2024年江西省景德镇市九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间100分钟.
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 的倒数是（ ）
A. 3B. C. D.
2. 有着2000多年制瓷历史的景德镇，因瓷而兴，因瓷而荣.下列各图所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点G，点F为焦点，若、，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，乙说得甲六只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙各有多少只羊?设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 单项式的系数是 ____ ．
8. 3月5日，2024年春运落下帷幕，交通运输部数据显示，40天里，全社会跨区域人员流动量超84亿人次，将84亿用科学记数法表示应为_________．
9. 二次函数与y轴交于点C，在点C右侧作轴，交抛物线于点D，且，则抛物线的对称轴为_________.
10. 已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为__________.
11. 如图，在矩形中，，．的平分线交于点E．以E为圆心，长为半径画弧交的延长线于点F．则图中阴影部分的面积为__________．
12. 在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为__________．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13 （1）计算：．
（2）如图，在中，，．将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落作边上，点C的对应点为点E，连接，求的度数．
14. 小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：
（1）小明的解题过程从第__________步开始出现了错误；
（2）请利用配方法正确地解方程．
15. 如图，已知P是一次函数的图象与x轴的交点，将点P向下平移2个单位长度后所得的点Q在反比例函数上．
（1）点P的坐标为__________．
（2）求反比例函数的表达式．
16. 如图是一个由小正方形构成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，经过A，B，C三个格点，请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹：
（1）图1中，在圆上找一点D，使得；
（2）在图2中，在圆上找一点P，使得A点为弧的中点．
17. 李白被“邀请”走进2024春晚《山河诗长安》节目，千人齐诵《将进酒》，豪放洒脱，荡气回肠，将长安城中的浪漫具象化．激发出无数中华儿女满满的自豪感，掀起了古诗词文化的新热潮．为弘扬中华传统文化，增加学生诗词底蕴，某校拟举办“诗词大赛”，每班选2名参赛学生，某班有1名男生和3名女生报名参加．
（1）若要从这4名学生中随机选取1名学生参加比赛．则选取的恰好是男生的概率为__________；
（2）若要从这4名学生中随机选取2名学生参加比赛，请用列表或画树状图方法，求选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．学校为了让学生体验农耕劳动，开设校园劳动基地．现计划购买甲，乙两种型号的劳动工具．已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具少3元，且用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等．
（1）求甲，乙两种型号劳动工具的单价各是多少元?
（2）该校计划购买甲，乙两种型号的劳动工具共90个，且乙型劳动工具的数量不少于甲型劳动工具数量的一半，求购买这批劳动工具的最少费用．
19. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．

（1）求的长．
（2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）
20. 如图，为的直径，点C是弧的中点，过点C作射线垂线，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 教体局为进一步开展“睡眠管理”工作，对某校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查.设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中的分组情况是：
A组：；
B组：；
C组：；
D组：；
E组：.
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了________名学生，这部分学生睡眠时间的中位数在__________组；
（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为_________，并请你补全条形统计图（两处）；
（3）德中教育集团现有7000名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人?
22. 【问题情境】在数学活动课上，同学们在课上用两张矩形纸片进行探究活动.小组同学准备了两张矩形纸片和，其中，，将它们按如图1所示的方式放置，点E，G分别落在，边上时，点E，G恰好为边，的中点.然后将矩形纸片绕点B按顺时针方向旋转，旋转角为，连接与．
【观察发现】
（1）如图2所示，当时，小组成员发现与存在的数量关系为_________；位置关系为_________；
【探索猜想】
（2）如图3所示，当时，（1）中发现结论是否仍然成立?请说明理由；
【拓展延伸】
（3）在矩形的旋转过程中，交于点P，交于点O，连接，，是否为定值；如果是，请直接写出此定值，如果不是，请你说明理由.
六、（本大题1小题，共12分）
23. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况
在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
【探究二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度；
【探究三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线（点P为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度．