福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三上学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

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命题：刘文清 黄道辉 审核：周裕燕
试卷说明：
（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷.
（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出集合，与集合取交集即可.
【详解】因为，函数的值域为，所以，
又因为，所以.
故选：C
2. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A. 10种B. 20种C. 25种D. 32种
【答案】D
【解析】
【分析】由分步乘法原理计算．
【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.
故选：D
3. 设，则的展开式中的系数不可能是（ ）
A. 10B. 40C. 50D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】得到展开式的通项公式，求出时的系数，选出答案.
【详解】展开式的通项公式为，
当时，，系数为1，
当时，，系数为10，
当时，，系数为40，
当时，，系数80，
当时，，系数为80，
故系数不可能是50.
故选：C
4. 已知，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积运算律求出，再求出夹角即得.
【详解】由，得，而，则，
于是，则，而，
所以与的夹角为.
故选：A
5. 已知锐角满足，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数关系求得的值.
【详解】∵，∴，
即，
又∵为锐角，∴，
∴，
即，∴.
故选：A
6. 设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
分析】根据题意判断两个条件都等价于，进而判断答案即可.
【详解】设等差数列的公差为，
若对，，即，
若，则，即为单调递增数列，
又因为，所以，
所以，即，
所以“对，”是“”的充要条件.
故选：C
7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是C上的一点，，的平分线与x轴交于点A，记，的面积分别为，，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分析可得，利用角平分线定理得，再根据双曲线的定义结合通径得到关于的齐次方程，从而得解.
【详解】因为，则，可得，
由题意知是的平分线，所以，
又，所以，则，
所以，整理得，故，得，即，
所以.
故选：B.
8. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面为平行四边形，面，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用等体积法可得，进而可得，然后根据组合体的体积结合题意可得和的关系，即可.
【详解】因为面 ，且底面为平行四边形，
所以，
所以，
所以，
所以，整理得，即，
故选：B
二、多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，正确选项不少于2个，全部选对得6分，选对但不全得3分，有选错得0分.
9. 2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第天的数据如表所示．
根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ）
A. 样本相关系数在内B. 当时，残差为-2
C. 点一定在经验回归直线上D. 第6天到该医院就诊人数的预测值为130
【答案】AD
【解析】
【分析】x，y具有较强的正相关关系，可判断相关系数的范围，判断A；计算x，y的平均值，代入回归直线方程求出a的值，即可求出时的预测值，求得残差，判断B；看是否适合回归直线方程，判断C；将代入回归直线方程，求出预测值，判断D.
【详解】由题意可知x，y具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，A正确；
根据题意得，
故，解得，
故当时，，残差为，B错误；
点即点，当时，，
即点不经验回归直线上，C错误；
当时，，即第6天到该医院就诊人数的预测值为130，D正确，
故选：AD
10. 设F是抛物线C：的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若点，则的最小值是5D. 若倾斜角为，且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项由范围来判断，B选项由特殊点进行判断，C选项利用点到抛物线的准线的距离来判断，D选项求得两点的纵坐标来判断.
【详解】抛物线的准线为，焦点为.
设，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
所以，
，
所以（时等号成立）.所以A选项正确.
当直线的方程为时，不妨设，此时，所以B选项错误.
根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离，也即的最小值为，所以C选项正确.
当倾斜角为时，，不妨设在第一象限，在第四象限.
故，解得，
所以，即，所以D选项正确.
故选：ACD
【点睛】求解与抛物线有关的距离和的最值问题，要注意结合抛物线的定义来求解.
11. 已知函数的定义域为，满足对任意，都有，且时，．则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，
C. 在是减函数
D. 存在实数使得函数在是减函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A选项，利用赋值法，令，求出，再令，进行检验，即可判断A；
对B选项，当时，则，故，令，得出与关系，进而得出的范围，即可判断B；
对C选项，利用函数单调性的定义，由，结合已知条件可得，从而得出函数的单调性，即可判断C；
对D选项，因为函数在上为增函数，若在上递减，则时，，则，由此可求得，即可判断D．
【详解】令，则，即，
解得或，
当时，令，，则，解得，
与时，矛盾，所以，故A正确；
当时，则，故，
令，则，
整理得，则，
∵，∴，，∴，故B正确；
设，则，
，
∵，，∴，，
∴，∴，
所以函数在上单调递增，故C错误；
因为函数在上为增函数，所以在上也为增函数，
若在上递减，则时，，
则时，，即，
又因为当时，，所以，故D正确．
故选：ABD．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设复数（为虚数单位），则_________.
【答案】0
【解析】
【分析】由复数的除法运算求解.
【详解】，
所以.
故答案为：0
13. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，且，E为PB中点，于点F，写出图中一条一定与EF垂直的线段为______.

【答案】AF（或PB，答案不唯一）
【解析】
【分析】利用直线与平面垂直的定义与判定定理不断转化判断即可．
【详解】
∵平面ABC，平面ABC，∴，
又，且，平面PAC，∴平面PAC，
又平面PAC，平面PAC，则，
∵，且平面PBC，∴平面PBC，
又平面PBC，故；
∵，E为PB的中点，∴，
而平面PBC，平面PBC，∴，
又平面AEF，则平面AEF，
因为平面AEF，故；
在中，由于，∴PC，BC不可能与EF垂直；
在中，由于，∴AE不可能与EF垂直；
在中，PA，AC，平面PAC，PC与EF不垂直，
∴EF与平面PAC不垂直，∴PA，AC不可能同时与EF垂直；
根据异面直线的定义可得AB与EF为异面直线，
又AB与平面PBC不垂直，∴AB与EF不一定垂直．
故答案为：AF（或PB，答案不唯一）.
14. 设，已知函数，若恒成立，则的最大值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用的单调性，将不等式变形为恒成立，利用切线或者构造函数结合导数即可求解最值求解.
【详解】，
设，由于，易知在上递增，且，
故.
法一:设在点处的切线斜率为，，即
切线，
由恒成立，可得，∴，
设，
，当时， ，
当时，
∴，∴的最大值为.
法二:设，
当时， ，当时， ，
∴，即有，∴，下同法一.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
四、解答题：6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或油算步骤.
15. 某学校有、两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8.
（1）求王同学第2天去餐厅用餐的概率；
（2）如果王同学第2天去餐厅用餐，求他第1天在餐厅用餐的概率；
（3）餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升.改造提升后，餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人）.
依据小概率值的独立性检验，能否认为学生对于餐厅的就餐满意程度与餐厅的改造提升有关联？如果有关联，请分析两者的影响规律.
附：，其中.
【答案】（1）；
（2）；
（3）有关联，答案见解析.
【解析】
【分析】（1）设事件：第天去餐厅用餐，事件：第天餐厅用餐，其中，，利用全概率公式可求得所求事件的概率；
（2）利用条件概率公式可计算出所求事件的概率；
（3）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论，分别计算出改造提升前后满意率与不满意率进行对比，即可得到结论.
【小问1详解】
设事件：第天去餐厅用餐，事件：第天餐厅用餐，其中，,
王同学第2天去餐厅用餐的概率为：；
小问2详解】
如果王同学第2天去餐厅用餐，那么他第1天在餐厅用餐的概率为：;
【小问3详解】
提出零假设：学生对于餐厅的满意程度与餐厅的改造提升没有关联.
由题可得：
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生对于餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联.
从表中的数据计算：改造提升前满意率与不满意率分别为，改造提升后满意率与不满意率分别，；由，可见被调查中，改造提升前不满意率的频率是改造提升后不满意率的频率的6倍.所以根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为餐厅改造提升后学生不满意率明显下降，所以学生对于餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联.
16. 设的三个内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）若，求的最小值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）首先应用余弦定理得，
然后方法1：使用均值不等式求解的最小值；
方法2：利用已知条件，将转化成关于的二次函数，进而求解最小值.
（2）方法1：利用三角形内角和为，得：，将其代入原式中利用和差角公式即可化简求值；
方法2：将，代入原式，然后利用和差角公式即可化简求值；
【小问1详解】
由余弦定理知，
方法1：
所以，当时取等，此时为正三角形.
故的最小值为.
方法2：
所以，当时取等.
故的最小值为.
【小问2详解】
方法1：因为.
所以原式
方法2：因为，
原式
综上所述：.
17. 已知数列满足：，，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）是否存在使得数列为等差数列?若存在，求的值及数列的前项和；否则，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，，
【解析】
【分析】（1）根据递推关系，将换成，所得式子与原式相减，利用定义可证数列是等差数列；
（2）若为等差数列，根据（1）的结论，利用求得，由（1）得，∴数列都是公差为3的等差数列，可得,然后分别证明和都等于同一常数，从而证得对有，证得数列为等差数列，然后写出通项公式，并利用求和公式求和.
【小问1详解】
解：，，
两式相减得，
故是公差为3的等差数列；
【小问2详解】
解：由题知，∴，
若为等差数列，则，
故，即，
由（1）得，∴数列都是公差为3的等差数列，
∴,
又∵∵，
∴，
，
即对有，
故为等差数列，且，
所以.
18. 如图，在中，，，是的中点，在上，，以为折痕把折起，使点A到达点的位置，且二面角的大小为60°.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，先利用线面垂直判定定理证得平面，进而利用线面垂直的性质证得；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法去求直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
依题，所以平面，
则为二面角的平面角，即，
因为，所以为等边三角形，
取中点，连接，，，则，
因为，所以，
又，所以平面，
又平面，所以；
【小问2详解】
因为，
所以面，从而
因为，所以，所以，
所以两两垂直，
以为原点，以的方向分别为轴的正方向，
建立空间坐标系，
则，
所以，，
设平面的一个法向量，则
，所以，
令，则平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为.
19. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）递增区间为，递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间即可；
（2）由题知对于任意的恒成立，进而分和两种情况讨论即可得解.
【小问1详解】
因为，则，
令，则，即，
解得的递增区间为；
令，则，即，
解得的递减区间为；
所以的递增区间为，递减区间为.
【小问2详解】
因为对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，；
当时，，
令，所以，
令，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即在上恒成立
所以在上单调递减，所以，
所以.
综上，实数的取值范围为.
20. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点，且与椭圆C交于M，N两点（均异于A，B两点），直线AM，BN的倾斜角分别记为，试问是否存在最大值？若存在，求当取最大值时，直线AM，BN的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，直线AM的方程为，直线BN的方程为
【解析】
【分析】（1）分析题意直接求方程即可.
（2）先分析直线斜率不为，后翻译条件，利用基本不等式求最值即可.
【小问1详解】
由分析题意得解得
所以椭圆C的方程为．
【小问2详解】
存在最大值，当取最大值时，
直线AM的方程为，BN的方程为，理由如下：
由（1）可得，，
由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，
联立，得，所以，
，，所以．
又
所以，可知或．
若取最大值，则，此时．
此时
，
当且仅当，即，时等号成立，
此时直线AM的方程为，即，
直线BN的方程为，即．
x
1
2
3
4
5
y
21
10a
15a
90
109
就餐满意程度
餐厅改造提升情况
合计
改造提升前
改造提升后
满意
28
57
85
不满意
12
3
15
合计
40
60
100
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879