福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试题

这是一份福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

命题：高三集备组审核：高三集备组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设集合，则等于
A．B．C．D．或
2．已知等差数列满足，则
A．B．C．D．
3．若函数是奇函数，则的值为
A．1B．-1C．D．0
4．将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲、乙二人分别去了不同岗位的概率是
A．B．C．D．
5．没为单位向量，在方向上的投影向量为，则
A．B．C．D．
6．已知，则
A．B．C．D．
7．如图，设拋物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是
A．B．C．D．
8．在中，为内一点，，则
A．B．C．D．
二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，下列结论正确的是
A．若，则B．
C．若，则或D．若且，则
10．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为
A．中位数是3，众数为2；B．均值小于1，中位数为1；
C．均值为3，众数为4；D．均值为2，标准差为．
11．已知，则
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为______.
13．的展开式中常数项为______．
14．已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且．则图象的一个对称中心是______；若，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是
（1）求2017-2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；
（2）请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程；
（3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
,
②样本相关系：
③参考数据：
16．（15分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求的值：
17．（15分）如图，在三棱柱中，，E，F分别为的中点，且平面．
（1）求棱BC的长度；
（2）若，且的面积，求二面角的正弦值．
18．（17分）设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于M，N两点.
（1）若M，N都在双曲线的左支上，求面积的最小值．
（2）是否存在轴上一点，使得为定值?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
19．（17分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“—数列”．
（1）已知等比数列满足：，求证：数列为“—数列"'；
（2）已知数列满足：，其中为数列的前项和．
①求数列的通项公式；
②设为正整数，若存在“—数列”，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．
2023-2024年高三数学校模拟考参考答案
1-8BCCDADBB9．BCD10．BD11．AD
12．13．4914．
15．【详解】（1）由已知可得，，
，
（2）由小问1知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述．
由小问1知，，，
所求经验回归方程为．
（3）令，则，预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为．
16．【详解】（1）由，得，
因为，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2），
①当时，，不符合题意．
②当时，令，解得，
当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
所以当时，取得最小值；
若恒成立，则，
设，则，
当时，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递减，
所以，即的解为．
所以；
17．【详解】（1）取中点，连接，
分别为的中点，则且，
又为三棱柱，且分别为的中点，则且，
可得且，即四边形DEFB为平行四边形，故，
又平面，则平面，
平面，可得，
又为AC的中点，则为等腰三角形，
．
（2）由（1）可知：，且，即，
，
则可得，且，
平面平面，则，
，解得，
由（1）知平面平面，则，
又，则
又，则，
平面，
平面，
平面，则，
且，可得，
为直角三角形，则，
以为坐标原点，向量方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，可得，
平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
可得，
，故二面角的正弦值为．
18．【详解】（1）设直线的方程为．
由可得,
由根与系数的关系可知①．
此时．
原点到直线的距离为，
此时．
由都在双曲线的左支上知，得，令，则，
由于，所以当，即时，此时取最小值，则，
当，即时，等号成立．
（2）假设存在这样的定点．
当直线的斜率不为0时，由（1）知
②
将①代入②可得,
此时要想为定值，则，得，从而．
即存在这样的定点满足题意．
当直线的斜率为0时，易知，若，则，
满足题意．综上，存在满足题意．
19．【详解】（1）设等比数列的公比为，所以
由，得，解得，
因此数列为“—数列”；
（2）①因为，所以，
由得，则，
由，得，
当时，由，得，
整理得，
所以数列是首项和公差均为1的等差数列，
因此，数列的通项公式为；
②由①知，，
因为数列为“—数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
当时，有；
当时，有，
设，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
取，当时，，即，
令，则，
令，则，
故在上单调递减，则，
即在上恒成立，即在上单调递减，
则，
即，
因此所求的最大值不小于5，
若，分别取，得，且，从而，且，
所以不存在，因此所求的最大值小于6，
故的最大值为5．年份
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
年份代码
1
2
3
4
5
6.4
5.5
5.0
4.8
3.8