百分比为，说明款识别错误率更低，
∴向部门推荐款软件；
【小问3详解】
解：（段），
答：两款软件完全识别错误的短文共有段．
21. 如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）．
（2）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴ ① ．
在和中，
∴．
∴．
∵
∴ ③
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 ④ ．
【答案】（1）见解析 （2）；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作垂线、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，根据平分．得出，根据，公共边，可利用证明，得出，则直线即为的垂线；
（2）利用证明，得到，结合三角形的面积公式，进而将面积之比转化为相应边的比，得出答案即可．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求作的垂线，
；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
故答案为：；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
22. 如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒，记为．
（1）请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质：
（3）函数与的图象有且仅有个交点，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）图见解析，在范围内，随着的增大而增大
（3）
【解析】
【分析】本题考查了求分段函数的解析式、根据解析式画函数的图象、一次函数的图象与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据题意，分和讨论，根据三角形面积公式得出关于的函数表达式即可；
（2）根据（1）中函数表达式，取，，作出图象，写出该函数的一条性质即可；
（3）根据函数与的图象一定经过点，画图分析，当函数与的图象从经过点，逆时针转动到经过时，与的图象有且仅有个交点（不包含刚好经过点时），得出不等式求解，得出的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，
∴，，
∵，，记为，
∴当时，点在上运动，；
当时，点与点重合，不存在；
如图，当时，点在上运动，
，
综上所述：；
【小问2详解】
解：∵，
∴当时，，
当时，（作图用，此时不存），
当时，，
∴取，，，连线作图如下，
∴在范围内，随着的增大而增大；
【小问3详解】
解：∵函数与的图象一定经过点，
∴如图，画图分析，
∴当函数与的图象从经过点，逆时针转动到经过点时，与的图象有且仅有个交点（不包含刚好经过点时），
∴，
解得：，
∴的取值范围为．
23. 芬芳的鲜花，能驱散内心的疲惫，让人心灵得到放松，感受生活的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和向日葵共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支向日葵的进价为4元，售价定为10元．
（1）若花店在无损耗的情况下将玫瑰和向日葵全部售完，要求总获利不低于1200元，求花店最多购进玫瑰多少支？
（2）花店在第二次购进玫瑰和向日葵时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和向日葵共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加支，售价比第一次提高m元，向日葵售价不变，但向日葵在运输过程中有10%已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m的值．
【答案】（1）200支
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设花店购进玫瑰支，则购进向日葵支，利用总利润每支玫瑰的销售利润购进玫瑰的支数每支向日葵的销售利润购进向日葵的支数，结合总利润不低于1200元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（2）利用总利润销售单价销售数量进货单价进货数量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设花店购进玫瑰支，则购进向日葵支，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为200．
答：花店最多购进玫瑰200支；
【小问2详解】
根据题意得：，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)．
答：的值为2．
24. 为了增强体质，就读于重庆文德中学 校区的小明和就读于十一中本部的哥哥每周都会从各自学校出发前往涂山站汇合一同前往江南体育馆打羽毛球，经勘测，腾黄大道公交站C在文德中学校区点A的正北方150米处，十一中本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，点D在点C的正东方，涂山站E在点D的正北方，点E在点C的北偏东方向．（参考数据： ）
（1）求长度；（结果精确到1米）
（2）周五放学，小明和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点 E处汇合，小明的路线为，他从点A步行至点 C再乘坐公交车前往点 E，假设小明匀速步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶速度为250米每分钟，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时2分钟（小明上车和下车时间忽略不计）．哥哥的路线为，全程步行，他从点B经过点 D 买水（买水时间忽略不计）再前往点 E，假设哥哥匀速步行且速度为100米每分钟．请问小明和哥哥谁先到达点E呢?说明理由（结果保留两位小数）．
【答案】（1）
（2）哥哥先到点，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，关键是掌握正弦、余弦的定义．
（1）由题意得，因为，，可得是等腰直角三角形，所以，因为，可得的长；
（2）先算出、的长，再根据小育从点步行至点再乘坐公交车前往点，匀速步行且步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶且速度为250米每分钟，公交车行驶途中停靠耗时2分钟，哥哥全程步行，从点经过点买水再前往点，步行速度为100米每分钟，算出小育和哥哥花费的时间，进行比较，可得小育和哥哥谁先到达点．
【小问1详解】
解：如图，过点作于，
由题意得，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
答：的长度为；
【小问2详解】
，
，
点在点的北偏东方向，
，
，，
小明花费时间（分钟），
哥哥花费时间（分钟），
，
哥哥花费时间更少，
答：哥哥先到点．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作直线交轴于点，过点作于点，求出的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接交于点，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使，请直接写出所有符合条件的点的横坐标．
【答案】（1）
（2）的最大值为，此时点的坐标为
（3）点的横坐标为或
【解析】
【分析】（1）把点、的坐标代入，计算得出抛物线的表达式即可；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于，过点作轴交于，设，则，可证得，求得，证明四边形是平行四边形，再证明，可得，表示出关于的函数关系，再运用二次函数的性质，求出的最大值及此时点的坐标即可；
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线，可得新抛物线的解析式为，过点作轴交轴于，过点作轴于，根据三角函数定义可得，过点作的垂线，在该垂线上分别截取，使或，连接线段交新抛物线于，连接线段交新抛物线于，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，再证得，可得，，利用证明，得出，，，根据图形与坐标，得出点、的坐标，再利用待定系数法求得直线、的解析式，联立解析式求解得出答案即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴把点和点代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：∵在中，令，得，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
在中，，，
∴，
如图，过点作轴交于，过点作轴交于，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴当时，，取得最大值，
∴的最大值，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时点的坐标为；
【小问3详解】
解：∵，
∴，原抛物线顶点为，
∵将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
如图，过点作轴交轴于，过点作轴于，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作的垂线，在该垂线上分别截取，使或，连接线段交新抛物线于，连接线段交新抛物线于，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立解析式得：，
整理得：，
解得：或（不合题意，舍去）；
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立解析式得：，
整理得：，
解得：或（不合题意，舍去）；
综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及求二次函数与一次函数解析式、二次函数图象上点坐标的特征、平行四边形的判定与性质、三角函数相关计算、相似三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、图形与坐标等知识，用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度、数形结合是解题的关键．
26. 如图，和都是等腰直角三角形，且，，．绕着点逆时针旋转，连接．
（1）当时，求的长；
（2）如图，若、、分别是、，的中点，连接、，试猜想与的关系，并证明你的猜想：
（3）如图，在旋转过程中，连接、，当有最大值时，把沿着翻折到与同一平面内得到，请直接写出的面积．
【答案】（1）或
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）当在外时，过点作于，在中，由，设，，则，求得，，在中勾股定理求解即可；当在内时，过点作于，交于，推出，得出，设，，则，求出、，证明，得出，求出，根据勾股定理计算，求出，最后根据得出答案即可；
（2）连接、、，延长交于，证明，结合中位线的定义与性质，证明是等腰直角三角形即可得证；
（3）根据题意当最大时，即最大时，此时、、三点共线，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，连接交于点，分别求得、、、的长，根据等面积法求得的长，继而根据求得，从而求得的面积．
【小问1详解】
解：如图，当在外时，过点作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，
解得：，
∴，，
∴，
∴；
如图，当在内时，过点作于，交于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，
解得：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或；
【小问2详解】
解：猜想，证明如下，
如图，连接、、，延长交于点，交于点，交于点，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵、、分别为、、中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
【小问3详解】
解：∵由（2）过程得，
∴，
如图，根据题意当最大时，即最大时，此时、、三点共线，交于点，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，，
设，则，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴，
，
∴，
如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，连接交于点，
∵翻折得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形、翻折和旋转的性质、全等三角形的判定与性质、中位线的定义与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、推理证明、数形结合是解题的关键．龙
行
龘
龘
龙
（龙，行）
（龙，龘）
（龙，龘）
行
（行，龙）
（行，龘）
（行，龘）
龘
（龘，龙）
（龘，行）
（龘，龘）
龘
（龘，龙）
（龘，行）
（龘，龘）
软件
平均数
众数
中位数
完全识别错误的段数所占百分
款
6
8
款
8
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据左视图是从左向右观察到的图形，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：“卯”的左视图为：
故选D．
3. 下列反比例函数的图象经过第二、四象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】主要考查反比例函数图象的性质：（1）时，图象是位于一、三象限．（2）时，图象是位于二、四象限．熟练掌握反比例函数图象的性质是解题关键． 根据反比例函数图象的性质对各选项逐一判断解答即可．
【详解】解：A．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意，
B．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意，
C．，反比例函数图象位于二、四象限，故该选项符合题意，
D．，反比例函数图象位于一、三象限，故该选项不符合题意，
故选C．
4. 如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为4，则的面积是（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为，
∴与的面积之比为，
∵的面积为4，
∴的面积是9，
故选C．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
5. 将一个直角三角板和一把直尺按如图方式摆放，三角板的直角顶点在直尺的一边上，若，则的度数是（ ）
A. 28°B. 52°C. 62°D. 72°
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．先求得的度数，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解．
【详解】解：由题意得，
∴，
∵直尺两边平行，
∴，
故选：C．
6. 估算的结果应在（ ）
A. 13和14之间B. 14和15之间C. 15和16之间D. 25和26之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的大小估算，解题的关键是：熟练掌握算术平方根的估算．先计算，根据算术平方根的知识进行估算，即可求解．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故选：．
7. 如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找出每幅图中“●”个数的变化规律，并归纳公式，然后代入求值即可．
【详解】解：第1幅图形中“●”的个数为a1=3=1×3；
第2幅图形中“●”的个数为a2=8=2×4；
第3幅图形中“●”的个数为a3=15=3×5；
第4幅图形中“●”的个数为a4=24=4×6；
∴第n幅图形中“●”的个数为an=n（n+1）；
∴+++++++
=+++++++
=+++++++
=
=
=
故选A．
【点睛】此题考查的是探索规律题和有理数的运算，找出规律并归纳公式是解决此题的关键．
8. 如图，分别切 的两边于点、，点在优弧上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识，连接、，利用切线的性质、四边形内角和为可求的度数，然后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接、，如图：
分别切的两边，于点，，
，，
，
，
．
故选：B．
9. 如图，在正方形中，是边上一动点，连接，过点作，垂足为，连接，若，则的长度为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．过点作于， 可证明，根据全等三角形的性质得到，，由，可求出、的长度，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作于，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．
10. 有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（ ）个
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算以及探索规律，正确理解题意和熟练进行整式的运算是解题的关键．根据题意依次进行作差，重复操作可知6个一循环，然后再依次判断即可．
【详解】解：由题意依次计算可得：
，
，
，
，
，
，
．
以此类推，6个一循环，
∴当时，，故①错误；
当时，则，
∴或，
∴或0，
∴，故②正确；
∵，，，
∴，，，
∴，
，
∴和不一定相等，故③错误，
综上所述，正确的说法有1个，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11. 计算：2－1+sin30°＝_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据整数的负指数幂运算法则以及特殊角的三角函数，即可得到答案．
【详解】解：原式，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了整数负指数幂和特殊角的三角函数，是基础题，掌握负指数幂的运算法则和特殊角的三角函数是解题的关键．
12. 若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：．
13. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从盒中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的结果有2种，
抽取的两张卡片上都印有汉字“龘”的概率为．
故答案为：．
14. 如果一次函数的图像不经过第一象限，那么的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的图像的性质，根据一次函数图像的性质列出关于b的不等式组求解即可．
【详解】解：∵一次函数的图像不经过第一象限，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在扇形中，，，是的垂直平分线，交弧于点E，点C是的中点，连接，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不规则图形的面积，涉及扇形面积公式、线段垂直平分线的性质、解直角三角形等知识，先根据线段垂直平分线的性质和锐角三角函数求得，，则，由结合扇形和三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，过E作于F，则，
∵，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，又，
∴，则，
∵点C是的中点，
∴，
∴
，
故答案为：．
16. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数的和为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值，先解不等式组和分式方程，根据不等式组解集的情况和分式方程解的情况，求出所有整数的值，再求和即可，熟练掌握由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值是解题的关键．
【详解】解：，
解得：，
又∵关于的一元一次不等式组的解集为，
∴；
，
解得：，
又∵关于的分式方程的解是整数，
∴为整数，且．
综上所述，要满足：，为整数，且，
∴整数的值可以为：，，，，，
∴符合条件的所有整数的和，
故答案为：．
17. 如图，正方形的边长为6cm，E为的中点，连接AE，过点D作于点F，连接，过点C作于点G，交AE于点M，交AD于点N，则MN的长为______
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长交于．首先证明，由，推出，，由，推出，推出，再证明即可解决问题．
【详解】解：如图，延长交于．
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18. 对于任意一个三位自然数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k倍（k为整数），则称M为“k阶比例中项数”此时，记去掉其个位数字后剩余的两位数为，去掉百位数字后剩余的两位数为，规定，则最大的“4阶比例中项数”是__________；若（其中 ，，m，n均为正整数）是一个“k阶比例中项数”，且能被8除余3，则满足条件的N之和是__________．
【答案】 ①. 961 ②. 823
【解析】
【分析】本题考查因式分解的应用，能够运用题干当中的新定义是解答本题的关键．（1）根据“k阶比例中项数”的含义直接作答即可；（2）经过分析确定个位数为1，根据N是“k阶比例中项数”得到m与n的数量关系，根据被8除余3，得到另外一个m与n的数量关系，通过列举法确定N的值．
【详解】解：（1）若一个三位数是“4阶比例中项数”那百位和个位数字积的4倍是十位上数字的平方，
设这个三位数为，
则c，且，其中，均为整数，且均在1到9之间，
∴为4的倍数，
∴b可能是2，4，6，8，
当时，此时，这个三位数是121；
当时，此时，当，时，这个三位数最大，为441；
当时，此时，当，时，这个三位数最大，为961；
当时，此时，当，时，这个三位数最大，为882；
则最大的“4阶比例中项数”是961；
（2）由题意可知，
，
，
∴是8的倍数，
∵ ，，m，n均为正整数，
∴n可能是2，3，4，5，6，7，8，
当时，m的值为1、2、4，，
当时，不是8的倍数，不符合题意；
当时，不是8的倍数，不符合题意，
当时，是8的倍数，符合题意，此时；，
当时，m的值为1、3，，
当，不是8的倍数，不符合题意；
当时，不是8的倍数，不符合题意，
当时，m的值为1、2、4，，
同理，当，，符合题意，此时，其余不符合题意；
当时，m的值为1，同理，不符合题意；
当时，m的值为1、2、3、4，，
同理，当时，，符合题意，此时；
当时，m的值为1，同理，不符合题意；
当时，m的值为1、2、4，，
同理，当时，均不符合题意；
综上，符合条件的N有421或141或261，故符合条件的N之和为823．
故答案为：961，823．
三、解答题：（本题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键．
（1）先根据单项式与多项式的乘法法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可；
（2）把括号内通分，并把除法转化为乘法，再利用完全平方公式、平方差公式整理，然后约分化简即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
=
．
20. 某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有，两款语音识别输入软件，该公司准备择优购买．为了解两款软件的性能，测试员小文随机选取了段短文，其中每段短文都含个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
款软件每段短文中识别错误的字数记录为：
5， 6， 6，6，6， 6， 6， 6， 6， 7， 9，
9， 9， 9， 9， 10， 10， 10， 10， 10．
款软件每段短文中识别错误的字数如右图所示：
、两款软件每段短文中识别错误的字数的统计表如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中的 ， ， ．
（2）若你是测试员小文，根据上述数据，你会向部门推荐哪款软件？请说明理由；
（3）若会议记录员用、两款软件各识别了段短文，每段短文有个文字，请估计两款软件完全识别错误的短文共有多少段？
【答案】（1）；；
（2）推荐款软件，理由见解析
（3）两款软件完全识别错误的短文共有段
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、用调查数据作决策、用样本估计总体，熟练掌握知识点、数据处理与应用是解题的关键．
（1）根据记录的数据和折线统计图中的数据以及平均数、中位数的定义，得出，，的值即可；
（2）平均数相近，可以比较两款软件完全识别错误的段数所占百分比得出答案；
（3）根据款语音识别完全错误的百分比和款语音识别完全错误的百分比求解即可．
【小问1详解】
解：；
∵由折线统计图得，将款软件每段短文中识别错误字数从小到大排列，第，位都是，
∴；
∵由折线统计图得，款软件完全识别错误的有段，
∴，
故答案为：；；；
【小问2详解】
解：向部门推荐款软件，理由如下，
∵两款软件每段短文中识别错误的字数的平均数相近，但款软件完全识别错误的段数所占百分比为，款软件完全识别错误的段数所占百分比为，说明款识别错误率更低，
∴向部门推荐款软件；
【小问3详解】
解：（段），
答：两款软件完全识别错误的短文共有段．
21. 如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）．
（2）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴ ① ．
在和中，
∴．
∴．
∵
∴ ③
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 ④ ．
【答案】（1）见解析 （2）；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作垂线、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，根据平分．得出，根据，公共边，可利用证明，得出，则直线即为的垂线；
（2）利用证明，得到，结合三角形的面积公式，进而将面积之比转化为相应边的比，得出答案即可．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求作的垂线，
；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
故答案为：；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
22. 如图，在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，到点时停止．设运动的时间为秒，记为．
（1）请直接写出关于的函数表达式以及对应的的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质：
（3）函数与的图象有且仅有个交点，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）图见解析，在范围内，随着的增大而增大
（3）
【解析】
【分析】本题考查了求分段函数的解析式、根据解析式画函数的图象、一次函数的图象与性质、矩形的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据题意，分和讨论，根据三角形面积公式得出关于的函数表达式即可；
（2）根据（1）中函数表达式，取，，作出图象，写出该函数的一条性质即可；
（3）根据函数与的图象一定经过点，画图分析，当函数与的图象从经过点，逆时针转动到经过时，与的图象有且仅有个交点（不包含刚好经过点时），得出不等式求解，得出的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵在矩形中，，，点为边上的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，
∴，，
∵，，记为，
∴当时，点在上运动，；
当时，点与点重合，不存在；
如图，当时，点在上运动，
，
综上所述：；
【小问2详解】
解：∵，
∴当时，，
当时，（作图用，此时不存），
当时，，
∴取，，，连线作图如下，
∴在范围内，随着的增大而增大；
【小问3详解】
解：∵函数与的图象一定经过点，
∴如图，画图分析，
∴当函数与的图象从经过点，逆时针转动到经过点时，与的图象有且仅有个交点（不包含刚好经过点时），
∴，
解得：，
∴的取值范围为．
23. 芬芳的鲜花，能驱散内心的疲惫，让人心灵得到放松，感受生活的美好．某花店抓住市场需求，计划第一次购进玫瑰和向日葵共300支，每支玫瑰的进价为2元，售价定为5元，每支向日葵的进价为4元，售价定为10元．
（1）若花店在无损耗的情况下将玫瑰和向日葵全部售完，要求总获利不低于1200元，求花店最多购进玫瑰多少支？
（2）花店在第二次购进玫瑰和向日葵时，两种花的进价不变．由于销量火爆，花店决定购进玫瑰和向日葵共360支，其中玫瑰的进货量在（1）的最多进货量的基础上增加支，售价比第一次提高m元，向日葵售价不变，但向日葵在运输过程中有10%已经损坏，无法进行销售，最终第二批花全部售完后销售利润为1800元，求m的值．
【答案】（1）200支
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）设花店购进玫瑰支，则购进向日葵支，利用总利润每支玫瑰的销售利润购进玫瑰的支数每支向日葵的销售利润购进向日葵的支数，结合总利润不低于1200元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论；
（2）利用总利润销售单价销售数量进货单价进货数量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设花店购进玫瑰支，则购进向日葵支，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为200．
答：花店最多购进玫瑰200支；
【小问2详解】
根据题意得：，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)．
答：的值为2．
24. 为了增强体质，就读于重庆文德中学 校区的小明和就读于十一中本部的哥哥每周都会从各自学校出发前往涂山站汇合一同前往江南体育馆打羽毛球，经勘测，腾黄大道公交站C在文德中学校区点A的正北方150米处，十一中本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，点D在点C的正东方，涂山站E在点D的正北方，点E在点C的北偏东方向．（参考数据： ）
（1）求长度；（结果精确到1米）
（2）周五放学，小明和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点 E处汇合，小明的路线为，他从点A步行至点 C再乘坐公交车前往点 E，假设小明匀速步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶速度为250米每分钟，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时2分钟（小明上车和下车时间忽略不计）．哥哥的路线为，全程步行，他从点B经过点 D 买水（买水时间忽略不计）再前往点 E，假设哥哥匀速步行且速度为100米每分钟．请问小明和哥哥谁先到达点E呢?说明理由（结果保留两位小数）．
【答案】（1）
（2）哥哥先到点，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，关键是掌握正弦、余弦的定义．
（1）由题意得，因为，，可得是等腰直角三角形，所以，因为，可得的长；
（2）先算出、的长，再根据小育从点步行至点再乘坐公交车前往点，匀速步行且步行速度为80米每分钟，公交车匀速行驶且速度为250米每分钟，公交车行驶途中停靠耗时2分钟，哥哥全程步行，从点经过点买水再前往点，步行速度为100米每分钟，算出小育和哥哥花费的时间，进行比较，可得小育和哥哥谁先到达点．
【小问1详解】
解：如图，过点作于，
由题意得，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
答：的长度为；
【小问2详解】
，
，
点在点的北偏东方向，
，
，，
小明花费时间（分钟），
哥哥花费时间（分钟），
，
哥哥花费时间更少，
答：哥哥先到点．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作直线交轴于点，过点作于点，求出的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接交于点，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点，使，请直接写出所有符合条件的点的横坐标．
【答案】（1）
（2）的最大值为，此时点的坐标为
（3）点的横坐标为或
【解析】
【分析】（1）把点、的坐标代入，计算得出抛物线的表达式即可；
（2）运用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于，过点作轴交于，设，则，可证得，求得，证明四边形是平行四边形，再证明，可得，表示出关于的函数关系，再运用二次函数的性质，求出的最大值及此时点的坐标即可；
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线，可得新抛物线的解析式为，过点作轴交轴于，过点作轴于，根据三角函数定义可得，过点作的垂线，在该垂线上分别截取，使或，连接线段交新抛物线于，连接线段交新抛物线于，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，再证得，可得，，利用证明，得出，，，根据图形与坐标，得出点、的坐标，再利用待定系数法求得直线、的解析式，联立解析式求解得出答案即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴把点和点代入得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：∵在中，令，得，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
在中，，，
∴，
如图，过点作轴交于，过点作轴交于，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴当时，，取得最大值，
∴的最大值，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时点的坐标为；
【小问3详解】
解：∵，
∴，原抛物线顶点为，
∵将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移2个单位，向上平移1个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
如图，过点作轴交轴于，过点作轴于，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作的垂线，在该垂线上分别截取，使或，连接线段交新抛物线于，连接线段交新抛物线于，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线解析式为，
联立解析式得：，
整理得：，
解得：或（不合题意，舍去）；
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立解析式得：，
整理得：，
解得：或（不合题意，舍去）；
综上所述，所有符合条件的点的横坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及求二次函数与一次函数解析式、二次函数图象上点坐标的特征、平行四边形的判定与性质、三角函数相关计算、相似三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、图形与坐标等知识，用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度、数形结合是解题的关键．
26. 如图，和都是等腰直角三角形，且，，．绕着点逆时针旋转，连接．
（1）当时，求的长；
（2）如图，若、、分别是、，的中点，连接、，试猜想与的关系，并证明你的猜想：
（3）如图，在旋转过程中，连接、，当有最大值时，把沿着翻折到与同一平面内得到，请直接写出的面积．
【答案】（1）或
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）当在外时，过点作于，在中，由，设，，则，求得，，在中勾股定理求解即可；当在内时，过点作于，交于，推出，得出，设，，则，求出、，证明，得出，求出，根据勾股定理计算，求出，最后根据得出答案即可；
（2）连接、、，延长交于，证明，结合中位线的定义与性质，证明是等腰直角三角形即可得证；
（3）根据题意当最大时，即最大时，此时、、三点共线，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，连接交于点，分别求得、、、的长，根据等面积法求得的长，继而根据求得，从而求得的面积．
【小问1详解】
解：如图，当在外时，过点作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，
解得：，
∴，，
∴，
∴；
如图，当在内时，过点作于，交于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，
解得：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或；
【小问2详解】
解：猜想，证明如下，
如图，连接、、，延长交于点，交于点，交于点，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵、、分别为、、中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
【小问3详解】
解：∵由（2）过程得，
∴，
如图，根据题意当最大时，即最大时，此时、、三点共线，交于点，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，，
设，则，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴，
，
∴，
如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为、，连接交于点，
∵翻折得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形、翻折和旋转的性质、全等三角形的判定与性质、中位线的定义与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、推理证明、数形结合是解题的关键．龙
行
龘
龘
龙
（龙，行）
（龙，龘）
（龙，龘）
行
（行，龙）
（行，龘）
（行，龘）
龘
（龘，龙）
（龘，行）
（龘，龘）
龘
（龘，龙）
（龘，行）
（龘，龘）
软件
平均数
众数
中位数
完全识别错误的段数所占百分
款
6
8
款
8
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