湖北省黄石市阳新县陶港中学2024年中考一模数学试卷

这是一份湖北省黄石市阳新县陶港中学2024年中考一模数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2024的相反数是（ ）
A．2024B．-2024C．12024D．-12024
2．我国古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑有一定的影响．如图是受“八卦”的启示，创作的正八边形窗户平面图，则对该图的对称性表述正确的是（ ）
A．只是轴对称图形
B．只是中心对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
3．如图所示，已知AB//CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2的度数为( )
A．20°B．40°C．50°D．60°
4．如图是一个由5个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A．点数的和为1B．点数的和为6
C．点数的和大于12D．点数的和小于13
6．不等式组3x>-6x+13≤1的解集，在数轴上表示正确的是( )
A．B．
C．D．
7．已知a，b是一元二次方程x2+2x-1=0的两根，则2aa2-b2-1a-b的值是( )
A．12B．2C．-12D．-2
8．反比例函数y=kx的图象经过点(3,-1)，则下列说法错误的是( )
A．k=-3B．函数图象分布在第二、四象限
C．函数图象关于原点中心对称D．当x<0时，y随x的增大而减小
9．如图，在△ABC中，点D在BC上，DE//AC，DF//AB，下列四个判断中不正确的是( )
A．四边形AEDF是平行四边形
B．若∠BAC=90°，则四边形AEDF是矩形
C．若AD⊥BC且AB=AC，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形
10．已知点A(x1,y1)在抛物线y1=nx2-2nx+n上，点B(x2,y2)在直线y2=-nx+n，当n>0时，下列判断正确的是( )
A．当x1=x2<1时，y11时，y1C．当y1=y2>n时，x1>x2D．当y1=y2x2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若a>20240，则正整数a可以为 ．
12．某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件64.8元，这种服装平均每件降价的百分率是 ．
13．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为 .(sin37°≈0.6,cs37°≈0.8,tan37°≈0.75)
14．小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点；（2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，n≥3）
15．PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交PA，PB于C，D两点，若∠APB=50°，则∠COD的度数为 .
16．如图，在等腰Rt△ABC中，AB=BC=1，点E，F分别是AB，连接EF，将△ABC沿EF翻折，若AD=2CD，则BE的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．某校为了了解A，B两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩(百分制)，并对成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①A，B两班学生(两个班的人数相同)数学成绩不完整的频数分布直方图如图(数据分成5组：x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)；
②A，B两班学生测试成绩在80≤x<90这一组的数据如下：
A班：80808283858586878787888989
B班：80808181828283848485858686868787878787888889
A，B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如表：
根据以上信息，回答问题：
（1）A班有 人，其中成绩在70≤x<80这一组的有 人；
（2）表中m= ，n= ；
（3）从两个方面来分析A，B两班的成绩：
① ；
② ．
18．某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为x分（x为整数），将成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x<90，C等级：60≤x<80，D等级：0≤x<60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的a= ，c= ，m= ；
（2）这组数据的中位数所在的等级是 ；
（3）该校决定对分数低于80分的学生进行安全再教育，已知该校七年级共有1000名学生，求该校七年级需要进行安全再教育的学生有多少人？
19．如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图③是图②的示意图．已知BC＝8cm，CD＝20cm，∠BCD＝63°．当AE与BC形成的∠ABC为116°时，求DE的长．（参考数据：sin63°≈0.90，cs63°≈0.45，ct63°≈0.50；sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，ct53°≈0.75）
20．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．
求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
21．公路上正在行驶的甲车发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s(单位：m)、速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）直接写出s关于t的函数关系式 和v关于t的函数关系式 (不要求写出t的取值范围)
（2）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（3）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
22．【问题情境】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=kBC，CD是AB边上的高，点E是DB上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于F，交CD于点G．
（1）【特例证明】如图1，当k=1时，求证：DG=DE；
（2）【类比探究】如图2，当k≠1时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时DG与DE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展运用】如图3，连接DF，若k=34，AC=AE，DG=3，求DF的长．
23．在矩形ABCD中，ADAB=k(k为常数)，点P是对角线BD上一动点(不与B，D重合)，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与射线CB交于点E，连接AE．
（1）特例发现：如图1，当k=1时，将点P移动到对角线交点处，可发现点E与点B重合，则PAPE= ，∠AEP= ；当点P移动到其它位置时，∠AEP的大小 (填“改变”或“不变”)；
（2）类比探究：如图2，若k≠1时，当k的值确定时，请探究∠AEP的大小是否会随着点P的移动而发生变化，并说明理由；
（3）拓展应用：当k≠1时，如图2，连接PC，若PC⊥BD，AE//PC，PC=2，求AP的长．
24．如图1，抛物线y=ax2+b与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是(2，0)，点C的坐标是(0，4)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是第四象限内抛物线上一点，连接PB交y轴于点E，设点P的横坐标为t，线段CE的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）如图3，点D是第三象限内抛物线上一点，连接PD交y轴于点F，过点D作DM⊥BP于点H，交x轴于点M，连接AD交BP于点N，连接MN，若EF=d2，∠BND=∠ANM时，求点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得2024的相反数是-2024，
故答案为：B
【分析】根据相反数的定义结合题意即可得到2024的相反数。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵该图形有八条对称轴，自身旋转180°可以重合
∴ 既是轴对称图形，又是中心对称图形
故答案为：C.
【分析】轴对称图形是指一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐项判断得出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵EF平分∠CEG，
∴∠CEG=2∠CEF
又∵AB∥CD，
∴∠2=∠CEF=（180°-∠1）÷2=50°，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得∠CEG=2∠CEF，根据平行线的性质可得答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵从左边看第一层可以看到两个正方形，第二层靠左有一个小正方形.
∴D符合题意
故答案为：D .
【分析】根据题意，从左边看，依次看第一层，再看第二层即可解题.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A、点数的和为1，是不可能事件，故A不符合题意；
B、点数的和为6，是随机事件，故B不符合题意；
C、点数的和大于12，是不可能事件，故C不符合题意；
D、点数的和小于13是必然事件，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】利用随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，再对各选项逐一判断即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：解不等式3x>-6，得：x>-2，
解不等式x+13≤1，得：x≤2，
故不等式的解集为：-2在数轴上表示
故答案为：B.
【分析】分别求出不等式的解集，根据大小小大中间找，确定不等式组的解集，再在数轴上表示即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+2x−1=0的两根，
由根与系数的关系得：a+b=−2，
∴2aa2-b2-1a-b
=2a(a+b)(a−b)−(a+b)(a+b)(a−b)
=2a-(a+b)(a+b)(a−b)
=1a+b
把a+b=−2，代入可得：原式=-12
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得到a+b=−2，再化简分式1a+b，代数求值即可．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：A、反比例函数y=kx的图象经过点(3,−1)，
∴k=3×(−1)=−3，故选项A正确，不合题意；
B、k=−3<0，∴此函数图象的两个分支位于二四象限，故选选项B正确，不合题意；
C、反比例函数的图象关于原点对称，故选项C正确，不合题意；
D、反比例函数图象的两个分支位于二四象限，
∴当x<0时，y随着x的增大而增大，故选项D错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特征，逐项判断即可．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据平行四边形的判定可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC=90°，根据矩形的判定，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=FD，那么根据菱形的判定，可得四边形AEDF是菱形，故D正确；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定，逐项判断即可．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知：抛物线的对称轴为x=−b2a=−−2n2n=1，
抛物线y1=nx2−2nx+n与直线y2=−nx＋n经过点C(0,n)，
∵n>0，
∴抛物线y1=nx2−2nx+n开口向上，直线y2=−nx＋n经过一、二、四象限，
当x1=x2<1时，y1y2，
当x1=x2>1时，y1y2，故A、B错误；
当y1=y2>n时，图像位于y轴的左侧，可知x1>x2；故C正确；
当y1=y2x2或x1故答案为：C.
【分析】根据函数的性质画出函数的大致图像，根据图象数形结合，逐项判断即可.
11．【答案】2（答案不唯一，大于1的整数即可）
【解析】【解答】解：∵20240=1
∴a＞1
∵a是正整数
∴a取大于2的正整数即可.
故答案为：2.
【分析】根据任何不为零的数的零指数幂都是1，即可求出20240的值，再根据无理数的估值即可判断a的值.
12．【答案】10%​​​​​​​
【解析】【解答】解：设这种服装平均每件降价的百分率是x，
由题意得：801-x2=64.8
解得：x=0.1或x=-1.9（舍去）
服装平均每件降价的百分率是10%
故答案为：10%.
【分析】设这种服装平均每件降价的百分率是x，由题意得：801-x2=64.8，解方程并检验即可.
13．【答案】10米
【解析】【解答】解：由题意得：∠BAC=37°，∠ACB=90°，
∵sin∠BAC=BCAB，
∴6AB≈0.6，
解得：AB≈10米，
即自动扶梯AB的长约为10米．
故答案为：10米
【分析】由锐角三角函数可以求得AB的长，即可得解．
14．【答案】10；n2−n2
【解析】【解答】解：2条直线相交最多有交点数为1；
3条直线相交最多有交点数为3=1+2；
4条直线相交最多有交点数为6=1+2+3；
5条直线相交最多有交点数为10=1+2+3+4；
依次类推，……；
n条直线相交最多有交点数为1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)2；
故答案为：10；n(n-1)2.
【分析】依次求出2条、3条、4条、5条直线相交最多有的交点数，发现规律，用代数式表示结果即可.
15．【答案】65°或115°
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OE
∵PA，PB是⊙O的切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°
∵CD是⊙O的切线
∴OE⊥CD
∵∠CEO=∠DEO=90°
∵PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，
∴∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，
∵∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA，∠EOC=180°-∠OEC-∠OCE，
∴∠AOC=∠EOC
同理可得∠BOD=∠EOD
∴∠COD=∠EOC+∠EOD= 12 ∠AOE+ 12 ∠BOE= 12 ∠AOB=65°
如图，连接OA、OB、OE
同理可得∠AOB=130°
同理可得∠COD=∠EOC+∠EOD= 12 ∠AOE+ 12 ∠BOE
∴∠COD= 12 （360°-130°）=115°
故答案为：65°或115°.
【分析】连接OA、OB、OE，利用切线的性质，可证得∠OAP=∠OBP=90°，OE⊥CD，利用四边形的内角和为360°，可求出∠AOB的度数，利用切线长定理可证得∠OCA=∠OCE，∠ODB=∠ODE，由此可证得∠AOC=∠EOC，同理可证∠BOD=∠EOD，即可求出∠COD的度数；连接OA、OB、OE，同理可求出∠AOB的度数，即可求出∠COD的度数.
16．【答案】56
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥AC于H，设BE=x，则AE=1−x，
∵在等腰Rt△ABC中，AB=BC=1，
∴AC=2，
在Rt△AEH中，EH=AH=AE⋅cs45°=2(1−x)2，
∵AD=2CD，
∴AD=23AC=223，
∴DH=AD−AH=32x+26，
由折叠的性质可得DE=BE=x，
在Rt△DEH中，由勾股定理得EH2+DH2=DE2，
∴[2(1−x)2]2+(32x+26)2=x2，
解得x=56，
∴BE=56.
故答案为：56．
【分析】过点E作EH⊥AC于H，设BE=x，则AE=1−x，在等腰Rt△ABC中，得到AC=2，再解Rt△AEH得到EH=AH=2(1−x)2求出AD=23AC=223，则DH=AD−AH=32x+26，由折叠的性质可得DE=BE=x，在Rt△DEH中，由勾股定理得[2(1−x)2]2+(32x+26)2=x2，解方程即可得到答案．
17．【答案】（1）40；10
（2）81；85
（3）从平均分来看，A，B两班差不多；从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多．
【解析】【解答】解：（1）B班人数=5+2+3+22+8=40（人），故A班人数为40人；
其中成绩在70≤x＜80这一组的有=40-1-7-13-9=10（人）.
故答案为： 40，10；
( 2 ) A班共40名同学，中位数落在80⩽x<90，第20、21个数分别是：80、82，故中位数m=80+822=81，
B班共40名同学，中位数落在80⩽x<90，第20、21个数分别是：85、85，故中位数n=85+852=85，
故m、n的值分别为81，85；
故答案为：81，85；
（3）从平均分来看，A、B两班差不多，从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多，从方差看，A班方差小，学生成绩差距较小，B班方差大，说明B班学生发展不均衡．
【分析】（1）由题意两个班的人数相同，由频数分布直方图可计算出B班人数为40人即得A班人数，进而即可求出成绩在70≤x＜80这一组得人数；
（2）将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可得解；
（3）从中位数与方差两个方面分析，即可得解.
18．【答案】（1）8；12；30
（2）B
（3）解：1000×12+440=400（人），
答：该校七年级需要进行安全再教育的学生约有400人．
【解析】【解答】 解：（1）总人数： 16÷40%=40 （人），
等级A的人数为： a=40×20%=8 （人），
等级C的人数为： 40−8−16−4=12 （人），
等级C的频率为： m%=12÷40×100%=30% ，
∴m=30 ，
故答案为：8，12，30；
（2）由（1）可知，本次调查共抽取了40人，
A等级有8人，B等级有16人，
中位数是第20、21个数的平均数，则这组数据的中位数所在的等级是B；
故答案为：B；
【分析】（1）根据频数结合题意即可求解；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识即可求解。
19．【答案】解：过B作BH⊥CE于H，
在Rt△BCH中，∵sin63°＝BHBC=BH8≈0.90，cs63°＝CHBC=CH8≈0.45，
∴BH≈7.2cm，CH＝3.6cm，
在Rt△BEH中，∵∠BEH＝∠ABC﹣∠BCE＝53°，
∴ct53°＝HEBH=HE7.2≈0.75，
∴HE＝5.4cm，
∴CE＝CH+EH＝3.6+5.4＝9（cm），
∴DE＝CD﹣CE＝20﹣9＝11（cm），
答：DE的长为11cm．
【解析】【分析】先利用角的运算求出∠BEH＝∠ABC﹣∠BCE＝53°，再结合ct53°＝HEBH=HE7.2≈0.75，求出HE，再利用线段的和差求出CE的长，最后利用线段的和差求出DE的长即可.
20．【答案】解：当k=0时，方程变形为x+2=0，解得x=﹣2；
当k≠0时，△=（2k+1）2﹣4•k•2=（2k﹣1）2，
∵（2k﹣1）2≥0，
∴△≥0，
∴当k≠0时，方程有实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
【解析】【分析】分类讨论：当k=0时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，计算判别式得到△=（2k﹣1）2，由此得到△≥0，由此判断当k≠0时，方程有两个实数根；
21．【答案】（1）s=−12t2+16t；v=-t+16
（2）解：∵v=−t+16，
∴当v=9时，
−t+16=9，解得t=7，
∵s=−12t2+16t，
∴当t=7时，s=−12×72+16×7=87.5，
∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；
（3）解：∵当t=0时，甲车的速度为16m/s，
∴当0当10∴当v=10m/s时，两车之间距离最小，
将v=10代入v=−t+16中，得t=6，
将t=6代入s=−12t2+16t中，得s=78，
此时两车之间的距离为：10×6+20−78=2(m)，
∴6秒时两车相距最近，最近距离是2m．
【解析】【解答】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点，
设二次函数表达式为s=at2+bt，
∵二次函数经过(2，30)，(4，56)，
∴4a+2b=3016a+4b=56，解得：a=−12b=16，
∴二次函数表达式为s=−12t2+16t．
设一次函数表达式为v=kt+c，
∵一次函数经过(0，16)，(8，8)，
∴8k+c=8c=16，解得：k=−1c=16，
∴一次函数表达式为v=−t+16．
故答案为：s=−12t2+16t，v=−t+16；
【分析】（1）由图可知：二次函数图象经过原点，设二次函数表达式为s=at2+bt，将（2，30）、（4，56）代入s中求出a、b的值，据此可得二次函数的表达式；设一次函数表达式为v=kt+c，将（0，16）、（8，8）代入v中求出k、c的值，据此可得一次函数的表达式；
（2）令一次函数解析式中的v=9，求出t的值，然后将t的值代入二次函数解析式中可得s的值；
（3）由题意可得当v=10m/s时，两车之间距离最小，将v=10代入一次函数解析式中求出t的值，然后将t的值代入二次函数解析式中求出s的值，据此不难求出此时两车之间的距离.
22．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=CD=BD．
∵AF⊥CE，
∴∠DAG+∠AEF=∠DCE+∠AEF=90°．
∴∠DAG=∠DCE．
∴△ADG≌△CDE．
∴DG=DE
（2）当k≠1时，（1）中的结论不成立，此时DG=kDE，（或者DGDE=k）
理由如下：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=90°．
∴∠ACD=∠B．
∴△ADC∽△ACB．
∴ADAC=DCCB
∴ADDC=ACBC=k，
∵AF⊥CE，
∴∠DAG+∠AEF=∠DCE+∠AEF=90°．
∴∠DAG=∠DCE．
∴△ADG∽△CDE．
∴DG=kDE
（3）如图，连接GE，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC=∠AFE=90°．
∵AC=AE，AF=AF，
∴△AFC≌△AFE(HL)．
∴FC=FE．
∴GC=GE．
∵∠CDE=∠ACB=90°，
∴DF=12CE，
∵DG=34DE，DG=3
∴DE=4，GE=DG2+DE2=5．
∴CG=5
∴CD=CG＋DG=8．
由勾股定理得， CE=CD2+DE2=45．
∴DF=25．
23．【答案】（1）1；45°；不变
（2）解：∠AEP的大小不变．
理由如下：如图2(甲)，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，
∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MBN=∠PMB=∠PNB=90°，
∴四边形PMBN是矩形．
∴∠MPN=90°，PN=BM，
∵∠APE=90°，
∴∠APM+∠MPE=90°，∠EPN+∠MPE=90°，
∴∠APM=∠EPN．
∵∠PMA=∠PNE=90°，
∴△PAM∽△PEN，
∴PAPE=PMPN=PMBM，
∵∠BAD=90°，
∴tan∠ABD=PMBM=ADAB=k，
∴tan∠AEP=PAPE=PMBM=k，
∵k为定值，
∴∠AEP的大小不变．
（3）解：如图2(乙)，
∵PC⊥BD，AE//PC，
∴∠BHE=∠BPC=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠AEB=90°-∠EBD=∠ABD，
∴tan∠AEB=tan∠ABD=k，
∵tan∠AEP=k，
∴∠AEB=∠AEP，
∵∠ABE=∠APE=90°，AE=AE，
∴△AEB≌△AEP(AAS)，
∴AB=AP，∠BAE=∠PAE，
∴AE垂直平分BP，
∴HB=HP，∠AHB=∠AHP=90°；
∵AB//CD，
∴∠CDP=∠ABH，
∵∠CPD=∠AHB=90°，CD=AB，
∴△CPD≌△AHB(AAS)，
∴PD=HB=HP，PC=HA=2，
∵∠PCD=90°-∠CDP=90°-∠ABH=∠PBC，∠CPD=∠BPC=90°，
∴△CPD∽△BPC，
∴PDPC=PCPB，
∴PB⋅PD=PC2，
设PD=HB=HP=m，则PB=2m，
∴2m⋅m=22，
∴m=2或m=-2(不符合题意，舍去)，
∴HP=2，
∴AP=HA2+HP2=22+(2)2=6．
【解析】【解答】解：（1）如图1（甲)，设矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∵ADAB=k=1，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD是正方形；
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∵OA=12AC，OB=12BD，且AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵点P与点O重合，∠APE=90°，
∴OE与OB重合，
∴PA=OA，PE=OB，∠AEP=∠OBA=45°，
∴PA=PE，
∴PAPE=1；
当点P移动到其他位置时，如图1（乙)，作PF⊥AB于点F，PG⊥BC于点G，
∵AB=AD，CB=CD，∠BAD=∠C=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°，∠CBD=∠CDB=45°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴PF=PG，
∵∠PFB=∠FBG=∠PGB=90°，
∴∠FPG=90°，
∵∠APF=∠EPG=90°−∠EPF，∠PFA=∠EGP=90°，
∴△PAF≌△PEG，
∴PA=PE，
∴∠AEP=∠EAP=45°，
∴∠AEP的大小不变，
故答案为：1，45°，不变．
【分析】（1）当k=1时，四边形ABCD是正方形，当点P与正方形的对角线交点重合时，由正方形的性质可得PA=PE，∠AEP=∠OBA=45°；当点P移动到其它位置时，作PF⊥AB于点F，PG⊥BC于点G，根据全等三角形的判定得△PAF≌△PEG，根据全等三角形的性质可得PA=PE，∠AEP=45°，可知∠AEP的大小不变；
（2）过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，根据相似三角形的判定证明△PAM∽△PEN，得tan∠AEP=PAPE=PMBM=k，可得∠AEP的大小不变；
（3）由PC⊥BD，AE∥PC，推导出∠BHE=∠BPC=90°及∠AEB=∠ABD，则tan∠AEB=tan∠ABD=tan∠AEP=k，得∠AEB=∠AEP，根据全等三角形的判定证明△AEB≌△AEP，△CPD≌△AHB，可得PD=HB=HP，HA=PC=2，再根据勾股定理求出AP的长．
24．【答案】（1）解：0=4a+b4=b解得a=−1b=4，∴抛物线的解析式为：y=−x2+4
（2）解：作OR⊥x轴于H，
∵P(t2，−t2+4)，∴PR=t2−4，
∴解得0=−x2+4得x1=x2，∴B(−3，0)，∴BR=t+2，BO=2，
∵tan∠ABP=OEBO=PRBR，∴OE2=t2−4t+2
∴OE=2t−4，∴d=CO+OE=4+2t−4=2t(t>2)
（3）解：作DG⊥x轴于G，PK⊥DG于K交y轴于L
设，D(n，4−n2)则PK=t−n，DK=(4−t2)−(4−n2)=(n−t)(n+t)
∵ED=d2=t，∴OF=OE+EF=3t−4
∴LF=OF−OL=(3t−4)−(t2−4)=t(3−t)
∵tan∠KPD=LFLP，∴n=−3，∴D(−3，−5)
∴AG=2−(−3)=5=DG，又∠DGA=90°，∴∠1=∠GDA=45°
作AQ垂直于x轴交BP于Q，则∠2=45°=∠1，
又∠4=∠3=∠5，AN=AN，∴△AQN≌△AMN
∴AQ=AM
∵DO⊥BP，∴∠BHM=90°，∴∠7=90°−∠6=∠8，
又∠DGM=∠BAQ=90°，
∴△DGM∽△BAQ，∴GMAQ=DGBA=54
∴AM=AQ=49AG=49×5=209
∵tan∠ABP=PRBR=AQAB
∴t−2=(209)÷4=59，∴t=239，∴yp=−t2+4=−20581
∴P(239，−20581)
【解析】【分析】（1）将点A、点C的值代入y=ax2+b ，用待定系数法求出a、b的值即可求解；
（2）求出直线BP的解析式，再求出CO、OE的表达式，相加即可得到d与t的函数关系式；
（3）先作辅助线，作DG⊥x轴于G，PK⊥DG于K交y轴于L，得到LF的表达式，再证明△AQN≌△AMN，得出AQ=AM，再求出△DGM∽△BAQ，利用锐角三角函数求出tan∠ABP，求出yp，即可求得点P.
平均数
中位数
方差
A班
80.6
m
96.9
B班
80.8
n
153.3
等级
频数（人数）
A(90≤x≤100)
a
B(80≤x<90)
16
C(60≤x<80)
c
D(0≤x<60)
4