数学（一）-2024年中考考前20天终极冲刺攻略（含答案）

这是一份数学（一）-2024年中考考前20天终极冲刺攻略（含答案），共224页。试卷主要包含了正数与负数，整数和分数，用正，比较有理数的大小，有理数乘方的意义，有理数乘方的运算，科学记数法，分式的混合运算等内容，欢迎下载使用。


实数 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 01
代数式 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 43
方程与方程组 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 90
不等式与不等式组 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 147
统计与概率 命题预测 知识导图 应试必备 真题回眸 易错专练 满分训练 名师押题 176
实数
在中考中，实数部分的命题可能会涉及以下几个方面：
实数的分类与性质：命题可能会要求考生对实数进行正确的分类，理解有理数和无理数的概念，掌握它们的基本性质。
实数的运算：包括加减乘除、乘方和开方等运算。命题可能会以计算题或应用题的形式出现，考察考生对实数运算的掌握情况。
实数的应用：实数在生活中有着广泛的应用，如测量、计算等。命题可能会结合实际问题，考察考生运用实数知识解决问题的能力。
此外，近年来中考数学命题越来越注重对学生综合素质的考察，可能会涉及到一些创新题型，如开放性问题、探究性问题等。这些问题通常需要考生结合所学知识进行思考和探究，考察他们的创新思维和实践能力。
综上所述，实数中考命题预测可能会围绕实数的分类、性质、运算以及应用等方面展开，同时可能会出现一些创新题型。因此，建议考生在备考过程中加强对实数知识点的理解和应用能力的训练，同时注重提高自己的综合素质和创新能力。
Ⅰ、正数与负数
一、正数与负数
正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的；
负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的；
0既不是正数，也不是负数.
1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略；
2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度；
3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数.
二、正、负数表示具有相反意义的量
1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量.
（1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的；
（2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量；
（3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等；
（4）常见的具有相反意义的量：前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等.
三、整数和分数
整数：正整数、负整数、零统称为整数；
分数：正分数、负分数统称为分数；
易错点：
1.0不是分数，0是整数；
2.零和正整数又叫自然数；
3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（自然数），负整数和零统称为非负整数；
4.有限小数和无线循环小数都可以化成分数
四、用正、负数表示误差范围
一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围.
Ⅱ、有理数与无理数
一、有理数
我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数.
1.有理数只包括整数和分数；
2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数；
3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，等.
二、有理数的分类
由有理数的特征，一般会有以下两种分法.
1.按定义分
2.按正负分
三、无理数
1.无理数定义及分类：无限不循环小数叫做无理数，无理数分为正有理数和负无理数.
2.常见的无理数的几种类型
（1）一般的无限不循环小数，如0.32541…，3.5845661…；
（2）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.010010001…（每两个1之间0的个数逐次增加1）；
（3）与圆周率π有关的数，如π，
Ⅲ、数轴
一、认识数轴、画数轴
1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
（1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；
（2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可；
（3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变；
（4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.
2.数轴的画法
（1）画一条直线（通常画成水平位置）；
（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；
（3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头；
（4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…
二、数轴与有理数、无理数的关系
1.有理数和无理数都可以用数轴上的点表示.
（1）正数可以用数轴上原点右边的点表示；
（2）负数可以用数轴上原点左边的点表示；
（3）0用原点表示.
2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数.
3.数轴上的点与有理数、无理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础.
三、利用数轴比较有理数的大小
1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.
正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数.
Ⅳ、绝对值与相反数
一、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”.
1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数；
2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小；
3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以.
绝对值图示：
二、相反数
1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数.
（1）0的相反数是0；
（2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）.
2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.
（1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等；
（2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数.
3.相反数的性质
任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．
4.相反数的特征
若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数.
（1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可；
（2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！
三、多重符号化简
1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1；
2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数；
3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数.
4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关.
四、绝对值的性质
1.绝对值的性质
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即
2.绝对值的非负性
对于任何一个有理数a，我们都有.
（1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0；
（2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数.
五、比较有理数的大小
在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小.
1.正数比较大小，绝对值大的正数大；
2.负数比较大小，绝对值大的负数小；
3.正数要大于负数；
4.正数大于0，负数小于0.
Ⅴ、有理数运算
一、有理数加法
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
若则；
若则。
2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
绝对值相等：若且，则；
绝对值不相等：
若且，则；
若且，则。
3.一个数与0相加，仍得这个数。
二、有理数减法
减去一个数，等于加上这个数的相反数，
较大的数－较小的数＝正数，即若，则；
较小的数－较大的数＝负数，即若，则；
相等的两个数相减等于0，即若，则；
0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数.
三、有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
0与任何数相乘都得0；
任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数；
拓展：
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0.
一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分.
四、倒数
1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.
PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数.
2.求一个数的倒数的方法：
（1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数；
（2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置；
（3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置；
（4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数.
3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.
五、有理数除法法则
除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；
两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义.
一个非零的数除以它的本身等于1.
两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同.
六、有理数乘方的意义
求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂.
一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”.
乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果；
一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写；
底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来；
当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来；
一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方.
七、有理数乘方的运算
有理数乘方运算的符号法则
正数的任何次幂都是正数；
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
0的任何正整数次幂都是0；
任何一个数的偶数次幂都是非负数.
有理数的乘方运算
计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.
拓展：
（1）1的任何次幂都是1；
（2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1；
（3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1.
八、科学记数法
1. 用科学记数法表示绝对值大于1的数：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法.
a是一个整数数位只有一位的数，即；
确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几.
一般地，用科学记数法可以将一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中，n是负整数.
用科学记数法表示绝对值小于1的数的步骤：
（1）n的绝对值等于原数中左起第一个非0数字前所有0的个数（包括小数点前面的那个0）；
（2）小数点向右移动到第一个不为0的数字后，小数点移动了几位，n的绝对值就等于几；
Ⅵ、平方根
一、平方根
1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根.
（1）在中，因为，所以；
（2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了.
2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”.
3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数.
4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根.
二、平方根的性质
1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）；
3.负数没有平方根；
4.；
5..
三、开平方
求一个数的平方根的运算叫做开平方.
1.开平方时，被开方数a必须是非负数；
2.开平方是求一个非负数的平方根.
3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程；
4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确.
四、算术平方根
1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；
2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”；
3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根.
4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即.
5.平方根与算术平方根的区别与联系
PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1.
Ⅶ、立方根
一、立方根
1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根.
2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”.
3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略.
二、立方根的性质
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
1.平方根与立方根的区别与联系
2.立方根等于本身的有0和.
3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.
4.，.
三、开立方
求一个数的立方根的运算叫做开立方.
求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根.
开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.
开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号.
Ⅷ、实数
一、无理数
1.无理数：无线不循环小数叫做无理数.
无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.
2.常见的无理数三种形式
（1）开方开不尽的数的方根，如等；
（2）及化简后含的数，如，等；
（3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）.
3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式.
4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数.
二、实数及分类
1.有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
（1）按定义分类：
（2）按性质分类：
PS：0既不是正实数，也不是负实数.
三、实数与数轴上点的关系
…
有理数集合
…
无理数集合
1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.
2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.
正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧.
四、比较实数的大小
有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用.
1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.
3.比较两个实数大小的常用方法：
（1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小；
（2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；
（3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较；
（4）作差比较法：当时，；当时，；当时，.
（5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则
（6）倒数比较法：a、b为正数，若，则；
（7）平方比较法：a、b为正数，若，则.
Ⅸ、近似数
一、近似数
1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值.
2.准确数：与实际完全符合的数值称为准确数.
3.常见的近似数
（1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等；
（2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果；
（3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等；
（4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁.
二、近似数的精确度
一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
1.一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度；
2.带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位.
3.其他近似数的取法
（1）去尾法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16；
（2）进一法：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆.
1．（2023•苏州）有理数 QUOTE 23 23的相反数是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE 32 32C． QUOTE D．± QUOTE 23 23
【分析】绝对值相等，但符号不同的两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0；据此即可得出答案．
【解答】解： QUOTE 23 23的相反数是 QUOTE ，
故选：A．
【点评】本题考查相反数的定义，此为基础概念，必须熟练掌握．
2．（2023•云南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向东走60米记作+60米，则向西走80米可记作（ ）
A．﹣80米B．0米C．80米D．140米
【分析】正数和负数可以表示具有相反意义的量，据此即可得出答案．
【解答】解：∵向东走60米记作+60米，
∴向西走80米可记作﹣80米，
故选：A．
【点评】本题考查正数与负数的实际意义，明确正数和负数是一对具有相反意义的量最为关键．
3．（2023•河北）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46×1012km，下列正确的是（ ）
A．9.46×1012﹣10＝9.46×1011
B．9.46×1012﹣0.46＝9×1012
C．9.46×1012是一个12位数
D．9.46×1012是一个13位数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9.46×1012km＝9460000000000km是一个13位数．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2023•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．﹣2023C． QUOTE 12023 12023D． QUOTE
【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．
【解答】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，
∴OB＝2023，
∵点B在O点左侧，
∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（2023•徐州） QUOTE 2023 2023的值介于（ ）
A．25与30之间B．30与35之间
C．35与40之间D．40与45之间
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行估算即可．
【解答】解：∵1600＜2023＜2025，
∴ QUOTE ，
即40 QUOTE 45，
故选：D．
【点评】本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（2023•内蒙古）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a2﹣|b|，则（﹣2）⊗（﹣1）的运算结果为（ ）
A．﹣5B．﹣3C．5D．3
【分析】直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：
（﹣2）⊗（﹣1）
＝（﹣2）2﹣|﹣1|
＝4﹣1
＝3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2023•西藏）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2023的值是（ ）
A．﹣2023B．﹣1C．1D．2023
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，再代入计算可求解．
【解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，（a+2）2≥0，|b﹣1|≥0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出a、b的值．
8．（2023•济南）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0B．a+b＞0C．a+3＜b+3D．﹣3a＜﹣3b
【分析】从图中判断a的值和b的取值范围，再根据有理数的运算及不等式的性质来计算．
【解答】解：从图中得出：a＝2，﹣3＜b＜﹣2．（1）a和b相乘是负数，所以ab＜0，故A选项错误；
（2）a和b相加是负数，所以a+b＜0，故B选项错误；
（3）因为a＞b，所以a+3＞b+3，故C选项错误；
（4）因为a是正数，所以﹣3a＜0，又因为b是负数，所以﹣3b＞0，即﹣3a＜﹣3b，故选项D正确，所以选择D；
答案为：D．
【点评】主要考查了实数在数轴，有理数的运算，不等式的性质，熟练掌握上述性质是解题的关键．
9．（2023•浙江）计算：|﹣2023|＝ ．
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
【解答】解：﹣2023的相反数是2023，
故|﹣2023|＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
10．（2023•西宁）如果气温上升6℃记作+6℃，那么气温下降2℃记作 ℃．
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：气温上升6℃记作+6℃，那么气温下降2℃记作﹣2℃，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其实际意义是解题的关键．
11．（2023•宁夏）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B是AC的中点，线段AB QUOTE =2 =2，则点C表示的数是 ．
【分析】先表示出点B表示的数，再根据点B是AC的中点进行求解．
【解答】解：∵点A表示的数是﹣1，线段AB QUOTE =2 =2，
∴点B表示的数是﹣1 QUOTE +2 +2，
∵点B是AC的中点，
∴线段BC＝AB QUOTE =2 =2，
∴点C表示的数是：﹣1 QUOTE +2+2= +2+2=2 QUOTE 2- 2-1，
故答案为：2 QUOTE 2- 2-1．
【点评】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
12．（2023•广安）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b QUOTE =xa+yb =xa+yb．若2※（﹣2）＝1，则（﹣3）※3的值是 ．
【分析】利用新定义的规定列式求得（x﹣y）的值，再利用新定义和整体代入的方法运算即可．
【解答】解：∵2※（﹣2）＝1，
∴ QUOTE x2+y-2= x2+y-2=1，
∴x﹣y＝2．
∴（﹣3）※3 QUOTE =x-3+y3 =x-3+y3
QUOTE （x﹣y）
QUOTE 2
QUOTE ．
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
13．（2023•西宁）计算： QUOTE ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式 QUOTE
＝﹣1 QUOTE +2- +2-1﹣1
QUOTE =2- =2-3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
14．（2023•枣庄）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b QUOTE ，例如：3※1＝3﹣1＝2，5※4＝5+4﹣6＝3．根据上面的材料，请完成下列问题：
（1）4※3＝ ，（﹣1）※（﹣3）＝ ；
（2）若（3x+2）※（x﹣1）＝5，求x的值．
【分析】（1）根据定义的新运算列式计算即可；
（2）由新定义，分3x+2≥2（x﹣1）和3x+2＜2（x﹣1）两种情况分类讨论，并列得对应的方程并解方程即可．
【解答】解：（1）∵4＜2×3，
∴4※3
＝4+3﹣6
＝1；
∵﹣1＞2×（﹣3），
∴（﹣1）※（﹣3）
＝﹣1﹣（﹣3）
＝2；
故答案为：1；2；
（2）由题意，当3x+2≥2（x﹣1）时，
即x≥﹣4时，
原方程为：3x+2﹣（x﹣1）＝5，
解得：x＝1；
当3x+2＜2（x﹣1）时，
即x＜﹣4时，
原方程为：3x+2+x﹣1﹣6＝5，
解得：x＝2.5，
∵2.5＞﹣4，
∴x＝2.5不符合题意，应舍去，
综上，x＝1．
【点评】本题考查定义新运算问题，特别注意（2）中应分3x+2≥2（x﹣1）和3x+2＜2（x﹣1）两种情况分类讨论．
15．（2023•淄博）若实数m，n分别满足下列条件：
（1）2（m﹣1）2﹣7＝﹣5；
（2）n﹣3＞0．
试判断点P（2m﹣3， QUOTE 3n-m2 3n-m2）所在的象限．
【分析】解方程2（m﹣1）2﹣7＝﹣5可得：m1＝0，m2＝2，解不等式n﹣3＞0可得：n＞3，把m和n代入P（2m﹣3， QUOTE 3n-m2 3n-m2），即可判断点P所在的象限．
【解答】解：由（1）得：（m﹣1）2＝1，
∴m1＝0，m2＝2，
由（2）得：n＞3，
∴当m＝0，n＞3时，
2m﹣3＝2×0﹣3＝﹣3＜0，
QUOTE 0，
∴点P（2m﹣3， QUOTE 3n-m2 3n-m2）在第二象限；
当m＝2，n＞3时，
2m﹣3＝2×2﹣3＝1＞0，
QUOTE 0，
∴点P（2m﹣3， QUOTE 3n-m2 3n-m2）在第一象限；
综上所述，点P（2m﹣3， QUOTE 3n-m2 3n-m2）在第一象限或第二象限．
【点评】本题考查了点在平面直角坐标系的坐标特征，解不等式，不等式的性质，解方程等，利用不等式性质判断点P的坐标特征是解题关键．
1．（2023•东营区一模）（﹣1）2023的相反数是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2023D．2023
2．（2023•余杭区校级模拟）若a＜0，b＞0，则b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是（ ）
A．bB．b+aC．b﹣aD．ab
3．（2023•平南县二模）用科学记数法表示的数7.21×1011，它原来是（ ）位整数．
A．10B．12C．13D．14
4．（2023•石景山区校级模拟）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|＝|b|，则下列结论中错误的是（ ）
A．a+b＞0B．a+c＞0C．b+c＞0D．ac＜0
5．（2023•东营二模）在实数：3.14159， QUOTE 364 364，1.010 010 001， QUOTE 7 7，π， QUOTE 27 27中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2023•长春模拟）一种细胞的直径为2×10﹣3厘米，将2×10﹣3写成小数为 ．
7．（2023•项城市三模）与 QUOTE 13 13最接近的整数是 ．
8．（2023•黄冈模拟）若一个正数m的平方根为x+1和5+2x，则m的值为 ．
9．（2023•藁城区二模）对于三个实数a，b，c，用F{a，b}表示这两个数的平方差，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：F{l，2}＝12﹣22＝1﹣4＝﹣3，max{1，2，﹣1}＝2，max{2，1，1}＝2．
请结合上述材料，解决下列问题：
（1）F{﹣2，3}＝ ，max{22，（﹣2）2，﹣22}＝ ；
（2）若F{a﹣2，3}＜max{a2，a2+1，﹣3}，则负整数a的值是 ．
10．（2023•玉林一模）计算：（2﹣6）×（﹣2）+（﹣3）2÷（﹣1）﹣（π﹣3）0．
11．（2023•莲湖区模拟）计算： QUOTE |1-3|-25+(-2)-1 |1-3|-25+(-2)-1．
12．（2023•遵义模拟）（1）在整式x+4，2x﹣4，﹣3x+8中，任选两个用“＝”连接组成一个一元一次方程，并解该方程；
（2）计算 QUOTE (12)-1+|-2|-2sin30? (12)-1+|-2|-2sin30?
小君的解答如下：
小君的解答过程从第 步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
1．（2023•娄底模拟）若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…且公式 QUOTE ，则 QUOTE C125+C126= C125+C126=（ ）
A． QUOTE C135 C135B． QUOTE C136 C136C． QUOTE C1311 C1311D． QUOTE C127 C127
2．（2023•白碱滩区二模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．i
3．（2023•镇海区校级模拟）我们把M＝{1，3，x）叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，3}，我们说M＝N．已知集合A＝{0，|x|，y}，集合 QUOTE ，若A＝B，则x+y的值是（ ）
A．4B．2C．0D．﹣2
4．（2023•瑶海区三模）若|x|+3＝|x﹣3|，则x的取值范围是 ．
5．（2023•海淀区二模）四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中a＝4，b＝7，c为整数，m＝0.2（a+b+c）．
（1）若c＝10，则A，B，C中与M距离最小的点为 ；
（2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有 个．
6．（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
7．（2023•宝应县模拟）如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的是b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）＝ ，d（10﹣2）＝ ；
（2）劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（ QUOTE mn mn）＝d（m）﹣d（n）．
根据运算性质，填空：
QUOTE d(a3)d(a)= d(a3)d(a)= （a为正数），若d（2）＝0.3010，则d（4）＝ ，d（5）＝ ，d（0.08）＝ ；
（3）下表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
1．﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C． QUOTE 12024 12024D． QUOTE
2．如果温度上升10℃，记作+10℃，那么温度下降7℃记作（ ）
A．+3℃B．﹣3℃C．+7℃D．﹣7℃
3．著名的数学苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.218×109B．2.18×108C．2.18×109D．218×106
4．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a≥﹣2B．a＜﹣3C．﹣a＞2D．﹣a≥3
5．当a＞0时，下列运算结果正确的是（ ）
A．a0＝0B．a﹣2＝﹣a2
C．（﹣a）3＝﹣a3D． QUOTE a-12=1a2 a-12=1a2
6．如果|a﹣2024|+（b+1）2＝0，则ab的值是 ．
7．某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了 米．
8．已知x是满足 QUOTE 的整数，且使 QUOTE 的值为有理数，则x＝ ．
9．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数，则（a+b）2024的展开式中含a2023项的系数是 ．
10．定义：a，b，m为实数，若a+b＝m，则称a与b是关于 QUOTE m2 m2的对称数．
（1）2与4是关于 的对称数，7与 是关于3的对称数；
（2）若a＝﹣2x2+3（x2+x）﹣4，且a与b是关于﹣1的对称数，试用含有x的代数式表示b．
11．老师设计了一个计算程序如图所示：
（1）当x取﹣6时，求出输出的结果；
（2）嘉淇发现：对于任意的一个数，经过上面的程序运算后所得结果都相同．你同意她的说法吗？说明理由．
12．已知数轴上有M，N两点，点M表示的数为3x﹣5，点N表示的数为9﹣x．
（1）当x＝﹣1时，求线段MN的长；
（2）若点M与点N关于原点对称，求点M表示的数；
（3）若点M在点N的左侧，求x的正整数值．
1．（2023•东营区一模）（﹣1）2023的相反数是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2023D．2023
【分析】先求出（﹣1）2023的值，再确定相反数即可．
【解答】解：∵（﹣1）2023＝﹣1，﹣1的相反数是1，
∴（﹣1）2023的相反数是1．
故选：B．
【点评】本题考查乘方的意义，相反数的概念．掌握﹣1的奇次方是﹣1是关键．
2．（2023•余杭区校级模拟）若a＜0，b＞0，则b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是（ ）
A．bB．b+aC．b﹣aD．ab
【分析】根据有理数的概念与运算法则进行比较、辨别．
【解答】解：∵a＜0＜b，
∴b+a＜b，b﹣a＞b＞0，ab＜0，
∴b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是b﹣a，
故选：C．
【点评】此题考查了运用有理数的概念与运算法则进行大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
3．（2023•平南县二模）用科学记数法表示的数7.21×1011，它原来是（ ）位整数．
A．10B．12C．13D．14
【分析】根据科学记数法的形式a×10n，其中1≤|a|＜10，n是整数位数减1．
【解答】解：n＝整数位数﹣1，
∴整数位数＝n+1＝11+1＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的一般形式以及a与n的取值是解题的关键．
4．（2023•石景山区校级模拟）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|＝|b|，则下列结论中错误的是（ ）
A．a+b＞0B．a+c＞0C．b+c＞0D．ac＜0
【分析】根据|a|＝|b|，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
【解答】解：∵|a|＝|b|，
∴原点在a，b的中间，
如图，
由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，b+c＜0，ac＜0，a+b＝0，
故选项A错误，
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
5．（2023•东营二模）在实数：3.14159， QUOTE 364 364，1.010 010 001， QUOTE 7 7，π， QUOTE 27 27中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的意义判断即可．
【解答】解： QUOTE 364= 364=4，
无理数有 QUOTE 7 7，π，共有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数，算术平方根，立方根，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键，注意0.1010010001是有限小数，属于有理数．
6．（2023•长春模拟）一种细胞的直径为2×10﹣3厘米，将2×10﹣3写成小数为 0.002 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：2×10﹣3＝0.002．
故答案为：0.002．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．（2023•项城市三模）与 QUOTE 13 13最接近的整数是 4 ．
【分析】先估算出 QUOTE 13 13的范围，再将其与3.5进行比较、求解．
【解答】解：∵3 QUOTE 4，且3.52＝12.25，
∴3.5 QUOTE 4，
∴与 QUOTE 13 13最接近的整数是4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用平方根知识进行求解．
8．（2023•黄冈模拟）若一个正数m的平方根为x+1和5+2x，则m的值为 1 ．
【分析】根据平方根的定义，知x+1和5+2x互为相反数，列出方程，求出x的值；再根据平方根与平方的关系，求出m的值．
【解答】解：根据题意，得
x+1+5+2x＝0，
解得x＝﹣2；
所以m＝（﹣2+1）2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查平方根的定义和性质，解答中涉及简单的一元一次方程的解法；关键是掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
9．（2023•藁城区二模）对于三个实数a，b，c，用F{a，b}表示这两个数的平方差，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：F{l，2}＝12﹣22＝1﹣4＝﹣3，max{1，2，﹣1}＝2，max{2，1，1}＝2．
请结合上述材料，解决下列问题：
（1）F{﹣2，3}＝ ﹣5 ，max{22，（﹣2）2，﹣22}＝ 4 ；
（2）若F{a﹣2，3}＜max{a2，a2+1，﹣3}，则负整数a的值是 ﹣1 ．
【分析】（1）根据题意，读懂弄通式子的含义，代入求值即可得解．
（2）由题意，依据所给材料，列出不等式计算即可得解．
【解答】解：（1）由题意得，F{﹣2，3}＝（﹣2）2﹣32＝4﹣9＝﹣5，
max{22，（﹣2）2﹣22}＝max{4，4，﹣4}＝4．
故答案为：﹣5；4．
（2）由题意，∵a2≥0，
∴a2+1＞a2＞﹣3．
∴max{a2，a2+1，﹣3}＝a2+1．
又F{a﹣2，3}＝（a﹣2）2﹣32＝（a﹣2）2﹣9，
且F{a﹣2，3}＜max{a2，a2+1，﹣3}，
∴（a﹣2）2﹣9＜a2+1．
∴a QUOTE ．
又a是负整数，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了新概念信息题，解题的关键是读懂题意并根据题意列式计算．
10．（2023•玉林一模）计算：（2﹣6）×（﹣2）+（﹣3）2÷（﹣1）﹣（π﹣3）0．
【分析】先算乘方和零指数幂，再算乘除，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
【解答】解：（2﹣6）×（﹣2）+（﹣3）2÷（﹣1）﹣（π﹣3）0
＝﹣4×（﹣2）+9÷（﹣1）﹣1
＝8+（﹣9）﹣1
＝8﹣9﹣1
＝﹣2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2023•莲湖区模拟）计算： QUOTE |1-3|-25+(-2)-1 |1-3|-25+(-2)-1．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解： QUOTE |1-3|-25+(-2)-1 |1-3|-25+(-2)-1
QUOTE =3- =3-1﹣5+（ QUOTE ）
QUOTE =3-132 =3-132．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（2023•遵义模拟）（1）在整式x+4，2x﹣4，﹣3x+8中，任选两个用“＝”连接组成一个一元一次方程，并解该方程；
（2）计算 QUOTE (12)-1+|-2|-2sin30? (12)-1+|-2|-2sin30?
小君的解答如下：
小君的解答过程从第 一 步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）若x+4＝2x﹣4，
x﹣2x＝﹣4﹣4，
﹣x＝﹣8，
x＝8；
若2x﹣4＝﹣3x+8，
2x+3x＝8+4，
5x＝12，
x＝2.4；
若x+4＝﹣3x+8，
x+3x＝8﹣4，
4x＝4，
x＝1；
（2）小君的解答过程从第一步开始出现错误，
正确的解答过程如下：
QUOTE
＝2+2﹣2 QUOTE
＝4﹣1
＝3，
故答案为：一．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，一元一次方程的定义，特殊角的三角函数值，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
1．（2023•娄底模拟）若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…且公式 QUOTE ，则 QUOTE C125+C126= C125+C126=（ ）
A． QUOTE C135 C135B． QUOTE C136 C136C． QUOTE C1311 C1311D． QUOTE C127 C127
【分析】根据题目信息，表示出C125与C126，然后通分整理计算即可．
【解答】解：根据题意，有C125 QUOTE ，C126 QUOTE ，
∴C125+C126 QUOTE ，
QUOTE ，
QUOTE ，
＝C136．
故选：B．
【点评】本题是信息给予题，读懂题目信息是解题的关键．
2．（2023•白碱滩区二模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n•i＝（i4）n•i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．i
【分析】i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4•i＝i，i6＝i5•i＝﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．
【解答】解：由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4•i＝i，i6＝i5•i＝﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵ QUOTE 20134= 20134=503…1，
∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013＝i．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．
3．（2023•镇海区校级模拟）我们把M＝{1，3，x）叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，3}，我们说M＝N．已知集合A＝{0，|x|，y}，集合 QUOTE ，若A＝B，则x+y的值是（ ）
A．4B．2C．0D．﹣2
【分析】根据题干所给条件推理与排除，并通过简单计算即可．
【解答】解：由题可得，集合A中|x|≠0，即x≠0，y≠0，
∴xy≠0．
∴B中的 QUOTE 0，
∴x＝y，
∴|x|＝xy，
∵|x|≠y，
∴x与y都为负数，
∵|x|＝﹣x，
∴﹣x＝xy，
∴xy+x＝0，
∴x（y+1）＝0，
∵x≠0，
∴y+1＝0，
∴y＝﹣1，
∴x＝﹣1，
∴x+y＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查实数的相关概念，正确理解题干所给新定义是解题关键，同时还得运用排除法进行计算．
4．（2023•瑶海区三模）若|x|+3＝|x﹣3|，则x的取值范围是 ．
【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≥3，0＜x＜3，x≤0三种情况进行分析．
【解答】解：①当x≥3时，原式可化为：x+3＝x﹣3，无解；
②当0≤x＜3时，原式可化为：x+3＝3﹣x，此时x＝0；
③当x＜0时，原式可化为：﹣x+3＝3﹣x，等式恒成立．
综上所述，则x≤0．
【点评】此题主要是能够根据x的取值范围进行分情况化简绝对值，然后根据等式是否成立进行判断．
5．（2023•海淀区二模）四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中a＝4，b＝7，c为整数，m＝0.2（a+b+c）．
（1）若c＝10，则A，B，C中与M距离最小的点为 点A ；
（2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有 3 个．
【分析】（1）若c＝10，a＝4，b＝7，求出没m的值，再求出A，B，C中与M距离，比较大小，得出与M距离最小的点为A；
（2）若在A，B，C中，点C是一个变化的点，点 M随它变化，因此AM、BM、CM也随之变化．点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有3个．
【解答】解：（1）m＝0.2（4+7+10）＝4.2．AM＝4.2﹣4＝0.2，BM＝7﹣4.2＝2.8，CM＝10﹣4.2＝5.8，所以A，B，C中与M距离最小的点为 A．
故答案为：点A．
（2）m＝0.2（4+7+c）＝2.2+0.2c．
①当c＝1时，m＝2.4．AM＝1.6 BM＝4.6，CM＝1.4，此时CM最小．
②当c＝2时，m＝2.6．AM＝1.4 BM＝4.4，CM＝0.6，此时CM最小．
③当c＝3时，m＝2.8．AM＝1.2 BM＝4.2，CM＝0.2此时CM最小；
所以符合条件的点C有3个．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
6．（2023•石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 2 表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数 ﹣3 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
【分析】（1）根据1表示的点与﹣1表示的点重合读出对称中心即可得；
（2）由表示﹣2的点与表示4的点重合，可确定对称点是表示1的点，则：
①表示5的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合；
②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为4.5，据此求解．
【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合，
∴对称中心是原点，
∴﹣2表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
（2）①∵若﹣2表示的点与4表示的点重合，
∴对称中心是1表示的点，
∴5表示的点与数﹣3表示的点重合；
故答案为：﹣3；
②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为9÷2＝4.5，
∵对称点是表示1的点，
∴A、B两点表示的数分别是﹣3.5，5.5，
【点评】本题主要考查数轴，此题根据重合点确定对称点是解题的关键．
7．（2023•宝应县模拟）如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的是b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）＝ 1 ，d（10﹣2）＝ ﹣2 ；
（2）劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（ QUOTE mn mn）＝d（m）﹣d（n）．
根据运算性质，填空：
QUOTE d(a3)d(a)= d(a3)d(a)= 3 （a为正数），若d（2）＝0.3010，则d（4）＝ 0.6020 ，d（5）＝ 0.6990 ，d（0.08）＝ ﹣1.0970 ；
（3）下表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
【分析】（1）根据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即可求解；
（2）根据d（a3）＝d（a•a•a）＝d（a）+d（a）+d（a）即可求得 QUOTE d(a3)d(a) d(a3)d(a)的值；
（3）通过9＝32，27＝33，可以判断d（3）是否正确，同理以依据5＝10÷2，假设d（5）正确，可以求得d（2）的值，即可通过d（8），d（12）作出判断．
【解答】解：（1）d（10）＝1，d（10﹣2）＝﹣2；
故答案为：1，﹣2；
（2） QUOTE d(a3)d(a)=3d(a)d(a)= d(a3)d(a)=3d(a)d(a)=3；
因为d（2）＝0.3010
故d（4）＝d（2）+d（2）＝0.6020，
d（5）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.6990，
d（0.08）＝d（8×10﹣2）＝3d（2）+d（10﹣2）＝﹣1.0970；
故答案为：3；0.6020；0.6990；﹣1.0970．
（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）＝2d（3）≠4a﹣2b，
d（27）＝3d（3）≠6a﹣3b，
从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，
∴d（3）＝2a﹣b，
若d（5）≠a+c，则d（2）＝1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，
∴d（8）＝3d（2）≠3﹣3a﹣3c，
d（6）＝d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c，
表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d（5）＝a+c．
∴表中只有d（1.5）和d（12）的值是错误的，应纠正为：
d（1.5）＝d（3）+d（5）﹣1＝3a﹣b+c﹣1，
d（12）＝d（3）+2d（2）＝2﹣b﹣2c．
【点评】本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键．
1．﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C． QUOTE 12024 12024D． QUOTE
【分析】根据绝对值的意义解答即可．
【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握 QUOTE ．
2．如果温度上升10℃，记作+10℃，那么温度下降7℃记作（ ）
A．+3℃B．﹣3℃C．+7℃D．﹣7℃
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：如果温度上升10℃记作+10℃，那么温度下降7℃记作﹣7℃．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3．著名的数学苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.218×109B．2.18×108C．2.18×109D．218×106
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：218000000＝2.18×108．
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a≥﹣2B．a＜﹣3C．﹣a＞2D．﹣a≥3
【分析】由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，由此逐一判断各选项即可．
【解答】解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，
A、﹣3＜a＜﹣2，故选项A不符合题意；
B、﹣3＜a＜﹣2，故选项B不符合题意；
C、∵﹣3＜a＜﹣2，∴2＜﹣a＜3，故选项C符合题意；
D、∵﹣3＜a＜﹣2，∴2＜﹣a＜3，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是实数与数轴，从题目中提取已知条件是解题的关键．
5．当a＞0时，下列运算结果正确的是（ ）
A．a0＝0B．a﹣2＝﹣a2
C．（﹣a）3＝﹣a3D． QUOTE a-12=1a2 a-12=1a2
【分析】根据分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵a0＝1（a≠0），
∴选项A不符合题意；
∵a﹣2 QUOTE =1a2 =1a2，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣a）3＝﹣a3，
∴选项C符合题意；
∵ QUOTE a-12=1a12 a-12=1a12，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）①a0＝1（a≠0）；②00≠1．（2）a﹣p QUOTE =1ap =1ap（a≠0，p为正整数）．
6．如果|a﹣2024|+（b+1）2＝0，则ab的值是 QUOTE 12024 12024 ．
【分析】根据绝对值的非负性、偶次方的非负性，求出a、b值，再代入计算即可．
【解答】】解：∵|a﹣2024|+（b+1）2＝0
∴a﹣2024＝0，b+1＝0，
解得：a＝2024，b＝﹣1，
∴ QUOTE ab=2024-1=12024 ab=2024-1=12024．
故答案为： QUOTE 12024 12024．
【点评】本题考查绝对值的非负性和偶次方的非负性．掌握非负数的性质是解题的关键．
7．某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了 9 米．
【分析】用潜艇从海平面以下的高度减去上升到海平面以下的高度，就是潜艇上升的高度，据此解答．
【解答】解：根据题意得：
﹣18﹣（﹣27）＝19（米），
答：此潜艇上升了9米．
故答案为：9．
【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，根据题意列出算式是解答此题的关键．
8．已知x是满足 QUOTE 的整数，且使 QUOTE 的值为有理数，则x＝ 5． ．
【分析】根据题意，可知3 QUOTE x＜5 QUOTE 6，可得x＝4，5，而且x使 QUOTE 的值为有理数，将x＝4和x＝5分别代入计算即可确定x的值．
【解答】解：∵ QUOTE x QUOTE ，且x为整数，
∴3 QUOTE x＜5 QUOTE 6，
∴x＝4，5，
∵x使 QUOTE 的值为有理数，
当x＝4时， QUOTE 是无理数，不符合题意，舍去；
当x＝5时， QUOTE 2是有理数，符合题意；
∴x＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是无理数的估算，正确掌握 QUOTE 10 10和 QUOTE 27 27的取值范围是解题的关键．
9．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数，则（a+b）2024的展开式中含a2023项的系数是 2024 ．
【分析】根据前几个等式中的系数变化规律可得结论．
【解答】解：根据图中所给等式，
（a+b）2展开式的第二项为2ab＝2a2﹣1b，
（a+b）3展开式的第二项为3a2b＝3a3﹣1b，
（a+b）4展开式的第二项为4a3b＝4a4﹣1b，
……，
根据变化规律，（a+b）n展开式的第二项为nan﹣1b，
∴（a+b）2024的展开式中含a2023项是第二项，系数是2023+1＝2024，
故答案为：2024．
【点评】本题考查数字类规律探究，掌握几个等式中的系数变化规律是解题的关键．
10．定义：a，b，m为实数，若a+b＝m，则称a与b是关于 QUOTE m2 m2的对称数．
（1）2与4是关于 3 的对称数，7与 ﹣1 是关于3的对称数；
（2）若a＝﹣2x2+3（x2+x）﹣4，且a与b是关于﹣1的对称数，试用含有x的代数式表示b．
【分析】（1）运用对称数的定义进行解答即可；
（2）运用对称数的定义列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵2+4＝6，6÷2＝3，
∴2与4是关于3的对称数，
又3×2﹣7＝﹣1，
∴7与﹣1是关于3的对称数．
故答案为：3；﹣1；
（2）根据题意得，﹣2x2+3（x2+x）﹣4+b＝﹣1×2，
解得，b＝﹣x2﹣3x+2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键．
11．老师设计了一个计算程序如图所示：
（1）当x取﹣6时，求出输出的结果；
（2）嘉淇发现：对于任意的一个数，经过上面的程序运算后所得结果都相同．你同意她的说法吗？说明理由．
【分析】（1）将x＝﹣6代入题目中的运算程序，计算出结果即可；
（2）先判断是否同意嘉淇的说法，再将题目中的运算程序化简，即可说明理由．
【解答】解：（1）当x＝﹣6时，
输出结果为：[（﹣6）×2+8]÷4 QUOTE （﹣6）
＝（﹣12+8） QUOTE 3
＝（﹣4） QUOTE 3
＝﹣1+3
＝2；
（2）同意嘉淇的说法，
理由：（2x+8）÷4 QUOTE x
QUOTE =12 =12x+2 QUOTE x
＝2，
∴对于任意的一个数，经过上面的程序运算后所得结果都是2，
故同意嘉淇的说法．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
12．已知数轴上有M，N两点，点M表示的数为3x﹣5，点N表示的数为9﹣x．
（1）当x＝﹣1时，求线段MN的长；
（2）若点M与点N关于原点对称，求点M表示的数；
（3）若点M在点N的左侧，求x的正整数值．
【分析】（1）当x＝﹣1时，3x﹣5＝﹣8，9﹣x＝10，故MN＝10﹣（﹣8）＝18；
（2）若点M与点N关于原点对称，可得3x﹣5+9﹣x＝0，即x＝﹣2，故点M表示的数为3x﹣5＝﹣11；
（3）若点M在点N的左侧，可得3x﹣5＜9﹣x，即可得x＜3.5，故x的正整数值为1，2，3．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，3x﹣5＝﹣8，9﹣x＝10，
故MN＝10﹣（﹣8）＝18；
（2）若点M与点N关于原点对称，
得3x﹣5+9﹣x＝0，即x＝﹣2，
故点M表示的数为3x﹣5＝﹣11；
（3）若点M在点N的左侧，
得3x﹣5＜9﹣x，即x＜3.5，
故x的正整数值为1，2，3．
【点评】本题主要考查了数轴，解题关键是数形结合的思想的应用．
代数式
代数式中考考纲涵盖了代数式的基本概念、运算、整式与分式、方程与不等式的应用、函数与图像以及实际应用问题等多个方面。考生应全面复习这些内容，并注重理解和应用能力的培养，以应对中考的挑战。
在备考过程中，建议学生：熟练掌握代数式的基本概念、性质和运算规则。
多做练习题，特别是历年中考真题和模拟题，以熟悉命题风格和难度。
注重实际应用问题的训练，提高解决实际问题的能力。
善于总结归纳，形成自己的解题方法和思路。

Ⅰ、代数式
一、代数式
1.代数式的定义：像16n ，2a+3b ，34 ，，等，这样的式子都是代数式，单独的一个数或字母也是代数式.
带等号（＝）或不等号（≠、＜、＞、≤、≥）的都不是代数式.
2.代数式的书写：
（1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（3）如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写；
（4）带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数；
（5）除法运算要用分数线；
（6）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位.
二、单项式
1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
（1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算；
（2）分母中含有字母的的式子不是单项式.
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；
（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0.
三、多项式
1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；
2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；
（1）多项式的每一项包括它前面的符号；
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式.
3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出；
（3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式.
4.升幂排列与降幂排列
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
四、整式
单项式与多项式统称为整式.
单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立.
分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式.
五、列代数式及代数式的意义
1.列代数式：在解决实际问题时，把问题中的数量关系用代数式表示出来.
（1）抓住关键字词，如“大”、“小”、“多”、“少”、“积”、“差”等；
（2）理清运算顺序，按照“先读先写”的顺序列式；
（3）正确运用括号，先括号内，后括号外；先小括号，再中括号，最后大括号.
2.代数式的意义：代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义.
Ⅱ、代数式的值
一、代数式的值
根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值.
代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化.
代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有：①必须使代数式有意义，如中的a不能取1；②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b支铅笔，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数.
二、求代数式的值的步骤
1.代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原；
2.计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的.
Ⅲ、合并同类项
一、同类项
同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项.
1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可；
2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；
3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项；
4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式.
二、合并同类项
1.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项.
2.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.
3.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）：
（1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记；
（2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并；
（3）利用合并同类项法则，合并同类项；
（4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列.
4.易错点：
（1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
（2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；
（3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)；
（4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0.
三、代数式的化简求值
求代数式的值时，如果代数式中含有同类项，通常先合并同类项，再进行计算.
Ⅳ、去括号
一、去括号
1.去括号法则：
括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如；
括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如.
（1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项；
（2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号；
（3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形.
二、添括号
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如．
Ⅴ、整式的加减
一、整式的加减
1.几个整式相加减，如果有括号要先去括号，再合并同类项.
2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）：
（1）利用整式的加减运算将整式化简；
（2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子；
（3）依据有理数的运算法则进行计算.
3.整式加减注意事项：
（1）整式的加减可以先合并同类项再去括号，也可以先去括号再合并同类项；
（2）整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号.
二、整式加减的应用
1.整式的化简求值
一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算.
2.整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法
若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0.
3.解决多项式能否被一个数整除类问题
判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式.
多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为.
Ⅵ、整式运算
一、单项式与单项式相乘
1.单项式乘单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用；
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式；
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成；
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
二、单项式与多项式相乘
1.单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用式子表示为：.
2.单项式乘多项式的步骤：
（1）利用乘法分配律，转化为单项式乘单项式；
（2）将单项式与单项式相乘的结果相加.
3.单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题；
4.单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同；
5.计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号；
6.对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
三、多项式乘多项式
1.多项式与多项式相乘的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
（1）在进行多项式的乘法运算时，不要出现漏解的情况；
（2）要注意确定积中的每一项的符号，多项式中的每一项都包含它前面的符号；
（3）若结果中含有同类项，则一定要进行合并同类项，使得结果为最简形式.
2.特殊的二项式相乘：（为常数）；
3.多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并；
4.多项式乘多项式法则也适用于多个多项式相乘，即按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，依次类推.
Ⅶ、乘法公式
一、完全平方公式
1.完全平方公式：，，即两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
2.完全平方公式的推导：
（1）用多项式乘法法则进行推导，过程如下：
①；
②.
（2）通过面积法推导完全平方公式：
①如图所示是一个边长为的正方形，面积为，
它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，
所以可以得到；
②如图所示，边长为的小正方形的面积是，
它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，
所以可以得到.
3.完全平方公式的结构特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
4.完全平方公式的常见变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
5.三项或三项以上的和（差）的平方可以转化为两项的和（差）的平方，如：
（1）；
（2）.
二、平方差公式
1.平方差公式：，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
2.平方差公式的推导：
（1）用多项式乘法法则进行推导：；
（2）通过面积法推导平方差公式：
如图1所示，涂色部分的面积为，如图2所示，涂色部分的面积为，
所以可以得到.
3.平方差公式结构特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差.
4.平方差公式的变化：
（1）位置变化：；
（2）符号变化：；
（3）指数变化：；
（4）系数变化：；
（5）增项变化：；
（3）连用公式：.
Ⅷ、多项式的因式分解
一、因式分解
因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式；
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止；
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
二、公因式
公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式；
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
三、提公因式法分解因式
1.如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，如多项式就可以写成是与的积，即.
2.提公因式法的实质就是乘法分配律的逆用，；
3.用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式；
4.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号；
5.用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
四、运用公式法分解因式
1.运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法；
2.逆用平方差公式：，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
3.逆用完全平方公式：，，即两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：
五、十字相乘法分解因式
1.二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法
对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.
对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.
技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；
技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.
2.二次项系数不为1的十字相乘
在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列：
按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.
PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.
例1：二次项系数为1的二次三项式
Ⅸ、分式
一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.
1.分式的三个条件：①形如的这种形式；②A、B都是整式；③分母中含有字母，且分母不为0；
2.判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，但是化简后就成了xy，是一个整式，所以分式只看形式，不看化简后的结果；
3.分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母；
4.分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性，分数是分式中字母取特定值后的特殊情况；
5.分式可看成是两个整式的商，如可以表示为，但不满足分式的形式，它不是分式；
6.π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是一个整式，不是分式.
二、分式有意义、无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零，即有意义的条件是；
2.分式无意义的条件：分母等于零，即无意义的条件是；
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即.
（1）分式是否有意义，与分式的分母是否为0有关，与分式的分子无关；
（2）分式有意义的条件是分式中分母的整式值不为0，而不是分母中的字母不为0，如有意义的条件是，即，而不是；
（3）分式的值是在分式有意义的前提下考虑的；
（4）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
三、分式的基本性质
1.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变；
2.字母表示：（A、B、C都是整式，且B≠0，C≠0）；
3.在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化，如，变形后，字母x的取值范围变大了；
4.分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身，这三个的正负号同时改变两个，分式值也不会改变，如；
5.若分式的分母与分子是多项式，在运用分式基本性质时，应先将分式的分子与分母用括号括起来，再把分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的整式.
四、分式的约分
利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
1.若分式的分子、分母都是单项式，则可以直接约去分子、分母的公因式（分子、分母系数的最大公因数与分子、分母的相同字母的最低次幂的乘积）；
2.若分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
五、分式的通分
1.分式的通分：利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分；
2.最简公分母：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母；
3.在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数.
六、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；符号表示为：.
1.“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误；
2.分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
七、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为：.
1.分式与整式相加减时，可以把整式看成分母是1的分式，然后由异分母分式加减法的法则进行计算；
2.异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③合并，分子去括号、合并同类项；④约分，将最终结果化成最简分式.
八、分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；
2.用字母表示为；
3.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；
4.用字母表示为.
（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式；
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘；
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分；
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.
5.分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（n为正整数.）
（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成；
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负；
（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分；
（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体，如.
九、分式的混合运算
分式的混合运算顺序：分式的混合运算顺序与分数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.
1.在分式的运算过程中，可以用运算律，会使得运算简便点；
2.分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面.
Ⅹ、二次根式
一、二次根式的定义
一般地，式子叫作二次根式，叫作被开方数.
1.二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足；
2.二次根式的两个要素：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数；
3.形如的式子也是二次根式，表示b与的乘积，当b为带分数或小数时，要写成假分数的形式；
4.在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了.
二、二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件是，由于负数没有平方根，所以当时，就无意义.
1.单个二次根式，如有意义的条件是；
2.二次根式相加，如有意义的条件是；
3.二次根式作为分母时，如有意义的条件是；
4.二次根式与分式相加，如有意义的条件是.
三、二次根式的性质
性质1：式子既表示二次根式，又表示非负数的算术平方根，所以具有双重非负性；
性质2：，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质3：，当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为；当一个数为负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为.
四、二次根式的乘法法则
二次根式的乘法法则：一般地，有，即两个算术平方根相乘，等于它们被开方数的积的算术平方根.
当二次根式前面有系数时，如，即将系数与系数相乘作为积的系数，被开方数与被开方数相乘作为积中的被开方数.
二次根式乘法法则逆用：由可得，即两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积，常用这个对二次根式进行化简.
五、二次根式的除法法则
一般地，有，即两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根.
当二次根式前面有系数时，如，即系数和被开方数分别相除作为积的因式.
二次根式除法法则的逆用：由可得，即商的算术平方根等于被开方数的算术平方根除以除数的算术平方根，利用这个公式可对二次根式进行化简.
六、最简二次根式
1.当时，通过可以把开方数中的分母化去；
2.当时，通过可以把分母中的根号化去.
一般地，化简二次根式就是使二次根式：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数中不含有分母；③分母中不含有根号，这样化简后得到的二次根式就是最简二次根式.
七、同类二次根式
1.同类二次根式：化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式；
2.合并同类二次根式：将同类二次根式的系数相加减作为结果的系数，被开方数和根指数都不变.
PS：可以合并的同类二次根式必须同时满足：①是最简二次根式；②被开方数相同.
八、二次根式的加减
二次根式加减的法则：一般地，二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式；
（1）二次根式的加减实际上是合并同类二次根式，不是同类的二次根式不能进行合并；
（2）二次根式的加减运算中，根号外的因数（或因式）就是这个二次根式的系数，如果系数是带分数，先化成假分数再进行运算.
九、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方混合运算，正确的运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.
常见的二次根式混合运算类型如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
1．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（ ）
A．5B．7C．10D．﹣13
【分析】首先将已知条件转化为x2+3x＝5，再利用提取公因式将2x2+6x﹣3转化为2（x2+3x）﹣3，然后整体代入即可得出答案．
【解答】解：∵x2+3x﹣5＝0，
∴x2+3x＝5，
∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握提取公因式，整体代入求值．
2．（2023•南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（ ）
A．24B．20C．18D．16
【分析】由已知条件可得a2﹣4a＝12，然后将2a2﹣8a﹣8变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵a2﹣4a﹣12＝0，
∴a2﹣4a＝12，
∴2a2﹣8a﹣8
＝2（a2﹣4a）﹣8
＝2×12﹣8
＝24﹣8
＝16，
故选：D．
【点评】本题考查代数式求值，将2a2﹣8a﹣8变形为2（a2﹣4a）﹣8是解题的关键．
3．（2023•河北）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解答】解：（2k+3）2﹣4k2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝3（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此题的关键．
4．（2023•赤峰）化简 QUOTE 4x+2+ 4x+2+x﹣2的结果是（ ）
A．1B． QUOTE x2x2-4 x2x2-4C． QUOTE xx+2 xx+2D． QUOTE x2x+2 x2x+2
【分析】利用分式的加法法则进行计算即可．
【解答】解：原式 QUOTE =4x+2+(x-2)(x+2)x+2 =4x+2+(x-2)(x+2)x+2
QUOTE =4+x2-4x+2 =4+x2-4x+2
QUOTE =x2x+2 =x2x+2，
故选：D．
【点评】本题考查分式的加法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（2023•河北）若 QUOTE a=2 a=2， QUOTE b=7 b=7，则 QUOTE 14a2b2= 14a2b2=（ ）
A．2B．4C． QUOTE 7 7D． QUOTE 2 2
【分析】把a、b的值代入原式，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵a QUOTE =2 =2，b QUOTE =7 =7，
∴ QUOTE 2，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．（2023•东营）因式分解：3ma2﹣6mab+3mb2＝ ．
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：3ma2﹣6mab+3mb2
＝3m（a2﹣2ab+b2）
＝3m（a﹣b）2，
故答案为：3m（a﹣b）2．
【点评】本题考查因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023•西藏）按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示）
【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可．
【解答】解：∵第n个单项式的系数可表示为：3n+2，字母a的指数可表示为：n，
∴第n个单项式为：（3n+2）an．
【点评】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键．
8．（2023•无锡）现有一长方形地块，长比宽多20米．若将长增加10米，宽缩短5米，则所得长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的长为 米．
【分析】根据变化前后长方形的长、宽、面积之间的关系列方程求解即可．
【解答】解：设原长方形地块的长为x米，则宽为（x﹣20）米，则变化后的长为（x+10）米，宽为（x﹣25）米，由题意得，
x（x﹣20）＝（x+10）（x﹣25），
解得x＝50．
故答案为：50．
【点评】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
9．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简： QUOTE ．
【分析】根据二次根式的非负性进行化简去绝对值即可．
【解答】解：由数轴可知：1＜m＜2，
∴m﹣2＜0，
∴ QUOTE |m﹣2|＝2﹣m．
故答案为：2﹣m．
【点评】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的非负性是解本题的关键．
10．（2023•成都）若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1 QUOTE ） QUOTE 的值为 ．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1 QUOTE -wsp:rsidP="001B311wsp:rsidP="001B311wsp:rsidP="001B3112ab-b2a2 -wsp:rsidP="001B311wsp:rsidP="001B311wsp:rsidP="001B3112ab-b2a2） QUOTE ?a-ba2b ?a-ba2b
QUOTE =a2-(2ab-b2)a2 =a2-(2ab-b2)a2• QUOTE a2ba-b a2ba-b
QUOTE =(a-b)2a2 =(a-b)2a2• QUOTE a2ba-b a2ba-b
＝b（a﹣b）
＝ab﹣b2，
∵3ab﹣3b2﹣2＝0，
∴3ab﹣3b2＝2，
∴ab﹣b2 QUOTE =23 =23，
∴原式 QUOTE =23 =23．
故答案为： QUOTE 23 23．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
11．（2023•山西）（1）计算： QUOTE ；
（2）计算：x（x+2）+（x+1）2﹣4x．
【分析】（1）根据绝对值，负整数指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可；
（2）根据指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可．
【解答】解：（1） QUOTE
＝8 QUOTE 脳14- 脳14-2 QUOTE 脳12 脳12
＝2﹣1
＝1；
（2）x（x+2）+（x+1）2﹣4x
＝x2+2x+x2+2x+1﹣4x
＝2x2+1．
【点评】本题主要考查绝对值，负整数指数幂及单项式乘多项式的计算，熟练掌握绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算方法是解题的关键．
12．（2023•辽宁）先化简，再求值：（ QUOTE 2x-1x-2- 2x-1x-2-1） QUOTE ，其中x＝3．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝（ QUOTE 2x-1x-2-x-2x-2 2x-1x-2-x-2x-2）• QUOTE (x+2)(x-2)x+1 (x+2)(x-2)x+1
QUOTE =x+1x-2 =x+1x-2• QUOTE (x+2)(x-2)x+1 (x+2)(x-2)x+1
＝x+2，
当x＝3时，原式＝3+2＝5．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
13．（2023•张家界）阅读下面材料：
将边长分别为a，a QUOTE +b +b，a+2 QUOTE b b，a+3 QUOTE b b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2﹣S1＝（a QUOTE +b +b）2﹣a2
＝[（a QUOTE +b +b）+a]•[（a QUOTE +b +b）﹣a]
＝（2a QUOTE +b +b）• QUOTE b b
＝b+2a QUOTE b b
例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2 QUOTE 3 3
根据以上材料解答下列问题：
（1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝ ，S4﹣S3＝ ；
（2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n QUOTE b b的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．
【分析】（1）把a＝1，b＝3代入S3﹣S2，S4﹣S3，计算即可得到结论；
（2）根据（1）的结论化简Sn+1﹣Sn即可；
（3）化简T＝t1+t2+t3+…+t50后，代入数值计算即可．
【解答】解：S3﹣S2＝（a+2 QUOTE b b）2﹣（a QUOTE +b +b）2
＝a2+4a QUOTE b+ b+4b﹣a2﹣2a QUOTE b- b-b
＝2a QUOTE b+ b+3b，
当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝9+2 QUOTE 3 3；
S4﹣S3＝（a+3 QUOTE b b）2﹣（a+2 QUOTE b b）2＝a2+6a QUOTE b+ b+9b﹣a2﹣4a QUOTE b- b-4b
＝2a QUOTE b+ b+5b，
当a＝1，b＝3时，S4﹣S3＝15+2 QUOTE 3 3；
故答案为：9+2 QUOTE 3 3；15+2 QUOTE 3 3；
（2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+2 QUOTE 3 3；
证明：Sn+1﹣Sn
＝（1 QUOTE +3 +3n）2﹣[1+（n﹣1） QUOTE 3 3]2
＝[2+（2n﹣1） QUOTE 3 3] QUOTE
＝3（2n﹣1）+2 QUOTE 3 3
＝6n﹣3+2 QUOTE 3 3；
（3）当a＝1，b＝3时，T＝t1+t2+t3+…+t50
＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50
＝S51﹣S1
＝（1+50 QUOTE 3 3）2﹣1
＝7500+100 QUOTE 3 3．
【点评】本题考查了二次根式的化简，正确地计算出结果是解题的关键．
1．（2023•迎泽区校级三模）小明做了6道计算题：①﹣5﹣3＝﹣2；②0﹣（﹣1）＝1；③﹣12 QUOTE 24；④3a﹣2a＝1；⑤3a2+2a2＝5a4；⑥3a2b﹣4ba2＝﹣a2b；请你帮他检查一下，他一共做对了（ ）
A．2题B．3题C．4题D．5题
2．（2024•西湖区校级模拟）将4张长为a、宽为b（a≥b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若m﹣3n＝0，则a、b满足（ ）
A．a＝b或a＝3bB．a＝b或a＝4b
C．a＝b或a＝5bD．a＝b或a＝6b．
3．（2023•蚌山区三模）下列运算正确的是 （ ）
A． QUOTE 29脳3=23 29脳3=23B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C． QUOTE 2+3=5 2+3=5D． QUOTE 12+13=25 12+13=25
4．（2023•盘锦三模）甲、乙两地相距skm，某人从甲地出发，以vkm/h的速度步行，走了ah后改乘汽车，又过bh到达乙地，则汽车的速度为（ ）km/h．
A． QUOTE sa+b sa+bB． QUOTE s-avb s-avbC． QUOTE s-ava+b s-ava+bD． QUOTE 2sa+b 2sa+b
5．（2024•大庆一模）已知：（x+2）x+5＝1，则x＝ ．
6．（2022•公安县模拟）单项式 QUOTE 23 23xm+1y2﹣n与2y2x3的和仍是单项式，则mn＝ ．
7．（2023•肇东市校级二模）分解因式x2（a﹣b）+4y2（b﹣a）＝ ．
8．（2023•湘潭模拟）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 QUOTE ．
9．（2024•湖州一模）古希腊一位庄园主把一边长为a米（a＞4）的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了．聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了 平方米．
10．（2023•路北区二模）已知整式A＝2m﹣2（4m3+m），整式B＝2m．
（1）化简整式A，并将化简后的结果写成指数是3的幂的形式；
（2）若C＝A+B，将整式C分解因式：
（3）若m为整数，直接写出整式C能否被3整除．
11．（2024•拱墅区二模）圆圆和方方在做一道练习题：已知0＜a＜b，试比较 QUOTE ab ab与 QUOTE a+1b+1 a+1b+1的大小．
圆圆说：“当a＝1，b＝2时，有 QUOTE ab=12 ab=12， QUOTE a+1b+1=23 a+1b+1=23；因为 QUOTE ，所以 QUOTE ”．
方方说：“圆圆的做法不正确，因为a＝1，b＝2只是一个特例，不具一般性．可以……”请你将方方的做法补充完整．
12．（2023•张家口四模）一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（9＜x＜26，单位：km）
（1）说出这辆出租车每次行驶的方向．
（2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．
（3）这辆出租车一共行驶了多少路程？
1．（2023•开化县模拟）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+2y）（2x﹣y）B．（x+y）（x﹣2y）
C．（x+2y）（2y﹣x）D．（x﹣2y）（2y﹣x）
2．（2023•锦州模拟）已知m，n均为正整数且满足mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，则m+n的最小值是（ ）
A．20B．30C．32D．37
3．（2023•华亭市校级模拟）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第5个图形需要棋子 枚，则第n个图形需棋子 枚．（n为正整数）
4．（2023•海淀区校级三模）在右表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数ai，j，规定如下：当i≥j时，ai，j＝1；当i＜j时，ai，j＝0．例如：当i＝2，j＝1时，ai，j＝a2，1＝1．按此规定，a1，3＝ ；表中的25个数中，共有 个1；计算a1，1•ai，1+a1，2•ai，2+a1，3•ai，3+a1，4•ai，4+a1，5•ai，5的值为 ．
5．（2023•零陵区三模）小明背对小亮按下列四个步骤操作：
（1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；
（2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
（3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；
（4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现在还剩有的张数是 ．
6．（2023•隆昌市校级三模）已知xy＝3，那么 QUOTE xyx+yxy xyx+yxy的值是 ．
7．（2023•广安区校级模拟）已知 QUOTE 1a-1=2 1a-1=2，请先化简，再求代数式的值： QUOTE ．
8．（2023•崇义县模拟）一个四位正整数M，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位数字之和等于百位与个位数字之和均为9，则称M为“行知数”．此时，规定K（M） QUOTE =M99 =M99．例如，M＝1386，∵1+8＝3+6＝9，∴M＝1386是“行知数”，K（1386） QUOTE =138699= =138699=14；又如，M＝3562，∵3+6＝9≠5+2，∴M＝3562不是“行知数”．
（1）判断2475和4256是否是“行知数”，并说明理由；
（2）对于“行知数”M，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“行知数”M′．若 QUOTE 2K(M)+K(M')8 2K(M)+K(M')8是整数，且M的千位数字不小于十位数字，求满足条件的所有“行知数”M．
1．下列运算正确的是（ ）
A．2a+b＝2abB．（﹣2x2）3＝﹣8x5
C． QUOTE 22?33=65 22?33=65D． QUOTE 27+33=4 27+33=4
2．已知多项式3mx2+3y﹣3﹣15x2+2中不含x2项，则m的值是（ ）
A．5B．﹣5C．3D．15
3．如果三个连续整数n、n+1、n+2的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
4．对于任何整数a，多项式（a+2）2﹣a2都能被整数 整除．
5．若代数式 QUOTE 1x-3 1x-3有意义，则实数x的取值范围是 ．
6．将正整数按如图所示的位置顺序排列，我们称每一个阶段的最高点为“峰”，最低点为“谷”．例如，数字3的位置称为“峰1”，数字6的位置称为“谷1”，数字9的位置称为“峰2”，则“峰7”位置的数字为 ．
7．已知 QUOTE 1m-1n=1 1m-1n=1，则分式 QUOTE 2m-mn-2nm+3mn-n 2m-mn-2nm+3mn-n的值为 ．
8．【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
【验证】（2+1）2﹣（2﹣1）2＝ ；
【证明】设两个正整数为m，n，请验证“发现”中的结论正确；
【拓展】已知（x+y）2＝100，xy＝24，求（x﹣y）2的值．
9．已知三角形的一条边长为a cm，第二条边比第一条短4cm，第三条边比第二条边的2倍短4cm．
（1）用含a的代数式表示这个三角形的周长；
（2）当a＝10时，判断该三角形的形状，并说明理由．
10．如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，……，第n个数记为an．
（1）根据这列数的规律，a8＝ ，an＝ ；
（2）这列数中有66这个数吗？如果有，求n；如果没有，请说明理由．
1．（2023•迎泽区校级三模）小明做了6道计算题：①﹣5﹣3＝﹣2；②0﹣（﹣1）＝1；③﹣12 QUOTE 24；④3a﹣2a＝1；⑤3a2+2a2＝5a4；⑥3a2b﹣4ba2＝﹣a2b；请你帮他检查一下，他一共做对了（ ）
A．2题B．3题C．4题D．5题
【分析】分别根据有理数的减法法则，有理数的除法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：①﹣5﹣3＝﹣5+（﹣3）＝﹣8；
②0﹣（﹣1）＝0+1＝1；
③﹣12 QUOTE ?12=- ?12=-12×2＝﹣24；
④3a﹣2a＝（3﹣2）a＝a；
⑤3a2+2a2＝（3+2）a2＝5a2；
⑥3a2b﹣4ba2＝（3﹣4）a2b＝﹣a2b；
所以一共做对了②⑥共2题．
故选：A．
【点评】本题主要考查了合并同类项以及有理数的混合运算，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
2．（2024•西湖区校级模拟）将4张长为a、宽为b（a≥b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若m﹣3n＝0，则a、b满足（ ）
A．a＝b或a＝3bB．a＝b或a＝4b
C．a＝b或a＝5bD．a＝b或a＝6b．
【分析】先用a、b的代数式分别表示m，n，再根据m﹣3n＝0，建立等式即可求解．
【解答】解：m QUOTE =12 =12b（a+b）×2 QUOTE +12 +12ab×2+（a﹣b）2＝a2+2b2，
n＝（a+b）2﹣m＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，
∵m﹣3n＝0，
∴a2+2b2＝3（2ab﹣b2），
整理，得a2﹣6ab+5b2＝0，
∴（a﹣b）（a﹣5b）＝0，
∴a＝b或a＝5b．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
3．（2023•蚌山区三模）下列运算正确的是 （ ）
A． QUOTE 29脳3=23 29脳3=23B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C． QUOTE 2+3=5 2+3=5D． QUOTE 12+13=25 12+13=25
【分析】根据有理数的加法，幂的乘方与积的乘方，二次根式的加法，二次根式的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、 QUOTE 29脳 29脳3 QUOTE 3 QUOTE =2 =2，故A不符合题意；
B、（﹣2a）3＝﹣8a3，故B符合题意；
C、 QUOTE 2 2与 QUOTE 3 3不能合并，故C不符合题意；
D、 QUOTE 12+13=56 12+13=56，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，有理数的加法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（2023•盘锦三模）甲、乙两地相距skm，某人从甲地出发，以vkm/h的速度步行，走了ah后改乘汽车，又过bh到达乙地，则汽车的速度为（ ）km/h．
A． QUOTE sa+b sa+bB． QUOTE s-avb s-avbC． QUOTE s-ava+b s-ava+bD． QUOTE 2sa+b 2sa+b
【分析】分析题意，步行a小时的路程为av千米；剩余路程为（s﹣av）千米，汽车走了b小时；由“速度＝路程÷时间”即可求出汽车的速度．
【解答】解：由题意得，步行a小时走了av千米．
则从甲地到乙地汽车还要走（s﹣av）千米．
从甲地到乙地汽车要走b小时，故故汽车的速度为 QUOTE s-vab s-vab千米/时．
故选：B．
【点评】本题考查列代数式的知识，明确题中的数量关系是解题的关键．
5．（2024•大庆一模）已知：（x+2）x+5＝1，则x＝ ﹣5或﹣1或﹣3 ．
【分析】根据：a0＝1（a≠0），1的任何次方为1，﹣1的偶次方为1，解答本题．
【解答】解：根据0指数的意义，得
当x+2≠0时，x+5＝0，解得x＝﹣5．
当x+2＝1时，x＝﹣1，
当x+2＝﹣1时，x＝﹣3，x+5＝2，指数为偶数，符合题意．
故填：﹣5或﹣1或﹣3．
【点评】本题的难点在于将幂为1的情况都考虑到．
6．（2022•公安县模拟）单项式 QUOTE 23 23xm+1y2﹣n与2y2x3的和仍是单项式，则mn＝ 1 ．
【分析】根据单项式的和是单项式，可得两个单项式是同类项，根据同类项，可得m、n的值，根据代数式求值，可得答案．
【解答】解：依题意得：m+1＝3，2﹣n＝2，
m＝2，n＝0，
∴mn＝20＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了合并同类项，利用单项式的和是单项式得出同类项是解题的关键．
7．（2023•肇东市校级二模）分解因式x2（a﹣b）+4y2（b﹣a）＝ （a﹣b）（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答．
【解答】解：x2（a﹣b）+4y2（b﹣a）
＝x2（a﹣b）﹣4y2（a﹣b）
＝（a﹣b）（x2﹣4y2）
＝（a﹣b）（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：（a﹣b）（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
8．（2023•湘潭模拟）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 QUOTE a+b ．
【分析】依据数轴即可得到a+1＞0，b﹣1＜0，即可化简．
【解答】解：由题可得，﹣1＜a＜0，0＜b＜1，
∴a+1＞0，b﹣1＜0，
∴|原式＝a+1﹣1+b＝a+b．
故答案为：a+b．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质．
9．（2024•湖州一模）古希腊一位庄园主把一边长为a米（a＞4）的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了．聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了 16 平方米．
【分析】由长方形和正方形的面积公式，根据“减少的面积＝边长变化前的面积﹣边长变化后的面积”，利用平方差公式计算即可．
【解答】解：a2﹣（a+4）（a﹣4）
＝a2﹣（a2﹣16）
＝16（平方米），
∴土地面积其实减少了 16平方米．
故答案为：16．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式并灵活运用是本题的关键．
10．（2023•路北区二模）已知整式A＝2m﹣2（4m3+m），整式B＝2m．
（1）化简整式A，并将化简后的结果写成指数是3的幂的形式；
（2）若C＝A+B，将整式C分解因式：
（3）若m为整数，直接写出整式C能否被3整除．
【分析】（1）依据题意，将整式进行去括号合并同类项，再逆用积的乘方与幂的乘方可以得解；
（2）依据题意，首先求出C，然后再依据分解因式的步骤进行分解因式即可得解；
（3）依据题意，由（2）分解的结果分析，可以得解．
【解答】解：（1）A＝2m﹣2（4m3+m）
＝2m﹣8m3﹣2m
＝﹣8m3
＝（﹣2m）3．
（2）由题得，C＝A+B
＝﹣8m3+2m
＝﹣2m（2m+1）（2m﹣1）．
（3）由（2）得，C＝﹣2m（2m+1）（2m﹣1）．
当m为整数时，2m为偶数，2m+1，2m﹣1分别为与2m相邻的整数．
∵任意三个相邻的整数的积能被3整除，
∴C＝﹣2m（2m+1）（2m﹣1）能被3整除．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并要能灵活运用．
11．（2024•拱墅区二模）圆圆和方方在做一道练习题：已知0＜a＜b，试比较 QUOTE ab ab与 QUOTE a+1b+1 a+1b+1的大小．
圆圆说：“当a＝1，b＝2时，有 QUOTE ab=12 ab=12， QUOTE a+1b+1=23 a+1b+1=23；因为 QUOTE ，所以 QUOTE ”．
方方说：“圆圆的做法不正确，因为a＝1，b＝2只是一个特例，不具一般性．可以……”请你将方方的做法补充完整．
【分析】计算 QUOTE ab-a+1b+1 ab-a+1b+1，若差值大于0，说明 QUOTE ；若差值等于0，说明 QUOTE ab=a+1b+1 ab=a+1b+1；若差值小于0，说明 QUOTE ．
【解答】解： QUOTE ab-a+1b+1 ab-a+1b+1
QUOTE =a(b+1)-(a+1)bb(b+1) =a(b+1)-(a+1)bb(b+1)
QUOTE =a-bb(b+1) =a-bb(b+1)，
∵0＜a＜b，
∴a﹣b＜0，b（b+1）＞0，
∴ QUOTE 0，
∴ QUOTE ．
【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握分式加减计算的方法是本题的关键．
12．（2023•张家口四模）一辆出租车从A地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下（9＜x＜26，单位：km）
（1）说出这辆出租车每次行驶的方向．
（2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置．
（3）这辆出租车一共行驶了多少路程？
【分析】（1）根据数的符号说明即可；
（2）把路程相加，求出结果，看结果的符号即可判断出答案；
（3）求出每个数的绝对值，相加求出即可．
【解答】（1）解：第一次是向东，第二次是向西，第三次是向东，第四次是向西．
（2）解：x+（ QUOTE -wsp:rsidP="00BD722wsp:rsidP="00BD722wsp:rsidP="00BD72212 -wsp:rsidP="00BD722wsp:rsidP="00BD722wsp:rsidP="00BD72212x）+（x﹣5）+2（9﹣x）＝13 QUOTE -wsp:rsidP="00F2237wsp:rsidP="00F2237wsp:rsidP="00F223712 -wsp:rsidP="00F2237wsp:rsidP="00F2237wsp:rsidP="00F223712x，
∵9＜x＜26，
∴13 QUOTE -wsp:rsidP="00A82FFwsp:rsidP="00A82FFwsp:rsidP="00A82FF12 -wsp:rsidP="00A82FFwsp:rsidP="00A82FFwsp:rsidP="00A82FF12x＞0，
∴经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置是向东（13 QUOTE -wsp:rsidP="007808Cwsp:rsidP="007808Cwsp:rsidP="007808C12 -wsp:rsidP="007808Cwsp:rsidP="007808Cwsp:rsidP="007808C12x）km．
（3）解：|x|+| QUOTE -wsp:rsidP="00995C3wsp:rsidP="00995C3wsp:rsidP="00995C312 -wsp:rsidP="00995C3wsp:rsidP="00995C3wsp:rsidP="00995C312x|+|x﹣5|+|2（9﹣x）| QUOTE =92 =92x﹣23，
答：这辆出租车一共行驶了（ QUOTE 92 92x﹣23）km的路程．
【点评】本题考查了整式的加减，绝对值等知识点的应用，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，用数学解决实际问题，题型较好．
1．（2023•开化县模拟）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+2y）（2x﹣y）B．（x+y）（x﹣2y）
C．（x+2y）（2y﹣x）D．（x﹣2y）（2y﹣x）
【分析】可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
【解答】解：A、（x+2y）（2x﹣y）不符合平方差公式的形式，故本选项错误；
B、（x+y）（x﹣2y）不符合平方差公式的形式，故本选项错误；
C、（x+2y）（2y﹣x）＝﹣（x+2y）（x﹣2y）＝﹣x2+4y2，正确；
D、（x﹣2y）（2y﹣x）＝﹣（x﹣2y）2，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟记平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
2．（2023•锦州模拟）已知m，n均为正整数且满足mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，则m+n的最小值是（ ）
A．20B．30C．32D．37
【分析】利用因式分解把等式变形为（m﹣3）（n﹣2）＝26，再讨论各种可能情况，求出m、n的值，判断出最小值．
【解答】解：mn﹣2m﹣3n﹣20＝0，
m（n﹣2）﹣3n+6﹣6﹣20＝0，
m（n﹣2）﹣3（n﹣2）﹣26＝0，
（m﹣3）（n﹣2）＝26，
∵m，n均为正整数，
∴26＝1×26，或26＝2×13，
∴ QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ，
∴m+n＝32，m+n＝32，m+n＝20，m+n＝20，
∴m+n的最小值为20．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的各种方法．
3．（2023•华亭市校级模拟）用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第5个图形需要棋子 16 枚，则第n个图形需棋子 3n+1 枚．（n为正整数）
【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
【解答】解：第一个图需棋子3+1＝4；
第二个图需棋子3×2+1＝7；
第三个图需棋子3×3+1＝10；
第四个图需棋子3×4+1＝13；
第五个图需棋子3×5+1＝16；
…
第n个图需棋子3n+1枚．
故答案为：16，3n+1．
【点评】此题考查了规律型中的图形变化问题，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．
4．（2023•海淀区校级三模）在右表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数ai，j，规定如下：当i≥j时，ai，j＝1；当i＜j时，ai，j＝0．例如：当i＝2，j＝1时，ai，j＝a2，1＝1．按此规定，a1，3＝ 0 ；表中的25个数中，共有 15 个1；计算a1，1•ai，1+a1，2•ai，2+a1，3•ai，3+a1，4•ai，4+a1，5•ai，5的值为 1 ．
【分析】由题意当i＜j时，ai，j＝0．当i≥j时，ai，j＝1；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个．
【解答】解：由题意，很容易发现，从i与j之间大小分析：
当i＜j时，ai，j＝0．
当i≥j时，ai，j＝1；
由图表可知15个1．
a1，1•ai，1+a1，2•ai，2+a1，3•ai，3+a1，4•ai，4+a1，5•ai，5＝1×1+0+0+0+0＝1．
故答案为：0；15；1．
【点评】本题考查了数字的变化，由题意当i＜j时，ai，j＝0．当i≥j时，ai，j＝1；仔细分析很简单的问题．
5．（2023•零陵区三模）小明背对小亮按下列四个步骤操作：
（1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；
（2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
（3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；
（4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现在还剩有的张数是 6 ．
【分析】此题看似复杂，其实只是考查了整式的基本运算．把每堆牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．
【解答】解：设第一步时候，每堆牌的数量都是x（x≥2）；
第二步时候：左边x﹣2，中间x+2，右边x；
第三步时候：左边x﹣2，中间x+4，右边x﹣2；
第四步开始时候，左边有（x﹣2）张牌，则从中间拿走（x﹣2）张，则中间所剩牌数为（x+4）﹣（x﹣2）＝x+4﹣x+2＝6．
所以中间一堆牌此时有6张牌．
故答案为：6．
【点评】本题考查整式的加减，解决此题，根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．
6．（2023•隆昌市校级三模）已知xy＝3，那么 QUOTE xyx+yxy xyx+yxy的值是 ±2 QUOTE 3 3 ．
【分析】先化简，再分同正或同负两种情况作答．
【解答】解：∵xy＝3，
∴x、y同号，
∴原式＝x QUOTE xyx2+ xyx2+y QUOTE xyy2=x|x|xy+y|y|xy xyy2=x|x|xy+y|y|xy，
当x＞0，y＞0时，原式 QUOTE =xy+xy= =xy+xy=2 QUOTE 3 3；
当x＜0，y＜0时，原式 QUOTE （ QUOTE -wsp:rsidP="00B1707wsp:rsidP="00B1707wsp:rsidP="00B1707xy -wsp:rsidP="00B1707wsp:rsidP="00B1707wsp:rsidP="00B1707xy）＝﹣2 QUOTE 3 3．
∴原式＝±2 QUOTE 3 3．
【点评】此题比较复杂，解答此题时要注意x，y同正或同负两种情况讨论．
7．（2023•广安区校级模拟）已知 QUOTE 1a-1=2 1a-1=2，请先化简，再求代数式的值： QUOTE ．
【分析】先根据 QUOTE 1a-1= 1a-1=2求出a的值，再把原式进行化简，把a的值代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：∵ QUOTE 1a-1= 1a-1=2，
∴a QUOTE =32 =32，
经检验a QUOTE =32 =32是原方程的根，
原式 QUOTE
QUOTE =a-2a+1 =a-2a+1，
当a QUOTE =32 =32时，原式 QUOTE =32-232+1=-15 =32-232+1=-15．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此题时要注意将a的值代入原式进行验根．
8．（2023•崇义县模拟）一个四位正整数M，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位数字之和等于百位与个位数字之和均为9，则称M为“行知数”．此时，规定K（M） QUOTE =M99 =M99．例如，M＝1386，∵1+8＝3+6＝9，∴M＝1386是“行知数”，K（1386） QUOTE =138699= =138699=14；又如，M＝3562，∵3+6＝9≠5+2，∴M＝3562不是“行知数”．
（1）判断2475和4256是否是“行知数”，并说明理由；
（2）对于“行知数”M，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“行知数”M′．若 QUOTE 2K(M)+K(M')8 2K(M)+K(M')8是整数，且M的千位数字不小于十位数字，求满足条件的所有“行知数”M．
【分析】（1）利用“行知数”的定义即可进行判断；
（2）根据题意设“行知数”M的千位数字为x，百位数字为y，则十位数字为（9﹣x），个位数字为（9﹣y），即可得出M＝990x+99y+99，M′＝9900﹣990x﹣99y，推出K（M）＝10x+y+1，K（M′）＝100﹣10x﹣y，即可推出 QUOTE 2K(M)+K(M')8= 2K(M)+K(M')8=x+12 QUOTE +2x+y+68 +2x+y+68，然后根据题意可算出：4.5≤x＜9，1≤y＜9，且x≠y，再根据2x+y+6是8的倍数，算出x、y的值即可得出M的值．
【解答】解：（1）∵M＝2457，且2+7＝4+5＝9，
∴M＝2475是“行知数”，
∵M＝4256，且4+5＝9≠2+6，
∴M＝4256不是“行知数”；
（2）设“行知数”M的千位数字为x，百位数字为y，则十位数字为（9﹣x），个位数字为（9﹣y），
∴M＝1000x+100y+10（9﹣x）+9﹣y＝990x+99y+99，M′＝1000（9﹣x）+100（9﹣y）+10x+y＝9900﹣990x﹣99y，
∴K（M） QUOTE =990x+99y+9999= =990x+99y+9999=10x+y+1，K（M′） QUOTE =9900-990x-99y99= =9900-990x-99y99=100﹣10x﹣y，
∴2K（M）+K（M′）＝2（10x+y+1）+100﹣10x﹣y
＝10x+y+102，
∴ QUOTE 2K(M)+K(M')8=10x+y+1028=8x+96+2x+y+68= 2K(M)+K(M')8=10x+y+1028=8x+96+2x+y+68=x+12 QUOTE +2x+y+68 +2x+y+68，
∵ QUOTE 2K(M)+K(M')8 2K(M)+K(M')8是整数，
∴2x+y+6是8的倍数，
∵M的千位数字不小于十位数字，
∴x≥9﹣x，解得x≥4.5，
又∵M各个数位上的数字互不相等且均不为零，
∴4.5≤x＜9，1≤y＜9，且x≠y，
当x＝5时，2x+y+6＝16+y是8的倍数，此时y＝8，则M＝5841；
当x＝6时，2x+y+6＝18+y是8的倍数，此时y＝6，与x≠y冲突，不符合题意，舍去；
当x＝7时，2x+y+6＝20+y是8的倍数，此时y＝4，则M＝7425；
当x＝8时，2x+y+6＝22+y是8的倍数，此时y＝2，则M＝8217；
综上所述：M＝5841或7425或8217．
【点评】本题考查的是新定义题型，解题关键：一是理解“行知数”的定义，二是推出 QUOTE 2K(M)+K(M')8= 2K(M)+K(M')8=x+12 QUOTE +2x+y+68 +2x+y+68即2x+y+6是8的倍数．
1．下列运算正确的是（ ）
A．2a+b＝2abB．（﹣2x2）3＝﹣8x5
C． QUOTE 22?33=65 22?33=65D． QUOTE 27+33=4 27+33=4
【分析】根据合并同类项、积的乘方、二次根式的乘法、二次根式的混合运算等知识点逐项判断即可．
【解答】解：A．2a与b不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B． （﹣2x2）3＝﹣8x6，故B选项不符合题意；
C． QUOTE ，故C选项不符合题意；
D． QUOTE 27+33=33+33=433=4 27+33=33+33=433=4，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项、积的乘方、二次根式的乘法、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
2．已知多项式3mx2+3y﹣3﹣15x2+2中不含x2项，则m的值是（ ）
A．5B．﹣5C．3D．15
【分析】根据同类项的定义与多项式的定义进行解题即可．
【解答】解：3mx2+3y﹣3﹣15x2+2
＝（3mx2﹣15x2）+3y﹣（3﹣2）
＝（3m﹣15）x2+3y﹣1，
因为化简后不含x2项，则3m﹣15＝0，
解得m＝5，
故选：A．
【点评】本题考查合并同类项和多项式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3．如果三个连续整数n、n+1、n+2的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
【分析】根据题意，逐个判断出所给n的值，是否满足三个连续整数n、n+1、n+2的和等于它们的积，进而判断出哪个n的值不满足“和谐数组”条件即可．
【解答】解：∵n＝﹣1时，﹣1+（﹣1+1）+（﹣1+2）＝0，﹣1×（﹣1+1）×（﹣1+2）＝0，0＝0，
∴n＝﹣1满足“和谐数组”条件，
∴选项A不符合题意；
∵n＝﹣3时，﹣3+（﹣3+1）+（﹣3+2）＝﹣6，﹣3×（﹣3+1）×（﹣3+2）＝﹣6，﹣6＝﹣6，
∴n＝﹣3满足“和谐数组”条件，
∴选项B不符合题意；
∵n＝1时，1+（1+1）+（1+2）＝6，1×（1+1）×（1+2）＝6，6＝6，
∴n＝1满足“和谐数组”条件，
∴选项C不符合题意；
∵n＝3时，3+（3+1）+（3+2）＝12，3×（3+1）×（3+2）＝60，12≠60，
∴n＝3不满足“和谐数组”条件，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给n的值，是否满足三个连续整数n、n+1、n+2的和等于它们的积．
4．对于任何整数a，多项式（a+2）2﹣a2都能被整数 4或2 整除．
【分析】利用平方差公式分解因式，然后整理即可．
【解答】解：（a+2）2﹣a2，
＝（a+2+a）（a+2﹣a），
＝4（a+1），
所以多项式（a+2）2﹣a2都能被整数4或2整除．
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了整除的意义，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力，解题关键是通过分解因式写成一个常数和代数式积的形式．
5．若代数式 QUOTE 1x-3 1x-3有意义，则实数x的取值范围是 x＞3 ．
【分析】直接利用分式和二次根式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵代数式 QUOTE 1x-3 1x-3有意义，
∴x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】此题主要考查了分式及二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
6．将正整数按如图所示的位置顺序排列，我们称每一个阶段的最高点为“峰”，最低点为“谷”．例如，数字3的位置称为“峰1”，数字6的位置称为“谷1”，数字9的位置称为“峰2”，则“峰7”位置的数字为 39 ．
【分析】根据所给图形，发现“峰i”（i为正整数）上数字变化的规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
“峰1”位置的数为：3＝1×6﹣3；
“峰2”位置的数为：9＝2×6﹣3；
“峰3”位置的数为：15＝3×6﹣3；
…，
所以“峰i”位置的数为（6i﹣3）（i为正整数），
当i＝7时，
6i﹣3＝6×7﹣3＝39，
即“峰7”位置的数为39．
故答案为：39．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“峰i”位置上数字变化的规律是解题的关键．
7．已知 QUOTE 1m-1n=1 1m-1n=1，则分式 QUOTE 2m-mn-2nm+3mn-n 2m-mn-2nm+3mn-n的值为 QUOTE ． ．
【分析】将 QUOTE 1m-1n=1 1m-1n=1变形为m﹣n＝﹣mn，再将原式变形为 QUOTE 2(m-n)-mn(m-n)+3mn 2(m-n)-mn(m-n)+3mn，整体代入计算即可．
【解答】解：∵ QUOTE 1m-1n=1 1m-1n=1，
∴ QUOTE n-mmn=1 n-mmn=1，
∴n﹣m＝mn，
∴m﹣n＝﹣mn，
∴ QUOTE 2m-mn-2nm+3mn-n=2(m-n)-mn(m-n)+3mn=-2mn-mn-mn+3mn=-3mn2mn=-32 2m-mn-2nm+3mn-n=2(m-n)-mn(m-n)+3mn=-2mn-mn-mn+3mn=-3mn2mn=-32，
故答案为： QUOTE -wsp:rsidP="00DC5D8wsp:rsidP="00DC5D8wsp:rsidP="00DC5D832 -wsp:rsidP="00DC5D8wsp:rsidP="00DC5D8wsp:rsidP="00DC5D832．
【点评】本题考查了分式的值，将 QUOTE 1m-1n=1 1m-1n=1变形为m﹣n＝﹣mn，将 QUOTE 2m-mn-2nm+3mn-n 2m-mn-2nm+3mn-n变形为 QUOTE 2(m-n)-mn(m-n)+3mn 2(m-n)-mn(m-n)+3mn是正确解答的关键．
8．【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
【验证】（2+1）2﹣（2﹣1）2＝ 4×2 ；
【证明】设两个正整数为m，n，请验证“发现”中的结论正确；
【拓展】已知（x+y）2＝100，xy＝24，求（x﹣y）2的值．
【分析】【验证】根据有理数乘方的运算法则进行计算即可；
【证明】计算（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，则可得出结论；
【拓展】根据【证明】得（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，然后将（x+y）2＝100，xy＝24整体代入计算即可得出答案．
【解答】解：【验证】（2+1）2﹣（2﹣1）2＝32﹣12＝8＝4×2；
【证明】∵（m+n）2﹣（m﹣n）2
＝[（m+n）+（m﹣n）]•[（m+n）﹣（m﹣n）]
＝2m×2n
＝4mn，
∵m，n是正整数，
∴（m+n）2﹣（m﹣n）2是4的倍数
即两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数；
【拓展】根据【发现】得：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
又∵（x+y）2＝100，xy＝24，
∴100﹣（x﹣y）2＝4×24，
∵（x﹣y）2＝100﹣4×24＝4，
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解决问题的关键．
9．已知三角形的一条边长为a cm，第二条边比第一条短4cm，第三条边比第二条边的2倍短4cm．
（1）用含a的代数式表示这个三角形的周长；
（2）当a＝10时，判断该三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据题目，先表示出三角形的三条边，再求出三角形的周长；
（2）将a＝10代入三角形的三条边，根据勾股定理，判断出这个三角形是直角三角形．
【解答】解：（1）∵三角形的一条边长为（a）cm，第二条边比第一条短4cm，第三条边比第二条边的2倍短4cm，
∴第二条边为（a﹣4）cm，第三条边为：2（a﹣4）﹣4＝（2a﹣12）cm，
∴三角形的周长为：a+a﹣4+2a﹣12＝（4a﹣16）cm，
故三角形的周长为（4a﹣16）cm；
（2）当a＝10时，三角形的一条边长为10cm，
第二条边为：10﹣4＝6（cm），
第三条边为：2×10﹣12＝8（cm），
∴三角形的三条边分别为：10cm，6cm，8cm，
由勾股定理得：
62+82＝36+64＝100＝102，
∴这个三角形为直角三角形，
故当a＝10时，这个三角形为直角三角形．
【点评】本题考查的是整式的加减和列代数式，根据题意正确列出三角形的三条边和周长是解题的关键．
10．如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，……，第n个数记为an．
（1）根据这列数的规律，a8＝ 36 ，an＝ QUOTE n(n+1)2 n(n+1)2 ；
（2）这列数中有66这个数吗？如果有，求n；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据题意，可以得出规律：第n个数记为an＝1+2+3+4+⋯+n QUOTE =n(n+1)2 =n(n+1)2，再求a8即可；
（2）设66 QUOTE =n(n+1)2 =n(n+1)2，求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可知：
a1＝1；
a2＝1+2＝3；
a3＝1+2+3＝6；
a4＝1+2+3+4＝10；
⋯，
第n个数记为an＝1+2+3+4+⋯+n QUOTE =n(n+1)2 =n(n+1)2，
∴a8 QUOTE =8脳92= =8脳92=36；
故答案为：36； QUOTE n(n+1)2 n(n+1)2．
（2）设66 QUOTE =n(n+1)2 =n(n+1)2，
解得：n＝11，
∴这列数中有66这个数，n＝11．
【点评】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
方程与方程组
一元一次方程是初中数学的基础内容，因此中考中很可能出现与此相关的题目。命题可能会涉及方程的解法、应用题的建模以及方程解的实际意义等方面。
二元一次方程组也是中考数学的重要考点。命题可能会涉及方程组的解法、应用题的建模以及方程组解的实际意义等方面。
对于一元二次方程，其根的判别式以及根与系数的关系是中考数学的重要考点。命题可能会涉及判别式的计算、方程根的情况判断以及根与系数的关系应用等方面。
分式方程与无理方程是初中数学中较为复杂的方程类型，但也可能在中考中出现。命题可能会涉及方程的解法、方程的检验以及方程的实际应用等方面。
初中中考数学方程与方程组的命题预测主要围绕一元一次方程、二元一次方程组、方程的根的判别式与根与系数的关系以及分式方程与无理方程等方面进行。为了应对这些考点，学生需要熟练掌握各种方程的解法和应用题的建模方法，并理解方程解的实际意义。同时，还需要注意方程解的检验和方程的实际应用等方面的内容。

Ⅰ、一元一次方程
一、一元一次方程的概念
1.一元一次方程的定义：方程，，，这样，它们都只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次）的，像这样的方程，叫做一元一次方程.
这里的“元”指的是未知数，“一元”就是只有一个未知数的意思，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1.
2.一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且）.
3.一个方程须同时满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程.
二、根据实际问题列一元一次方程
1.根据实际问题列一元一次方程，即把文字语言叙述的问题转化为用数学语言表达的句子，关键是准确找出相等关系，在实际问题中，常用一些关键词表示问题中的数量关系，如“和、差、积、商、大、小、几分之几”等，解题时，要抓住这些关键词，然后找出等量关系.
2.列一元一次方程的步骤
（1）找出题中的等量关系，找出已知量与未知量；
（2）设未知数，用含未知数的代数式表示其他未知量；
（3）由题中的相等关系，列出一元一次方程（列方程时，须使得方程两边的单位统一）.
三、方程的解和解方程
1.方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
2.解方程：求方程的解得过程叫做解方程.
（1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程；
（2）方程的解是通过解方程求得的.
3.方程的解可能不止一个（如和都是方程的解），也有可能无解（如无解）.
4.检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解.
四、解方程
1.利用等式的性质解简单的一元一次方程步骤如下：
（1）利用等式的基本性质1，将方程左右两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），使方程逐步转化为一边只含有未知数的项，另一边只有常数项的形式；
（2）利用等式的基本性质2，将方程左右两边同时除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知数的系数化为1，从而求得方程的解.
（3）可将方程的解代入原方程进行检验，可判断解出来的值是否正确.
2.解一元一次方程
（1）解一元一次方程的基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为.
（2）解一元一次方程的步骤如下：
PS：解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号.
五、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
1.审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量；
2.设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量；
①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么；
②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数；
③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数.
3.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程；
4.解：解所列出的一元一次方程；
5.验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）；
6.答：写出答案，包括单位.
Ⅱ、二元一次方程
一、二元一次方程的概念
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1．像这样的方程叫做二元一次方程．
2.二元一次方程具备以下几个特点：①是整式方程；②含有两个未知数；③含有未知数的项次数都是1.
二、二元一次方程的解
1.一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解；
2.二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来如：；
3.一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
三、二元一次方程组的概念
1.二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；
2.二元一次方程组应同时满足的条件：
（1）方程组中每个方程都是整式方程；
（2）方程组中一共含有两个未知数；
（3）方程组中含有未知数的项的次数都是1.
3.二元一次方程组一共含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数，如也是二元一次方程组；一个方程组中的每个方程应该含有相同的未知数，如不是二元一次方程组.
四、二元一次方程组的解
1.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解；
2.判断一对数值是否为二元一次方程组的解
检验一对数值是否为二元一次方程组的解，必须将这对数值代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这对数值就是这个方程组的解；若不满足其中的任何一个方程，则这对数值就不是这个方程组的解；
3.一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个.
五、用代入消元法解二元一次方程组
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想；
2.代入消元法：通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．
（1）代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的；
（2）代入消元法的技巧是：
①直接代入：当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②变形代入：若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；
③整体代入：方程组中某一未知数的系数成倍数关系.
（3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．
六、用加减消元法解二元一次方程组
1.加减消元法： 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
七、常见的一些等量关系
1.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
2.产品配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，；
5.行程问题
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
6．存贷款问题
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.
月利率＝年利率× .
7.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
8．方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
八、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
注：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
Ⅲ、分式方程
一、分式方程的概念
1.分母中含有未知数的方程叫分式方程，如等这样的方程叫做分式方程.
2.分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程，这里的字母a不是未知数，所以不是分式方程.
3.分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
4.在判断一个方程是否为分式方程时，不能先约分再判断，如在约分前是分式方程，约分后就变成了整式方程.
5.分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
6.分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
二、分式方程的解法
1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
2.解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
3.解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.
（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根；
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
三、列分式方程解决问题
1.列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
2.分式方程解决问题的主要类型：
（1）利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润/进价×100%；
（2）工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间；
（3）行程问题：路程＝速度×时间.
Ⅳ、一元二次方程
一、一元二次方程的定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程.
二、一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项.
1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”；
2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数；
3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.
三、一元二次方程的根
能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）.
1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解）
①可能有两个不相等的实数根；
②可能有两个相等的实数根；
③可能没有实数根.
2.关于一元二次方程根的结论：
①若，则必有一个根，反之也成立；
②若，则必有一个根，反之也成立；
③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立.
Ⅴ、一元二次方程的解法
一、直接开方法解一元二次方程
根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法.
以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程：
1.形如x的一元二次方程：
当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根；
当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根；
当a＜0时，则方程无实数根.
2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是.
二、用配方法解一元二次方程
将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法.
1.对进行分类讨论：
（1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根；
（2）当m＝0时，则；
（3）当m＜0时，则方程无实数根.
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
3.配方法主要有以下几种应用：
①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小；
②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值；
③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）.
三、用公式法解一元二次方程
一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况：
①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根；
②当时，则，此时方程有两个相等的实数根；
③当时，此时方程没有实数根.
以上三点，反之也成立.
四、用因式分解法解一元二次方程
利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法.
1.因式分解法解一元二次方程的步骤：
①将方程等号的右边化为0；
②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
Ⅵ、一元二次方程根与系数的关系
一、一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：.
1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”；
2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即；
3.当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为.
二、一元二次方程根与系数的关系应用
1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；
2.求与两个根有关的代数式的值；
3.不解方程，判定根的符号.
除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
.
Ⅶ、用一元二次方程解决问题
一、列一元二次方程解决问题
用一元二次方程解决问题的步骤如下：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
二、一元二次方程解决问题的类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a；
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)；
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量).
3.利息问题与销售问题
（1）利息有关概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
（2）利息相关公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
（3）销售问题中的常用等量关系
利润＝售价－进价（成本）
总利润＝每件的利润×总件数
利润率＝ QUOTE ×100%
售价＝ QUOTE ×标价
进价×（1＋利润率）＝标价× QUOTE
1．（2023•连云港）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（ ）
A． QUOTE B． QUOTE 12
C．240（x﹣12）＝150xD．240x＝150（x+12）
【分析】由慢马先行12天，可得出快马追上慢马时慢马行了（x+12）天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，
∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天．
根据题意得：240x＝150（x+12）．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2023•广州）随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km/h，则下列方程正确的是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE
C． QUOTE D． QUOTE
【分析】根据动车提速前后速度间的关系，可得出动车提速前的平均速度为（x﹣60）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，且动车提速后的平均速度为x km/h，
∴动车提速前的平均速度为（x﹣60）km/h．
根据题意得： QUOTE ．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3．（2023•黑龙江）毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是（ ）
A．40B．30C．29D．39
【分析】设这个班级的学生总人数是x，则每一位同学需发送（x﹣1）条祝福短信，根据全班一共发送870条祝福短信，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设这个班级的学生总人数是x，则每一位同学需发送（x﹣1）条祝福短信，
根据题意得：x（x﹣1）＝870，
整理得：x2﹣x﹣870＝0，
解得：x1＝30，x2＝﹣29（不符合题意，舍去），
∴这个班级的学生总人数是30．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2023•宜宾）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE
C． QUOTE D． QUOTE
【分析】根据鸡有两条腿，兔子有四条腿，共有35个头，94条腿，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：由题意得： QUOTE ，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2023•绥化）已知一元二次方程x2+x＝5x+6的两根为x1与x2，则 QUOTE 的值为 ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝﹣6，再把原式变形得到 QUOTE ，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：一元二次方程x2+x＝5x+6整理得，
x2﹣4x﹣6＝0．
根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣6，
所以原式 QUOTE ．
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2 QUOTE ，x1•x2 QUOTE ．
6．（2023•朝阳）已知关于x，y的方程组 QUOTE 的解满足x﹣y＝4，则a的值为 ．
【分析】利用方程①﹣方程②，可得出x﹣y＝a+2，结合x﹣y＝4，可得出a+2＝4，解之即可得出a的值．
【解答】解： QUOTE ，
①﹣②得：x﹣y＝a+2，
又∵关于x，y的方程组 QUOTE 的解满足x﹣y＝4，
∴a+2＝4，
∴a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，根据二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，找出关于a的一元一次方程是解题的关键．
7．（2023•德阳）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m＝ ．
【分析】设九宫格中最中间的数为x，由于第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，建立方程16+4＝7+x，求得x，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍所以m＝3x．
【解答】解：设九宫格中最中间的数为x，
∵第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，
∴16+4＝7+x，
∴x＝13，
根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍，
∴m＝3x＝39，
故答案为：39．
【点评】本题考查了九宫格的知识，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等的规律，观察九宫格中数的排列特征建立方程是解决问题的关键．
8．（2023•重庆）若关于x的一元一次不等式组 QUOTE 至少有2个整数解，且关于y的分式方程 QUOTE 2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【分析】先解不等式组，根据至少有2个整数解求出a的取值范围，再解分式方程，根据解是非负整数，可求出满足条件的a的值，进一步求解即可．
【解答】解：解不等式组 QUOTE ，得 QUOTE ，
∵至少有2个整数解，
∴ QUOTE 4，
∴a≤6，
解分式方程 QUOTE 2，
得y QUOTE ，
∵y的值是非负整数，a≤6，
∴当a＝5时，y＝2，
当a＝3时，y＝1，
当a＝1时，y＝0，
∵y＝2是分式方程的增根，
∴a＝5（舍去），
∴满足条件的a的值有3和1，
∵3+1＝4，
∴所有满足条件的整数a的值之和是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键．
9．（2023•广西）解分式方程： QUOTE ．
【分析】将分式方程两边同乘x（x﹣1）转化为一元一次方程即可得出结论．
【解答】解： QUOTE ，
方程两边同乘x（x﹣1）得：2x＝x﹣1，
移项解得：x＝﹣1．
将x＝﹣1代入x（x﹣1）≠0，
∴x＝﹣1是原分式方程的解．
【点评】本题考查了分式方程的解法，其中确定最简公分母是解题关键．
10．（2023•乐山）解二元一次方程组： QUOTE ．
【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解： QUOTE ，
①×2得：2x﹣2y＝2③，
②+③得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①中得：2﹣y＝1，
解得：y＝1，
∴原方程组的解为： QUOTE ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
11．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
【分析】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；
（2）利用根与系数的关系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再将（2a+b）（a+2b）＝20变形可得2（a+b）2+ab＝20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a+b QUOTE 2m+1，ab QUOTE m2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1，
∴m的值为﹣2或1．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， QUOTE ， QUOTE ．
12．（2023•郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5，
解得：x＝25%，x QUOTE （不合题意舍去），
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，
由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），
解得：a≤0.1，
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
13．（2023•南京）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml/s；开水的温度为100℃，流速为15ml/s．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280ml温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
【分析】设该学生接温水的时间为x s，则接温水20x ml，开水（280﹣20x）ml，由物理常识的公式可得方程，解方程即可．
【解答】解：设该学生接温水的时间为x s，
根据题意可得：20x×（60﹣30）＝（280﹣20x）×（100﹣60），
解得x＝8，
∴20×8＝160（ml），
∵280﹣160＝120（ml），
∴120÷15＝8（s），
∴该学生接温水的时间为8s，接开水的时间为8s．
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．
14．（2023•深圳）某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【分析】（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元，根据购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元元列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设商场最多可以购置A玩具y个，根据B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元列出不等式，求出不等式的解即可得到结果．
【解答】解：（1）设每件A玩具的进价为x元，则每件B玩具的进价为（x+25）元，
根据题意得：2（x+25）+x＝200，
解得：x＝50，
可得x+25＝50+25＝75，
则每件A玩具的进价为50元，每件B玩具的进价为75元；
（2）设商场可以购置A玩具y个，
根据题意得：50y+75×2y≤20000，
解得：y≤100，
则最多可以购置A玩具100个．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题中的等量关系和不等关系是解本题的关键．
15．（2023•济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的 QUOTE ．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【分析】（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可；
（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，根据购买总费用不超过26万元且且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的 QUOTE ，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各购买方案，再由两种机床的单价之间的关系可找出购买方案总费用最少的方案及最少总费用．
【解答】解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据题意得 QUOTE ，解得x＝0.9，经检验x＝0.9是原方程的解，x+0.3＝1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；
（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，
根据题意，得： QUOTE ，
解得： QUOTE m QUOTE ．
∵m为整数，
∴m＝14，15，16．
∴该停车场有3种购买机床方案，方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩．
∵A型机床的单价低于B型机床的单价，
∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×9＝25.2（万元）．
【点评】本题考查了分式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
1．（2023•武山县一模）宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）做了一下试验．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放一块饼干和一颗糖果，右盘放10克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再度平衡（ ）
A．左盘上加2克砝码B．右盘上加2克砝码
C．左盘上加5克砝码D．右盘上加5克砝码
2．（2023•天门模拟）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A（﹣1，5），则B点的坐标是（ ）
A．（﹣6，4）B．（ QUOTE ）
C．（﹣6，5）D．（ QUOTE ）
3．（2024•滨州一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1
4．（2023•山丹县模拟）对于实数a、b，定义一种新运算“※”：a※b QUOTE ，这里等式右边是实数运算．例如：1※3 QUOTE ．则方程x※ QUOTE 的解是（ ）
A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7
5．（2023•虎林市校级三模）已知关于x的分式方程 QUOTE 的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5且m≠﹣3B．m≥5且m≠﹣3C．m≤5且m≠3D．m≥5且m≠3
6．（2023•丰润区二模）已知关于x的方程5x﹣2＝3x+16的解与方程4a+1＝4（x+a）﹣5a的解相同，则a＝ ；若[m]表示不大于m的最大整数，那么[ QUOTE 1]＝ ．
7．（2023•通州区模拟）运动会期间小穆为11位运动员买餐，下表是一家快餐店套餐的价格和优惠情况：
小穆想一共花费了256元，点11份盖饭，5份小菜，x杯饮料，小穆有 种点餐方式，饮料的杯数是 ．
8．（2023•沙坪坝区校级二模）若关于x的一元一次不等式组 QUOTE 的解集为x＞2，且关于y的分式方程 QUOTE 的解为非负整数，则所有满足条件的a的值之积为 ．
9．（2023•靖江市模拟）已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ ．
10．（2023•三穗县校级二模）下面是林林同学的解题过程：解方程 QUOTE 1．
解：去分母，得：2（2x+1）﹣x+2＝6第①步，
去括号，得：4x+2﹣x+2＝6第②步，
移项合并，得：3x＝2第③步，
系数化1，得：x QUOTE 第④步．
（1）上述林林的解题过程从第 步开始出现错误；
（2）请你帮林林写出正确的解题过程．
11．（2023•拱墅区校级三模）小明同学解方程 QUOTE 的步骤及具体过程如下：
解：第一步：方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2，
第二步：解得x＝4，
第三步：检验，当x＝4时，分母x﹣3＝4﹣3＝1≠0，
第四步：所以原分式方程的解为x＝4．
小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
12．（2023•安徽模拟）完成下面两个小题．
（1）计算：（ QUOTE ）1007 QUOTE ．
（2）已知x、y满足条件|x|+|y|≤1，求x2﹣xy+y2的最大值．
1．（2023•南安市校级模拟）如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（ ）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
2．（2023•虎林市校级三模）已知关于x的分式方程 QUOTE 的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5且m≠﹣3B．m≥5且m≠﹣3C．m≤5且m≠3D．m≥5且m≠3
3．（2024•湖州一模）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；
②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．（2024•渝中区校级模拟）若关于x的不等式组 QUOTE 的解集为x＞4，且关于x的分式方程 QUOTE 有整数解，则符合条件的所有整数a有 个．
5．（2023•威远县校级二模）已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝ ．
6．（2023•铜梁区校级一模）如果把一个奇数位的自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排列；与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于0），且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“绝对等差对称数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|＝|2﹣3＝|3﹣2＝|2﹣1|＝1，因此12321是一个“绝对等差对称数”，又如262，85258，…，都是“绝对等差对称数”，若一个“绝对等差对称数”t各个数位上的数字之和记为Q（t）．已知一个五位“绝对等差对称数”t能被4整除，且Q（t）﹣2也能被4整除，则t的个位数字是 ，t的最大值是 ．
7．（2023•开平市二模）已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
8．（2023•苏州模拟）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；
方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
9．（2023•石家庄模拟）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
10．（2023•隆昌市校级三模）阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程|x|＝4．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的解x＝±4；
例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x＝﹣2．
例3：解不等式|x﹣1|＞3．
在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|＝5的解为 ；
（2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解为 ；
（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围．
1．我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE
C． QUOTE D． QUOTE
2．金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元，设每棵松树苗x元，每棵梭梭树苗y元，则列出的方程组正确的是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE
C． QUOTE D． QUOTE
3．已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则 QUOTE 的值为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
4．已知关于x，y的方程组 QUOTE 的解满足x﹣y＝4，则a的值为 ．
5．若关于x的方程 QUOTE 无解，则m＝ ．
6．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，且α2+β2＝17，则m的值是 ．
7．某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金．
8．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
9．今年春节期间第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价；
（2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润．
10．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．
（1）判断原点在第几部分，说明理由；
（2）若A，B之间的距离为3，B，C之间的距离为5，b＝﹣2，求a和c；
（3）若点A表示数﹣4，数轴上一点D表示的数为d，当点A、原点、点D这三点中其中一点到另外两点的距离相等时，直接写出d的值．
1．（2023•武山县一模）宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）做了一下试验．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放一块饼干和一颗糖果，右盘放10克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再度平衡（ ）
A．左盘上加2克砝码B．右盘上加2克砝码
C．左盘上加5克砝码D．右盘上加5克砝码
【分析】根据第一个等式，可得1饼干与糖果的关系，根据第二个等式，可得1糖果的质量，1饼干的质量，再根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：①2饼干＝3糖果，
1饼干＝1.5糖果，
②1饼干+1糖果＝10砝码，
把1饼干＝1.5糖果代入，得
1.5糖果+1糖果＝10砝码，
1糖果＝4砝码，
1饼干＝1.5糖果＝1.5×4＝6砝码，
4砝码+2砝码＝6砝码，
∴1糖果+2砝码＝1饼干，
故选：A．
【点评】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质，先分别求出1饼干1糖果的质量，再根据等式的性质，可得答案．
2．（2023•天门模拟）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A（﹣1，5），则B点的坐标是（ ）
A．（﹣6，4）B．（ QUOTE ）
C．（﹣6，5）D．（ QUOTE ）
【分析】本题结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看：长方形的两个宽+一长＝|yA|；从水平方向看，两个长方形的长﹣一个长方形的长﹣一个长方形的宽＝|xA|，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点B，|xB|＝两个长方形的长，|yB|＝一个长方形的长+一个长方形的宽，从而求出点B的坐标．
【解答】解：设长方形的长为x，宽为y，
则 QUOTE ，
解得 QUOTE ，
则|xB|＝2x QUOTE ，|yB|＝x+y QUOTE ；
∵点B在第二象限，
∴B（ QUOTE ， QUOTE ），
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用，体现了数形结合思想，方程建模思想，并考查了学生的计算能力，观察能力．而解出长方形的长与宽之后，学生容易忘记从代数问题回归到几何问题，考虑第二象限坐标的正负性问题，是本题的易错点．
3．（2024•滨州一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
4．（2023•山丹县模拟）对于实数a、b，定义一种新运算“※”：a※b QUOTE ，这里等式右边是实数运算．例如：1※3 QUOTE ．则方程x※ QUOTE 的解是（ ）
A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7
【分析】根据定义的新运算可得： QUOTE 2，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
【解答】解：∵x※ QUOTE ，
∴ QUOTE 2，
∴ QUOTE 2，
1＝5﹣2（x﹣4），
解得：x＝6，
检验：当x＝6时，x﹣4≠0，
∴x＝6是原方程的根，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的运算，解分式方程，理解定义的新运算是解题的关键．
5．（2023•虎林市校级三模）已知关于x的分式方程 QUOTE 的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5且m≠﹣3B．m≥5且m≠﹣3C．m≤5且m≠3D．m≥5且m≠3
【分析】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可．
【解答】解：原分式方程可化为： QUOTE 2 QUOTE ，
去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2，
解得x QUOTE ，
∵分式方程解是非负数，
∴ QUOTE 0，且 QUOTE 1，
∴m的取值范围是：m≤5且m≠3，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含m的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，x﹣1≠0，列不等式组是解题关键．
6．（2023•丰润区二模）已知关于x的方程5x﹣2＝3x+16的解与方程4a+1＝4（x+a）﹣5a的解相同，则a＝ 7 ；若[m]表示不大于m的最大整数，那么[ QUOTE 1]＝ 2 ．
【分析】先解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，将x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，求出a的值，代入a的值进而可得结果．
【解答】解：解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，
将x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，
得a＝7，
所以 QUOTE ．
故答案为：7；2．
【点评】本题考查了同解方程，本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
7．（2023•通州区模拟）运动会期间小穆为11位运动员买餐，下表是一家快餐店套餐的价格和优惠情况：
小穆想一共花费了256元，点11份盖饭，5份小菜，x杯饮料，小穆有 两 种点餐方式，饮料的杯数是 5或8 ．
【分析】依据题意，由题意点了5份小菜，可得C餐点了5份，从而B餐共（x﹣5）份，A餐（11﹣x）份，再分类进行讨论即可求解．
【解答】解：由题意，∵只有C餐含小菜，
∴C餐点了5份．
又∵有x份饮料，
∴B餐点了（x﹣5）份．
∴A餐点了（11﹣x）份．
当满150优惠时：32×5+28（x﹣5）+（11﹣x）20﹣24＝256，
解得：x＝5．
∴A餐6份，C餐5份．
当满300优惠时：32×5+28（x﹣5）+（11﹣x）20﹣48＝256，
解得：x＝8．
∴A餐3份，B餐3份，C餐5份．
综上所述，小穆有：A餐6份，C餐5份或A餐3份，B餐3份，C餐5份共两种点餐方式，饮料杯数为5或8杯．
故答案为：两；5或8．
【点评】本题考查了一次方程的应用，列代数式，根据各数量之间的关系，正确列出一共的花费是解题的关键．
8．（2023•沙坪坝区校级二模）若关于x的一元一次不等式组 QUOTE 的解集为x＞2，且关于y的分式方程 QUOTE 的解为非负整数，则所有满足条件的a的值之积为 35 ．
【分析】由关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2可得a＜7，关于y的分式方程 QUOTE 的解为y QUOTE ，根据已知可得a≥﹣5，由于分式方程有可能产生增根，所以a≠3，综上，a的取值范围为﹣5≤a≤7且a≠3，可得a的值，所有满足条件的整数a的值之积可求．
【解答】解： QUOTE ，
解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≥a﹣5，
∵关于x的一元一次不等式组 QUOTE 的解集为x＞2，
∴a﹣5≤2，
∴a≤7，
QUOTE ，
去分母得：5y﹣a＝﹣2（y﹣2）+3y+1，
5y﹣a＝﹣2y+4+3y+1，
∴y QUOTE 0，
∴a≥﹣5，
∴﹣5≤a≤7，
∵y≠2，
∴ QUOTE 2，
∴a≠3，
∵关于y的分式方程 QUOTE 的解为非负整数，
∴5+a＝0或5+a＝4或5+a＝8或5+a＝12，
∴a＝﹣5或﹣1或7，
∴所有满足条件的整数a的值之积为：﹣1×（﹣5）×7＝35．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，方程的整数解，注意分式方程有可能产生增根是解题的关键．
9．（2023•靖江市模拟）已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ 6 QUOTE ．
【分析】本题先将W转化为2xy+2，把已知方程x2﹣xy+y2＝2，化成x2+y2＝xy+2，xy＝x2+y2﹣2，根据配方法的应用，确定其最大值和最小值，从而得到M，m的大小即可得解．
【解答】解：∵x2﹣xy+y2＝2，
∴x2+y2＝xy+2，xy＝x2+y2﹣2，
∴W＝x2+xy+y2＝2xy+2，
∵3xy＝2xy+（x2+y2﹣2）＝（x+y）2﹣2≥﹣2，当且仅当x＝﹣y，即x QUOTE ，y QUOTE 或x QUOTE ，y QUOTE 时等号成立．
∴xy的最小值为 QUOTE ，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最小值为 QUOTE ，即m QUOTE ．
∵xy＝2xy﹣（x2+y2﹣2）＝2﹣（x﹣y）2≤2，当且仅当x＝y，即x QUOTE ，y QUOTE 或x QUOTE ，y QUOTE 时等号成立．
∴xy的最大值为2，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最大值为6，即M＝6，
∴M+m QUOTE 6＝6 QUOTE ．
故答案为：6 QUOTE ．
【点评】本题考查了配方法的应用，关键是将W转化为2xy+2，再确定xy的最值．
10．（2023•三穗县校级二模）下面是林林同学的解题过程：解方程 QUOTE 1．
解：去分母，得：2（2x+1）﹣x+2＝6第①步，
去括号，得：4x+2﹣x+2＝6第②步，
移项合并，得：3x＝2第③步，
系数化1，得：x QUOTE 第④步．
（1）上述林林的解题过程从第 ① 步开始出现错误；
（2）请你帮林林写出正确的解题过程．
【分析】（1）利用等式的基本性质，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：上述林林的解题过程从第①步开始出现错误，
故答案为：①；
（2） QUOTE ，
去分母得：2（2x+1）﹣（x+2）＝6，
去括号得：4x+2﹣x﹣2＝6，
移项合并得：3x＝6，
解得：x＝2．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
11．（2023•拱墅区校级三模）小明同学解方程 QUOTE 的步骤及具体过程如下：
解：第一步：方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2，
第二步：解得x＝4，
第三步：检验，当x＝4时，分母x﹣3＝4﹣3＝1≠0，
第四步：所以原分式方程的解为x＝4．
小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：小明的解答有错误，正确的解答过程如下：
QUOTE ，
方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3）．
解得：x＝4．
检验：当x＝4时，x﹣3≠0，
∴x＝4是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，一定要注意解分式方程必须检验．
12．（2023•安徽模拟）完成下面两个小题．
（1）计算：（ QUOTE ）1007 QUOTE ．
（2）已知x、y满足条件|x|+|y|≤1，求x2﹣xy+y2的最大值．
【分析】（1）依据题意，将被开方数提取公因式后计算即可得解；
（2）依据题意，x2﹣xy+y2 QUOTE （x+y）2 QUOTE （x﹣y）2，再结合|x+y|≤|x|+|y|≤1，|x﹣y|≤|x|+|y|≤1，从而可以得解．
【解答】解：（1）原式 QUOTE
QUOTE
QUOTE
＝1．
（2）由题意得，x2﹣xy+y2 QUOTE （x+y）2 QUOTE （x﹣y）2．
又∵|x+y|≤|x|+|y|≤1，|x﹣y|≤|x|+|y|≤1，
∴（x+y）2+≤1，（x﹣y）2≤1．
∴x2﹣xy+y2 QUOTE （x+y）2 QUOTE （x﹣y）2. QUOTE 1，当且仅当x，y中有一个为0，另一个为1时，等号成立．
∴x2﹣xy+y2的最大值为1．
【点评】本题主要考查了配方法的应用及实数的运算，解题时要熟练掌握并灵活运用．
1．（2023•南安市校级模拟）如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（ ）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
【分析】M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，则得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：ac QUOTE b2，即可求解．
【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴∠ADM＝∠AEM，MD＝ME QUOTE DE QUOTE b，
∴∠BDM＝∠MEC＝90° QUOTE ∠BAC，
∴∠BMC＝90° QUOTE ∠BAC，
∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，
∵M是△ABC的内角平分线的交点，
∴△DBM∽△MBC，
同理可得出：△BMC∽△MEC，
∴△DBM∽△EMC，
∴ QUOTE ，
∴BD•EC＝MD•ME，
即：ac QUOTE b2，
即Δ＝b2﹣4ac＝0，
故选：A．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC是解题关键．
2．（2023•虎林市校级三模）已知关于x的分式方程 QUOTE 的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5且m≠﹣3B．m≥5且m≠﹣3C．m≤5且m≠3D．m≥5且m≠3
【分析】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可．
【解答】解：原分式方程可化为： QUOTE 2 QUOTE ，
去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2，
解得x QUOTE ，
∵分式方程解是非负数，
∴ QUOTE 0，且 QUOTE 1，
∴m的取值范围是：m≤5且m≠3，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含m的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，x﹣1≠0，列不等式组是解题关键．
3．（2024•湖州一模）对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述：
①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根；
②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根；
③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根；
④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的判别式为Δ＝b2﹣4ac，若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程无实数根，据此逐一判断即可．
【解答】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0，
此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故①错误；
②∵b+c＞0，b﹣c＜0，
∴b＜0，c＞0，
∵a＜0，
∴﹣4ac＞0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1时，满足a＞0，a+b+c＜0，
此时Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
故③错误；
④∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣4a，c＝4a，
∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根，
故④错误；
综上，正确的是②，
故选：B．
【点评】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．
4．（2024•渝中区校级模拟）若关于x的不等式组 QUOTE 的解集为x＞4，且关于x的分式方程 QUOTE 有整数解，则符合条件的所有整数a有 4 个．
【分析】根据题意先将一元一次不等式组解开，利用x＞4求出a≤4，在解分式方程得出x≠2， QUOTE ，继而得到本题答案．
【解答】解：∵ QUOTE ，
整理得： QUOTE ，
∵x的不等式组 QUOTE 的解集为x＞4，
∴a≤4，
∵ QUOTE ，
等式两边同时乘以（2﹣x）得：1﹣ax﹣3＝2﹣x，
整理得： QUOTE ，
∵关于x的分式方程 QUOTE 有整数解，
∴2﹣x≠0，即x≠2，
又∵a≤4，
∴当a＝3时， QUOTE ，
当a＝2时， QUOTE ，
当a＝0时， QUOTE ，
当a＝﹣1时， QUOTE （舍去），
当a＝﹣3时， QUOTE ，
∴符合条件的所有整数a有：﹣3，0，2，3，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
5．（2023•威远县校级二模）已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝ 16 ．
【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，
∴m2+3m＝1，n2+3n＝1，
（m2+3m+3）（n2+3n+3）
（1+3）（1+3）
＝4×4
＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2 QUOTE ，x1•x2 QUOTE ，也考查了一元二次方程的解．
6．（2023•铜梁区校级一模）如果把一个奇数位的自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排列；与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于0），且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“绝对等差对称数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|＝|2﹣3＝|3﹣2＝|2﹣1|＝1，因此12321是一个“绝对等差对称数”，又如262，85258，…，都是“绝对等差对称数”，若一个“绝对等差对称数”t各个数位上的数字之和记为Q（t）．已知一个五位“绝对等差对称数”t能被4整除，且Q（t）﹣2也能被4整除，则t的个位数字是 2或6 ，t的最大值是 67876 ．
【分析】设某五位阶梯数为a（a+k）（a+2k）（a+k）a，根据 QUOTE ，可得2k﹣a是4的倍数，根据M＝3a+2k，N＝2A+2K，可得Q（t）＝M+N＝5a+4k，则 QUOTE ，可得a﹣2是4的倍数，根据完全平方数的定义得到a＝2，6，再分两种情况求得t的值，进一步得到该五位“阶梯数”t的最大值．
【解答】解：设某五位阶梯数为 a（a+k）（a+2k）（a+k）a，
∵ QUOTE QUOTE ，
∴2k﹣a 是4的倍数，
∵M＝3a+2k，N＝2A+2K，
∴Q（t）＝M+N＝5a+4k，
∴ QUOTE ，
∴a﹣2是4的倍数，
∵1≤a≤9，
∴﹣1≤a﹣2≤7，
∴a﹣2＝0，4，
∴a＝2，6，
当a＝2时， QUOTE 为整数且0≤2+2k≤9，
∴ QUOTE ，
∴k＝±1，3，
∴t＝21012，23432，25852；
当a＝6时， QUOTE 为整数且0≤6+2k≤9，
∴ QUOTE ，
∴k＝±1，﹣3，
∴t＝63036，65456，67876，
∴t的个位数字是2或6，该五位“阶梯数”t的最大值是67876．
故答案为：2或6，67876．
【点评】本题考查了完全平方数，解题的关键是弄清楚“阶梯数”的定义，从而写出符合题意的数．
7．（2023•开平市二模）已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）计算方程的根的判别式，若Δ＝b2﹣4ac≥0，则证明方程总有实数根；
（2）已知a＝6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（3k﹣2）2﹣4•（﹣6k）＝9k2﹣12k+4+24k＝9k2+12k+4＝（3k+2）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：①若a＝6为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0．
∴（3k+2）2＝0，解得：k QUOTE ．
此时原方程化为x2﹣4x+4＝0
∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a＝6为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝6
代入方程：62+6（3k﹣2）﹣6k＝0
∴k＝﹣2
则原方程化为x2﹣8x+12＝0
（x﹣2）（x﹣6）＝0
∴x1＝2，x2＝6
即b＝6，c＝2
此时△ABC三边为6，6，2能构成三角形，
综上所述：△ABC三边为6，6，2．
∴周长为6+6+2＝14．
【点评】重点考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
8．（2023•苏州模拟）某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；
方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
【分析】设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需（x+5）天．根据方案C，可列方程得 QUOTE 1，解方程即可解决问题；
【解答】解：设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需（x+5）天．
根据方案C，可列方程得 QUOTE 1，
解这个方程得x＝20，
经检验：x＝20是所列方程的根．
即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天．
所以 A方案的工程款为1.5×20＝30（万元），
B方案的工程款为1.1×25＝27.5（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选．
C方案的工程款为1.5×4+1.1×4+1.1×16＝28（万元），
所以选择C方案．
【点评】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．解题的关键是熟练掌握路程＝速度×时间的关系，正确寻找等量关系构建方程解决问题．
9．（2023•石家庄模拟）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，新工人每月分别安装y辆电动汽车，根据安装8辆电动汽车和安装14辆电动汽车两个等量关系列出方程组，然后求解即可；
（2）设调熟练工m人，根据一年的安装任务列出方程整理用m表示出n，然后根据人数m是整数讨论求解即可．
【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，新工人每月分别安装y辆电动汽车，
根据题意得 QUOTE ，
解之得 QUOTE ．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；
（2）设调熟练工m人，
由题意得，12（4m+2n）＝240，
整理得，n＝10﹣2m，
∵0＜n＜10，
∴当m＝1，2，3，4时，n＝8，6，4，2，
即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解二元一次方程组，（1）理清题目数量关系列出方程组是解题的关键，（2）用一个未知数表示出另一个未知数，是解题的关键，难点在于考虑人数是整数．
10．（2023•隆昌市校级三模）阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程|x|＝4．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的解x＝±4；
例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x＝﹣2．
例3：解不等式|x﹣1|＞3．
在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|＝5的解为 x＝2或x＝﹣8 ；
（2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解为 x＝﹣2或x＝2018 ；
（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围．
【分析】（1）根据例1的方法，求出方程的解即可；
（2）根据例2的方法，求出方程的解即可；
（3）根据例3的方法，求出x的范围即可．
【解答】解：（1）方程|x+3|＝5的解为x＝2或x＝﹣8；
故答案为：x＝2或x＝﹣8；
（2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解为x＝﹣2或x＝2018；
故答案为：x＝﹣2或x＝2018；
（3）∵|x+4|+|x﹣3|表示的几何意义是在数轴上分别与﹣4和3的点的距离之和，
而﹣4与3之间的距离为7，当x在﹣4和3时之间，不存在x，使|x+4|+|x﹣3|≥11成立，
当x在3的右边时，如图所示，易知当x≥5时，满足|x+4|+|x﹣3|≥11，
当x在﹣4的左边时，如图所示，易知当x≤﹣6时，满足|x+4|+|x﹣3|≥11，
所以x的取值范围是x≥5或x≤﹣6．
【点评】此题考查了含绝对值的一元一次方程，弄清题意是解本题的关键．
1．我国明代著名数学家程大位的《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE
C． QUOTE D． QUOTE
【分析】设杆子为x托，则索为（x+5）尺，根据“折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x一元一次方程．
【解答】解：设杆子为x托，则索为（x+5）尺，
根据题意得： QUOTE （x+5）＝x﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
2．金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元，设每棵松树苗x元，每棵梭梭树苗y元，则列出的方程组正确的是（ ）
A． QUOTE B． QUOTE
C． QUOTE D． QUOTE
【分析】根据“购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵购买4棵松树苗和3棵梭梭树苗需要180元，
∴4x+3y＝180；
∵购买1棵梭梭树苗比1棵松树苗少花费10元，
∴x﹣y＝10．
∴所列方程组为 QUOTE ．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则 QUOTE 的值为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
【分析】先根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，再利用通分得到 QUOTE ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，
所以 QUOTE ．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2 QUOTE ，x1x2 QUOTE ．
4．已知关于x，y的方程组 QUOTE 的解满足x﹣y＝4，则a的值为 2 ．
【分析】利用方程①﹣方程②，可得出x﹣y＝a+2，结合x﹣y＝4，可得出a+2＝4，解之即可得出a的值．
【解答】解： QUOTE ，
①﹣②得：x﹣y＝a+2，
又∵关于x，y的方程组 QUOTE 的解满足x﹣y＝4，
∴a+2＝4，
∴a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，根据二元一次方程组的解满足x﹣y＝4，找出关于a的一元一次方程是解题的关键．
5．若关于x的方程 QUOTE 无解，则m＝ 3或﹣3或9 ．
【分析】根据分式方程无解，得分母为0或x的系数为0即可求解．
【解答】解：分式方程化简，得
3（x﹣1）+6x＝m（x+1）
整理，得
（9﹣m）x＝3+m
当x＝0时，m＝﹣3；
当x＝1时，m＝3；
当9﹣m＝0时，m＝9．
故答案为：3或﹣3或9．
【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是分式方程化为整式方程后x的系数为0时，原分式方程也无解．
6．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，且α2+β2＝17，则m的值是 ﹣4 ．
【分析】由根与系数的关系可得出α+β＝3，αβ＝m，将其代入α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ中可得出9﹣2m＝17，解得m＝﹣4．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个实数根，
∴Δ＝9﹣4m≥0，
∴m QUOTE ，
∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，
∴α+β＝3，αβ＝m，
∵α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝17，
∴9﹣2m＝17，
∴m＝﹣4，
故答案为﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2 QUOTE ，x1x2 QUOTE ．
7．某校组织初二年级380名学生到广东南路革命化州纪念馆研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．
（1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
（2）若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满：
①请你设计出所有的租车方案；
②若小客车每辆租金200元，大客车每辆租金300元．请选出最省钱的租车方案、并求出最少租金．
【分析】（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据“用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生130人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①根据一次运送学生380名，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为整数，即可得出各租车方案；
②利用总租金＝每辆车的租金×租车辆数，可分别求出3个租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，
依题意得： QUOTE ，
解得： QUOTE ．
答：每辆小客车能坐30名学生，每辆大客车能坐40名学生．
（2）①依题意得：30m+40n＝380，
∴n QUOTE ．
又∵m，n均为整数，
∴ QUOTE 或 QUOTE 或 QUOTE ，
∴共有3种租车方案，
方案1：租小客车2辆，大客车8辆；
方案2：租小客车6辆，大客车5辆；
方案3：租小客车10辆，大客车2辆．
②方案1所需租金为200×2+300×8＝2800（元）；
方案2所需租金为200×6+300×5＝2700（元）；
方案3所需租金为200×10+300×2＝2600（元）．
∵2800＞2700＞2600，
∴最省钱的租车方案是方案3租小客车10辆，大客车2辆，最少租金为2600元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出二元一次方程；②利用总租金＝每辆车的租金×租车辆数，分别求出3个租车方案所需费用．
8．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2021年投入资金金额＝2019年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%；
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y QUOTE ，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
9．今年春节期间第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价；
（2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润．
【分析】（1）设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为（1+20%）x元，利用数量＝总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价，可求出两次购进“冰墩墩”玩具的数量，再利用总利润＝销售单价×两次购进“冰墩墩”玩具的数量之和﹣两次购进“冰墩墩”玩具的总价，即可求出结论．
【解答】解：（1）设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为（1+20%）x元，
依题意得： QUOTE ，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元．
（2）第一次购进的“冰墩墩”玩具的数量为3000÷50＝60（件），
第二次购进的“冰墩墩”玩具的数量为3000÷[50×（1+20%）]＝50（件）．
70×（60+50）﹣3000﹣3000
＝70×110﹣3000﹣3000
＝7700﹣3000﹣3000
＝1700（元）．
答：两次的总利润为1700元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知bc＜0．
（1）判断原点在第几部分，说明理由；
（2）若A，B之间的距离为3，B，C之间的距离为5，b＝﹣2，求a和c；
（3）若点A表示数﹣4，数轴上一点D表示的数为d，当点A、原点、点D这三点中其中一点到另外两点的距离相等时，直接写出d的值．
【分析】（1）由bc＜0，可得b，c异号，从而可得原点的位置；
（2）直接利用数轴上两点之间的距离进行解得即可；
（3）先表示AD，OD，AO，再分三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）原点在第③部分，理由如下：
∵bc＜0，
∴b，c异号，
∴原点在第③部分；
（2）∵A，B之间的距离为3，b＝﹣2，
∴a＝﹣2﹣3＝﹣5，
∵B，C之间的距离为5，b＝﹣2，
∴c＝﹣2+5＝3；
（3）∵点A、原点、点D这三点中其中一点到另外两点的距离相等时，点A表示数﹣4，数轴上一点D表示的数为d，
∴AO＝0﹣（﹣4）＝0+4＝4，AD＝|d﹣（﹣4）|＝|d+4|，OD＝|d|，
当AD＝OD，则|d+4|＝|d|，
∴d+4＝﹣d，
解得：d＝﹣2，
当AD＝AO时，则|d+4|＝4，
∴d+4＝4或d+4＝﹣4，
解得：d＝0或d＝﹣8，
当OD＝OA时，|d|＝4，
解得：d＝±4，
∴d的值为：﹣8或±4或，0，﹣2．
【点评】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，一元一次方程的应用，熟练的利用绝对值的含义建立方程求解是解本题的关键．
不等式与不等式组
不等式与不等式组在初中数学中是一个重要的知识点，它涉及到数学的基础概念和运算技巧。
基础概念与性质：命题可能涉及不等式的定义、性质（如传递性、加法性质、乘法性质等）以及不等式的解集表示方法。
一元一次不等式的解法：可能涉及不等式解集在数轴上的表示，以及解集与不等式系数的关系。
一元一次不等式组的解法： 可能涉及不等式组解集在数轴上的表示，以及不等式组解集与单个不等式解集的关系。
不等式的应用：命题可能涉及不等式在实际问题中的应用，如最优化问题、比较大小问题等。可能要求根据实际问题建立不等式或不等式组，并求解得到实际问题的答案。
综合题型：命题可能将不等式与不等式组与其他知识点结合，形成综合题型，如与方程、函数、几何等知识点结合。
在备考过程中，建议学生加强对不等式与不等式组基础概念和性质的理解，掌握一元一次不等式和不等式组的解法，并注重实际应用和综合题型的练习。同时，也要注意培养自己的思维能力和解题技巧，以便更好地应对各种命题形式。

Ⅰ、生活中的不等式
一、不等式的概念
1.不等式：用不等号表示不等关系的式子叫作不等式.
2.常用不等号如下：
3.常见的不等式基本语言与符号表示
（1）不等号具有方向性，不等号两边的式子不能随意变换；
（2）不等式中可以含有未知数，也可以不含未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等式所表示的大小关系，不等式成立；否则，不等式不成立.
二、列不等式
1.列不等式就是用不等式表示不等关系.
2.列不等式的基本步骤：
（1）审题，找出题目中包含的数量间的大小关系；
（2）将题目中的不同数量用代数式表示出来；
（3）用不等号以及运算符号连接所列的代数式，列出不等式.
Ⅱ、不等式的解集
一、不等式的解
1.能使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.
不等式的解可以有多个，指在某一特定范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式一定成立.
2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
3.解不等式：求不等式解集的过程叫作解不等式.
二、在数轴上表示不等式的解集
数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此我们可以借助数轴将不等式的解集直观地表示出来.
通过数轴表示不等式的解集有以下四种情况：
在数轴上表示不等式的解集时，要注意两点：
（1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈；
（2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画.
Ⅲ、不等式的基本性质
一、不等式的基本性质1
不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；即如果a＞b，那么a＋c＞b＋c或a－c＞b－c；如果a＜b，那么a＋c＜b＋c或a－c＜b－c.
二、不等式的性质2
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b且c＞0，那么ac＞bc或，如果a＞b且c＜0，那么ac＜bc或.
Ⅳ、解一元一次不等式
一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，叫作一元一次不等式.
1.一元一次不等式满足的条件：
（1）左右两边都是整式(单项式或多项式)；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数为1．
2.一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
二、一元一次不等式的解法
1.与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x＜a（x≤a）或x＞a（x≥a）的形式.
2.解一元一次不等式的一般步骤为：
（1）去分母，依据：不等式的基本性质2；
（2）去括号，依据：去括号法则；
（3）移项，依据：不等式的基本性质1；
（4）合并同类项，依据：合并同类项法则；
（5）将未知数的系数化为1，依据：不等式的基本性质2.
PS：在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用.
3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
Ⅴ、用一元一次不等式解决问题
1.列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（4）解：解所列的不等式；
（5）答：检验求得的解或解集是否符合题意，并写出答案．
2.常见的一些等量关系
（1）行程问题：路程＝速度×时间；
（2）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
（3）利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，；
（4）和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率；
（5）本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率；
（6）多位数的表示方法：例如：.
3.用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．
Ⅵ、一元一次不等式组
一、一元一次不等式组
1.把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组；
2.一元一次不等式组满足的条件：①不等式组中所有不等式都是一元一次不等式；②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数；③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上.
二、一元一次不等式组的解集
1.不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集；
2.利用数轴确定一元一次不等式组的解集的步骤：
（1）将组成不等式组的一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确地表示出来；
（2）确定数轴上解集的公共部分，公共部分就是此不等式组的解集，若没有公共部分，则不等式组无解.
3.一元一次不等式组的解集共有如下四种情况：
Ps：当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变.
三、解一元一次不等式组
1.解不等式组：解不等式组就是求它的解集.
2.解一元一次不等式组的方法步骤：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．
1．（2023•北京）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣1＜﹣a＜a＜1B．﹣a＜﹣1＜1＜aC．﹣a＜﹣1＜a＜1D．﹣1＜﹣a＜1＜a
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a﹣1＞0，
∴a＞1，
∴﹣a＜﹣1，
∴﹣a＜﹣1＜1＜a，
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
2．（2023•安徽）在数轴上表示不等式 QUOTE 0的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解： QUOTE 0，
x﹣1＜0，
x＜1，
在数轴上表示为，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．
3．（2023•郴州）一元一次不等式组 QUOTE 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3，
解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（2023•眉山）关于x的不等式组 QUOTE 的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4B．﹣5＜m≤﹣4C．﹣4≤m＜﹣3D．﹣4＜m≤﹣3
【分析】先解不等式组，再根据仅有4个整数解得出m的不等式组，再求解．
【解答】解：解不等式组得：m+3＜x＜3，
由题意得：﹣2≤m+3＜﹣1，
解得：﹣5≤m＜﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
5．（2023•日照）若点M（m+3，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围是 ．
【分析】根据第四象限点的坐标特征（+，﹣）可得 QUOTE ，然后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：∵点M（m+3，m﹣1）在第四象限，
∴ QUOTE ，
解不等式①得：m＞﹣3，
解不等式②得：m＜1，
∴原不等式组的解集为：﹣3＜m＜1，
故答案为：﹣3＜m＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
6．（2023•广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 折．
【分析】利润率不能少于10%，意思是利润率大于或等于10%，相应的关系式为：（打折后的销售价﹣进价）÷进价≥10%，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设这种商品可以按x折销售，
则售价为5×0.1x，那么利润为5×0.1x﹣4，
所以相应的关系式为5×0.1x﹣4≥4×10%，
解得：x≥8.8．
答：该商品最多可以打8.8折，
故答案为：8.8．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“≥”；利润率是利润与进价的比值．
7．（2023•湖北）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
（1）求两种型号垃圾桶的单价；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
【分析】（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元，列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15000元，列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得： QUOTE ，
解得： QUOTE ，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
（2）设A型垃圾桶a个，
由题意可得：60a+100（200﹣a）≤15000，
a≥125，
答：至少需购买A型垃圾桶125个．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
8．（2023•乐至县）端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．
（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？
（2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子？
【分析】（1）设每个粽子的进价为x元，每个咸鸭蛋的进价为y元，根据“购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元”列出方程组并解答；
（2）设购进a个粽子，根据“全部售完后利润不低于1600元”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设每个粽子的进价为x元，每个咸鸭蛋的进价为y元，则：
QUOTE ．
解得 QUOTE ．
答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；
（2）设购进a个粽子，
根据题意，得（5﹣3）×a+（2﹣1）（1000﹣a）≥1600．
解得a≥600．
因为a是正整数，所以a最小值取600．
答：至少购进600个粽子．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
1．（2023•二道区模拟）不等式x﹣1＞2x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023•德惠市模拟）若x＜y，则下列结论成立的是（ ）
A．x+2＞y+2B．﹣2x＜﹣2yC．3x＞3yD．1﹣x＞1﹣y
3．（2023•江城区二模）若关于x的不等式组 QUOTE 无解，则实数m的取值范围是 ．
4．（2023•萧山区校级一模）若2x+y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为 ．
5．（2023•大渡口区模拟）若关于x的一元一次不等式组 QUOTE 的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程 QUOTE 的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
6．（2023•邗江区校级四模）解不等式组： QUOTE ，并把解集在数轴上表示出来．
7．（2023•江都区二模）已知x＝3是关于x的不等式 QUOTE 的解，求a的取值范围．
8．（2023•安顺模拟）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．
（1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
1．（2023•红塔区模拟）若关于x的不等式组 QUOTE 有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0B．﹣1＜a≤0C．﹣4＜a≤﹣3D．﹣4≤a＜﹣3
2．（2023•浑江区一模）如图1，一个容量为500cm3的杯子中装有200cm3的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2．设每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为（ ）
A．200+4x＜500B．200+4x≤500
C．200+4x＞500D．200+4x≥500
3．（2023•梁山县校级模拟）若关于x，y的方程组 QUOTE 的解满足x﹣y QUOTE ，则m的最小整数解为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
4．（2023•肥城市校级模拟）已知关于x、y的二元一次方程组 QUOTE 的解满足x﹣y＞2，则m的最大整数值为m＝ ．
5．（2023•黄石港区校级模拟）对于任意实数m，n，定义一种运算：m※n＝mn﹣m﹣n QUOTE ，请根据上述定义解决问题；
若关于x的不等式a＜（ QUOTE ※x）＜7的解集中只有一个整数解，则实数a的取值范围是 ．
6．（2023•天宁区校级二模）解不等式组 QUOTE ．
7．（2023•娄星区校级一模）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．
（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？
（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？
8．（2023•喀喇沁旗一模）“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶．现某灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．
（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？
（2）现要将这些帐篷用卡车一次性运送到灾区的A、B两地，由于两市通往A、B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表：
请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少，说明理由，并求出最少车辆总数．
1．不等式组 QUOTE 的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（ ）
A．a＜0B．a≤1C．a＞﹣1D．a＜﹣1
3．若不等式组 QUOTE 有解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤3B．a＜3C．a＜2D．a≤2
4．一个不等式组的解在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集是 ．
5．不等式组 QUOTE 的整数解是 ．
6．鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在 范围内．
7．解不等式组 QUOTE ，并写出它的所有非负整数解．
8．为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．
（1）足球和篮球的单价各多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元，学校最多可以购买多少个篮球？
1．（2023•二道区模拟）不等式x﹣1＞2x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：x﹣1＞2x，
x﹣2x＞1，
﹣x＞1，
x＜﹣1，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
2．（2023•德惠市模拟）若x＜y，则下列结论成立的是（ ）
A．x+2＞y+2B．﹣2x＜﹣2yC．3x＞3yD．1﹣x＞1﹣y
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：A．由x＜y，可得x+2＜y+2，原变形错误，故此选项不符合题意；
B．由x＜y，可得﹣2x＞﹣2y，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由x＜y，可得3x＜3y，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由x＜y，可得1﹣x＞1﹣y，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．要注意：不等式的性质1是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质2是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质3是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（2023•江城区二模）若关于x的不等式组 QUOTE 无解，则实数m的取值范围是 m≤11 ．
【分析】根据找不等式组解集的规律和已知得出即可．
【解答】解：∵关于x的不等式组 QUOTE 无解，
∴实数m的取值范围是m≤11，
故答案为：m≤11．
【点评】本题考查了解不等式组和不等式的解集，能熟记找不等式组解集的规律是解此题的关键．
4．（2023•萧山区校级一模）若2x+y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为 0＜x QUOTE ．
【分析】由2x+y＝1得y＝﹣2x+1，根据k＝﹣2＜0可得，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【解答】解：由2x+y＝1得y＝﹣2x+1，
根据0＜y＜1可知0＜﹣2x+1＜1，
∴﹣1＜﹣2x＜0，
∴0＜x QUOTE ．
故答案为：0＜x QUOTE ．
【点评】此题考查了不等式的性质和一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
5．（2023•大渡口区模拟）若关于x的一元一次不等式组 QUOTE 的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程 QUOTE 的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ﹣13 ．
【分析】先解不等式组，然后根据不等式组的解集为x＜﹣2，可得 QUOTE 2，从而可得：a≥﹣8，再解分式方程可得y QUOTE ，从而根据分式方程的解为负整数，可得 QUOTE 0且 QUOTE 1，进而可得﹣8≤a＜1且a≠﹣2，最后根据分式方程的解为负整数可得a＝﹣8或﹣5，进行计算即可解答．
【解答】解： QUOTE ，
解不等式①得：x＜﹣2，
解不等式②得：x QUOTE ，
∵不等式组的解集为x＜﹣2，
∴ QUOTE 2，
解得：a≥﹣8，
QUOTE ，
2y＝a﹣（y+1），
解得：y QUOTE ，
∵分式方程的解为负整数，
∴ QUOTE 0且 QUOTE 1，
∴a＜1且a≠﹣2，
∴﹣8≤a＜1且a≠﹣2，
∵分式方程的解为负整数，
∴a＝﹣8或﹣5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣13，
故答案为：﹣13．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（2023•邗江区校级四模）解不等式组： QUOTE ，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解： QUOTE ，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
7．（2023•江都区二模）已知x＝3是关于x的不等式 QUOTE 的解，求a的取值范围．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
3×3 QUOTE ，
9 QUOTE 4，
18﹣（3a+1）＜8，
18﹣3a﹣1＜8，
﹣3a＜8﹣18+1，
﹣3a＜﹣9，
a＞3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
8．（2023•安顺模拟）为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．
（1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
【分析】（1）设原计划篮球买x个，足球买y个，根据：“恰好能够购买篮球和足球共60个、原计划募捐5600元”列方程组即可解答；
（2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，根据“实际收到捐款共6890元”列不等式求解即可解答．
【解答】解：（1）设原计划篮球买x个，足球买y个，
根据题意得： QUOTE ，
解得： QUOTE ．
答：原计划篮球买40个，足球买20个．
（2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，
根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890，
解得：a≤24.5，
答：篮球最多能买24个．
【点评】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式．
1．（2023•红塔区模拟）若关于x的不等式组 QUOTE 有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0B．﹣1＜a≤0C．﹣4＜a≤﹣3D．﹣4≤a＜﹣3
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后根据不等式组 QUOTE 有且只有3个整数解，即可得到a的取值范围．
【解答】解： QUOTE ，
解不等式①，得：x≤2，
解不等式②，得：x＞a，
∴该不等式组的解集是a＜x≤2，
∵关于x的不等式组 QUOTE 有且只有3个整数解，
∴这三个整数解是0，1，2，
∴﹣1≤a＜0，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
2．（2023•浑江区一模）如图1，一个容量为500cm3的杯子中装有200cm3的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2．设每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为（ ）
A．200+4x＜500B．200+4x≤500
C．200+4x＞500D．200+4x≥500
【分析】水的体积+4个玻璃球的体积＜500cm3．
【解答】解：水的体积为200cm3，四颗相同的玻璃球的体积为4x cm3，
根据题意得到：200+4x＜500．
故选：A．
【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意．
3．（2023•梁山县校级模拟）若关于x，y的方程组 QUOTE 的解满足x﹣y QUOTE ，则m的最小整数解为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【分析】方程组中的两个方程相减得出x﹣y＝3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解： QUOTE ，
①﹣②得：x﹣y＝3m+2，
∵关于x，y的方程组 QUOTE 的解满足x﹣y QUOTE ，
∴3m+2 QUOTE ，
解得：m QUOTE ，
∴m的最小整数解为﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
4．（2023•肥城市校级模拟）已知关于x、y的二元一次方程组 QUOTE 的解满足x﹣y＞2，则m的最大整数值为m＝ ﹣2 ．
【分析】②﹣①，得x﹣y＝1﹣m，根据x﹣y＞2得出关于m的不等式，求得最大整数解即可求解．
【解答】解： QUOTE ，
由②﹣①得：x﹣y＝1﹣m，
∵x﹣y＞2，
∴1﹣m＞2，
∴m＜﹣1，
m的最大整数值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
5．（2023•黄石港区校级模拟）对于任意实数m，n，定义一种运算：m※n＝mn﹣m﹣n QUOTE ，请根据上述定义解决问题；
若关于x的不等式a＜（ QUOTE ※x）＜7的解集中只有一个整数解，则实数a的取值范围是 6≤a QUOTE ．
【分析】根据新定义列出不等式组，解关于x的不等式组，再由不等式的解集中只有一个整数解得出关于a的不等式组求解可得．
【解答】解：根据题意，得： QUOTE ，
解不等式①，得：x＜﹣2a+6，
解不等式②，得：x＞﹣8，
∵不等式的解集中只有一个整数解，
∴﹣7＜﹣2a+6≤﹣6，
解得：6≤a QUOTE ，
故答案为：6≤a QUOTE ．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的能力，根据新定义列出关于x的不等式组是解题的关键．
6．（2023•天宁区校级二模）解不等式组 QUOTE ．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： QUOTE ，
解不等式①得，x＞﹣2，
解不等式②得，x≤2，
所以不等式组的解集是﹣2＜x≤2．
故答案为：﹣2＜x≤2．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）
7．（2023•娄星区校级一模）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．
（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？
（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？
【分析】（1）可根据“改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元”，列出方程组求出答案；
（2）根据“共需资金1575万元”“A类学校不超过5所”，进行判断即可；
（3）要根据“若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案；
【解答】解：（1）设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万元和b万元．
依题意得： QUOTE ，
解得： QUOTE ，
答：改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元；
（2）设该县有A、B两类学校分别为m所和n所．
则60m+85n＝1575，
QUOTE ，
∵A类学校不超过5所，
∴0 QUOTE n QUOTE 5，
∴15≤n＜18，
∵n为整数，
∴n＝15，16，17．
当n＝15，m＝5符合题意，
即：B类学校至少有15所；
（3）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为（6﹣x）所，
依题意得： QUOTE
解得：1≤x≤4
∵x取整数
∴x＝1，2，3，4
答：共有4种方案．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：
（1）“改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元”；
（2）“共需资金1575万元”“A类学校不超过5所”；
（3）“若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元”，列出方程组，再求解．
8．（2023•喀喇沁旗一模）“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶．现某灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．
（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？
（2）现要将这些帐篷用卡车一次性运送到灾区的A、B两地，由于两市通往A、B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表：
请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少，说明理由，并求出最少车辆总数．
【分析】（1）有两个等量关系：原来总厂每周生产帐篷数+分厂每周生产帐篷数＝9千，现在总厂每周生产帐篷数+分厂每周生产帐篷数＝14千，直接设未知数，可以根据等量关系列出二元一次方程组解决问题．
（2）首先应考虑到影响车辆总数的因素有两个，帐篷顶数和每千顶帐篷所需车辆数，所需车辆总数是两者的积；其次应考虑到由总厂，分厂运送到A，B两地的帐篷数共四个量，它们互相联系．
【解答】解：（1）设总厂原来每周制作帐篷x千顶，分厂原来每周制作帐篷y千顶．
由题意得： QUOTE ，
解得： QUOTE ，
所以1.6x＝8（千顶），1.5y＝6（千顶）．
答：在赶制帐篷的一周内，总厂、分厂各生产帐篷8千顶、6千顶．
（2）设从（甲市）总厂调配m千顶帐篷到灾区的A地，则总厂调配到灾区B地的帐篷为（8﹣m）千顶，
（乙市）分厂调配到灾区A，B两地的帐篷分别为（9﹣m），（m﹣3）千顶．
甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为n辆．
由题意得：n＝4m+7（8﹣m）+3（9﹣m）+5（m﹣3）（3≤m≤8）．
即：n＝﹣m+68（3≤m≤8）．
因为﹣1＜0，所以n随m的增大而减小．
所以当m＝8时，n有最小值60．
答：从总厂运送到灾区A地帐篷8千顶，从分厂运送到灾区A，B两地帐篷分别为1千顶、5千顶时所用车辆最少，最少的车辆为60辆．
【点评】本题考查了一元一次不等式，解决含有多个变量的问题时，可以分析这些多个变量之间的关系，从中选取有代表性的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型．
1．不等式组 QUOTE 的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解： QUOTE ，
解得 QUOTE ，
不等式组的解集是﹣1＜x≤1，
故选：D．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
2．如果不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（ ）
A．a＜0B．a≤1C．a＞﹣1D．a＜﹣1
【分析】根据不等式的解集，得到不等号方向改变，即a+1小于0，即可求出a的范围．
【解答】解：∵不等式（a+1）x＞（a+1）的解为x＜1，
∴a+1＜0，
解得：a＜﹣1．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
3．若不等式组 QUOTE 有解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤3B．a＜3C．a＜2D．a≤2
【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组有解求出a的取值范围即可．
【解答】解： QUOTE ，由①得，x＞a﹣1，由②得，x＜2，
∵不等式组有解，
∴a﹣1＜2，即a＜3．
故选：B．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．一个不等式组的解在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集是 ﹣1≤x＜3 ．
【分析】根据数轴上表示的不等式组的解集，可得不等式组．
【解答】解：由，得
﹣1≤x＜3．
故答案为：﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．不等式组 QUOTE 的整数解是 3 ．
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后确定解集中的整数即可．
【解答】解： QUOTE ，
解①得：x＞2，
解②得：x≤3，
则不等式组的解集是：2＜x≤3．
则不等式组的整数解是：3．
故答案为：3．
【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
6．鱼缸里饲养A、B两种鱼，A种鱼的生长温度x℃的范围是20≤x≤28，B种鱼的生长温度x℃的范围是19≤x≤25，那么鱼缸里的温度x℃应该控制在 20≤x≤25 范围内．
【分析】根据题意列出不等式组，求不等式解集的公共部分即可．
【解答】解：由题意得： QUOTE ，
解得：20≤x≤25，
故答案为：20≤x≤25．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出不等式组．关键是掌握解集的规律：“同大取大，同小取小，大小小大取中间”进行分析求解．
7．解不等式组 QUOTE ，并写出它的所有非负整数解．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可确定出所有非负整数解．
【解答】解： QUOTE ，
由①得：x≥﹣2；
由②得：x QUOTE ，
∴不等式组的解集为﹣2≤x QUOTE ，
则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．
（1）足球和篮球的单价各多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，且足球和篮球的总费用不超过7200元，学校最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，根据“2个足球和1个篮球共需210元，购买3个足球和2个篮球共需360元．”列方程组即可解决；
（2）设学校最多可以购买m个篮球，则买（100﹣m）个足球，由“足球和篮球的总费用不超过7200元，”得不等式90m+60（100﹣m）≤7200即可解决．
【解答】解：设足球的单价为x元、篮球的单价为y元，
根据题意可得： QUOTE ，
解得： QUOTE ，
答：足球的单价60x元、篮球的单价为90元，
（2）设学校最多可以购买m个篮球，则买（100﹣m）个足球，
90m+60（100﹣m）≤7200，
解得：m≤40，
∴学校最多可以购买40个篮球，．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，理解题意找准数量关系是解决问题的关键．
统计与概率
统计与概率是中考数学中的重要知识点，涉及数据的收集、整理、描述、分析和概率的计算与应用。
命题可能将统计与概率与其他知识点结合，形成综合题型，如与方程、函数、几何等知识点的结合。
可能涉及多个知识点的综合运用，要求学生具备较高的思维能力和解题技巧。
在备考过程中，建议学生加强对统计与概率基础概念和性质的理解，掌握图表的解读与制作方法，并注重应用题和综合题型的练习。同时，也要注意培养自己的思维能力和解题技巧，以便更好地应对各种命题形式。

Ⅰ、普查与抽样调查
一、普查与抽样调查
1.普查：为一特定目的而对所有考察对象所做的调查叫做普查，普查又叫“全面调查”.它要求对考查范围内的所有个体一个不漏地进行准确统计；
2.抽样调查：为一特定目的而对部分考察对象所做的调查叫做抽样调查，简称抽样；抽样调查是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况，抽样调查的注意点：①随机取样；②取样具有代表性；③若样本由具有明显不同特征的部分组成，应按比例从各部分抽样.
3.普查与抽样调查的优缺点
普查通过调查总体中的每个个体来收集数据，调查的结果准确，但往往花费多，工作量大；有时受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；有时调查具有破坏性(例如：测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等)，不能进行普查．
抽样调查通过调查样本中的每个个体来收集数据，调查范围小，花费较少，工作量较小，便于进行，但样本的抽取是否得当，直接关系到对总体的估计．为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性.
二、总体、个体、样本和样本容量有关概念
1.总体：我们把所考察对象的全体叫做总体.
2.个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体.
3.样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本.
4.样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量（不带单位）.
Ⅱ、统计图的选用
一、扇形统计图
1.扇形统计图的构成
扇形统计图中，整个圆表示统计项目的总体每一统计项目分别用圆中不同的扇形来表示，扇形面积占圆面积的百分比与各统计项目占总体的百分比相同
2.扇形圆心角的计算
在扇形统计图中，扇形圆心角＝该统计项目占总体的百分比×360°.
（1）扇形统计图反映的是部分在总体中所占的百分比，一般不能从图中直接得到具体的数量。圆代表的是总体"1"，它的大小与具体数量的大小没有关系，所以不同的扇形统计图中百分比的大小不能用来判断具体数量的大小；
（2）在同一个扇形统计图中，扇形圆心角越大，相应的扇形面积也越大，则该部分占总体的百分比也就越大，反之则越小.
二、三种统计图
1.条形统计图：用宽度相同的“条形”的高度描述数据的变化情况；条形统计图很容易看出数据的大小，便于比较，但不能清楚地反映各部分占总体的百分比．
2.扇形统计图：用整个圆表示统计项目的总体，每一统计项目分别用圆中不同的扇形来表示，扇形面积占圆面积的百分比与各统计项目占总体的百分比相同.从扇形图上可清楚地看出各部分在总体中所占的比例，但不能直接表示出各个项目的具体数据．
在扇形统计图中，扇形圆心角的度数=该统计项目占总体的百分比×360°.
3.折线统计图：用折线描述数据的变化过程和趋势；折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地反出数据的变化走向，但不能清楚地反映数据的分布情况．
三、绘制扇形统计图
绘制扇形统计图的一般步骤：①画一个圆.②按各组成部分所占的比例算出各个扇形的圆心角的度数.③根据算得的各圆心角的度数，画出各个扇形，并注明相应的百分比.各组成部分的名称可以注在图上，也可以用图例表明.
在实际生活中，三种统计图往往结合在一起使用，以便更好地反应实际情况.
Ⅲ、频数与频率
一、频数和频率
1.频数：在统计数据时，某个对象出现的次数或落在某个组别中的数据的个数称为频数；
2.频率：频数与总次数的比值称为频率.
频数是一个具体数字，不带单位，频率是一个比值，也不带单位.
（1）同一个实验中，所有对象的频数之和等于总次数；所有对象的频率之和等于1；
（2）在频数、频率、总次数三个量中，只要知道其中的任意两个量，就可以根据求出另外一个量.
二、频数分布表
1.频数分布表：把各个组别中相应的频数分布用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布表，
频数分布表能清楚地反映一组数据的大小分布情况.
2.列频数分布表的步骤：
（1）计算数据中最大值与最小值的差（极差），确定数据的变化范围；
（2）确定组距与组数：
①组距：每组数据两个端点之间的距离，各组的距离相等；
②组数由决定，组数不小于的最小整数，若为整数，则组数为；
（3）确定分组的最小值：一般把最小的数据减小半个单位的数作为分组的最小值，即最左端的分点；
（4）列频数分布表.
将一批数据分组，一般数据越多，分的组也越多.当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5～12组.在分组时，要灵活确定组距，使所分组数合适，一般组数为的整数部分+1．
三、频数分布直方图
1.频数分布直方图：根据频数分布表，用横轴表示各分组数据、纵轴表示各组数据的频数，绘制条形统计图.这样的条形统计图，直观地呈现了频数的分布特征和变化规律，称为频数分布直方图.
2.频数分布直方图的结构特点：
（1）横轴：表示考查对象数据的变化范围；
（2）纵轴：表示相应范围内数据的频数；
（3）条形图：频数分布直方图的主体部分是条形图，每一条都是横轴上方的一个长方形.
3.画频数分布直方图的步骤
（1）计算最大值与最小值的差；
（2）决定组距与组数；
（3）确定分组的最小值；
（4）列频数分布表；
（5）画频数分布直方图.
4.频数分布直方图与条形图的联系与区别
（1）联系：它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高来表示数据分布情况的；频数分布直方图是特殊的条形统计图.
（2）区别：①由于分组数据具有连续性，频数分布直方图中各“条形”之间通常是连续排列，中间没有间隙，而条形图中各“条形”是分开排列的，中间有一定的间隙；②条形统计图用横向指标表示考察对象的类别，用纵向指标表示不同对象的数量. 频数分布直方图横向指标表示考察对象数据的变化范围，用纵向指标表示相应范围内数据的频数.
Ⅳ、确定事件与随机事件
一、必然事件与不可能事件
1.必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件；
2.不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件；
3.确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件.
确定事件是在事件发生之前就能确定它一定会发生或者一定不会发生，不能说确定事件就是必然事件.一般情况下，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件，描述违背真理或客观存在的事实的事件是不可能事件.
二、随机事件
在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.
1.随机事件是可能发生的事件，有时发生，有时不发生；
2.必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.
Ⅴ、频率与概率
一、概率
随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率. 如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率.
事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0≤P（A）≤1，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件).
一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小.
二、试验频率与概率之间的关系
1.通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性.
2.一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率m/n会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值.
3.试验频率与概率之间的区别和联系
（1）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
Ⅵ、等可能条件下的概率
一、有限个结果的等可能事件的概率
1.等可能条件下的概率：一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）.
（1）试验的结果要具有有限性和等可能性；
（2）随机事件的概率在0到1之间，即.
2.用列举法求概率
在一次试验中，如果出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率.
当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，我们可以采用直接列举试验结果的方法求概率.
二、列表法求概率
当一次试验涉及两个因素或需要分两步完成，且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法列出随机试验的所有可能的结果n，然后找出符合条件的结果m，求出随机事件的概率.
1.列表法适用于两步随机试验，尤其是对两步随机试验的结果很多的题目；
2.在列表时，要考虑题中的随机试验是有放回的，还是无放回的，若是有放回的，则第一次出现的结果，第二次仍然可以出现；若是无放回的，则第一次出现的结果，第二次就不可能再出现.
三、画树状图求概率
当一次试验要涉及3个或更多的因素，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图列出随机试验的所有可能的结果n，然后找出符合条件的结果m，求出随机事件的概率.
四、无限个结果的等可能事件
如果区域I上有一个区域A，假设每次试验能够落在I上的任意一点处，并且落在任一点的可能性总是相同的，记区域I的面积为S总，区域A的面积为SA，那么一次试验落在区域A上的概率.
特别地，如果区域A被划分为m等份，用其中的一等份作为基本面积单位来划分，区域I被分成n等份（其中n＞m），那么一次试验落在区域A上的概率.
1.试验的结果要有无限性和等可能性；
2.无限个结果的等可能事件的概率可转化为有限个结果的等可能事件的概率进行计算.
Ⅶ、平均数
一、算术平均数
一般地，如果有n个数，那么叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，“”读作“拔”.
1.求算术平均数时，只需将所有数据加起来求出总和，再除以数据的总个数即可；
2.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”；
3.在实际问题中，算数平均数要带单位，与原数据单位一致；
4.算术平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系；
5.算术平均数的缺点是 受个别值的影响，有时并不能代表一组数据的平均水平；
6.一组数据的平均值只有一个，每个数据的变化都会引起平均值的变化（若添上或去掉的这个数据刚好与平均数相同，就不会引起平均值的变化）.
二、平均数的简化公式
一般地，一组数据中的各个数值较大时，可以将各个数据减去一个适当的常数a（常数a通常取接近于这组数据的平均数较“整”的数），得到一组新数据：那么这组数据的平均数.
三、加权平均数
1.权的概念
一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.
2.加权平均数的计算公式
（1）一般地，设为k个数据，依次为k个数据的权数，则称为这组数据的加权平均数.
（2）数据按的比计算平均数，则
（3）设数据所占的百分比分别为，且，则.
Ⅷ、中位数与众数
一、中位数
一般地，将一组数据按大小顺序排列（从小到大或从大到小都可以），如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数.
1.一组数据的中位数不一定出现在这组数据中；
2.一组数据的中位数是唯一的；
3.由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半；
4.中位数仅与数据按大小的排列后的位置有关，当一组数据中个别据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势.
二、众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
1.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势；
2.一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也有可能没有众数；
3.众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数；
4.众数考查的是各个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映出这组数据的集中趋势.
三、选择合适的统计量描述数据的集中趋势
平均数、众数、中位数都能反映出一组数据的集中趋势，其中平均数的应用最为广泛，三个统计量各有特点：
1.用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，所以平均数应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有着重要的作用，但平均数计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响.
2.用众数作为一组数据的代表，主要是对各数据出现频数的考查，其大小只与这组数据的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的集中趋势.
3.用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但中位数不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可以用中位数来描述其集中趋势.
Ⅸ、方差
一、极差的定义及计算公式
1.一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差；
2.极差计算公式：极差＝最大值－最小值.
极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定.
极差反映一组数据两个极端值之间差异情况，仅由两个数据评判一组数据是不全面的.
二、方差及标准差
1.方差的概念
在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平均数，叫做这组数据的方差，通常用来表示，即（方差的基本公式）.
若原数据是有单位的，则方差的单位就是原数据单位的平方.
2.方差的其他公式：
（1）或者，方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方；
（2），当一组数据较大时，可以仿照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据那么方差公式也可以写成，方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方.
①方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小；
②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；
③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.
3.标准差
有时，也会用方差的算术平方根（标准差），即来描述一组数据的离散程度.
三、极差、方差及标准差的区别与联系
1.联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数；
2.区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
3.对于两组数据来说，极差大的那一组，不一定方差大；反过来，方差大的，极差也不一定大.
1．（2023•自贡）下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是S甲2＝4，S乙2＝14，则乙的成绩更稳定
B．某奖券的中奖率为 QUOTE ，买100张奖券，一定会中奖1次
C．要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查
D．x＝3是不等式2（x﹣1）＞3的解，这是一个必然事件
【分析】根据必然事件，随机事件，方差的意义，调查方式，分别进行判断即可．
【解答】解：A、∵4＜14，∴ QUOTE ，∴甲的成绩更稳定，故本选项不符合题意；
B、某奖券的中奖率为 QUOTE ，则买100张奖券，不一定会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意；
C、要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查，故本选项不符合题意；
D、不等式2（x﹣1）＞3的解集是x＞2.5，∴x＝3是这个不等式的解，是必然事件，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了必然事件，随机事件，方差，抽样调查，全面调查，掌握这些定义是解题的关键．
2．（2023•广东）某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
【分析】直接利用概率公式可得答案．
【解答】解：∵共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门兴趣课程，
∴小明恰好选中“烹饪”的概率为 QUOTE ．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
3．（2023•杭州）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2
B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2
D．平均数是3，众数是2
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
【解答】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；
当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：2，2，2，3，此时方差s2 QUOTE [3×（2﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.4＞2，因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查平均数、众数和中位数及方差，解题的关键是掌握平均数、众数和中位数及方差的定义．
4．（2023•无锡）一组数据11，12，13，13，15，16，17，18的中位数和众数分别为（ ）
A．15，13B．13，14C．14，13D．13，13
【分析】先将数据从小到大重新排列，根据中位数的概念求解可得．根据众数的定义得到这组数据的众数．
【解答】解：将这组数据重新排列为11，12，13，13，15，16，17，18，
所以这组数据的中位数为 QUOTE 14，众数为13．
故选：C．
【点评】本题主要考查众数，中位数，在一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．（2023•盐城）在英文句子“Happy Teachers'Day！”中，字母“a”出现的频数为 ．
【分析】求出英语句子中的所有字母的个数以及字母a出现的次数，再根据频数的定义进行解答即可．
【解答】解：英文句子“Happy Teachers'Day！”中共有16个字母，其中a有3个，
所以字母“a”出现的频数为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查频数与频率，理解频数的意义是正确解答的前提．
6．（2023•淮安）将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为s甲2、s乙2，则s甲2 s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】结合图形，根据数据波动较大的方差较大即可求解．
【解答】解：从图看出：甲组数据的波动较小，故甲的方差较小，即S甲2＜S乙2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．（2023•扬州）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）．
【分析】当试验次数足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于某一个值，这个值作为概率的估计值．
【解答】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是0.93．
故答案为：0.93．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
8．（2023•重庆）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：
抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
83，85，85，87，87，89；
抽取的对B款设备的评分数据：
68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款设备的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；
（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）用“1”分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得m的值，根据众数的定义可得n的值；
（2）用600乘A款自动洗车设备“比较满意”所占百分比即可；
（3）通过比较A，B款设备的评分统计表的数据解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，a%＝1﹣10%﹣45% QUOTE 15%，即a＝15；
把A款设备的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是87，89，故中位数m QUOTE 88；
在B款设备的评分数据中，98出现的次数最多，故众数n＝98．
故答案为：15；88；98；
（2）600×15%＝90（名），
答：估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为90名；
（3）A款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由如下：
因为两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同，但A款自动洗车设备的评分数据的中位数比B款高，所以A款自动洗车设备更受消费者欢迎（答案不唯一）．
【点评】本题考查扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提．
9．（2023•广安）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
（1）本次抽取调查学生共有 人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为 人；
（2）请将以上两个统计图补充完整；
（3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
【分析】（1）根据B类型的人数及其占总人数的百分比可得被调查的总人数，用总人数乘以样本中D类型人数占被调查的总人数的百分比可得答案；
（2）用总人数乘以A类型对应的百分比可得其人数，据此可补全条形图，分别用C、D类型人数除以总人数求出其所占百分比即可补全扇形图；
（3）画树状图列出所有等可能结果，并从中找到两人恰好选择同一类的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生总人数为18÷30%＝60（人），
估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为3000 QUOTE 300（人），
故答案为：60，300；
（2）A选项人数为60×35%＝21（人），
C选项人数占被调查的总人数的百分比为 QUOTE 100%＝25%，
D选项人数占被调查总人数的百分比为 QUOTE 100%＝10%，
补全图形如下：
（3）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选中同一类的结果数为4，
所以两人恰好选择同一类的概率为 QUOTE ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
10．（2023•陕西）一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3．这些小球除标有的数字外都相同．
（1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 ；
（2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 QUOTE ，
故答案为： QUOTE ；
（2）树状图如下：
由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种，
∴摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率 QUOTE ．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
1．（2023•巴中模拟）下列说法错误的是（ ）
A．矩形是轴对称图形
B．一个菱形的内角和为360°
C．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，应采用全面调查的方式
D．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖
2．（2023•虹口区二模）某地统计部门公布最近5年居民消费价格指数年增长率分别为1.5%、1.2%、1.9%、1.2%和1.8%，业内人士评论说：“这5年居民消费价格指数年增长率相当平稳．”从统计角度看，“年增长率相当平稳”说明这组数据比较小的量是（ ）
A．方差B．平均数C．众数D．中位数
3．（2023•天门一模）下列说法正确的是（ ）
A．为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式
B．一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数和平均数都是3
C．若甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，则乙组数据比甲组数据更稳定
D．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
4．（2023•吉安模拟）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解某品种大豆的光合作用速率，科研人员从中选取10株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μml•m﹣2•s﹣1），结果统计如表，则光合作用速率的中位数是 ．
5．（2023•驿城区二模）农科院助农团队在某地各选6块试验田试种甲、乙两种杂交水稻，收获后统计结果为： QUOTE 甲＝1530.76千克/亩，s甲2＝6.5， QUOTE 乙＝1530.76千克/亩，s乙2＝1.2，则 品种更适合在该地区推广．（填“甲”或“乙”）
6．（2023•兴庆区校级一模）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
7．（2023•赣州三模）某校举行全校“红色文化词歌朗诵”比赛，九（1）班先班级内初赛，现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校决赛，如果采取随机抽取的方式确定人选．
（1）如果选派一位学生代表参赛，那么A恰好抽中是 事件，选派到的代表是A的概率是 ；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
8．（2023•连江县校级模拟）小明参加一个知识竞赛，该竞赛试题由10道选择题构成，每小题有四个选项，且只有一个选项正确．其给分标准为：答对一题得2分，答错一题扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则额外奖励5分．小明对其中的8道题有绝对把握答对，剩下2道题完全不知道该选哪个选项．
（1）对于剩下的2道题，若小明都采用随机选择一个选项的做法，求两小题都答错的概率；
（2）从预期得分的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题更合算？
1．（2024•芜湖二模）某校九年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛．小梅已知自己的成绩，判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
2．（2024•门头沟区一模）同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上的一面点数之和为整数的平方的概率为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
3．（2023•龙游县一模）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5～25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20～30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间
所有合理推断的序号是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
4．（2023•洪山区校级模拟）我们去游泳馆游泳，首先必须要换拖鞋，如果大桶里只剩下尺码相同的2双红色拖鞋和1双蓝色拖鞋混放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，它们恰好是一双的概率是 ．
5．（2023•西城区校级三模）如下表，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；
（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ．
6．（2024•雨花台区模拟）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B，C，D，统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 位好友．
（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．
①请补全条形图；
②依据数据，谈谈你的结论；
③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？
7．（2023•丹棱县模拟）甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成）
甲、乙两班代表队成绩统计表
请根据有关信息解决下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派 代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”）
（3）现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲，乙班各一个学生的概率．
8．（2023•环翠区一模）某商场为掌握国庆节期间顾客购买商品时刻的分布情况，统计了10月1日7：00﹣23：00这一时间段内5000名顾客的购买时刻．顾客购买商品时刻的频数分布直方图和扇形统计图如图所示，将7：00﹣23：00这一时间段划分为四个小的时间段：A段为7：00≤t＜11：00，B段为11：00≤t＜15：00，C段为15：00≤t＜19：00，D段为19：00≤t≤23：00，其中t为顾客购买商品的时刻，扇形统计图中，A，B，C，D四段各部分圆心角的度数比为1：3：4：2．
请根据上述信息解答下列问题：
（1）通过计算将频数分布直方图补充完整，并直接写出顾客购买商品时刻的中位数落在哪个时间段？
（2）求10月1日这天顾客购买商品时刻的平均值（同一时间段内顾客购买商品时刻的平均值用该时段的中点值代表，例如，A段的中点值为： QUOTE 9）；
（3）为活跃节日气氛，该商场设置购物后抽奖活动，设立了特等奖一个，一等奖两个，二等奖若干，并随机分配到A，B，C，D四个时间段中．
①请直接写出特等奖出现在A时间段的概率；
②请利用画树状图或列表的方法，求两个一等奖出现在不同时间段的概率．
1．2024年央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家国”．“龙行龖龖”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
2．某学校九年级20名同学参加了学校举办的“抗击疫情，你我同行”主题宣传进社区活动，以下是参与宣传活动的同学所作宣传活动的场次数，如表所示：
这些参加宣传活动场次数的众数、中位数分别是（ ）
A．5、6B．5、5C．6、5D．6、6
3．在“双减”政策后，学校对某班同学一周七天每天完成课外作业所用的平均时间进行了调查统计，并将统计结果绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．一周完成课外作业所用时间的平均数为50
B．每天完成课外作业所用时间的中位数是45
C．每天完成课外作业所用时间的众数是45
D．每天完成课外作业所用时间的最大值与最小值的差为120分钟
4．在数学这个英语单词“maths”中，随机选中一个字母是t的概率为 ．
5．某企业生产部负责人为了合理制定产品的每天生产定额，统计了20名工人某天的生产零件个数，并绘制成如图所示的折线统计图，为了让一半以上的工人能完成，定额又尽量多，那么每人每天生产定额应定为 个．
6．汽车的“燃油效率”是指汽车每年消耗1升汽油最多可行使的公里数，如图描述了A，B两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是 ．
①消耗1升汽油，A车最多可行使5千米；
②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油：
③对于A车而言，行驶速度越快越省油；
④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车更省油．
7．春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10位游客一天使用共享电动车的次数如下：
（1）在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为 ，众数为 ，平均数为 ；
（2）若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数．
8．为了解某市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查，家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：90≤x≤100；“满意”：80≤x＜90；“比较满意”：70≤x＜80；“不太满意”：60≤x＜70；“不满意”：0≤x＜60），部分信息分析如下：
c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：
d．甲中学“满意”组的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出m和n的值；
（2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）；
（3）若延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数．
1．（2023•巴中模拟）下列说法错误的是（ ）
A．矩形是轴对称图形
B．一个菱形的内角和为360°
C．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，应采用全面调查的方式
D．如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票一定会中奖
【分析】根据概率的意义，全等调查与抽样调查，矩形的性质，菱形的性质，轴对称图形，概率公式，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、矩形是轴对称图形，故A不符合题意；
B、一个菱形的内角和为360°，故B不符合题意；
C、调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，应采用全面调查的方式，故C不符合题意；
D、如果某彩票的中奖概率是1%，那么一次购买100张这种彩票不一定会中奖，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了概率的意义，全等调查与抽样调查，矩形的性质，菱形的性质，轴对称图形，概率公式，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
2．（2023•虹口区二模）某地统计部门公布最近5年居民消费价格指数年增长率分别为1.5%、1.2%、1.9%、1.2%和1.8%，业内人士评论说：“这5年居民消费价格指数年增长率相当平稳．”从统计角度看，“年增长率相当平稳”说明这组数据比较小的量是（ ）
A．方差B．平均数C．众数D．中位数
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据方差比较小．
【解答】解：根据方差的意义知，数据越稳定，说明方差越小．
故选：A．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
3．（2023•天门一模）下列说法正确的是（ ）
A．为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式
B．一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数和平均数都是3
C．若甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，则乙组数据比甲组数据更稳定
D．“明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
【分析】根据概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式，故A符合题意；
B、一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数是2和5，平均数是3，故B不符合题意；
C、若甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定，故C不符合题意；
D、“明天下雨概率为0.5”，是指明天下雨的可能性是50%，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
4．（2023•吉安模拟）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解某品种大豆的光合作用速率，科研人员从中选取10株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μml•m﹣2•s﹣1），结果统计如表，则光合作用速率的中位数是 25 ．
【分析】根据中位数的定义可知，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：数据的个数是10个，
根据统计图可知第5个和第6个数据为25和25，
∴光合作用速率的中位数是 QUOTE 25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了中位数，掌握中位数的定义是解题的关键，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．（2023•驿城区二模）农科院助农团队在某地各选6块试验田试种甲、乙两种杂交水稻，收获后统计结果为： QUOTE 甲＝1530.76千克/亩，s甲2＝6.5， QUOTE 乙＝1530.76千克/亩，s乙2＝1.2，则 乙 品种更适合在该地区推广．（填“甲”或“乙”）
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的即可．
【解答】解：∵ QUOTE ，s甲2＝6.5，s乙2＝1.2，
∵S甲2＞S乙2，
∴乙品种更适合在该地区推广．
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 QUOTE ，则方差S2 QUOTE [（x1 QUOTE ）2+（x2 QUOTE ）2+…+（xn QUOTE ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
6．（2023•兴庆区校级一模）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求m的值；
（3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
【分析】（1）根据选择A类书籍的同学的人数和百分比计算，求出九年级（1）班的人数，求出选择C类书籍的人数，补全条形统计图；
（2）求出选择B类书籍的人数，求出m；
（3）根据题意画出画树状图，求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．
【解答】解：（1）九年级（1）班的人数为：12÷30%＝40（人），
选择C类书籍的人数为：40﹣12﹣16﹣8＝4（人），
补全条形统计图如图所示；
（2）m% QUOTE 100%＝40%，
则m＝40；
（3）∵选择C类书籍的同学共4人，有2名女同学，
∴有2名男同学，
画树状图如图所示：
则P（一男一女） QUOTE ．
【点评】本题考查的是求随机事件的概率、条形统计图和扇形统计图，能够正确从统计图中获取相关的信息是解题的关键．
7．（2023•赣州三模）某校举行全校“红色文化词歌朗诵”比赛，九（1）班先班级内初赛，现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校决赛，如果采取随机抽取的方式确定人选．
（1）如果选派一位学生代表参赛，那么A恰好抽中是 随机 事件，选派到的代表是A的概率是 QUOTE ；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
【分析】（1）根据随机事件的意义，概率的意义，即可解答；
（2）先列出表格，然后根据概率公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）如果选派一位学生代表参赛，那么A恰好抽中是随机事件，选派到的代表是A的概率是 QUOTE ，
故答案为：随机； QUOTE ；
（2）由题意得：
∵总共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的结果有8种，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率 QUOTE ．
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为 QUOTE ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，随机事件，概率的意义，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键．
8．（2023•连江县校级模拟）小明参加一个知识竞赛，该竞赛试题由10道选择题构成，每小题有四个选项，且只有一个选项正确．其给分标准为：答对一题得2分，答错一题扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则额外奖励5分．小明对其中的8道题有绝对把握答对，剩下2道题完全不知道该选哪个选项．
（1）对于剩下的2道题，若小明都采用随机选择一个选项的做法，求两小题都答错的概率；
（2）从预期得分的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题更合算？
【分析】（1）由只有一个选项是正确的，所以有三个选项是错误的，则用“对，错，错，错”来列表求概率即可；
（2）分别按①两题都不答：②一题不答，题随杋选择；③两题都采用随机选择三种情况求出概率，最后比较即可．
【解答】解：（1）因为每小题有四个选项，且只有一个选项是正确的，
所以有三个选项是错误的，
不妨用“对，错，错，错”来表示．因此可列表：
由表格可知，共有16种等可能的结果，
其中两题都答错的有9种结果，
所以两小题都答错的概率为 QUOTE ；
（2）小明有3种可能的解答方式分别为：
①两题都不答；
②一题不答，一题随机选择；
③两题都采用随机选择．
①当两题都不答时，预期得分为0+16＝16分；
②当一题不答，一题随机选择时，
∵P（对） QUOTE ，P（错） QUOTE ，
∴预期得分为：2 QUOTE 1 QUOTE 0+16＝15 QUOTE 分；
③当两题都采用随机选择时，有两题都对，一对一错，两题都错三种可能，
所得的分数分别为9分，1分，﹣2分，
相应的概率分别为：
P（答对2题） QUOTE ，
P（答对1题） QUOTE ，
P（两题都答错） QUOTE ，
∴预期得分为：
9 QUOTE 1 QUOTE 2 QUOTE 16＝15 QUOTE ．
∵15 QUOTE 15 QUOTE 16，
∴小明采用都不答的解答方式更合算．
【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率，解决本题的关键是掌握列表法或树状图法．
1．（2024•芜湖二模）某校九年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛．小梅已知自己的成绩，判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
【分析】由于有13名同学参加百米竞赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．
【解答】解：共有13名学生参加竞赛，取前6名，所以小梅需要知道自己的成绩是否进入前六．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小梅知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．
故选：A．
【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是学会运用中位数的意义解决实际问题．
2．（2024•门头沟区一模）同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上的一面点数之和为整数的平方的概率为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
【分析】画树状图，共有36种等可能的结果数，其中朝上的一面点数之和为整数的平方的结果有7种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意列表如下：
共有36种等可能的结果数，其中朝上的一面点数之和为整数的平方的结果有7种，
∴朝上的一面点数之和为整数的平方的概率为 QUOTE ，
故选：B．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．（2023•龙游县一模）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5～25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20～30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间
所有合理推断的序号是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：（24.5×97+25.5×103）÷200＝25.015，一定在24.5～25.5之间，正确；
②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为 15，60，51，62，12，则中位数在20～30 之间，故②正确．
③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t＜10 的人数在 0～15 之间，当人数为 0 时中位数在 20～30 之间；当人数为 15 时，中位数在 20～30 之间，故③正确．
④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为 0﹣15，35，15，18，1，当0≤t＜10时间段人数为 0 时，中位数在 10～20 之间；当 0≤t＜10时间段人数为 15 时，中位数在 10～20 之间，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．
4．（2023•洪山区校级模拟）我们去游泳馆游泳，首先必须要换拖鞋，如果大桶里只剩下尺码相同的2双红色拖鞋和1双蓝色拖鞋混放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，它们恰好是一双的概率是 ．
【分析】用列表法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：设两双红色拖鞋分别是a，A，a，A；1双蓝色拖鞋是c，C，
共有30种可能，它们恰好是一双的有10种，所以它们恰好是一双的概率是 QUOTE ．
【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（2023•西城区校级三模）如下表，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有b，c，d的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；
（2）若甲首次取走写有a，b的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ．
【分析】（1）由于甲首次取走写有b、c、d的三个球，那么剩下a、e、f、g、h，而乙首次也取走三个球，但必须相邻，由此分类讨论即可加解决问题；
（2）由于甲首次拿走a、b两个球，还剩下c、d、e、f、g、h，而乙可以取的球分为①若乙取三个球；②若乙取两个球：在这两个前提之下讨论解决问题．
【解答】解：（1）∵甲首次取走写有b、c、d的三个球，
∴还剩下a、e、f、g、h，
又∵乙首次也取走三个球，但必须相邻，
∴乙可以取e、f、g或f、g、h，
若乙取e、f、g只剩下a、h，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
同理，若乙取f、g、h，只剩下a、e，
∵它们不相邻，
∴甲只能拿走一个，
故乙拿走最后的一个，故乙胜；
故答案为：乙．
（2）∵甲首次拿走a、b两个球，还剩下c、d、e、f、g、h，
①若乙取三个球，
若乙取c、d、e或f、g、h，那么剩下的球胜连着的，故甲取走剩下的三个，则甲胜；
若乙取d、e、f，此时甲取g，则c、h不相邻，则甲胜；
若取e、f、g，此时甲取d，则ch不相邻，则甲胜；
②若乙取两个球：
若乙取c、d，此时甲取f、g，那么剩下e、h，不相邻，则甲胜；
若乙取d、e，此时甲取f、g，则c、h不相邻，则甲胜；
若乙取e、f，
此时甲取c、d或g、h，则乙胜；
若甲c或d，那么乙取g或h，则乙胜；
若甲取g或h，那么乙取c或d，那么剩下两个球不相邻，则乙胜；
因此，乙一定要获胜，那么它首次取e、f．
故答案为：e、f．
【点评】本题主要考查了概率公式以及逻辑推理与论证，同时也利用了分类讨论的思想，比较麻烦，对于学生的能力要求比较高．
6．（2024•雨花台区模拟）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A（0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B，C，D，统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了 位好友．
（2）已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．
①请补全条形图；
②依据数据，谈谈你的结论；
③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？
【分析】（1）由B类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，根据总人数列方程求得a的值，从而补全图形；
②由图可知得到结论即可；
③总人数乘以样本中C、D类别人数和所占比例．
【解答】解：（1）本次调查的好友人数为6÷20%＝30（人），
故答案为：30；
（2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，
根据题意，得：a+6+12+5a＝30，
解得：a＝2，
即A类人数为10、D类人数为2，
补全图形如下：
②由图可知，C类人数最多；
故答案为：120；
③150 QUOTE 70（人），
答：估计大约6月1日这天行走的步数超过10000步的好友人数为70人．
【点评】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
7．（2023•丹棱县模拟）甲、乙两班分别选5名同学组成代表队参加学校组织的“国防知识”选拔赛，现根据成绩（满分10分）制作如图统计图和统计表（尚未完成）
甲、乙两班代表队成绩统计表
请根据有关信息解决下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）学校预估如果平均分能达8.5分，在参加市团体比赛中即可以获奖，现应选派 代表队参加市比赛；（填“甲”或“乙”）
（3）现将从成绩满分的3个学生中随机抽取2人参加市国防知识个人竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到甲，乙班各一个学生的概率．
【分析】（1）利用条形统计图，结合众数、中位数的定义分别求出答案；
（2）利用平均数、方差的定义分析得出答案；
（3）首先根据题意列表，然后由列表求得所有等可能的结果与恰好抽到甲，乙班各一个学生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）甲的众数为：8.5，乙的中位数为：8，
故答案为：8.5，8；
（2）从平均数看，两班平均数相同，则甲、乙两班的成绩一样好；
从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定．
故答案为：甲班；
（3）列表如下：
所有等可能的结果为6种，其中抽到甲班、乙班各一人的结果为4种，
所以P（抽到A，B） QUOTE ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（2023•环翠区一模）某商场为掌握国庆节期间顾客购买商品时刻的分布情况，统计了10月1日7：00﹣23：00这一时间段内5000名顾客的购买时刻．顾客购买商品时刻的频数分布直方图和扇形统计图如图所示，将7：00﹣23：00这一时间段划分为四个小的时间段：A段为7：00≤t＜11：00，B段为11：00≤t＜15：00，C段为15：00≤t＜19：00，D段为19：00≤t≤23：00，其中t为顾客购买商品的时刻，扇形统计图中，A，B，C，D四段各部分圆心角的度数比为1：3：4：2．
请根据上述信息解答下列问题：
（1）通过计算将频数分布直方图补充完整，并直接写出顾客购买商品时刻的中位数落在哪个时间段？
（2）求10月1日这天顾客购买商品时刻的平均值（同一时间段内顾客购买商品时刻的平均值用该时段的中点值代表，例如，A段的中点值为： QUOTE 9）；
（3）为活跃节日气氛，该商场设置购物后抽奖活动，设立了特等奖一个，一等奖两个，二等奖若干，并随机分配到A，B，C，D四个时间段中．
①请直接写出特等奖出现在A时间段的概率；
②请利用画树状图或列表的方法，求两个一等奖出现在不同时间段的概率．
【分析】（1）根据圆心角的比算出各部分的数量，补全频数分布直方图即可；按照时间段从早到晚进行排序，根据各部分的人数推断出排在中间第2500和2501名所在的时间段即可得出中位数所处的时间段；
（2）按照加权平均数的计算公式计算即可；
（3）①直接根据概率公式进行计算即可；
②先画树状图，然后再利用概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵扇形统计图中，A，B，C，D四段各部分圆心角的度数比为1：3：4：2，
∴B段的顾客人数为5000 QUOTE 1500（人），C段的顾客人数为5000 QUOTE 2000（人），
故补全的统计图如下，
∴中位数落在 C 段：15：00≤t＜19：00；
（2）（500×9+1500×13+2000×17+21×1000）÷5000＝15.8，
所以，10月1日这天顾客购买商品时刻的平均值为15.8；
（3）
①特等奖出现在A时间段的概率为 QUOTE ；
②根据题意，树状图如下：
总共有16种等可能的结果，两个一等奖出现在不同时间段的情况有12种，
故两个一等奖出现在不同时间段的概率是 QUOTE ．
【点评】本题主要考查了频数分布直方图与扇形统计图的结合，列表或画树状图求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键．
1．2024年央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家国”．“龙行龖龖”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ）
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【解答】解：∵共有四张质地均匀、大小相同的卡片，分别印有“龙”“行”“龘”“龘”，
∴从中随机抽取一张，则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为 QUOTE ．
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
2．某学校九年级20名同学参加了学校举办的“抗击疫情，你我同行”主题宣传进社区活动，以下是参与宣传活动的同学所作宣传活动的场次数，如表所示：
这些参加宣传活动场次数的众数、中位数分别是（ ）
A．5、6B．5、5C．6、5D．6、6
【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得．
【解答】解：因为5出现的次数最多，
所以众数是5，
将这组数据按从小到大进行排序后，第11个数和第10个数的平均数即为中位数，
所以中位数是 QUOTE 6．
故选：A．
【点评】本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键．
3．在“双减”政策后，学校对某班同学一周七天每天完成课外作业所用的平均时间进行了调查统计，并将统计结果绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．一周完成课外作业所用时间的平均数为50
B．每天完成课外作业所用时间的中位数是45
C．每天完成课外作业所用时间的众数是45
D．每天完成课外作业所用时间的最大值与最小值的差为120分钟
【分析】根据众数，中位数，平均数、极差的定义解答即可．
【解答】解：由图可知，这一周完成课外作业所用时间的平均数是（45+60+30+45+0+120+90）÷7 QUOTE 56，故A选项符合题意；
把数据从小到大排列，中位数是第4个数，所以中位数是45，故B选项不符合题意；
每天完成课外作业所用时间45出现2次，出现次数最多，所以众数是45，故C选项不符合题意；
每天完成课外作业所用时间的极差是120﹣0＝120（分钟），故D选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，也考查了极差、中位数、平均数、众数的相关知识．
4．在数学这个英语单词“maths”中，随机选中一个字母是t的概率为 QUOTE ．
【分析】根据maths这个单词可知，一共有5个字母组成，其中选中的一个字母是t的可能性有1种，从而可以计算出随机选中一个字母是t的概率．
【解答】解：由题意可得，
在数学这个英语单词“maths”中，随机选中一个字母是t的概率为 QUOTE ，
故答案为： QUOTE ．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
5．某企业生产部负责人为了合理制定产品的每天生产定额，统计了20名工人某天的生产零件个数，并绘制成如图所示的折线统计图，为了让一半以上的工人能完成，定额又尽量多，那么每人每天生产定额应定为 54 个．
【分析】根据折线统计图给出的数据进行分析，从而得出答案．
【解答】解：由折线图得，第10、11个数据是54个、55个，
则中位数是 QUOTE 54.5，
而完成54个（含54个）以上的人数有：3+5+2+1＝11（个），
所以每天生产定额应定为54个，因为这个数值一半以上的工人能完成．
故答案为：54．
【点评】本题考查的是从折线统计图中获取信息，理解折线图的含义是解题的关键．
6．汽车的“燃油效率”是指汽车每年消耗1升汽油最多可行使的公里数，如图描述了A，B两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是 ②④ ．
①消耗1升汽油，A车最多可行使5千米；
②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油：
③对于A车而言，行驶速度越快越省油；
④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车更省油．
【分析】结合折线统计图的定义和特点，从题目的折线统计图中获取数据并逐一判断各选项即可．
【解答】解：①由折线统计图可知，当A车速度超过40km/h时，燃油效率大于5 km/L，
∴当速度超过40km/h时，消耗1升汽油，A车行驶距离大于5千米，故①错误；
②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，路程为40km，40km÷10km/L＝4L，最少消耗4升汽油，故②正确；
③对于A车而言，行驶速度在0﹣80km/h时，越快越省油，当行驶速度超过90km/h，速度越快越不省油，故③错误；
④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车燃油效率更高，更省油，故④正确；
综上，②④合理，
故答案为：②④．
【点评】本题考查的是折线统计图，学会从统计图中获取有用信息是解题的关键．
7．春节放假期间，兴趣小组到某景点随机调查了10位游客一天使用共享电动车的次数，统计得到该10位游客一天使用共享电动车的次数如下：
（1）在这次调查中，该10位游客一天使用共享电动车次数的中位数为 2 ，众数为 2 ，平均数为 2.5 ；
（2）若春节放假期间，每天约有1200位游客到此景点，试估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数．
【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可；
（2）总人数乘以样本的平均数即可得出答案．
【解答】解：（1）这10位游客1天内使用“哈啰”共享电动车的次数的中位数是 QUOTE 2（次），众数是2次，平均数是 QUOTE （0×2+2×4+3×1+4×2+6×1）＝2.5（次），
故答案为：2，2，2.5；
（2）根据题意得：
1200×2.5＝3000（次），
答：估计这些游客在春节放假期间每天使用共享电动车的总次数为3000次．
【点评】本题主要考查了中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，掌握中位数、众数、平均数以及用样本估计总体的定义是解题的关键．
8．为了解某市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查，家长对延时服务的综合评分记为x，将所得数据分为5组（“很满意”：90≤x≤100；“满意”：80≤x＜90；“比较满意”：70≤x＜80；“不太满意”：60≤x＜70；“不满意”：0≤x＜60），部分信息分析如下：
c．甲、乙两所中学延时服务得分的平均数、中位数、众数如表：
d．甲中学“满意”组的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出m和n的值；
（2）根据以上数据，你认为哪所中学的延时服务开展得更好？并说明理由（一条即可）；
（3）若延时服务综合得分在70分及以上才算合格，请你估计乙中学1000名家长中认为该校延时服务合格的人数．
【分析】（1）根据乙中学延时服务得分情况扇形统计图求出“比较满意”组所占的百分比，即可得到m的值；根据甲中学“满意”组的分数从高到低排列后的最后10个数求出甲中学延时服务得分的中位数，即可得到n的值；
（2）根据甲中学和乙中学延时服务得分的平均数，中位数和众数进行比较并选择即可；
（3）根据甲、乙中学延时服务得分情况统计图乘以家长人数即可．
【解答】解：（1）乙中学“比较满意”所占的百分比为1﹣40%﹣7%﹣18%﹣10%＝25%，即m＝25．
∵甲中学“满意”组的分数从高到低排列，排在最后的10个数分别是：83，83，83，83，82，81，81，81，80，80．
∴将甲中学的满意度得分从高到低排列后，处在中间位置的两个数的平均数为 QUOTE 81.5，
因此中位数是81.5，即n＝81.5．
（2）甲中学延时服务开展得更好，理由如下．
因为甲中学延时服务得分的中位数和众数均比乙中学的高，所以甲中学延时服务开展得更好．
（3）1000×（10%+40%+25%）＝750（人）．
答：甲中学延时服务开展得更好为750人．
【点评】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，数据的集中趋势，用样本估计总体，熟练掌握这些知识点是解题关键．平方根
算术平方根
区别
个数
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数
一个正数的算术平方根只有一个
表示方法
非负数a的平方根表示为
非负数a的算术平方根表示为
取值范围
正数的平方根是一正一负
正数的算术平方根一定是正数
联系
包含条件
平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0.
存在条件
平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0.
关系名称
平方根
立方根
区别
个数不同
正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根
正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数
表示方法
非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写
数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写
被开方数的取值范围
在中，a是非负数，即
在中，a是任意数
联系
转化条件
都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究.
解：原式＝2+（﹣2）﹣2 QUOTE 第一步
＝2﹣2﹣1 …第二步
＝﹣1…第三步
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
d（x）
3a﹣b+c
2a﹣b
a+c
1+a﹣b﹣c
3﹣3a﹣3c
4a﹣2b
3﹣b﹣2c
6a﹣3b
解：原式＝2+（﹣2）﹣2 QUOTE 第一步
＝2﹣2﹣1 …第二步
＝﹣1…第三步
x
1.5
3
5
6
8
9
12
27
d（x）
3a﹣b+c
2a﹣b
a+c
1+a﹣b﹣c
3﹣3a﹣3c
4a﹣2b
3﹣b﹣2c
6a﹣3b
第一次
第二次
第三次
第四次
x
QUOTE
x﹣5
2（9﹣x）
a1，1
a1，2
a1，3
a1，4
a1，5
a2，1
a2，2
a2，3
a2，4
a2，5
a3，1
a3，2
a3，3
a3，4
a3，5
a4，1
a4，2
a4，3
a4，4
a4，5
a5，1
a5，2
a5，3
a5，4
a5，5
第一次
第二次
第三次
第四次
x
QUOTE
x﹣5
2（9﹣x）
a1，1
a1，2
a1，3
a1，4
a1，5
a2，1
a2，2
a2，3
a2，4
a2，5
a3，1
a3，2
a3，3
a3，4
a3，5
a4，1
a4，2
a4，3
a4，4
a4，5
a5，1
a5，2
a5，3
a5，4
a5，5
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)
(1)移项要变号
(2)不要丢项
合并同类项
把方程化成ax＝b(a≠0)的形式
字母及其指数不变
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解．
不要把分子、分母写颠倒
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度．
种类
配餐
价格（元）
优惠活动
A餐
1份盖饭
20
消费满150元，减24元
消费满300元，减48元
……
B餐
1份盖饭+1杯饮料
28
C餐
1份盖饭+1杯饮料+1 份小菜
32
种类
配餐
价格（元）
优惠活动
A餐
1份盖饭
20
消费满150元，减24元
消费满300元，减48元
……
B餐
1份盖饭+1杯饮料
28
C餐
1份盖饭+1杯饮料+1 份小菜
32
符号
读法
意义
“≠”
读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜”
读作“小于”
表示左边的量比右边的量小
“＞”
读作“大于”
表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
不等式基本语言
符号表示
a是正数
a＞0
a是负数
a＜0
a是非正数
a≤0
a是非负数
a≥0
a、b同号
ab＞0
a、b异号
ab＜0
不等式的解集（a＞0）
x＞a
x≥a
x＜a
x≤a
意义
在数轴上表示a的点的右边对应的数，不包括数a
在数轴上表示a的点的右边对应的数，包括数a
在数轴上表示a的点的左边对应的数，不包括数a
在数轴上表示a的点的左边对应的数，包括数a
画法
从a开始向右画，在表示a的点处画空心圆圈
从a开始向右画，在表示a的点处画实心圆点
从a开始向左画，在表示a的点处画空心圆圈
从a开始向左画，在表示a的点处画实心圆点
示意图
不等式组
（设）
不等式组的解集
无解
不等式组的解集
在数轴上的表示
口诀
同大取大
同小取小
大大小小无解
大小小大中间找
A地
B地
所需车辆数
甲市
4
7
乙市
3
5
所急需帐篷数（单位：千顶）
9
5
A地
B地
所需车辆数
甲市
4
7
乙市
3
5
所急需帐篷数（单位：千顶）
9
5
每批粒数n
2
5
10
50
100
500
1000
1500
2000
3000
发芽的频数m
2
4
9
44
92
463
928
1396
1866
2794
发芽的频率 QUOTE （精确到0.001）
1.000
0.800
0.900
0.880
0.920
0.926
0.928
0.931
0.933
0.931
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
m
96
45%
B
88
87
n
40%
光合作用速率
32
30
25
20
18
株数
1
3
3
2
1
时间t
人数
学生类型
0≤t＜10
10≤t＜20
20≤t＜30
30≤t＜40
t≥40
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中
a
b
c
d
e
f
g
h
平均数
中位数
众数
方差
甲班
8.5
8.5
a
0.7
乙班
8.5
b
10
1.6
参加宣传活动场次
4
5
6
7
8
人数
2
6
5
4
3
使用次数
0
2
3
4
6
人数
2
4
1
2
1
学校
平均数
中位数
众数
甲
83
n
83
乙
83
79
80
光合作用速率
32
30
25
20
18
株数
1
3
3
2
1


A


B


C


D


A


（A，B）


（A，C）


（A，D）


B


（B，A）


（B，C）


（B，D）

C


（C，A）


（C，B）


（C，D）


D


（D，A）


（D，B）


（D，C）
时间t
人数
学生类型
0≤t＜10
10≤t＜20
20≤t＜30
30≤t＜40
t≥40
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中

a
A
a
A
c
C
a
/
√
×
√
×
×
A
√
/
√
×
×
×
a
×
√
/
√
×
×
A
√
×
√
/
×
×
c
×
×
×
×
/
√
C
×
×
×
×
√
/
a
b
c
d
e
f
g
h
平均数
中位数
众数
方差
甲班
8.5
8.5
a
0.7
乙班
8.5
b
10
1.6
甲
乙1
乙2
甲
﹣﹣﹣
乙1 甲
乙2 甲
乙1
甲 乙1
﹣﹣﹣
乙2乙1
乙2
甲 乙2
乙1乙2
﹣﹣﹣
参加宣传活动场次
4
5
6
7
8
人数
2
6
5
4
3
使用次数
0
2
3
4
6
人数
2
4
1
2
1
学校
平均数
中位数
众数
甲
83
n
83
乙
83
79
80