数学（一）-2023年中考考前20天终极冲刺攻略

这是一份数学（一）-2023年中考考前20天终极冲刺攻略，共108页。试卷主要包含了绝对值，实数的分类，科学记数法，近似数，平方根，立方根，数的乘方等内容，欢迎下载使用。


倒计时第16天 一元二次方程与分式方程

目 录 contents
（一）

实数的概念与运算……………………………………………………02

代数式………………………………………………………………………………19

初中四大方程……………………………………………………………………39

不等式及不等式（组）………………………………………………………63

第一阶段综合冲刺小练………………………………………………………86









实数的概念与运算

1．从考查的题型来看，涉及此板块知识点的试题主要以选择题、填空题的形式单独考查，极少数试题会以解答题的形式考查，题型较简单，基本属于低档或者中低档题。
2．从考查内容来看，主要以实数的概念与运算为核心进行考查。实数的概念与运算的重点：有理数，有理数的绝对值与比较大小，有理数的四则运算法则；平方根(立方根)，非负数，无理数及其估算，实数与数轴的关系。
3．从考查热点来看，涉及本知识点中的问题就是实数与生活生产相结合的问题：科学记数法，有理数正负表示，实数的加减乘除乘方法则在实际问题的应用等。

1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.
3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|.
5．实数的分类：
（1）按照定义分类

（2）按照正负分类

注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如，等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；（4）某些三角函数，如sin60°等.
6．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
8．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为.
（4）
9．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.（2）表示：a的立方根表示为.（3）.
10．数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.
11．实数的运算：（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
12．指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则.
13．数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等.

一、选择题
1．（2022年浙江宁波市中考数学真题）的相反数等于（   ）
A． B．2022 C． D．
【答案】B
【分析】应用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．进行计算即可得出答案．
【详解】解：的相反数等于2022．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的定义进行求解是解决本题的关键．
2．（2022年四川德阳市中考数学真试题）的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数即可得出答案．
【详解】解：
故选A
【点睛】本题考查求一个数的绝对值，根据绝对值的定义求解即可，比较简单．
3．（2022年四川省巴中市中考数学真题）下列各数是负数的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可
【详解】解：，是正数，故 A 选项不符合题意；
，是正数，故 B 选项不符合题意；
，是正数，故 C 选项不符合题意；
，是负数，故 D 选项符合题意．
【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4．（2022年广西玉林市中考数学真题）5的倒数是(   )
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】根据倒数的意义可直接进行求解．
【详解】解：5的倒数是；
故选A．
【点睛】本题主要考查倒数，熟练掌握求一个数的倒数是解题的关键．
5．（2022年辽宁阜新市中考数学真题）在有理数，，0，2中，最小的是（　　）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【分析】根据有理数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：根据有理数比较大小的方法可知，
∴最小的有理数是
故选：B．
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小是解题的关键．
6．（2022年湖北襄阳中考数学真题）如果温度上升2 ℃记作 ℃，那么温度下降3 ℃记作（   ）
A． ℃ B． ℃
C． ℃ D． ℃
【答案】D
【分析】根据正数与负数的表示方法，可得解．
【详解】解：上升2℃记作℃，下降3℃记作℃；
故选：D．
【点睛】本题考查正数和负数；能够根据实际问题理解正数与负数的意义和表示方法是解题的关键．
7．（2022·江苏淮安·统考中考真题）年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为人以上．数据用科学记数法表示应为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：数据用科学记数法表示应为．
故选：B.
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．

二、填空题
8．（2022年山东临沂市中考数学真题）比较大小：______（填“”，“”或“” ．
【答案】
【分析】根据实数的大小比较的方法，先将两个无理数平方，根据正数平方越大，原实数就越大即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，灵活运用平方将无理数转化为可比较大小的有理数是解题的关键．
9．（2022年广西柳州市中考数学真题）如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作 _____．
【答案】﹣2m
【分析】根据负数的意义，可得水位升高记作“+”，则水位下降记作“-”，水位不升不降时，记作0，据此解答即可．
【详解】解：如果水位升高2m时，水位变化记作+2m，
那么水位下降2m时，水位变化记作-2m，
故答案为：-2m．
【点睛】本题主要考查了正负数的意义以及应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：水位升高记作“+”，则水位下降记作“-”，水位不升不降时，记作0．
10．（2022年江苏镇江中考数学真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔每升高100米，气温约下降．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是，则此时山顶的气温约为_________．
【答案】－6或零下6
【分析】根据题意“海拔每升高100米，气温约下降”，列出式子即可求解．
【详解】解：山顶的气温约为
故答案为：－6或零下6．
【点睛】本题考查了有理数混合运算（不带乘方）的应用，正负数的意义，理解题意是解题的关键．
11．（2022年湖北省黄石市中考数学真题）计算：____________．
【答案】3
【分析】根据有理数的乘法与零次幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂以及有理数的乘方运算是解题的关键．
12．（2022年西藏中考数学真题试卷）已知，都是实数，若，则_____．
【答案】
【分析】根据绝对值，偶次幂的非负性求出，，再代入计算即可．
【详解】∵，
∴，，
即，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了绝对值，偶次幂的非负性，求出，的值是解本题的关键．
三、解答题
13．（2022年广西柳州市中考数学真题）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．
【答案】5
【分析】先计算乘方运算，同步计算乘法运算，化简绝对值，再合并即可．
【详解】解：原式＝﹣3+4+4
＝5．
【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握“含乘方的有理数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
14．（2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考数学真题）计算：．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂、30°角的余弦值、零次幂以及开立方的知识计算每一项，再进行实数的混合运算即可．
【详解】原式

．
【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记30°角的余弦值是解答本题的基础．

一、选择题
1．（2023·四川广元·统考一模）的绝对值是（    ）
A． B．5 C． D．
2．（2023·浙江绍兴·统考一模）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏宿迁·统考一模）的倒数是（　　）
A． B．2 C． D．
4．（2023·广东·校联考模拟预测）下列数中，最小的是（　　）
A． B． C．0 D．2
5．（2023·吉林·统考一模）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作年，那么公元2023年应记作（    ）
A．年． B．年． C．年． D．年．
6．（2023·山东淄博·统考一模）太阳是太阳系的中心天体，离地球最近的恒星．太阳从中心向外可分为核反应区、辐射区、对流层和大气层，太阳的年龄约亿年现正处于“中年阶段”．半径为千米，是地球半径的倍，千米用科学记数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（2023·浙江嘉兴·统考一模）下列各式中，正确的是（    ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2023·江苏无锡·模拟预测）比较大小：3________．（填“”“ ”或“”）
9．（2023·重庆·模拟预测）计算：________．
10．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）某冷库的温度是，下降了，则变化后的冷库的温度是__________．
11．（2023·浙江宁波·统考一模）若，则的值是_______．
三、解答题
12．（2023·浙江台州·统考一模）计算：．




13．（2023·浙江台州·统考一模）计算：




14．（2023·北京·校考模拟预测）计算：．





一、选择题
1．下列四个数中，最小的数是（    ）
A．1 B．0 C． D．
2．若实数的绝对值是，则的值是（    ）
A． B． C． D．
3．与互为倒数的数是（    ）
A． B． C． D．
4．如果规定收入为正，支出为负，收入3元记作3元，那么支出10元记作（    ）
A．5元 B．元 C．11元 D．元
5．中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，则的相反数为（    ）
A． B．2023 C． D．
6．据悉，截至年底，中国高铁营运里程约为米，数据用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
7．南、北为两个相反方向，如果表示一个物体向北移动5m，那么表示一个物体（　　）
A．向北移动3m B．向南移动3m C．向北移动8m D．向南运动8m
二、填空题
8．4的算术平方根是____．
9．______．
10．计算：________．
11．计算：______ ．
三、解答题
12．计算：．


13．计算：．







14．计算：





























名校预测
1．D
【分析】根据绝对值的性质，即可求解．
【详解】解：的绝对值是．
故选：D
【点睛】本题主要考查了求绝对值，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，0的绝对值等于0，负负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
2．C
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义即可得到答案．
【详解】解：的相反数是．
故选：C
【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：的倒数是．
故选C．
【点睛】本题考查求一个数的倒数．掌握两个数乘积是1的数互为倒数是解题关键．
4．A
【分析】根据有理数的大小比较法则，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即最小的数是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，绝对值，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．
5．C
【分析】根据相反意义的量进行求解即可．
【详解】解：公元前500年记作年，
公元前为“”，
公元后为“”，
公元2023年就是公元后2023年，
公元2023年应记作年．
故选：C．
【点睛】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．
6．B
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：千米米 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
7．A
【分析】根据幂的运算，算术平方根，平方根的意义计算即可．
【详解】A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的运算，算术平方根，平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．
【分析】先分别计算两个数的平方，然后进行比较即可解答．
【详解】解：∵，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
9．
【分析】利用绝对值的定义，零指数幂计算．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的定义，零指数幂．
10．
【分析】用冷库的温度减去下降的温度，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
∴变化后的冷库的温度是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的减法运算，熟记运算法则是解题的关键．
11．
【分析】根据一个数的平方的非负性及算术平方根的非负性即可解答；
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一个数的平方的非负性及算术平方根的非负性，有理数的乘方运算，掌握一个数的平方的非负性及算术平方根的非负性是解题的关键．
12．0
【分析】先分别求算术平方根，绝对值，乘方，然后进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值，乘方．解题的关键在于正确的运算．
13．
【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．
14．
【分析】根据负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值是解题的关键．
专家押题
1．D
【分析】根据有理数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴四个数中最小的数是，
故选D．
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小是解题的关键．
2．C
【分析】根据绝对值的意义即可求解．
【详解】解：实数的绝对值是，则的值是，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握实数的性质是解题的关键．
3．C
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【详解】解：与互为倒数的数是；
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数，乘积为1的两个数互为倒数．
4．B
【分析】根据正负数的意义收入为正，那么支出为负进行选择即可．
【详解】解：由题意得：支出10元记作元；
故选B．
【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．
5．D
【分析】根据相反数的意义可得．
【详解】解：根据相反数的意义得出：的相反数是，
故选：D．
【点睛】本题考查的是相反数，解题的关键是掌握相反数的意义．
6．A
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
7．B
【分析】根据正数和负数的意义解答即可．
【详解】解：南、北为两个相反方向，如果表示一个物体向北移动5m，那么表示一个物体向南移动3m，
故选：B．
【点睛】本题考查正数和负数，明确正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示是解题的关键．
8．
【分析】根据算术平方根定义直接求解即可得到答案．
【详解】解：4的算术平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根定义，熟记算术平方根定义是解决问题的关键．
9．3
【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：3．
【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题关键．
10．3
【分析】原式先化简，再进行减法运算即可．
【详解】解：

＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简是解答本题的关键．
11．18
【分析】分别计算负指数幂，零指数幂和乘方，再算加减法．
【详解】解：


故答案为：18．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握负指数幂，零指数幂和乘方的运算法则．
12．
【分析】根据有理数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝

．
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
13．1
【分析】先化简二次根式、绝对值，负整数指数幂、特殊角三角函数值，再进行计算即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算．熟记特殊角的三角函数值，正确的计算，是解题的关键．
14．
【分析】先化简二次根式、计算特殊角的正弦值、化简绝对值、计算零指数幂，再计算实数的混合运算即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及化简二次根式、特殊角的正弦值、化简绝对值和零指数幂．掌握实数的混合运算法则是解题关键．








中考倒计时
19天

代数式

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的问题多以填空题、选择题为主的形式考查，部分涉及本知识点以解答题形式的出现，属于中低档题
2．从考查内容来看，涉及本知识点主要的有整式：幂的运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)、合并同类项、整式的加减、整式的乘法法则；分式:分式的意义、分式的加减乘除化简；二次根式：二次根式的混合运算、二次根式的意义与化简；因式分解:因式分解与整式乘法的区别、选用适当的方法进行分解因式、分式的化简中运用因式分解.
3．从考查热点来看,涉及本知识点主要有合并同类项、代数式的化简求值、因式分解、分式的意义将成为中考命题的热点.

1）代数式
代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.
2）整式
1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.
注：①单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成；②一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.
3．整式：单项式和多项式统称为整式.
4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.
5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
6．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.
7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
8．乘法公式：（1）平方差公式：. （2）完全平方公式：.
9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.
3）因式分解
1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.
2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：.
（2）公式法：运用平方差公式：.运用完全平方公式：.
3．分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。以上步骤可以概括为“一提二套三检查”。
4）分式
1．分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注】①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
3．约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
4．最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
5．通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
6．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
7．分式的运算
（1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
（2）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
用式子表示为：．
（3）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
（4）分式的乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．
用式子表示为：为正整数，．
（5）分式的混合运算：含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
5）二次根式
1．二次根式的有关概念
（1）二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
（4）；（5）．
3．二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法则：；除法法则：．
（3）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．

一．选择题
1．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（　　）
A．3 B．a C． D．x2y
【分析】根据单项式的概念判断即可．
【解答】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、不是单项式，故本选项符合题意；
D、x2y是单项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2022•无锡）分式中x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x≤﹣2 D．x≤2
【分析】由分母不等于0列式计算即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴2﹣x≠0，
解得x≠2，
故选：A．
3．（2022•西藏）下列计算正确的是（　　）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
【分析】根据合并同类项法则进行一一计算．
【解答】解：A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，计算正确，符合题意；
B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，计算不正确，不符合题意；
C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，计算不正确，不符合题意；
D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，计算不正确，不符合题意．
故选：A．
4．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
5．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．
【解答】解：原式＝2+，
∵3＜＜4，
∴5＜2+＜6，
故选：B．
二．填空题
6．（2022•菏泽）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　x＞3　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案为：x＞3．
7．（2022•辽宁）分解因式：3x2y﹣3y＝　3y（x+1）（x﹣1）　．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：3x2y﹣3y
＝3y（x2﹣1）
＝3y（x+1）（x﹣1），
故答案为：3y（x+1）（x﹣1）．
8．（2022•恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝　a（a﹣3）2　．
【分析】先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣6a+9）＝a（a﹣3）2，
故答案为：a（a﹣3）2．
9．（2022•襄阳）化简分式：+＝　m　．
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝m，
故答案为：m．
10．（2022•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料 　　根．

【分析】观察图形可得：第n个图形最底层有n根木料，据此可得答案．
【解答】解：由图可知：
第一个图形有木料1根，
第二个图形有木料1+2＝3（根），
第三个图形有木料1+2+3＝6（根），
第四个图形有木料1+2+3+4＝10（根），
.....．
第n个图有木料1+2+3+4+......+n＝（根），
故答案为：．
三．解答题
11．（2022•河池）计算：|﹣2|﹣3﹣1﹣×+（π﹣5）0．
【分析】先去绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂和二次根式乘法，再合并即可．
【解答】解：原式＝2﹣﹣2+1
＝．
12．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣
＝1+1+2×+﹣1﹣2
＝2++﹣1﹣2
＝1；
（2）（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）
＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
＝4x，
当x＝时，原式＝4×＝2．
13．（2022•襄阳）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a＝﹣，b＝+．
【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2
＝6ab，
∵a＝﹣，b＝+，
∴原式＝6ab
＝6×（﹣）（+）
＝6．
14．（2022•内蒙古）先化简，再求值：（﹣x﹣1）÷，其中x＝3．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x＝3代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝﹣•
＝﹣，
当x＝3时，
原式＝﹣
＝﹣5．
15．（2022•营口）先化简，再求值：（a+1﹣）÷，其中a＝+|﹣2|﹣（）﹣1．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解，则约分得到原式＝，然后根据算术平方根的定义、绝对值和负整数指数幂的意义计算出a的值，最后把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝•

＝•
＝，
∵a＝+|﹣2|﹣（）﹣1＝3+2﹣2＝3，
∴原式＝＝．

一．选择题
1．（2023•杨浦区二模）下列单项式中，xy2的同类项是（　　）
A．x3y2 B．x2y C．2xy2 D．2x2y3
2．（2023•呼和浩特一模）下列运算正确的是（　　）
A． B．5y3•3y5＝15y15
C． D．3x2y+2xy2＝5x2y2
3．（2023•安庆模拟）下列分解因式正确的是（　　）
A．x2+2x+1＝x（x+2）+1 B．x2+2x+1＝（x+1）（x﹣1）
C． D．x2+x＝x（x+1）
4．（2023•西青区一模）计算的结果是（　　）
A． B． C．3 D．2
二．填空题
5．（2023•灞桥区校级三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 　 　．
6．（2023•文山市一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围为 　 　．
7．（2023•惠东县一模）已知a2﹣a＝1，则代数式3+2a﹣2a2的值为 　 　．
8．（2023•福安市二模）已知a+b＝7，a2+b2＝25，则ab＝　 　．
9．（2023•杏花岭区校级模拟）有一组数依次为，，，…按此规律，第n个数为 　 　.（用含n的代数式表示）
三．解答题
10．（2023•城关区一模）计算：．



11．（2023•未央区校级三模）因式分解：9（m+n）2﹣16（m﹣n）2．



12．（2023•东营区一模）计算及先化简，再求值：
（1）计算：﹣2；



（2）先化简，再求值：，其中x从﹣3、﹣2、﹣1中选择一个适当的数代入．





13．（2023•南关区校级模拟）先化简，再求值：（x+y）2﹣x（x+y）+（x﹣y）（x+y），其中x＝1，y＝．






14．（2023•东莞市校级一模）先化简，再求值：，其中．








一．选择题
1．下列计算正确的是（　　）
A．+＝ B．2+3＝5 C．×＝ D．2×3＝6
2．下列运算正确的是（　　）
A．2x﹣y＝﹣xy B．x﹣2x＝﹣x
C．x2+x2＝x4 D．（x﹣1）2＝x2﹣1
3．若x﹣2y＝3，则4﹣x+2y的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．下列因式分解正确的是（　　）
A．y2﹣x2＝（y+x）（x﹣y） B．x2﹣4x+2＝（x﹣2）2
C．9xy2+6xy+x＝x（3y+1）2 D．x2y﹣xy2＝x（x+y）（x﹣y）
5．把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（　　）


A．12 B．14 C．16 D．18
6．化简的结果为（　　）
A．a﹣b B．a+b C． D．
二．填空题
7．若代数式有意义，则实数x的取值范围为 　 　．
8．若分式的值为0，则x＝　 　．
9．因式分解：ax2﹣4ax+4a＝　 　．
10．如果多项式16a2+ma+9是一个完全平方式，那么常数m的值为 　 　．
三．解答题
11．计算：．



12．因式分解：3a2﹣12ab+12b2



13．先化简，再求值：，其中x从﹣1，0，1，2，3中选取一个合适的数．







14．在计算题目：“已知：M＝3x2﹣4x+2，N＝■，求2M﹣N”时，嘉淇把“2M﹣N”看成“M﹣2N”，得到的计算结果是﹣x2+4x﹣4．
（1）求整式N；
（2）判断2M﹣N的化简结果是否能为负数，并说明理由．














名校预测
一．选择题
1．【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项）即可作出判断．
【解答】解：A．x3y2与xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意；
B．x2y与xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意；
C．2xy2与xy2所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项符合题意；
D．2x2y3与﹣3xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．【分析】根据算术平方根，单项式乘单项式、分母有理化以及同类项的运算法则判断即可．
【解答】解：A． ，故本选项错误；
B．5y3⋅3y5＝15y8，故本选项错误；
C． ，故本选项正确；
D．3x2y与2xy2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
故选：C．
3．【分析】因式分解要求写成几个因式乘积的形式，B选项应该运用完全平方公式而不是平方差，所以选D
【解答】解：A分解的结果不是积的形式，故不符合题意．
B分解的是积的形式，但它不是平方差公式的应用，故不符合题意．
C选项结果不符合因式分解的定义，故不符合题意．
D选项符合题意，
故选：D．
4．【分析】利用分式的加法的法则进行运算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝2．
故选：D．
二．填空题
5．【分析】根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案为：x＞3．
6．【分析】根据分式有意义的条件即分母不为0可直接进行求解．
【解答】解：由代数式有意义可得：
3﹣x≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
7．【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵a2﹣a＝1，
∴原式＝3﹣2（a2﹣a）
＝3﹣2×1
＝3﹣2
＝1．
故答案为：1．
8．【分析】根据完全平方公式变形求解即可．
【解答】解：∵a+b＝7，a2+b2＝25，
∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝72﹣25＝24，
∴ab＝12．
故答案为：12．
9．【分析】通过观察分别归纳出第n个数分子和分母的规律进行求解．
【解答】解：∵第1个数＝，
第2个数＝，
第3个数＝，
……
∴第n个数为，
故答案为：．
三．解答题
10．【分析】先算二次根式的乘法，再约分，最后进行加减运算即可．
【解答】解：
＝4﹣
＝4﹣
＝4﹣5
＝﹣1．
11．【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝[3（m+n）+4（m﹣n）][3（m+n）﹣4（m﹣n）]＝（7m﹣n）（﹣m+7n）．
12．【分析】（1）先算零指数幂，负整数指数幂，去绝对值，用平方差公式，再合并；
（2）先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将有意义的x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1+2﹣2﹣（3﹣1）+9
＝6+2；
（2）原式＝•
＝•
＝，
当x＝﹣2，x＝﹣1时，原式无意义，
当x＝﹣3时，
原式＝
＝2．
13．【分析】先用完全平方公式，平方差公式等展开，再将x，y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2+2xy+y2﹣x2﹣xy+x2﹣y2
＝x2+xy，
当x＝1，y＝时，
原式＝12+1×
＝1+．
14．【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝，
当x＝+2时，原式＝＝．
专家押题
一．选择题
1．【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘法运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：A.+无法合并，故此选项不合题意；
B.2+3＝5，故此选项符合题意；
C.×＝，故此选项不合题意；
D.2×3＝12，故此选项不合题意；
故选：B．
2．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、2x与y不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、x﹣2x＝﹣x，符合题意；
C、x2+x2＝2x2，故不符合题意；
D、（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，故不符合题意．
故选：B．
3．【分析】将代数式适当变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵x﹣2y＝3，
∴原式＝4﹣（x﹣2y）
＝4﹣3
＝1，
故选：A．
4．【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝（y+x）（y﹣x），不符合题意；
B、原式不能分解，不符合题意；
C、原式＝x（9y2+6y+1）＝x（3y+1）2，符合题意；
D、原式＝xy（x﹣y），不符合题意．
故选：C．
5．【分析】第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有（4+2）个黑色圆点，第③个图案中有（4+2+2）个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n＝7计算即可．
【解答】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有（4+2）个黑色圆点，
第③个图案中有（4+2+2）个黑色圆点，
第④个图案中有（4+2+2+2）个黑色圆点，
……
则第n个图形中黑色圆点的个数为4+2（n﹣1）＝2n+2，
当n＝7时，2n+2＝2×7+2＝16，
∴第⑦个图案中黑色圆点的个数为16．
故选：C．
6．【分析】根据同分母的分式相加减法则进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝a+b，
故选：B．
二．填空题
7．【分析】根据二次根式及分式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案为：x＞3．
8．【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴|x|﹣1＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
9．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
10．【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵（4a±3）2＝16a2±24a+9，
∴m＝±24，
故答案为：±24．
三．解答题
11．【分析】先算平方差，绝对值，二次根式的化简，再算加减即可．
【解答】解：
＝（）2﹣22++2
＝5﹣4++2
＝1+3．
12．【分析】观察发现原式含有公因式3，故可将其变形为3（a2﹣4ab+4b2）；再结合完全平方公式对其进一步分解即可．
【解答】解：3a2﹣12ab+12b2
＝3（a2﹣4ab+4b2）
＝3（a﹣2b）2．
故答案为：3（a﹣2b）2．
13．【分析】根据分式的混合运算进行计算，然后根据分式有意义的条件，取x＝0代入化简结果进行计算即可求解．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
∵x取﹣1，1，3时，原分式没有意义，
∴当x＝0时，原式＝．
14．【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出N；
（2）写出正确的2M﹣N，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：N＝[3x2﹣4x+2﹣（﹣x2+4x﹣4）]＝2x2﹣4x+3；
（2）2M﹣N＝2（3x2﹣4x+2）﹣（2x2﹣4x+3）＝6x2﹣8+4﹣2x2+4x﹣3＝4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，
∵（2x﹣1）2≥0．
∴2M﹣N的化简结果不能为负数．












中考倒计时
18天

初中四大方程（组）

1．从考查的题型来看，填空题或选择题、解答题的形式都有考查，整式方程占比分相当大,难度有中档难度附近，一般大多数考生能拿到分数.
2．从考查内容来看。主要考查方程的相关定义、解方程，方程在实际问题中的应用.
3．从考查热点来看，涉及本知识点的有：①分式方程、一元二次方程及二次一次方程组的解法②一元二次方程根与系数的关系；③由实际问题列出方程或者方程组求解；④方程中含参求参数的值或者参数范围.

1、方程和方程的解的概念
1）等式的性质
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2）方程:含有未知数的等式叫做方程．
3）方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．
2、一元一次方程及其解法
1）一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为． 注意：x前面的系数不为0．
2）一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
3）一元一次方程的求解步骤
变形名称
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．
3、二元一次方程（组）及解的概念
1）二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
2）二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
3）二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．
4）解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
5）二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
4、一次方程（组）的应用
1）列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；
（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．
2）一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
5、一元二次方程的概念
1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2）一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．
6、一元二次方程的解法
1）直接开平方法：适合于或形式的方程．
2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）运用直接开平方法解方程．
3）公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可．
4）因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
7、一元二次方程根的判别式及根与系数关系
1）根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．
2）一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；
（3）当时，方程没有实数根．
3）根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．
8、利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．
1）增长率等量关系
（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．
2）利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％．
3）面积问题
（1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．
（2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．
（3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

图1 图2 图3
4）碰面问题（循环问题）
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分. ∴m=n（n－1）
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.
∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠. ∴m=n（n－1）
9．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
10．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
11．分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答

一．选择题
1．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（　　）
A．若＝，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2
【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、若＝，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、﹣x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
2．（2022•百色）方程3x＝2x+7的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7
【分析】方程移项合并，即可求出解．
【解答】解：移项得：3x﹣2x＝7，
合并同类项得：x＝7．
故选：C．
3．（2022•淮安）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故选：A．
4．（2022•黔西南州）小明解方程﹣1＝的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】对题目的解题过程逐步分析，即可找出出错的步骤．
【解答】解：方程两边同乘6应为：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出错的步骤为：①，
故选：A．
5．（2022•营口）分式方程＝的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝﹣2
【分析】方程两边都乘x（x﹣2）得出3（x﹣2）＝2x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：＝，
方程两边都乘x（x﹣2），得3（x﹣2）＝2x，
解得：x＝6，
检验：当x＝6时，x（x﹣2）≠0，
所以x＝6是原方程的解，
即原方程的解是x＝6，
故选：C．
6．（2022•六盘水）我国“DF﹣41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），则“DF﹣41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行x分钟能打击到目标，可以得到方程（　　）
A．26×340×60x＝12000 B．26×340x＝12000
C．＝12000 D．＝12000
【分析】根据速度×时间＝路程列方程，时间单位换算成分，路程单位换算成公里即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：＝12000，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
7．（2022•雅安）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 　　．
【分析】把x与y的值代入方程计算得到a+2b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：把代入ax+by＝3得：a+2b＝3，
则原式＝2（a+2b）﹣5
＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
故答案为：1．
8．（2022•无锡）二元一次方程组的解是 　　．
【分析】用加减消元法先消去x，把二元转化为一元，即可解得方程组．
【解答】解：，
②﹣①得：
4y＝4，
∴y＝1，
把y＝1代入②得：
2x+1＝5，
∴x＝2，
∴．
故答案为：．
9．（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 　　．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
由题意得25（1+x）2＝36，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）
所以平均每月的增长率为20%．
故答案为：20%．
10．（2022•黄石）已知关于x的方程+＝的解为负数，则a的取值范围是 　　．
【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．
【解答】解：去分母得：x+1+x＝x+a，
解得：x＝a﹣1，
∵分式方程的解为负数，
∴a﹣1＜0且a﹣1≠0且a﹣1≠﹣1，
∴a＜1且a≠0，
∴a的取值范围是a＜1且a≠0，
故答案为：a＜1且a≠0．
11．（2022•日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22＝，则m＝　　．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝，再由x12+x22＝变形得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝，即可得到4m2﹣m＝，然后解此方程即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝，
∵x12+x22＝，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝，
∴4m2﹣m＝，
∴m1＝﹣，m2＝，
∵Δ＝16m2﹣8m＞0，
∴m＞或m＜0，
∴m＝不合题意，
故答案为：﹣．
三．解答题
12．（2022•凉山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
13．（2022•柳州）解方程组：．
【分析】先消元，再求解．
【解答】解：①+②得：3x＝9，
∴x＝3，
将x＝3代入②得：6+y＝7，
∴y＝1．
∴原方程组的解为：．
14．（2022•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1x2＝k2+1，再利用x1x2＝5得到k2+1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＞；
（2）根据题意得x1x2＝k2+1，
∵x1x2＝5，
∴k2+1＝5，
解得k1＝﹣2，k2＝2，
∵k＞，
∴k＝2．
15．（2022•赤峰）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．
（1）请问A、B两种苗木各多少株？
（2）如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？
【分析】（1）设A种苗木有x株，B种苗木有y株，根据“A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株”列二元一次方程组，求解即可；
（2）设安排m人种植A种苗木，根据“确保同时完成任务”列分式方程，求解即可．
【解答】解：（1）设A种苗木有x株，B种苗木有y株，
根据题意，得，
解得，
答：A种苗木有2400株，B种苗木有3600株；
（2）设安排m人种植A种苗木，
根据题意，得，
解得m＝100，
经检验，m＝100是原方程的根，且符合题意，
350﹣m＝350﹣100＝250（人），
答：应安排100人种植A种苗木，250人种植B种苗木，才能确保同时完成任务．
16．（2022•阜新）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
（1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
【分析】（1）设生产A产品x件，B产品y件，根据题意列出方程组，求出即可；
（2）设B产品生产m件，则A产品生产（180﹣m）件，根据题意列出不等式组，求出即可．
【解答】解：（1）设生产A产品x件，B产品y件，
根据题意，得
解这个方程组，得，
所以，生产A产品30件，B产品70件．
（2）设B产品生产m件，则A产品生产（180﹣m）件，
根据题意，得（100﹣75）m+（120﹣100）（180﹣m）≥4300，
解这个不等式，得m≥140．
所以，B产品至少生产140件．

一．选择题
1．（2023•文山市一模）关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k≤2 C．k＜4且k≠0 D．k≤2且k≠0
2．（2023•平阳县一模）解方程，以下去分母正确的是（　　）
A．4（x+2）+3（2x﹣1）＝12 B．4（x+2）+3（2x﹣1）＝1
C．x+2+2x﹣1＝12 D．3（x+2）+4（2x﹣1）＝12
3．（2023•佳木斯一模）黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有（　　）
A．8支 B．9支 C．10支 D．11支
4．（2023•驻马店二模）若关于x的分式方程的解是2，则m的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
5．（2023•张家口二模）《九章算术》是中国古代数学专著，它首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”意思是：“现有几个人合伙出钱买鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？”设合伙买鸡者有x个人，鸡的价格为y文钱，则可得方程组（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题
6．（2023•甘井子区模拟）方程的解是 　 　．
7．（2023•泸县校级二模）已知方程组中，x，y的值相等，则m＝　 　．
8．（2023•南关区校级模拟）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，则x的值为 　 　．
9．（2023•仪征市一模）一元二次方程x2﹣2x+k＝0的两根是x1和x2，则x1•x2的最大值为 　 　．
三．解答题
10．（2023•西安校级三模）用适当的方法解一元二次方程：x2﹣3x﹣2＝0．



11．（2023•灞桥区校级二模）解方程组：．



12．（2023•茅箭区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且，求m的值．




13．（2023•乾县一模）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，求可购买绿萝和吊兰各多少盆．





14．（2023•梁溪区一模）春夏之交正是农业用水高峰期，某地水利站有A，B两台泵机实施调水作业．如果单开A泵机，可以正好在预定时间内完成，总费用为1920元；如果单开B泵机，则要比预定时间多4天，总费用为2240元．水利站经过测算，如果A，B两台泵机同时开启3天，然后由B泵机单独完成余下的调水作业，这样也能正好在预定时间内完成．
（1）A，B两台泵机平均每天费用分别是多少元？
（2）水利站接到上级部门要求提前3天完成调水作业，请问如何安排两台泵机作业才能完成任务？花费最少是多少元？（注：不足一天按照一天计算费用．）


一．选择题
1．运用等式的性质变形正确的是（　　）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果a＞0，那么a2＝2a
C．如果a＝b，那么＝ D．如果＝，那么a＝b
2．分式方程﹣＝1的解为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2
3．一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
4．我国古代有这样一道数学题：“马五匹，牛六头，共价五十四两（我国古代货币单位）；马四匹，牛三头，共价三十六两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（　　）
A．2024 B．2022 C．2020 D．2018
二．填空题
6．关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是3，则另一个根是 　 　．
7．若，则x+y＝　 　．
8．某学校在“读一本好书”活动中，为学生购买了名著《三国演义》20套，《西游记》16套，共用了1820元，其中《三国演义》每套比《西游记》每套多1元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设《西游记》每套x元，可列方程为 　 　．
9．关于x的分式方程的解为正数，则k的取值范围是 　 　．
三．解答题
10．解方程（组）：
（1）x2﹣6x＝1； （2）．
11．解方程：．




12．在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以3：2逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积23分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数．




13．某运输公司有A、B两种货车，4辆A货车与2辆B货车一次可以运货110吨，6辆A货车与4辆B货车一次可以运货180吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费600元，每辆B货车一次运货花费500元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．



14．端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际，用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同，已知A种粽子单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A、B两种粽子单价各多少？
（2）商场准备再次购进A、B两种粽子共2600个，要求B种粽子数量不超过A种粽子数量的3倍，那么要购进多少个A种粽子最省钱？（已知A、B两种粽子进价不变）



名校预测
一．选择题
1．【分析】根据一元二次方程的定义得到k≠0，根据一元二次方程有两个实数根得到Δ＝b2﹣4ac≥0，求出k的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2k≥0，
解得k≤2，
又∵k≠0，
∴k≤2且k≠0．
故选：D．
2．【分析】去分母时，可以等式两边同时乘以分母的最小公倍数，即可得出答案．
【解答】解：方程两边同时乘以12，
得4（x+2）+3（2x﹣1）＝12．
故选：A．
3．【分析】设参加比赛的队伍共有x支，利用进行比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1），可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设参加比赛的队伍共有x支，
根据题意得：x（x﹣1）＝110，
整理得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合题意，舍去），
∴参加比赛的队伍共有11支．
故选：D．
4．【分析】将x＝2代入原方程解答即可．
【解答】解：∵关于x的分式方程的解是2，
∴，
∴m＝﹣4．
故选：A．
5．【分析】根据“每人出9文钱，就会多11文钱；每人出6文钱，又会缺16文钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵如果每人出9文钱，就会多11文钱，
∴9x﹣11＝y；
∵如果每人出6文钱，又会缺16文钱，
∴6x+16＝y．
∴根据题意可列方程组．
故选：A．
二．填空题
6．【分析】先去分母，化为整式方程，再解一元一次方程即可，注意检验．
【解答】解：去分母，得3＝x+2，
解得x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的根，
故答案为：x＝1．
7．【分析】把y＝x代入方程组计算即可求出m的值．
【解答】解：根据题意得：y＝x，
代入方程组得：，
解得：，
则m＝4．
故答案为：4．
8．【分析】可设有x名学生，根据总本数相等和每人分3本，剩余20本，每人分4本，缺25本可列出方程，求解即可．
【解答】解：设有x名学生，根据书的总量相等可得：
3x+20＝4x﹣25，
解得：x＝45．
答：这个班有45名学生．
故答案为：45．
9．【分析】根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系即可求解．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+k＝0有两个根是x1和x2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k≥0，x1•x2＝k，
解得：k≤1，
∴x1•x2的最大值为1．
故答案为：1．
三．解答题
10．【分析】先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
【解答】解：x2﹣3x﹣2＝0，
a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝．
11．【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
②×2﹣①，得
5x＝12，
解得，
把代入②，得
，
解得，
则方程组的解为．
12．【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出m的值．
【解答】（1）证明：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∵Δ＝（m﹣3）2﹣4×（﹣m）
＝m2﹣6m+9+4m
＝m2﹣2m+1+8
＝（m﹣1）2+8≥8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系可得：x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m，
∵，
∴，即（m﹣3）2+3m＝19，
整理得：m2﹣3m﹣10＝0，即（m﹣5）（m+2）＝0，
所以m﹣5＝0或m+2＝0，
解得：m＝5或m＝﹣2．
故m的值是5或﹣2．
13．【分析】设可购买绿萝x盆，吊兰y盆，由题意：计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆．采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设可购买绿萝x盆，吊兰y盆，
依题意得：，
解得：，
答：可购买绿萝38盆，吊兰8盆．
14．【分析】（1）设预定完成工作任务的时间为x天，则单开A泵机需要x天完成，单开B泵机需要（x+4）天完成，由题意列分式方程并求解，即可获得答案；
（2）设A泵机工作m天，B泵机工作n天（其中m≤9，n≤9）总费用为W元，由题意可得W＝160m+140n，，整理可得，结合一次函数的性质即可获得答案．
【解答】解：（1）设预定完成工作任务的时间为x天，则单开A泵机需要x天完成，单开B泵机需要（x+4）天完成，
由题意可得 ，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原分式方程的解，
所以，A泵机平均每天费用是（元）
B泵机平均每天费用是（元）；
（2）设A泵机工作m天，B泵机工作n天（其中m≤9，n≤9）总费用为W元，
由题意可得，W＝160m+140n，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝9时，W有最小值，最小值为（元），
此时（天），
∴A泵机工作9天，B泵机工作4天，总费用为最少为2000元．
专家押题
一．选择题
1．【分析】根据等式的性质进行解答即可．
【解答】解：A、两边加不同的整式，错误，不符合题意；
B、当a＝0.1时，a2＜2a，原说法错误，不符合题意；
C、c＝0时，两边除以c无意义，错误，不符合题意；
D、两边都乘以c，正确，符合题意．
故选：D．
2．【分析】方程两边都乘x（x+2）得出（x﹣1）（x+2）﹣x＝x（x+2），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：﹣＝1，
方程两边都乘x（x+2），得（x﹣1）（x+2）﹣x＝x（x+2），
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x（x+2）≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即原分式方程的解是x＝﹣1，
故选：A．
3．【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断其的符号就即可．
【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0，
∴2x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故选：C．
4．【分析】根据马五匹，牛六头，共价五十四两（我国古代货币单位）；马四匹，牛三头，共价三十六两，可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
5．【分析】根据题意可得m2+2m﹣2022＝0，m+n＝﹣2，变形后代入代数式即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m2+2m﹣2022＝0，m+n＝﹣2，
∴m2＝2022﹣2m，
∴m2+4m+2n＝2022﹣2m+4m+2n
＝2022+2m+2n
＝2022+2（m+n）
＝2022﹣4
＝2018，
故选：D．
二．填空题
6．【分析】设方程的另一个根是x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出x1，此题得解．
【解答】解：设方程的另一个根是x1，
依题意得：x1+3＝﹣3，
解得：x1＝﹣6．
故答案为：﹣6．
7．【分析】方程组两方程相减即可求出x+y的值．
【解答】解：，
②﹣①得：x+y＝1．
故答案为：1．
8．【分析】直接利用购买了名著《三国演义》20套，《西游记》16套，共用了1820元，进而得出等式即可．
【解答】解：设《西游记》每套x元，《三国演义》每套（x+1）元，根据题意可得：
20（x+1）+16x＝1820．
故答案为：20（x+1）+16x＝1820．
9．【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解的定义解决此题．
【解答】解：，
去分母，得2x+k＝﹣2（x﹣3）．
去括号，得2x+k＝﹣2x+6．
移项，得2x+2x＝6﹣k．
合并同类项，得4x＝6﹣k．
x的系数化为1，得x＝．
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴x＝＞0且x＝≠3．
∴k＜6且k≠﹣6．
故答案为：k＜6且k≠﹣6．
三．解答题
10．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：（1）配方得：x2﹣6x+9＝10，
∴（x﹣3）2＝10，
开方得：x﹣3＝±，
解得：x1＝3+，x2＝3﹣；
（2），
把①代入②得：2（y+4）+y＝5，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得：x＝﹣1+4＝3，
则方程组的解为．
11．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝3（x﹣2），
整理得：x2+2x﹣x2+4＝3x﹣6，
解得：x＝10，
检验：把x＝10代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝10．
12．【分析】设九（1）班获胜x场，则平（11﹣x）场，根据九（1）班开局11场共积23分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设九（1）班获胜x场，则平（11﹣x）场，
根据题意得：3x+（11﹣x）＝23，
解得：x＝6．
答：九（1）班获胜6场．
13．【分析】（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨，根据“4辆A货车与2辆B货车一次可以运货110吨，6辆A货车与4辆B货车一次可以运货180吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排m辆A货车，n辆B货车，根据安排的两种货车一次可以运货190吨且A，B两种货车均满载，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案，再利用总运费＝每辆车的运费×派车数量，即可求出各方案所需总运费，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨，
依题意得：，
解得：．
∴1辆A货车一次可以运货20吨，1辆B货车一次可以运货15吨．
（2）设安排m辆A货车，n辆B货车，
依题意得：20m+15n＝190，
∴n＝．
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种运输方案，
方案1：安排2辆A货车，10辆B货车；
方案2：安排5辆A货车，6辆B货车；
方案3：安排8辆A货车，2辆B货车．
选择方案1所需总运费为600×2+500×10＝6200（元）；
选择方案2所需总运费为600×5+500×6＝6000（元）；
选择方案3所需总运费为600×8+500×2＝5800（元）．
∵6200＞6000＞5800，
∴运输方案3费用最少．
答：（1）1辆A货车一次可以运货20吨，1辆B货车一次可以运货15吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排2辆A货车，10辆B货车；方案2：安排5辆A货车，6辆B货车；方案3：安排8辆A货车，2辆B货车，运输方案3费用最少．
14．【分析】（1）根据题意列出分式方程计算即可，注意根的验证；
（2）设A种粽子购进m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，设购进粽子的总费用为w元，根据题意，得一次函数解析式和一元一次不等式，求出不等式的解集，根据一次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设B种粽子的单价为x元，则A种粽子的单价为1.2x元，
根据题意，得
解得：x＝2.5，
经检验，x＝2.5是原方程的根，1.2x＝1.2×2.5＝3，
所以A种粽子的单价是3元，B种粽子的单价是2.5元；

（2）设A种粽子购进m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，设购进粽子的总费用为w元，根据题意，得w＝3m+2.5（2600﹣m）＝0.5m+6500，
由题意得2600﹣m≤3m，
解得m≥650，
∵0.5＞0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m＝650时，w有最小值，此时w＝0.5×650+6500＝6825，
即购进650个A种粽子最省钱．
答：购进650个A种粽子最省钱．
中考倒计时
17天

不等式及不等式（组）

1．从考查的题型来看，填空题或选择题以中低档型出现,解答题以中档型出现;三种题型必考其一.解答题占的分值在8分~10分之间,以解不等式和应用题考查为主.
2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有不等式的基本性质；解一元一次不等式（组）,并会表示解集;一元一次不等式（组）的应用.
3．从考查热点来看,涉及本知识点的有：不等式的基本性质；解一元一次不等式（组）,解集在数轴上表示；一元一次不等式（组）的应用.

1、不等式的概念、性质及解集表示
1）不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2）不等式的基本性质

理论依据
式子表示
性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
若，则
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
若，，则或
性质3
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
若，，则或
注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
3）不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
2、一元一次不等式及其解法
1）一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2）解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
3、一元一次不等式组及其解法
1）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组．
2）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
3）一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
4）几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀



同大取大



同小取小



大小、小大中间找


无解
大大、小小取不了
考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式组的最小整数解；（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
4、列不等式（组）解决实际问题
列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．
考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．

1．（2022•宿迁）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y
【分析】根据不等式的性质进行分析判断．
【解答】解：A、在不等式x＜y的两边同时减去1，不等号的方向不变，即x﹣1＜y﹣1，不符合题意；
B、在不等式x＜y的两边同时加上1，不等号的方向不变，即x+1＜y+1，不符合题意；
C、在不等式x＜y的两边同时乘﹣2，不等号法方向改变，即﹣2x＞﹣2y，不符合题意；
D、在不等式x＜y的两边同时乘2，不等号的方向不变，即2x＜2y，符合题意．
故选：D．
2．（2022•益阳）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．
【解答】解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故A不符合题意；
B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故B不符合题意；
C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故C不符合题意；
D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故D符合题意．
故选：D．
3．（2022•阜新）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，
由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
4．（2022•济宁）若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．﹣4≤a＜﹣2 B．﹣3＜a≤﹣2 C．﹣3≤a≤﹣2 D．﹣3≤a＜﹣2
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：解不等式x﹣a＞0得：x＞a，
解不等式7﹣2x＞5得：x＜1，
∵关于x的不等式组仅有3个整数解，
∴﹣3≤a＜﹣2，
故选：D．
5．（2022•绥化）不等式组的解集为x＞2，则m的取值范围为 　　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：由3x﹣6＞0，得：x＞2，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
6．（2022•青海）不等式组的所有整数解的和为 　　．
【分析】先解不等式组，求出x的范围，再求出满足条件的整数，相加即可得答案．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣2，
由②得x＜3，
∴﹣2≤x＜3，
x可取的整数有：﹣2，﹣1，0，1，2；
∴所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2＝0，
故答案为：0．
7．（2022•泰州）已知a＝2m2﹣mn，b＝mn﹣2n2，c＝m2﹣n2（m≠n），用“＜”表示a、b、c的大小关系为 　　．
【分析】代数式的比较，常用的方法是作差法或者作商法，由于填空题不需要过程的特殊性，还可以考虑特殊值代入法．考虑到答案唯一，因此特殊值代入法最合适，也最简单．
【解答】解：解法1：令m＝1，n＝0，
则a＝2，b＝0，c＝1．
∵0＜1＜2．
∴b＜c＜a．
解法2：∵a﹣c＝（2m2﹣mn）﹣（m2﹣n2）＝（m﹣0.5n）2+0.75n2＞0；
∴c＜a；
∵c﹣b＝（m2﹣n2）﹣（mn﹣2n2）＝（m﹣0.5n）2+.075n2＞0；
∴b＜c；
∴b＜c＜a．
8．（2022•山西）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 　　元．

【分析】设该护眼灯可降价x元，根据“以利润率不低于20%的价格降价出售”列一元一次不等式，求解即可．
【解答】解：设该护眼灯可降价x元，
根据题意，得，
解得x≤32，
故答案为：32．
9．（2022•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程x﹣1＝0是关于x的不等式组的关联方程，则n的取值范围是 　　．
【分析】先解方程x﹣1＝0得x＝3，再利用新定义得到，然后解n的不等式组即可．
【解答】解：解方程x﹣1＝0得x＝3，
∵x＝3为不等式组的解，
∴，
解得1≤n＜3，
即n的取值范围为：1≤n＜3，
故答案为：1≤n＜3．
10．（2022•丽水）不等式3x＞2x+4的解集是 　　．
【分析】先移项，再合并同类项即可．
【解答】解：3x＞2x+4，
3x﹣2x＞4，
x＞4，
故答案为：x＞4．
11．（2022•陕西）求不等式﹣1＜的正整数解．
【分析】解不等式求出x的范围，再取符合条件的正整数即可．
【解答】解：两边同时乘以4得：2x﹣4＜x+1，
移项得：2x﹣x＜1+4，
合并同类项得：x＜5，
∴不等式的正整数解有：4，3，2，1．
12．（2022•菏泽）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：由①得：x≤1，
由②得：x＜6，
∴不等式组的解集为x≤1，
解集表示在数轴上，如图所示：
．
13．（2022•淮安）解不等式组：并写出它的正整数解．
【分析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
【解答】解：解不等式2（x﹣1）≥﹣4得x≥﹣1．
解不等式＜x﹣1得x＜4，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜4．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
14．（2022•荆门）已知关于x的不等式组（a＞﹣1）．
（1）当a＝时，解此不等式组；
（2）若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．
【分析】（1）把a的值代入再求解；
（2）先解不等式组，再根据题意列不等式求解．
【解答】解：（1）当a＝时，不等式组化为：，
解得：﹣2＜x＜4；
（2）解不等式组得：﹣2a﹣1＜x＜2a+3，
解法一：令y1＝﹣2a﹣1，y2＝2a+3，（a＞﹣1）
如图所示：

当a＝0时．x只有一个奇数解1，不合题意；
当a＝1，x有奇数解1，﹣1，3，符合题意；
∵不等式组的解集中恰含三个奇数，
∴0＜a≤1．
解法二：∵＝1，且不等式组的解集中恰含三个奇数，
∴不等式组的解集的三个奇数必为：﹣1，1，3，
∴﹣3≤﹣2a﹣1＜﹣1，且3＜2a+3≤5，
解得：0＜a≤1．
15．（2022•阜新）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
（1）第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
（2）下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
【分析】（1）设生产A产品x件，B产品y件，根据题意列出方程组，求出即可；
（2）设B产品生产m件，则A产品生产（180﹣m）件，根据题意列出不等式组，求出即可．
【解答】解：（1）设生产A产品x件，B产品y件，
根据题意，得
解这个方程组，得，
所以，生产A产品30件，B产品70件．
（2）设B产品生产m件，则A产品生产（180﹣m）件，
根据题意，得（100﹣75）m+（120﹣100）（180﹣m）≥4300，
解这个不等式，得m≥140．
所以，B产品至少生产140件．

1．（2023•临安区一模）若x＞y，a＞1，则下列不等式正确的是（　　）
A．x+a＜y+1 B．x+1＞y+a C．ax＜ay D．x+a＞y+1
2．（2023•天山区一模）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023•英德市一模）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不低于50次，用不等式表示为（（　　）
A．50＜x＜80 B．50≤x≤80 C．50≤x＜80 D．50＜x≤80
4．（2023•南海区一模）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中，是不等式2x+3＞0解的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023•泰山区一模）不等式组有4个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．6≤m≤7 B．6＜m＜7 C．6≤m＜7 D．6＜m≤7
6．（2023•镇海区校级模拟）若关于x的不等式组 有解且至多有4个整数解，且多项式 x2﹣（1﹣m）能在有理数范围内因式分解，则符合条件的整数m的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023•新郑市模拟）不等式组的解集是 　 　．
8．（2023•大庆一模）若关于x的不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解，则m的取值范围是 　 　．
9．（2023•龙岗区二模）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b，若关于x的不等式组的解集为x＞6，则a的取值范围是 　 　．
10．（2023•东莞市校级模拟）某学校医务室采购了一批水银温度计和额温枪，其中有10支水银温度计，若干支额温枪．已知水银温度计每支5元，额温枪每支230元，如果总费用不超过1000元，那么额温枪至多有 　 　支．
11．（2023•兴隆台区一模）若点P的坐标为（，2x﹣10），其中x满足不等式组，则点P的坐标为：　 　．
12．（2023•碑林区校级模拟）解不等式：．





13．（2023•青海一模）解不等式组
请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 　 　；
（2）解不等式②，得 　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是 　 　．

14．（2023•邗江区一模）解不等式组：，并求出不等式组所有非正整数解的和．





15．（2023•花都区一模）“桃之夭夭，灼灼其华”，每年2﹣3月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光．小王抓住这一商机，计划从市场购进A、B两种型号的手机自拍杆进行销售．据调查，购进1件A型号和1件B型号自拍杆共需45元，其中1件B型号自拍杆价格是1件A型号自拍杆价格的2倍．
（1）求1件A型号和1件B型号自拍杆的进价各是多少元？
（2）若小王计划购进A、B两种型号自拍杆共100件，并将这两款手机自拍杆分别以20元50元的价钱进行售卖．为了保证全部售卖完后的总利润不低于1100元，求最多购进A型号自拍杆多少件？









一．选择题
1．若x＞y，a＞1，则下列不等式正确的是（　　）
A．x+a＜y+1 B．x+1＞y+a C．ax＜ay D．x+a＞y+1
2．把不等式x+1≤2x﹣1的解集在数轴上表示，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．不等式组的整数解的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是（　　）
A．m≥9 B．9＜m＜12 C．m＜12 D．9≤m＜12
5．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克10元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克14元，售价每千克18元，该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，准备投入资金不少于1180元，要求利润也不少于500元，设购买甲种蔬菜x千克（x为整数），则有（　　）不同的购买方案．
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
6．若不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0
二．填空题
7．根据数量关系：x的5倍加上1是负数，可列出不等式：　 　．
8．不等式组的最大整数解为 　 　．
9．不等式组的所有整数解的和为 　 　．
10．小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有 　 　种．
11．对于一个数x，我们用（x]表示小于x的最大整数，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4，（10]＝9．如果|（x]|＝3，则x的取值范围为　 　．
12．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜2，则a的取值范围是 　 　．
三．解答题
13．解不等式＞x﹣1，并写出它的所有正整数解．






14．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．






15．为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．
（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？






16．为实现区域教育均衡发展，某市计划对A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金2000万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金210万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金180万元．
（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？
（2）若该市的A类学校不超过8所，则B类学校至少有多少所？
（3）市教育局计划今年对该市A、B两类学校共10所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过490万元；地方财政投入的改造资金不少于200万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所15万元和25万元．请你通过计算求出有几种改造方案？









名校预测
1．【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，依次进行判断即可．
【解答】解：∵x＞y，a＞1，
∴x+a＞y+1，
故A不符合题意，D符合题意；
（x+1）与（y+a）的大小不能确定，
故B不符合题意；
ax＞ay，
故C不符合题意，
故选：D．
2．【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．
【解答】解：，
解得，
所以解集为1＜x≤2，
在数轴上表示为：．
故选：D．
3．【分析】直接根据题意可得不等式即可．
【解答】解：小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次，但不少于50次，用不等式表示为50≤x＜80．
故选：C．
4．【分析】解不等式2x+3＞0，得x＞﹣1.5，即可判断出答案．
【解答】解：解不等式2x+3＞0，得x＞﹣1.5，
∴在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中，是不等式2x+3＞0解的有﹣1，0，1，2，共4个．
故选：D．
5．【分析】根据关于x的不等式组的解集和整数解的个数确定关于m的不等式组，再求出解集即可．
【解答】解：关于x的不等式组有解，其解集为3≤x＜m，
∵关于x的不等式组恰有4个整数解，
∴6＜m≤7，
故选：D．
6．【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组有解且至多有4个整数解，即可求得m的取值范围，再根据多项式x2﹣（1﹣m）能在有理数范围内因式分解，可知1﹣m＞0，然后即可写出符合条件的m的值．
【解答】解：由不等式组 得：3＜x≤4﹣m，
∵不等式组 有解且至多有4个整数解，
∴3＜4﹣m＜8，
解得﹣4＜m＜1，
又∵多项式x2﹣（1﹣m）能在有理数范围内因式分解，
∴1﹣m＞0，
∴m＜1，
∴﹣4＜m＜1，
∴符合条件的整数m的值为﹣3，0，
即符合条件的整数m的个数为2．
故选：B．
7．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x﹣3≥0得：x≥3，
由2x﹣5＜1得：x＜3，
则不等式组无解，
故答案为：无解．
8．【分析】首先解关于x的不等式，然后根据x只有3个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可．
【解答】解：由3x﹣2m＜x﹣m得：
，
关于x不等式3x﹣2m＜x﹣m只有3个正整数解，
∴，
∴6＜m≤8，
故答案为：6＜m≤8．
9．【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为x＞6确定a的取值范围即可．
【解答】解：根据新定义关于x的不等式组可化为：，
解不等式①可得：x＞6，
解不等式①可得：x＞3a，
因为该不等式组的解集为x＞6，
∴3a≤6，解得：a≤2．
故答案为：a≤2．
10．【分析】设额温枪有x支，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过1000元，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：设额温枪有x支，
根据题意得：5×10+230x≤1000，
解得：x≤，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为4，
∴额温枪至多有4支．
故答案为：4．
11．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出点P的坐标，从而得出答案．
【解答】解：解不等式x﹣1≤7﹣x，得：x≤4，
解不等式5x﹣10≥2（x+1），得：x≥4，
∴不等式组的解集为x＝4，
则点P的坐标为（，﹣2）．
故答案为：（，﹣2）．
12．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：∵，
∴x+1+8＞4x，
x﹣4x＞﹣1﹣8，
﹣3x＞﹣9，
则x＜3．
13．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得x≥1；
（2）解不等式②，得：x＜4；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：

（4）原不等式组的解集为：1≤x＜4．
故答案为：x≥1，x＜4，1≤x＜4．
14．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出非正整数解的和即可．
【解答】解：，
解不等式①得x≤1，
解不等式②得x＞﹣2，
∴不等式组的解集是：﹣2＜x≤1．
∴不等式组的非正整数解为0，﹣1，
∴不等式组所有非正整数解的和为﹣1+0＝﹣1．
15．【分析】（1）设A型号自拍杆的进价是x元，B型号自拍杆的进价是2x元，根据购进1件A型号和1件B型号自拍杆共需45元，其中1件B型号自拍杆价格是1件A型号自拍杆价格的2倍列方程即可得到结论；（2）设购进A型号自拍杆m件，则购进B型号自拍杆（100﹣m）件，根据全部售卖完后的总利润不低于1100元列方程，即可得到结论．
【解答】解：（1）设A型号自拍杆的进价是x元，B型号自拍杆的进价是2x元，
根据题意得，x+2x＝45，
解得x＝15，
答：A型号自拍杆的进价是15元，B型号自拍杆的进价是30元；
（2）设购进A型号自拍杆m件，则购进B型号自拍杆（100﹣m）件，
根据题意得，（20﹣15）m+（50﹣30）（100﹣m）≥1100，
解得m≤60，
答：最多购进A型号自拍杆60件．
专家押题
一．选择题
1．【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，依次进行判断即可．
【解答】解：∵x＞y，a＞1，
∴x+a＞y+1，
故A不符合题意，D符合题意；
（x+1）与（y+a）的大小不能确定，
故B不符合题意；
ax＞ay，
故C不符合题意，
故选：D．
2．【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．
【解答】解：由x+1≤2x﹣1，得：
x≥2，
故选：A．
3．【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜5，
解不等式②，得x≥1，
所以不等式组的解集是1≤x＜5，
所以不等式组的整数解是1，2，3，4，共4个，
故选：D．
4．【分析】解关于x的不等式求得x≤，根据不等式的正整数解的情况列出关于m的不等式组，解之可得．
【解答】解：移项，得：3x≤m，
系数化为1，得：x≤，
∵不等式的正整数解为1，2，3，
∴3≤＜4，
解得：9≤m＜12，
故选：D．
5．【分析】设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，利用总价＝单价×数量及总利润＝每千克的销售利润×销售蔬菜，结合“投入资金不少于1180元，且利润不少于500元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出购买方案的个数．
【解答】解：设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，
依题意得：，解得：50≤x≤55，
又∵x为整数，
∴x可以为50，51，52，53，54，55，
∴共有6种不同的购买方案，
故选：D．
6．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得m的取值范围．
【解答】解：解不等式x+5＜5x+1，得：x＞1，
解不等式x﹣m＞0，得：x＞m，
∵不等式组的解集为x＞1，
∴m≤1，
故选：B．
二．填空题
7．【分析】表示出x的5倍为5x，然后求和，最后利用不等符号与零连接即可．
【解答】解：依题意得：5x+1＜0．
故答案是：5x+1＜0．
8．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最大的整数解即可．
【解答】解：不等式组整理得：，解得：﹣1＜x≤1，
则不等式组的最大整数解为1．
故答案为：1．
9．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜4，
所以不等式组的整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0、1、2、3，其和为0，
故答案为：0．
10．【分析】设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可．
【解答】解：设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，
根据题意得，，解得，3＜x≤8，
∵x为整数，也为整数，
∴x＝4或6或8，
∴有3种购买方案，
故答案为：3．
11．【分析】根据题意，可以对x进行分类讨论，然后求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意可得，
当x＞0时，|（x]|＝（x]＝3，则3＜x≤4，
当x＜0时，|（x]|＝﹣（x]＝3，则﹣3＜x≤﹣2，
故答案为：3＜x≤4或﹣3＜x≤﹣2．
12．【分析】不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出a的范围．
【解答】解：不等式组整理得：，
∵不等式组的解集为x＜2，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
三．解答题
13．【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求得不等式的解集，然后确定解集中的正整数解即可．
【解答】解：去分母，得1+2x＞3（x﹣1），
去括号，得1+2x＞3x﹣3，
移项，得2x﹣3x＞﹣3﹣1，
合并同类项，得﹣x＞﹣4，
系数化为1，得x＜4，
则不等式的正整数解为：1，2，3．
14．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可．
【解答】解：，
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得x≤2，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
解集在数轴上表示如图．

15．【分析】（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，根据“甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种有机肥m吨，则购买乙种有机肥（10﹣m）吨，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过5600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，
依题意得：，解得：．
答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元．
（2）设购买甲种有机肥m吨，则购买乙种有机肥（10﹣m）吨，
依题意得：600m+500（10﹣m）≤5600，
解得：m≤6．
答：小姣最多能购买甲种有机肥6吨．
16．【分析】（1）设改造一所A类学校所需的资金是a万元，改造一所B类学校所需的资金是b万元，可根据关键语句“改造一所A类学校和两所B类学校共需资金210万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金180万元”，列出方程组，解方程组可得答案；
（2）设设该市A类学校有m所，B类学校有n所，根据“共需资金2000万元”可得50m+80n＝2000，再用含n的代数式表示出m，再根据条件“A类学校不超过8所”，可得不等式﹣n+40≤8，求出解集进行判断即可；
（3）要根据“若今年国家财政拨付的改造资金不超过490万元；地方财政投入的改造资金不少于200万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．
【解答】解：（1）设改造一所A类学校所需的资金是a万元，改造一所B类学校所需的资金是b万元，由题意得：
，解得：．
答：改造一所A类学校所需的资金是50万元，改造一所B类学校所需的资金是80万元；
（2）设该市A类学校有m所，B类学校有n所，由题意得：
50m+80n＝2000，
m＝﹣n+40，
∵A类学校不超过8所，
∴﹣n+40≤8，
∴n≥20．
答：B类学校至少有20所；
（3）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为（10﹣x）所，
依题意得：，解得：3≤x≤5，
∵x取整数，
∴x＝3，4，5．
答：共有3种方案．
中考倒计时
16天

第一阶段综合冲刺小练

一．选择题
1．下列各数中，比﹣1大的数是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
2．﹣3的绝对值是（　　）
A．3 B． C． D．﹣3
3．﹣的相反数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
4．随着科学技术的不断提高，5G网络已经成为新时代的“宠儿”，预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000人．将460 000 000科学记数法表示为（　　）
A．4.6×109 B．46×107 C．4.6×108 D．0.46×109
5．9的平方根是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．
6．下列整式中，是二次单项式的是（　　）
A．x2+1 B．xy C．x2y D．﹣3x
7．计算×的结果是（　　）
A．6 B．6 C．6 D．6
8．下列运算正确的是（　　）
A．x2+x2＝x4 B．（xy2）2＝xy4
C．y6÷y2＝y3 D．﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2
9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　）

A．a＞b B．|a|＞|b| C．ab＞0 D．a+b＞0
10．计算的结果是（　　）
A．m+1 B．m﹣1 C．m﹣2 D．﹣m﹣2
11．观察依次排列的一串单项式x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，…，按你发现的规律继续写下去，第8个单项式是（　　）
A．﹣128x7 B．﹣128x8 C．﹣256x7 D．﹣256x8
12．方程﹣1＝2的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝3 C．x＝5 D．x＝6
13．关于x的一元一次不等式5x≥x+8的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
14．二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
15．已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
16．在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．100（1+x）2＝121
B．100×2（1+x）＝121
C．100（1+2x）＝121
D．100（1+x）+100（1+x）2＝121
17．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
18．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A．7＜a＜8 B．7＜a≤8 C．7≤a＜8 D．7≤a≤8
二．填空题
19．若有意义，则x的取值范围是 　 　．
20．计算：|﹣2|+＝　 　．
21．因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝　 　．
22．实数的整数部分是 　 　．
23．已知方程2x﹣4＝0，则x＝　 　．
24．一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 　 　．
25．已知x，y满足方程组，则x+y的值为 　 　．
26．不等式组的解集是 　 　．
27．对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x﹣1）＝3，则x的值为 　 　．
28．已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝　 　．
29．已知方程x2﹣2x﹣8＝0的两根为α、β，则α2+β2＝　 　．
30．若关于x的方程+＝3的解是正数，则m的取值范围为 　 　．
三．解答题
31．计算：．



32．计算：（﹣1）3+|﹣1|﹣（）﹣2+2cos45°﹣．



33．（1）计算：4sin60°﹣+（2﹣）0．




（2）解不等式：5x+3≥2（x+3）．



34．（1）计算，（3﹣）0×4﹣（2﹣6）++；



（2）解分式方程：＝1．



35．（1）分解因式：x3﹣9x；



（2）解方程：+1＝．



36．（1）化简求值：（2x﹣1）2+（x+6）（x﹣2），其中x＝﹣；



（2）解方程﹣＝0．



37．解方程组和不等式组：
（1）； （2）．




38．解不等式组：并写出它的所有整数解．





39．先化简，再求值：（a﹣）÷，其中a＝．





40．为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，求：每个篮球和足球的进价各多少元？






41．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．








42．某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．
（1）求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？
（2）公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？








一．选择题
1．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣1，﹣2＜﹣1，﹣1＝﹣1，0＞﹣1，
∴所给的各数中，比﹣1大的数是0．
故选：D．
2．【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
3．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：B．
4．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数
【解答】解：将460 000 000用科学记数法表示为4.6×108．
故选：C．
5．【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：9的平方根是±3；
故选：C．
6．【分析】根据单项式的次数的意义判断即可．
【解答】解：A．x2+1是多项式，故A不合题意；
B．xy是二次单项式，故B符合题意；
C．x2y是次数为3的单项式，故C不符合题意；
D．﹣3x是次数为1的单项式，故D不符合题意；
故选：B．
7．【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：×
＝
＝
＝6，
故选：D．
8．【分析】根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式解决此题．
【解答】解：A．由合并同类项的法则，得x2+x2＝2x2，故A不符合题意．
B．由积的乘方以及幂的乘方，得（xy2）2＝x2y4，故B不符合题意．
C．由同底数幂的除法，得y6÷y2＝y4，故C不符合题意．
D．由完全平方公式，得﹣（x﹣y）2＝﹣x2﹣y2+2xy，故D符合题意．
故选：D．
9．【分析】根据a，b两数的正负以及绝对值大小即可进行判断．
【解答】解：A．∵a＜0，b＞0，∴a＜b，故A项不符合题意；
B．由数轴可知|a|＞|b|，故B项符合题意；
C．∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故C项不符合题意；
D．∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故D项不符合题意．
故选：B．
10．【分析】同分母分式减法，根据法则分母不变分子相减，再约分即可．
【解答】解：原式＝＝＝＝m﹣1．
故选：B．
11．【分析】观察一串单项式可得从第二个单项式起，每一个单项式与它前面的单项式的商都是﹣2x，根据规律可得第8个单项式．
【解答】解：（4x3）÷（﹣2x2）＝﹣2x，
（﹣8x4）÷（4x3）＝﹣2x，
（16x5）÷（﹣8x4）＝﹣2x，
…
所以从第二个单项式起，每一个单项式与它前面的单项式的商都是﹣2x；
按发现的规律可知：
x，﹣2x2，
4x3＝22x3，
﹣8x4＝﹣23x4，
16x5＝24x5，
…
所以第8个单项式是﹣27x8＝﹣128x8．
故选：B．
12．【分析】移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：﹣1＝2，
移项，得＝2+1，
合并同类项，得＝3，
系数化成1，得x＝6，
故选：D．
13．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项，系数化为1求得不等式的解集，在数轴上表示即可．
【解答】解：5x≥x+8，
移项得：5x﹣x≥+8，
合并得：4x≥8，
解得：x≥2，
在数轴上表示为：，
故选：B．
14．【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
把②代入①得：4y+y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：x＝4，
则方程组的解集为．
故选：C．
15．【分析】把x＝3代入分式方程求得m的值即可．
【解答】解：把x＝3代入分式方程＝3，得，
整理得6+m＝3，
解得m＝﹣3．
故选：B．
16．【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意即可列出方程求解．
【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
根据题意即可列出方程：100（1+x）2＝121．
故选：A．
17．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）＞0，然后解不等式求出m的取值即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）＞0，
解得m＜2．
故实数m的取值范围为是m＜2．
故选：D．
18．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的3个整数解是5，6，7，再求出a的取值范围即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞4.5，
解不等式②，得x≤a，
所以不等式组的解集是4.5＜x≤a，
∵关于x的不等式组恰有3个整数解（整数解是5，6，7），
∴7≤a＜8，
故选：C．
二．填空题
19．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，解不等式即可求得x的取值范围．
【解答】解：根据题意得x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
20．【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣+2
＝2+．
故答案为：2+．
21．【分析】先提公因式﹣a，再用完全平方式分解因式即可．
【解答】解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1）
＝﹣a（a﹣1）2．
故答案为：﹣a（a﹣1）2．
22．【分析】根据算术平方根的意义估算的整数部分即可．
【解答】解：∵＜＜，
∴10＜＜11，
∴的整数部分为10，
故答案为：10．
23．【分析】直接移项、系数化为1即可．
【解答】解：2x﹣4＝0，
2x＝4，
x＝2，
故答案为：2．
24．【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出b的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a的值；将a、b的值代入计算得出a+b的值，再求其立方根即可．
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，
∴2b﹣1+b+4＝0，
∴b＝﹣1．
∴b+4＝﹣1+4＝3，
∴a＝9．
∴a+b＝9+（﹣1）＝8，
∵8的立方根为2，
∴a+b的立方根为2．
故答案为：2．
25．【分析】用加减消元法解二元一次方程组，然后求解．
【解答】解：方法一：，
①﹣②，得：2x+2y＝﹣4，
∴x+y＝﹣2，
故答案为：﹣2．
方法二：，
②×2，得：4x+2y＝6③，
①﹣③，得：y＝﹣7，
把y＝﹣7代入②，得2x﹣7＝3，
解得：x＝5，
∴方程组的解为，
∴x+y＝﹣2，
故答案为：﹣2．
26．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣5＜1，得：x＜6，
解不等式3x﹣5≥0，得：x≥，
则不等式组的解集为≤x＜6，
故答案为：≤x＜6．
27．【分析】依据新定义得到关于x的方程，解方程可得结论．
【解答】解：由题意得：
x2+（x﹣1）2﹣x（x﹣1）＝3．
整理得：
x2﹣x﹣2＝0．
即（x﹣2）（x+1）＝0．
解得：x1＝2，x2＝﹣1．
故答案为：2或﹣1．
28．【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后整体代入求值即可．
【解答】解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2）
＝2xy（x﹣3y）2，
∵xy＝2，x﹣3y＝3，
∴原式＝2×2×32
＝4×9
＝36，
故答案为：36．
29．【分析】由方程x2﹣2x﹣8＝0的两根为α、β，利用根与系数的关系可得出α+β＝2，αβ＝﹣8，将其代入α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ中可求出（α2+β2）的值．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣8＝0的两根为α、β，
∴α+β＝﹣＝2，αβ＝＝﹣8，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝22﹣2×（﹣8）＝20．
故答案为：20．
30．【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程有意义的情况，即可得出m的取值范围．
【解答】解：原方程左右两边同时乘以（x﹣2），得：2x+m﹣（x﹣1）＝3（x﹣2），
解得：x＝，
∵原方程的解为正数且x≠2，
∴，
解得：m＞﹣7且m≠﹣3，
故答案为：m＞﹣7且m≠﹣3．
三．解答题
31．【分析】直接利用算术平方根以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+3﹣﹣3
＝．
32．【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+﹣1﹣4+2×﹣2
＝﹣1+﹣1﹣4+﹣2
＝﹣6．
33．【分析】（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用开平方法则化简，最后一项利用零指数幂的意义化简，计算即可得到结果；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1可得．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2+1
＝1；
（2）5x+3≥2（x+3），
去括号得：5x+3≥2x+6,
移项得：5x﹣2x≥6﹣3，
合并同类项得：3x≥3，
解得：x≥1．
34．【分析】（1）原式利用零指数幂法则，算术平方根、立方根定义计算，去括号合并即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝1×4﹣2+6﹣2+2
＝4﹣2+6﹣2+2
＝8；
（2）去分母得：2﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
35．【分析】（1）原式提取x，再利用平方差公式分解即可；
（2）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3）；
（2）方程整理得：+1＝﹣，
去分母得：2x+x﹣2＝﹣5，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x﹣2＝﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣1．
36．【分析】（1）根据整式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
（2）根据分式的方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝4x2﹣4x+1+x2+4x﹣12
＝5x2﹣11，
当x＝﹣时，
原式＝5×3﹣11
＝15﹣11
＝4．
（2）﹣＝0，
＝，
2x＝3x﹣9，
x＝9，
检验：将x＝9代入x（x﹣3）≠0，
∴x＝9是原方程的解．
37．【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1），
①+②，得：3x＝3，
解得x＝1，
将x＝1代入①，得：1+y＝0，
解得y＝﹣1，
则方程组的解为；
（2）解不等式3x+6＞0，得：x＞﹣2，
解不等式x﹣2＜﹣x，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜1．
38．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x≥﹣2，
解不等式②，得x＜1，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0．
39．【分析】将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
当a＝+1时，
原式＝
＝
＝
＝1+．
40．【分析】设每个足球的进价是x元，则每个篮球的进价是（x+25）元，利用数量＝总价÷单价，结合用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出足球的单价，再将其代入（x+25）中即可求出篮球的单价．
【解答】解：设每个足球的进价是x元，则每个篮球的进价是（x+25）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝75，
经检验，x＝75是原方程的解，且符合题意，
∴x+25＝75+25＝100．
答：每个足球的进价是75元，每个篮球的进价是100元．
41．【分析】（1）先利用判别式的意义得到m≤5，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1可求出x2和m的值；
（2）利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝得到2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，然后利用m的范围确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，
x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
（2）存在．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，
即2m﹣1﹣6+1＝，
整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，
经检验m1＝2，m2＝6为原方程的解，
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2．
42．【分析】（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，由题意：购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车，由题意：购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，
由题意得：，
解得：，
答：A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；
（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车，
由题意得：45m≤60（140﹣m），
解得：m≤80，
答：该公司最多购买80辆A型公交车．