2024年江西省九江市修水县九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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2．请将答案写在答题卡上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 下列各数中，为负数的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，相反数以及负数的定义，把A、B化简后根据负数的定义判断即可．
【详解】解：A．是正数，不符合题意；
B．是正数，不符合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，不符合题意；
D．是负数，符合题意；
故选：D．
2. 下列四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．根据轴对称图形的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
3. 今年前2个月，江西进出口总值亿元．亿可用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法．
科学记数法是一种记数的方法，把一个数表示成与10的次幂相乘的形式（，为整数）．
【详解】∵科学记数法的表示：，，
∴亿．
故选：C
4. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图是从物体的上面看的图形即可解答．
【详解】解：∵从砚台上面看到的图形是
故选．
【点睛】本题考查了俯视图的概念，理解俯视图的概念是解题的关键．
5. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．根据幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则，二次根式性质，以及完全平方公式化简即可判断．
【详解】解：A．，故选项正确，符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
6. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有格点A，B，则线段AB 的长度在数轴上对应的点位于数轴上的（ ）
A. ①段B. ②段C. ③段D. ④段
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算．利用勾股定理求解的长度，再利用无理数的估算即可判断．
【详解】解：，
∵，
∴，
故线段的长度在数轴上对应的点应落在标注的④段，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 因式分解： _______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用公式法即可求解，熟练掌握提公因式法及公式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 在整数20240618中，数字“0”出现的频率是_____．
【答案】##0.25##
【解析】
【分析】本题考查了频率计算方法，根据整数可知共有8种等可能结果，出现0的有两种，根据频率等于可能出现的结果除以总的结果即可求解．掌握频率的计算公式是解题的关键．
【详解】解：共有8个数，则有8种等可能情况，其中出现数字“0”的有两种情况，
则数字“0”出现的频率是，
故答案为：．
9. 将一把直尺与纸片按如图所示的方式摆放，与直尺的一边重合，分别与直尺的另一边交于点，若点分别与直尺上的刻度，，5，7对应，直尺的宽为，则点到边的距离为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解题意、熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.由题意可得：，然后作于点G，交于点H，如图，证明，根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】解：由题意可得：，
作于点G，交于点H，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴
即点到边的距离为，
故答案为：1.
10. 已知关于x的一元二次方程 的两个实数根为，，若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，先根据求得，再利用根与系数的关系即可求解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
原方程为，
，
故答案为：．
11. 如图，已知点，若反比例函数的图象与线段相交，则k的值可能为________．（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据图象可知，反比例函数上一点的坐标为，其中，取，求解即可．
【详解】解：由图可知：直线与双曲线交于一点，且，
∴设交点为，则：，
∴当时，；
故答案为：3（答案不唯一）．
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点， ，为的中点，点为矩形边上任意一点，将沿折叠得，若点在矩形的边上，则点的坐标为_______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是掌握折叠的性质．分为三种情况讨论：当点在上时，过点作于点；当点在上时，过点作于点；当点在上时；根据矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：点，，四边形是矩形，
，，，
为的中点，
，
如图，当点在上时，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，，
由折叠可得：，
，
，
；
如图，当点在上时，过点作于点，
同理可证，四边形是矩形，
，，
由折叠可得：，
，
，
；
如图，当点在上时，
由折叠可得：，
为的中点，
，
此时点与重合，
，
综上所述，点的坐标为或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13 （1）计算：
（2）化简：
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数，算术平方根，负整数指数幂计算即可．
（2）根据分式的混合运算法则计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数，算术平方根，负整数指数幂，分式的混合运算等计算，熟练掌握公式和三角函数值，约分是解题的关键．
【详解】解：（1）原式
（2）原式
14. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，以及解集在数轴上的表示．
先分别解出一元一次不等式的解集，然后得出一元一次不等式组的解集，最后将解集画在数轴上．
【详解】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为
将该不等式组的解集在数轴上表示如图所示．
15. 2024 年春晚，魔术师表演了一个与纸牌相关的魔术，让人大开眼界．春晚结束后，龙龙和春春玩抽扑克牌游戏，如图，他们拿出四张大小、形状和背面完全相同的扑克牌（扑克牌 A 当作数字1），背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）若春春从中随机抽出一张牌，则抽到的这张牌的花色是 的可能性最大；
A．红心 B．梅花 C．方块
（2）若龙龙随机抽取一张（不放回），记下牌面上的数字，接着春春再从剩下的扑克牌中随机抽取一张，记下牌面上的数字，请用画树状图或列表的方法求他们抽到的两张扑克牌牌面上的数字之和恰好是偶数的概率．
【答案】（1）A （2）列表见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式分别计算出摸到三种花色的概率即可得到答案；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到他们抽到的两张扑克牌牌面上的数字之和恰好是偶数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵张扑克牌中有2张红心，一张梅花，一张方块，
∴抽到红心的概率为，抽到梅花为的概率为，抽到方块的概率为：
∴抽到红心的概率最大，
故选：A．
【小问2详解】
解：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他们抽到的两张扑克牌牌面上的数字之和恰好是偶数的结果数有4种，
∴他们抽到的两张扑克牌牌面上的数字之和恰好是偶数的概率为．
16. 解方程组，下面是两同学的解答过程：
甲同学：
解：把方程变形为，再将代入方程①得，…
乙同学：
解：将方程的两边乘以3得，再将①+②，得到，…
（1）甲同学运用的方法是________，乙同学运用的方法是________；(填序号)
①代入消元法；②加减消元法．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）①；② （2）
【解析】
【分析】本题考查了代入消元法和加减消元法解二元一次方程组．
（1）得到等式的性质进行消元，消元的目的就是将二元一次方程转化为一元一次方程；
（2）用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：甲同学运用的方法是①，乙同学运用的方法是②；(填序号)
①代入消元法；②加减消元法
故答案为：①，②；
【小问2详解】
解：选择甲同学的方法，
把方程变形为，
再将代入方程①得，
解得，
把代入，得，
∴方程组的解为；
选择乙同学的方法，
将方程的两边乘以3得③，
再将①+③，得到，
解得，
把代入，得，
解得，
∴方程组的解为．
17. 如图，已知矩形，请仅用无刻度的直尺画出下列图中的圆心O（保留作图痕迹）．
（1）如图1，矩形的四个顶点都在圆上；
（2）如图2，矩形的顶点A在圆上，顶点B，C，D在圆内．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接、，则与的交点，即为点O；
（2）延长交圆于点H，延长交圆于点M、N，连接、并延长，交于点E，连接、交于点F，延长交圆于点G，连接，连接并延长，交于点O．
【小问1详解】
解：点O即为所求．
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴O为圆的半径．
【小问2详解】
解：点O即为所求．
∵四边形为矩形，
∴，，
∴为的直径，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴点F在的垂直平分线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点E在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴点O在圆的直径上，
∵为圆的直径，
∴O为圆心．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，圆周角定理，垂直平分线的判定，垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
四、解答题（本大题共3 小题，每小题8分，共24分）
18. 近年来，由于的横空出世，大语言模型成为人工智能领域的热门话题．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据为84，86，86，87，88，89；抽取的对B款聊天机器人的评分数据为66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中 ， ， ．
（2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）在此次测验中，有250人对A款聊天机器人进行评分，300人对B款聊天机器人进行评分，请估计此次测验中对聊天机器人不满意的人数．
【答案】（1）15，88.5，98
（2）A款聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析
（3）70人
【解析】
【分析】(1)先根据A款“满意”的人数求出“满意”所占百分比，用1减去其它三个所占百分比可得a值，根据各等级所占百分比判断中位数中“满意”组中，根据中位数的定义即可求出b值，根据众数的定义即可得出c值；
(2)根据平均数相同，中位数大的更受用户喜爱解答即可；
(3)先求出B款中“不满意”所占百分比，再用各款总人数乘以各款“不满意”所占百分比，求和即可得答案；
【小问1详解】
∵A款机器人的评分数据中“满意”的有6人，
“满意”所占百分比为，
“非常满意”所占百分比为，“不满意”所占百分比为，
“比较满意”所占百分比为，
，
“不满意”所占百分比为，“比较满意”所占百分比为，
“不满意”与“比较满意”共有人，
“满意”的有6人，
中位数在“满意”这组数据中，
第10和第11个数据为88、89，
中位数为，
，
B款数据中，98出现4次，次数最多，
款众数为98，
，
故答案为：15，88.5，98；
【小问2详解】
A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数为88.5分比B款的中位数87分高，
A款聊天机器人更受用户喜爱．
【小问3详解】
B款中“不满意”的有3人，所占百分比为，
估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有人；
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数、扇形统计图、样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并能灵活进行分析和计算；
19. 如图，在中， ，点O在上，以O为圆心，长为半径的半圆分别交于点D，E，F，且E是的中点．
（1）求证：是的切线．
（2）若 ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，证明，即可证得结论成立；
（2）设，则 从而可表示出，另一方面，由此建立方程求出x的值，利用即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，如图．
，，
，
∵，
，
，
∵E是的中点，
．
．
．
是半径，
是的切线．
【小问2详解】
解：，
是等腰直角三角形．
设，则


解得 ．

【点睛】本题考查了切线的判定，不规则图形的面积，勾股定理及等腰直角三角形的性质，掌握切线的判定和性质是关键
20. 如图1，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的支架左侧平面示意图，当，D在上滑槽上左右滑动时，，同时在与平行的下滑槽上滑动，带动整个支架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2中，中间个菱形的边长均为．
（1）当调节至时，求两滑槽间的距离（即与之间的距离）；
（2）根据生活经验，当一个身高的人，头顶与下滑槽的距离不超过时，晒衣服比较方便，若上滑槽距离地面，那么至少调整到多少度？
（参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）至少调整到
【解析】
【分析】（1）连接，延长交于点，延长交于点，利用，，求出的度数，利用三角函数求出，，最后用求出最后结果．
（2）由（1）可知，所以，根据题意得出，利用已知可求出，再得出最后结果即可．
【小问1详解】
如图，连接，延长交于点，延长交于点．
由菱形的轴对称性可知，，，
为与之间的距离，即两滑槽间的距离，
，，
，
．
同理，
，
两滑槽间的距离为．
【小问2详解】
如图，由（1）可知，
，
由题意可得，，
即，
，
，
，
至少调整到．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，利用三角函数求边长，正确作出辅助线，结合图形判断出是解答本题的关键．
五、解答题（本大题共2 小题，每小题9分，共18分）
21. 如图①，实验课上，小明同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在天平的固定托盘中放置一些大小不等的立方体，在活动托盘中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘与点的距离，观察活动托盘中砝码的质量的变化情况．实验数据记录如表：
图① 图②
（1）把表中，的各组对应值作为点的坐标，如，……在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点；
（2）观察所画图象，猜测与之间的函数关系，求出函数关系式；
（3）当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是多少？
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，掌握待定系数法求解解析式是解题关键．
（1）描点，连线即可作图；
（2）由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数，设，把，代入即可求解；
（3）把代入即可求解．
【小问1详解】
解：描点，连线如图所示：
【小问2详解】
解：由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数，
设，
把，代入得，
，将其余各点代入验证均适合，
与的函数关系式为；
【小问3详解】
解：把代入，
得，
当砝码的质量为时，活动托盘与点的距离是．
22. 初步探究
（1）如图1，在四边形中，相交于点O， ，且，则与的数量关系为 ．
迁移探究
（2）如图2，在四边形中，相交于点O，，（1）中与的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由．
拓展探究
（3）如图3，在四边形中， 相交于点O，，且 ，求的长．
【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理：
（1）等积法，判断线段之间的关系即可；
（2）过点作，过点作，等积法得到，证明，即可得出结论；
（3）根据，得到四点共圆，进而得到，证明，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴；
（2）成立；理由如下：
过点作，过点作，则：，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（3）由（2）可知：，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴．
六、解答题（本大题共12分）
23. 已知一次函数与二次函数（m为常数）图象在同一平面直角坐标系中．
（1）当 时，求两个函数图象的交点坐标．
（2）如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．
（3）如图，当 时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．
①当轴时，求 的最小值；
②当轴时，求 的最小值．
【答案】（1）或
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题；
（1）当时，一次函数为y= 二次函数为 ，联立解析式，解方程，即可求解．
（2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解；
（3）当 时，一次函数为y= 二次函数为
①设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解；
②设 ，表示出，进而根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：（1）当时，一次函数为y= 二次函数为
联立方程组
解得 或
∴交点坐标为或；
【小问2详解】
由
得
∵两个函数图象没有交点，
∴
得
【小问3详解】
当 时，一次函数为二次函数为
①∵轴
设 ，

∴当 时，
②设
∵轴，



∴当 时， 机器人
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
b
96
B
88
87.5
c
10
15
20
25
30
30
20
15
12
10