数学（二）-2023年中考考前20天终极冲刺攻略

这是一份数学（二）-2023年中考考前20天终极冲刺攻略，共191页。

（二）
函数与平面直角坐标系……………………………………………………02
一次函数…………………………………………………………………………24
反比例函数………………………………………………………………………55
二 次 函数………………………………………………………………………86
函 数 综 合 运 用…………………………………………………………117
中考倒计时
15天
函数与平面直角坐标系
1.从考查的题型来看，主要以选择题或填空题的形式进行考查，属于中、低档题，较简单；
2.从考查的内容来看，考查的重点有:函数的概念与平面直角坐标系的建立；函数的三种表示方法；各象限内坐标的特点；函数自变量的取值范围与平面直角坐标系上点的对称性与动点问题。
3.从考查的热点来看，主要涉及的有：象限内坐标的特点与有序实数对；函数自变量的取值范围与平面直角坐标系上点的对称性与动点问题；函数在实际问题中的应用。
1．有序数对：（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标
2．点的坐标特征
3．轴对称
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标（-x，y）．
4．中心对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）．
5．图形在坐标系中的旋转
图形（点）的旋转与坐标变化：
（1）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转90°，其坐标变为P′（y，-x）；
（2）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）；
（3）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转90°，其坐标变为P′（-y，x）；
（4）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）．
6．图形在坐标系中的平移
图形（点）的平移与坐标变化
（1）点P（x，y）向右平移a个单位，其坐标变为P′（x+a，y）；
（2）点P（x，y）向左平移a个单位，其坐标变为P′（x-a，y）；
（3）点P（x，y）向上平移b个单位，其坐标变为P′（x，y+b）；
（4）点P（x，y）向下平移b个单位，其坐标变为P′（x，y-b）．
7．函数
（1）函数的定义:一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
例如：在s=60t中，有两个变量；s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量，s是t的函数．
对函数定义的理解，主要抓住以下三点：①有两个变量．②函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同，如：函数y=x2，当x=1和x=-1时，y的对应值都是1．④在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数.
（2）函数取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．
（3）函数解析式及函数值
函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．
注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．③书写函数的解析式是有顺序的．y=2x-1表示y是x的函数，若x=2y-1，则表示x是y的函数，即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式．④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．
函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．
（4）函数的图象及其画法：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：
①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜．②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确．③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
（5）函数的表示方法
函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
一．选择题
1．（2022•乐山）点P（﹣1，2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标符号直接判断的判断即可．
【解答】解：∵P（﹣1，2），横坐标为﹣1，纵坐标为：2，
∴P点在第二象限．
故选：B．
2．（2022•攀枝花）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点得出a、b的符号，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣a，b）在第一象限内，
∴﹣a＞0，b＞0，
∴a＜0，
∴点B（a，b）所在的象限是：第二象限．
故选：B．
3．（2022•长沙）在平面直角坐标系中，点（5，1）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣5，1）B．（5，﹣1）C．（1，5）D．（﹣5，﹣1）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点（5，1）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣5，﹣1）．
故选：D．
4．（2022•黄石）函数y＝+的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x＞﹣3D．x≥﹣3且x≠1
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：函数y＝+的自变量x的取值范围是：
x+3＞0，且x﹣1≠0，
解得：x＞﹣3且x≠1．
故选：B．
5．（2022•青岛）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，﹣1）
【分析】利用平移的性质得出对应点位置，再利用关于原点对称点的性质直接得出答案．
【解答】解：由图中可知，点A（﹣2，3），将△ABC先向右平移3个单位，得坐标为：（1，3），再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（﹣1，﹣3）．
故选：C．
6．（2022•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（4，﹣1）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣1）
【分析】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD＝AB＝6，并证明AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC∥y轴，由此即可得到答案．
【解答】解：∵A（﹣3，2），B（3，2），
∴AB＝6，AB∥x轴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x轴，
同理可得AD∥BC∥y轴，
∵点C（3，﹣1），
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），
故选：D．
7．（2022•绥化）如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（ ）
A．（﹣5，2）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）
【分析】过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥x轴于点C，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：过点A作AB⊥x轴于点B，过点A′作A′C⊥x轴于点C，如图，
∵A点坐标为（2，5），
∴OB＝2，AB＝5．
由题意：∠AOA′＝90°，OA＝OA′．
∴∠AOB+∠A′OC＝90°．
∵∠A′OC+∠A′＝90°，
∴∠A′＝∠AOB．
在△A′OC和△OAB中，
，
∴△A′OC≌△OAB（AAS）．
∴A′C＝OB＝2，OC＝AB＝5，
∴A′（﹣5，2）．
故选：A．
8．（2022•巴中）甲、乙两人沿同一直道从A地到B地，在整个行程中，甲、乙离A地的距离S与时间t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲比乙早1分钟出发
B．乙的速度是甲的速度的2倍
C．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟
D．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达B地
【分析】根据函数图象得出甲比乙早1分钟出发，及列一元一次方程依次进行判断即可．
【解答】解：A、由图象得，甲比乙早1分钟出发，选项正确，不符合题意；
B、由图可得，甲乙在t＝2时相遇，甲行驶的时间为2分钟，乙行驶的时间为1分钟，路程相同，
∴乙的速度是甲的速度的2倍，选项正确，不符合题意；
C、设乙用时x分钟到达，则甲用时（x+5+1）分钟，
由B得，乙的速度是甲速度的2倍，
∴乙用的时间是甲用的时间的一半，
∴2x＝x+5+1，
解得：x＝6，
∴甲用时12分钟，选项错误，符合题意；
D、若甲出发时的速度为原来的2倍，此时甲乙速度相同，
∵甲比乙早1分钟出发，
∴甲比乙提前1分钟到达B地，选项正确，不符合题意；
故选：C．
二．填空题
9．（2022•郴州）点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为 （﹣3，﹣2） ．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，即可解答．
【解答】解：点A（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣2），
故答案为：（﹣3，﹣2）．
10．（2022•安顺）要使函数y＝在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2x﹣1≥0，
解得：x≥，
故答案为：x≥．
11．（2022•辽宁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是（﹣1，2），则点B的对应点D的坐标是 （1，2） ．
【分析】根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
【解答】解：∵点A（3，2）的对应点C的坐标为（﹣1，2），
∴平移规律为向左平移4个单位，
∴B（5，2）的对应点D的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
12．（2022•西藏）周末时，达瓦在体育公园骑自行车锻炼身体，他匀速骑行了一段时间后停车休息，之后继续以原来的速度骑行．路程s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的关系如图所示，则图中的a＝ 65 ．
【分析】根据函数图象可知，达瓦20分钟所走的路程为6千米，可得速度为6÷20＝0.3千米/分钟，20～35分钟休息，求出继续骑行9千米的时间即可．
【解答】解：由达瓦20分钟所走的路程为6千米，可得速度为6÷20＝0.3（千米/分钟），
休息15分钟后又骑行了9千米所用时间为9÷0.3＝30（分钟），
∴a＝35+30＝65．
故答案为：65．
三．解答题
13．（2022•黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A1，B1的对应点A2，B2即可；
（3）利用勾股定理求出A1C1，再利用弧长公式求解．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标（﹣5，3）；
（2）如图，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标（2，4）；
（3）∵A1C1＝＝5，
∴点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长＝＝．
一．选择题
1．（2023•攀枝花模拟）在平面直角坐标系中，点A（﹣5，4）所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2023•东莞市校级模拟）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023•贺州一模）点（4，﹣3）往右平移一个单位长度后坐标为（ ）
A．（5，﹣3）B．（3，﹣3）C．（4，﹣2）D．（4，﹣4）
4．（2023•文山州一模）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x＞2C．x≤2D．x＜2
5．（2023•东莞市校级模拟）小明作点A关于y轴的对称点A1，再作A1关于x轴的对称点A2，则A与A2的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．以上都不正确
6．（2023•雄县一模）某村耕地总面积为100公顷，该村人均耕地面积为y（单位：公顷/人），总人口为x（单位：百人），选取6组数对在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023•金水区校级一模）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（∠AOM＝∠BOM），当点P第2023次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A．（0，3）B．（3，0）C．（1，4）D．（8，3）
8．（2023•黄山一模）将盛有凉牛奶的瓶子放在热水中（如图甲所示），通过热传递方式改变牛奶的内能，图乙是凉牛奶与热水的温度随时间变化的图象．假设热水放出热量全部被牛奶吸收，下列回答错误的是（ ）
A．0～8min时，热水的温度随时间的增加逐渐降低
B．0～8min时，凉牛奶的温度随时间的增加逐渐上升
C．8min时，热水和凉牛奶的温度相同
D．0min时，两者的温度差为80℃
二．填空题
9．（2023•南岗区校级二模）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
10．（2023•殷都区一模）已知点A（2，m）与B（﹣2，5）关于原点对称，则m＝ ．
11．（2022秋•荔湾区期末）已知点A（a，﹣2）和点B（8，b）关于y轴对称，那么a+b＝ ．
12．（2023•九龙坡区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（a，b）在第四象限，则点B（﹣b，﹣a）在第 象限．
13．（2023•龙港区模拟）已知点P（2a﹣1，5），点Q（a+2，m），若PQ∥y轴，则a＝ ．
三．解答题
14．（2023•西安模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，A（﹣4，5）．
（1）将△ABC向右平移7个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1．
（2）点C1的坐标为 ．
15．（2023•延安一模）已知点A（2a，3a+1）是平面直角坐标系中的点．
（1）若点A在第二象限的角平分线上，求a的值；
（2）若点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标．
一．选择题
1．点C在第一象限，则点C的坐标可能是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
2．在平面直角坐标系内，点A（﹣3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（3，﹣1）D．（﹣1，﹣3）
3．在平面直角坐标系中，点（4，﹣3）关于原点对称的点是（ ）
A．（﹣4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（4，﹣3）D．（4，3）
4．已知M（a+1，﹣a+3）在x轴上，则M点坐标为（ ）
A．（0，2）B．（4，0）C．（0，4）D．（3，0）
5．如图，△ABC的顶点A（﹣4，0），B（﹣1，4），点C在y轴的正半轴上，AB＝AC，将△ABC向右平移得到△A'B'C'，若A'B'经过点C，则点C′的坐标为（ ）
A．（，3）B．（3，）C．（2，3）D．（3，2）
6．甲，乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑电动车，甲到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们离A地的距离y（千米）与经过时间x（小时）之间的函数关系图象．当甲与乙相遇时距离A地（ ）
A．16千米B．18千米C．72千米D．74千米
二．填空题
7．点A（4，1）关于x轴的对称点B的坐标是 ．
8．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
9．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），点B（1，4），则线段AB＝ ．
10．若点P（﹣1，﹣2），则点P到x轴、y轴的距离之和是 ．
11．如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3…都是边长为2的等边三角形，点A在y轴上，点O、B1、B2、B3…都在直线l上，则点A2022的坐标是 ．
三．解答题
12．如图所示的边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△AB1C1；
（2）画出△AB1C1绕点M逆时针旋转90°后的△A2B2C2，其中点A，C1的对应点分别为A2（1，﹣2），C2（0，﹣5）；
（3）请直接写出（2）中旋转中心M点的坐标．
13．在平面直角坐标系中，点A1从原点O出发，沿x轴正方向按折线不断向前运动，其移动路线如图所示．这时点A1，A2，A3，A4的坐标分别为A1（0，0），A2（0，1），A3（1，1），A4（1，0），…按照这个规律解决下列问题：
（1）写出点A5，A6，A7，A8的坐标；
（2）点A100和点A2022的位置分别在 ， ．（填x轴上方、x轴下方或x轴上）
名校预测
一．选择题
1．【分析】根据各象限内点的坐标确定即可．
【解答】解：∵4＞0，﹣5＜0，
∴点（﹣5，4）所在的象限是第二象限．
故选：B．
2．【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：点关于x轴对称的点的坐标是（﹣，﹣）．
故选：A．
3．【分析】根据点的坐标平移规律：横坐标（左减右加）、纵坐标（上加下减）可得答案．
【解答】解：点的坐标平移规律：横坐标（左减右加）、纵坐标（上加下减）可得：点（4，﹣3）向右平移两个单位长度得到的坐标为（4+1，﹣3），
即（5，﹣3），
故选：A．
4．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：4﹣2x≥0，
解得：x≤2，
故选：C．
5．【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．关于y轴的对称点的坐标特点：点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
【解答】解：设点A（x，y），
∵点A关于y轴的对称点是A1，
∴A1（﹣x，y）．
∴A1关于x轴的对称点是A2，
∴A2（﹣x，﹣y）．
∴A与A2的位置关系是关于原点对称．
故选：C．
6．【分析】根据题意，可以写出y与x的函数关系式，然后根据反比例函数图象为双曲线，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由题意可得，
y＝，
则y与x成反比例关系，它在第一象限内的图象是双曲线的一支，
故选：A．
7．【分析】根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，将2023除以6得到337余1，说明点P第2023次碰到矩形的边时为第338个循环的第一次，因此点P的坐标为（3，0）．
【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，
∵第6次反弹时回到出发点，
∴每6次碰到矩形的边为一个循环组依次循环，
∵2023÷6＝337⋯⋯1，
∴点P第2023次碰到矩形的边时是第338个循环的一次，
坐标为（3，0）．
故选：B．
8．【分析】根据函数图象解答即可．
【解答】解：由图象可知：
0～8min时，热水的温度随时间的增加逐渐降低，说法正确，故选项A不符合题意；
0～8min时，凉牛奶的温度随时间的增加逐渐上升，说法正确，故选项B不符合题意；
8min时，热水和凉牛奶的温度相同，说法正确，故选项C不符合题意；
0min时，两者的温度差为：80﹣20＝60（℃），所以选项D说法错误，故选项D符合题意．
故选：D．
二．填空题
9．【分析】根据分母不为0可得x+3≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
10．【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点A（2，m）与B（﹣2，5）关于原点对称，
∴m＝﹣5．
故答案为：﹣5．
11．【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：∵点A（a，﹣2）和B（8，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣8，b＝﹣2，
那么a+b＝﹣8﹣2＝﹣10．
故答案为：﹣10．
12．【分析】先根据点A的坐标特征先判断出点B的横纵坐标的符号，进而判断点B所在的象限．
【解答】解：∵A（a，b）在第四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴﹣b＞0，﹣a＜0，
即点B（﹣b，﹣a）在第四象限．
故答案为：四．
13．【分析】根据PQ∥y轴可知P，Q两点的横坐标相同，列出关于a的方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵点P（2a﹣1，5），点Q（a+2，m），PQ∥y轴，
∴2a﹣1＝a+2，
∴a＝3．
故答案为：3．
三．解答题
14．【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）由图可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）由图可得，点C1的坐标为（5，﹣6）．
故答案为：（5，﹣6）．
15．【分析】（1）根据第二象限的角平分线上的点横、纵坐标互为相反数可得2a+3a+1＝0，然后进行计算即可解答；
（2）根据第三象限点的坐标特征为（﹣，﹣），然后列出方程进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵点A在第二象限的角平分线上，
∴2a+3a+1＝0，
∴a＝﹣；
（2）∵点A在第三象限，且到两坐标轴的距离和为9，
∴﹣2a+[﹣（3a+1）]＝9，
∴﹣2a﹣（3a+1）＝9，
∴﹣2a﹣3a﹣1＝9，
∴a＝﹣2，
∴A（﹣4，﹣5）．
专家押题
一．选择题
1．【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：A．点（2，3）在第一象限，故本选项符合题意；
B．点（﹣2，3）在第二象限，故本选项不符合题意；
C．点（﹣2，﹣3）在第三象限，故本选项不符合题意；
D．点（2，﹣3）在第四象限，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．【分析】根据关于x轴对称的两个点的坐标的特征进行判断即可．
【解答】解：在平面直角坐标系内，点A（﹣3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，1）．
故选：A．
3．【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【解答】解：由题意，
得点（4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，3）．
故选：B．
4．【分析】直接利用x轴上纵坐标为零，进而得出a的值，即可得出答案．
【解答】解：∵M（a+1，﹣a+3）在x轴上，
∴﹣a+3＝0，
解得：a＝3，
故a+1＝4，
则M点坐标为（4，0）．
故选：B．
5．【分析】利用勾股定理求出OC，求出直线A′B′的解析式，求出点A′的坐标，可得结论．
【解答】解：∵A（﹣4，0），B（﹣1，4），
∴直线AB的解析式为y＝x+，AB＝＝5，
∵AB＝AC＝5，OA＝4，
∴OC＝＝＝3，
∵A′B′∥AB，
∴直线A′B′的解析式为y＝x+3，
∴A′（﹣，0），
∴CC′＝AA′＝4﹣＝，
∴C′（，3），
故选：A．
6．【分析】由题意可得：D（1.5，90），E（2.25，90），F（3，0），设OE为y＝kx，设DF为y＝mx+n，再分别根据待定系数法求两个函数的解析式，最后联立两个解析式方程求解即可．
【解答】解：如图，由题意可得，
D（1.5，90），E（2.25，90），F（3，0），
OE为y＝kx，
则90＝2.25k，
解得：k＝40，
∴OE为y＝40x，
设DF为y＝mx+n，
则，
解得：m＝﹣60，n＝180，
∴DF为y＝﹣60x+180，
，
解得：x＝1.8，y＝72，
即甲与乙相遇时距离A地72千米．
故选：C．
二．填空题
7．【分析】根据关于x轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案
【解答】解：点A（4，1）关于x轴的对称点B的坐标是（4，﹣1），
故答案为：（4，﹣1）．
8．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0解答．
【解答】解：由题意得，1+x≥0且x+2≠0，
解得x≥﹣1且x≠﹣2，
所以，x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
9．【分析】由题意可知，AB∥x轴，则线段AB的长度为1﹣（﹣2）＝3．
【解答】解：由点A（﹣2，4），点B（1，4）的坐标可知，AB∥x轴，
∴线段AB的长度为1﹣（﹣2）＝3．
故答案为：3．
10．【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．
【解答】解：点P（﹣1，﹣2）到x轴、y轴的距离分别为2，1，
所以点P到x轴、y轴的距离之和是：2+1＝3．
故答案为：3．
11．【分析】根据题意得出B1的坐标，进而得出B2，B3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．
【解答】解：过点B1 作B1 C⊥x轴，则B1C∥y轴，
∵△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，
∴OB1＝A1B1＝2，∠AOB1＝∠AB1O＝∠A1B1B2＝60°，
∴∠B1 OC＝30°，A1B1∥y轴，
∴OC＝OB1 cs30°＝2×＝，CB1＝OB1 sin30°＝2×＝1，
∵A1B1∥y轴，B1C∥y轴，
∴A1、B1、C三点共线，
∴A1C＝A1B1+B1C＝2+1＝3，
∴A1的坐标为（，3），
∴A2的坐标为（2，4），A3的坐标为（3，5），A4的坐标为（4，6），
……
∴A2022的坐标是（2022，2024）．
故答案为：（2022，2024）．
三．解答题
12．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）连接AA2，CC2，分别作AA2，CC2的垂直平分线，交于点M（1，0），再以点M为旋转中心作图即可．
（3）由图可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求.
（2）连接AA2，CC2，分别作AA2，CC2的垂直平分线，交于点M，
如图，△A2B2C2即为所求．
（3）如图，点M的坐标为（1，0）．
13．【分析】（1）根据图象可得点A5，A6，A7，A8的坐标；
（2）根据图象可得移动6次图象完成一个循环，从而可得出点A100和点A2022的坐标．
【解答】解：（1）根据题意可知，A1（0，0），A2（0，1），A3（1，1），A4（1，0），A5（1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，0），A8（2，1）；
（2）根据图象可得移动6次图象完成一个循环，
∵100÷6＝16……4，2022÷6＝337，
则点A100的纵坐标是0，点A2022的纵坐标是﹣1，
∴点A100在x轴上，A2022在x轴下方．
故答案为：x轴上，x轴下方．
中考倒计时
14天
一次函数
1.从考查的题型来看，主要以解答题的形式考查，少数题目以填空题或选择题的形式考查，属于中档题.
2.从考查的内容来看，主要涉及一次函数的概念、性质及图象，一次函数与一次方程(不等式)相结合的综合应用.
3.从考查的热点来看，主要涉及一次函数的性质与图象及其与其他方程或不等式的实际问题的综合应用。
1、一次函数
1）正比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数．
2）一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
3）一次函数的一般形式：一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.
2、一次函数的图象及性质
1）正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
2）一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
（2）一次函数的性质
3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
3、一次函数与方程（组）、不等式
1）一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2）一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3）一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
4、一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
5、一次函数的实际应用
1）主要题型： （1）求相应的一次函数表达式；（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2）用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．
3）方案最值问题：对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
4）方法技巧:求最值的本质为求最优方案，解法有两种：（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
显然，第（2）种方法更简单快捷．
一．选择题
1．（2022•遵义）若一次函数y＝（k+3）x﹣1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是（ ）
A．2B．C．D．﹣4
【分析】根据一次项系数小于0时，一次函数的函数值y随x的增大而减小列出不等式求解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（k+3）x﹣1的函数值y随着x的增大而减小，
∴k+3＜0，
解得k＜﹣3．
所以k的值可以是﹣4，
故选：D．
2．（2022•广安）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（ ）
A．y＝3x+5B．y＝3x﹣5C．y＝3x+1D．y＝3x﹣1
【分析】根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可．
【解答】解：将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，
故选：D．
3．（2022•兰州）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣3＜4即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，
∴y随着x的增大而增大．
∵点（﹣3，y1）和（4，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，﹣3＜4，
∴y1＜y2．
故选：A．
4．（2022•沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】依据一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），即可得到一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限．
【解答】解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过点（0，1）和（1，0），
∴一次函数y＝﹣x+1的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
5．（2022•六盘水）如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（ ）
A．y随x增大而增大B．图象经过第三象限
C．当x≥0时，y≤bD．当x＜0时，y＜0
【分析】根据一次函数的图象和性质进行判断即可．
【解答】解：由图象得：图象过一、二、四象限，则k＜0，b＞0，
当k＜0时，y随x的增大而减小，故A、B错误，
由图象得：与y轴的交点为（0，b），所以当x≥0时，从图象看，y≤b，故C正确，符合题意；
当x＜0时，y＞b＞0，故D错误．
故选：C．
6．（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（ ）
A．x＜2B．x＞2C．x＜1D．x＞1
【分析】先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可．
【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），
所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，
故选：D．
7．（2022•德州）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最大值为7
B．当x≥2时，y随x的增大而增大
C．当x＝1时，对应的函数值y＝3
D．当x＝2和x＝5时，对应的函数值相等
【分析】根据函数图象的相应点坐标以及增减性，可得答案．
【解答】解：由图象可知：
A．该函数的最大值为6，原说法错误，故本选项不合题意；
B．当x≤3时，y随x的增大而增大，原说法错误，故本选项不合题意；
C．当x＝1时，对应的函数值y＝2，原说法错误，故本选项不合题意；
D．设x≤3时，y＝kx，则3k＝6，
解得k＝2，
∴y＝2x，
∴当x＝2时，y＝2×2＝4；
设x≥3时，y＝mx+n，
则，
解得，
∴y＝﹣x+9，
∴当x＝5时，y＝﹣5+9＝4，
∴当x＝2和x＝5时，对应的函数值都等于4，
∴当x＝2和x＝5时，对应的函数值相等，说法正确，故本选项符合题意．
故选：D．
二．填空题
8．（2022•济宁）已知直线y1＝x﹣1与y2＝kx+b相交于点（2，1）．请写出一个b值 0（答案不唯一） （写出一个即可），使x＞2时，y1＞y2．
【分析】由题意可知，当b＞﹣1时满足题意，故b可以取0．
【解答】解：直线y1＝x﹣1与y2＝kx+b相交于点（2，1）．
∵x＞2时，y1＞y2．
∴b＞﹣1，
故b可以取0，
故答案为：0（答案不唯一）．
9．（2022•永州）已知一次函数y＝x+1的图象经过点（m，2），则m＝ 1 ．
【分析】由一次函数y＝x+1的图象经过点（m，2），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出2＝m+1，解之即可求出m的值．
【解答】解：∵一次函数y＝x+1的图象经过点（m，2），
∴2＝m+1，
∴m＝1．
故答案为：1．
10．（2022•泰州）一次函数y＝ax+2的图象经过点（1，0）．当y＞0时，x的取值范围是 x＜1 ．
【分析】由待定系数法可求得一次函数的解析式，再结合图象即可得出答案．
【解答】解：将点（1，0）代入y＝ax+2，
得a+2＝0，
解得a＝﹣2，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+2，
如图，
∴当y＞0时，x＜1．
故答案为：x＜1．
11．（2022•盘锦）点A（x1，y1），B（x2，y2）在一次函数y＝（a﹣2）x+1的图象上，当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围是 a＜2 ．
【分析】根据一次函数的性质，建立不等式计算即可．
【解答】解：∵当x1＞x2时，y1＜y2，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2，
故答案为：a＜2．
12．（2022•辽宁）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点，▱OCDE的顶点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则▱OCDE的面积为 2 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，结合点D为OB的中点可得出OD的长，由四边形OCDE为平行四边形，可得出DE∥x轴，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，进而可得出DE的长，结合平行四边形的对边相等可得出OC的长，再利用平行四边形的面积计算公式，即可求出▱OCDE的面积．
【解答】解：当x＝0时，y＝2×0+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），OB＝4．
∵点D为OB的中点，
∴OD＝OB＝×4＝2．
∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，
∴DE∥x轴．
当y＝2时，2x+4＝2，
解得：x＝﹣1，
∴点E的坐标为（﹣1，2），
∴DE＝1，
∴OC＝1，
∴▱OCDE的面积＝OC•OD＝1×2＝2．
故答案为：2．
三．解答题
13．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（4，3），（﹣2，0），且与y轴交于点A．
（1）求该函数的解析式及点A的坐标；
（2）当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）先利用待定系数法求出函数解析式为y＝x+1，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；
（2）当函数y＝x+n与y轴的交点在点A（含A点）上方时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．
【解答】解：（1）把（4，3），（﹣2，0）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴函数解析式为y＝x+1，
当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴A点坐标为（0，1）；
（2）当n≥1时，当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值．
14．（2022•广东）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y＝kx+15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
【分析】（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，即可算出k的值，即可得出答案；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，计算即可得出答案．
【解答】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，
得19＝2k+15，
解得：k＝2，
所以y与x的函数关系式为y＝2x+15（x≥0）；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，
得20＝2x+15，
解得：x＝2.5．
所挂物体的质量为2.5kg．
15．（2022•湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
【分析】（1）设轿车出发后x小时追上大巴，根据题意列出方程即可求解；
（2）由图象及（1）的结果可得A（1，0），B（3，120），利用待定系数法即可求解；
（3）根据题意列出方程即可求出a的值．
【解答】解：（1）设轿车出发后x小时追上大巴，
依题意得：40（x+1）＝60x，
解得x＝2．
∴轿车出发后2小时追上大巴，
此时，两车与学校相距60×2＝120（千米），
答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米；
（2）∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米，
∴大巴行驶了3小时，
∴B（3，120），
由图象得A（1，0），
设AB所在直线的解析式为s＝kt+b，
∴，
解得，
∴AB所在直线的解析式为s＝60t﹣60；
（3）依题意得：40（a+1.5）＝60×1.5，
解得a＝．
∴a的值为．
16．（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．
①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为 m （用含有m的代数式表示）；
②当0＜m＜时，S与m的关系式为 m2 ；
③当S＝时，m的值为 或15﹣2 ．
【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可；
（2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标；
②根据题意可知，当0＜m＜时，点D′未到直线OC上，利用三角形面积公式可得出本题结果；
③分情况讨论，分别求出当0＜m＜时，当＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝，建立方程，求出m即可．
【解答】解：（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，
∴，
解得．
∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；
（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，
令y＝0，则x＝12，
∴A（12，0），
∴OA＝12，OB＝9，
∴AB＝15；
如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，
∴CF∥OA，
∴∠OAB＝∠FCC′，
∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，
∴△CFC′∽△AOB，
∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，
∵CC′＝m，
∴CF＝m，C′F＝m，
∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），
∵C（8，3），
∴直线OC的解析式为：y＝x，
∴E（8﹣m，3﹣m）.
∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．
故答案为：m．
②法一、当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），
解得m＝，
∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，
此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；
法二、∵C′D′∥BO，
∴△CC′E∽△CBO，
∴＝（）2，即＝，
∴S＝m2．
故答案为：m2．
③法一、
分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；
令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；
当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，
∴M（m，m），
∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，
D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；
∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）
＝﹣m2+m﹣12，
令﹣m2+m﹣12＝；
整理得，3m2﹣30m+70＝0，
解得m＝或m＝＞5（舍）；
当5≤m＜10时，如图3，
S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；
当10≤m≤15时，如图4，
此时A′B＝15﹣m，
∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），
∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，
令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．
法二、分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；
令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；（同法一）
当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，
∵S△A′C′D′＝×4×3＝6，
∴S△A′CM＝6﹣＝，
∵S△AOC＝18，
∵A′D′∥OA，
∴△A′CM∽△ACO，
∴＝，
∴CA′＝，
∴m＝C′A′﹣CA′＝5﹣，
当5≤m＜10时，如图3，
S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；
当10≤m≤15时，如图4，
∵A′D′∥x轴，
∴△A′BK∽△ABO，
∵S＝，S△ABO＝54，
∴＝，解得BA′＝2，
∴m＝BA﹣BA′＝15﹣2．
故答案为：或15﹣2．
一．选择题
1．（2023•崇明区二模）如果函数的图象经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞0B．m≥0C．m＜0D．m≤0
2．（2023•碑林区校级四模）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+b向上平移2个单位长度后过点（3，1），则b的值为（ ）
A．3B．C．5D．7
3．（2023•淳安县一模）已知一次函数y＝（m﹣2023）x+m+2023，其中y的值随x的值增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2023B．m＞2023C．m＝2023D．m＞0
4．（2023•花都区一模）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列说法错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象与y轴交点为（0，4）
C．图象经过第一、二、四象限
D．图象经过点（1，3）
5．（2023•黄山一模）已知一次函数y＝kx+2的图象经过点（﹣1，y1），（﹣2，y2），且y1＞y2，则该一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023•西城区一模）设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且1≤n≤10）与每年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式y＝1.4n﹣0.5，结论正确的是（ ）
A．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加1.4万元
B．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少0.5万元
C．第1年至第5年平均每年的检修费用为3.7万元
D．第6年至第10年平均每年的检修费用为1.4万元
二．填空题
7．（2023•宝山区二模）已知一次函数y＝3x+m的图象经过点（﹣1，1），那么m＝ ．
8．（2023•大庆一模）函数y＝kx+1经过点（1，0），则该函数不经过第 象限．
9．（2023•西青区一模）将直线y＝4x+3向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
10．（2023•东城区校级一模）已知点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在一次函数y＝﹣2x+1的图象上，那么y1与y2的大小关系是y1 y2（填“＞”，“＝”“＜”）．
三．解答题
11．（2023•碑林区校级四模）夏日的一天，某同学在家注意到桌面摆台上的温度计，其实物示意图如图所示，在测量管的左侧刻度是摄氏温度（℃），右侧刻度是华氏温度（℉），该同学在好奇心的驱使下猜想摄氏温度与华氏温度具有某种关系．经过观察温度数据变化发现，摄氏温度与华氏温度是成一次函数关系的．设摄氏温度为x（℃），华氏温度为y（℉）．
（1）结合图中数据，求出y关于x的函数表达式；
（2）当华氏温度数值与摄氏温度数值的差为36时，请求出此时的摄氏温度．
12．（2023•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由正比例函数y＝x的图象平移得到，且经过点（2，3）．
（1）求k，b的值；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣2（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
13．（2023•衡水模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与y轴、x轴分别交于点A、B，点P为直线y＝﹣2x+4位于第一象限内一点，已知点C（0，﹣3）．
（1）求AC的长；
（2）设点P的横坐标为a．
①直接写出a的取值范围为： ；
②若△POB的面积与△PAC的面积相等，求a的值．
一．选择题
1．一次函数y＝﹣3x+3的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．将一次函数y＝x+b的图象沿y轴向下平移2个单位长度，若平移后的图象经过点A（1，2），则b的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．3D．4
3．若实数a、b满足ab＜0，则一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
5．直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+2的图象互相平行，且与y轴交于（0，4），则直线y＝kx+b与坐标轴围成的面积是（ ）
A．B．8C．D．
6．如图，2022年疫情期间，黑龙江省齐齐哈尔市捐赠150吨马铃薯驰援武汉，这些蔬菜将分别捐赠给武汉市红十字会医院、武汉市东西湖区人民医院和方舱医院等20余家医院．在运输过程中，其中甲、乙两车在同一地点出发且相约在距出发地360km的A地汇合．两车在一条笔直的路上匀速行驶，甲车先出发，乙车后出发，乙车超过甲车后出现故障，停车检修，当甲车追上乙车时，乙车恰好修完，两车又立刻以原来的速度继续行驶．如图是甲、乙两车行驶的路程y（单位：km）与甲车行驶时间x（单位：h）的函数图象．
直接写出乙车出发多少小时，两车相距40km．（ ）
A． B．或 C．或或 D． 或或或6
二．填空题
7．若一次函数y＝（1﹣k）x+2k﹣4的图象不过第一象限，则k的取值范围是 ．
8．已知点，点B（2，n）在直线y＝3x+b上，则m与n的大小关系是m n（填“＞”“＜”或“＝”）．
9．如图，一次函数y＝kx+b的图象交y轴于（0，2），且函数图象经过（1，3），则不等式kx+b＞0的解集为 ．
10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，甲、乙两人相距的最大距离 米．
三．解答题
11．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b经过点（0，2）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＜4时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+b的值与函数y＝kx﹣k的值之和都大于0，直接写出k的取值范围．
12．实践与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点B坐标为（0，3）．直线l2：y＝2x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且△OCD的面积是△AOC面积的，求点D的坐标；
（3）在y轴右侧是否存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由．
13．（2023•唐山一模）如图，直线l1：y＝2x+4分别与x轴、y轴交于A，B两点，直线l2与l1交于点P（a，2），与x轴交于点C（﹣3，0），点M在线段AB上，直线ME⊥x轴于点E，与l2交于点N．
（1）求直线l2的表达式；
（2）设点M的横坐标为m．
①当时，求线段MN的长；
②若点M，N，E三点中，其中两点恰好关于第三点对称，直接写出此时m的值．
名校预测
一．选择题
1．【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行分析判断．
【解答】解：函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是：m＜0．
故选：C．
2．【分析】先求出平移后的直线解析式，再根据平移后的直线经过点（3，1）进行求解即可．
【解答】解：将直线y＝﹣2x+b向上平移2个单位长度后的直线解析式为y＝﹣2x+b+2，
∵平移后的直线经过点（3，1），
∴﹣2×3+b+2＝1，
∴b＝5，
故选：C．
3．【分析】根据一次函数的增减性可知m﹣2023＜0，进一步求解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣2023）x+m+2023，其中y的值随x的值增大而减小，
∴m﹣2023＜0，
∴m＜2023，
故选：A．
4．【分析】根据一次函数的性质，与坐标轴的交点，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：y＝﹣2x+4中，k＝﹣2＜0，b＝4＞0，
A．k＜0，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
B．当x＝0时，y＝4，则图象与y轴交点为（0，4），故该选项正确，不符合题意；
C．∵k＜0，b＞0，则图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，不符合题意；
D．当x＝1时，y＝﹣2+4＝2，则图象经过点（1，2），故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
5．【分析】根据题意可知：y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k＞0，结合b＝2＞0，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、三象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+2的图象经过点（﹣1，y1），（﹣2，y2），且y1＞y2，
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0．
又∵k＞0，b＝2＞0，
∴一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、三象限．
故选：C．
6．【分析】n分别取1、2、5、6、10，求得相应的y值；然后根据选项进行相应的解答．
【解答】解：当n＝1时，y＝1.4﹣0.5＝0.9，
当n＝2时，y＝1.4×2﹣0.5＝2.3，
当n＝3时，y＝1.4×3﹣0.5＝3.7，
当n＝4时，y＝1.4×4﹣0.5＝5.1，
当n＝5时，y＝1.4×5﹣0.5＝6.5，
当n＝6时，y＝1.4×6﹣0.5＝7.9，
当n＝10时，y＝1.4×10﹣0.5＝13.5，
A、2.3﹣0.9﹣0.9＝0.5，第2年比第1年的检修费用比上一年增加0.5万元，不符合题意；
B、3.7﹣2.3＝1.4，应该是“从第3年起，每年的检修费用比上一年增加1.4万元”，不符合题意；
C、×6.5＝1.3，第1年至第5年平均每年的检修费用为1.3万元，不符合题意；
D、×（13.5﹣6.5）＝1.4，第6年至第10年平均每年的检修费用为1.4万元，符合题意．
故选：D．
二．填空题
7．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵一次函数y＝3x+m的图象经过点（﹣1，1），
∴1＝3×（﹣1）+m，
解得：m＝4．
故答案为：4．
8．【分析】直接把（1，0）代入进而得出k的值，再利用一次函数的性质得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+1的图象经过点（1，0），
∴0＝k+1，
解得：k＝﹣1，
故y＝﹣x+1，
则一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
9．【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将直线y＝4x+3﹣2向下平移2个单位长度后所得直线的解析式是y＝4x+3﹣2，即y＝4x+1．
故答案为：y＝4x+1．
10．【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据m﹣1＜m即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0，
∴y随着x的增大而减小．
∵A（m﹣1，y1），B（m，y2）是一次函数y＝﹣2x+1的图象上的两个点，m﹣1＜m，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
三．解答题
11．【分析】（1）根据一次函数解析式的特点，可得出方程组，即可求出解析式；
（2）根据当华氏温度数值与摄氏温度数值的差为36时，y﹣x＝36，即可求出此时的摄氏温度．
【解答】解：（1）设一次函数表达式为y＝kx+b，
由温度计的示数得x＝0，y＝32；x＝20时，y＝68．
将其代入y＝kx+b，得，
解得，
所以；
（2）因为华氏温度数值与摄氏温度数值的差为36，
所以y﹣x＝36，
即，
解得：x＝5，
所以此时的摄氏温度为5℃．
12．【分析】（1）根据（k≠0）的图象由正比例函数y＝x的图象平移得到，可得k的值，将点（2，﹣3）代入可得b的值；
（2）结合图象即可确定m取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由正比例函数y＝x的图象平移得到，
∴k＝，
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（2，3），
∴3＝×2+b，
∴b＝2；
（2）如图所示：
当x＝2时，mx﹣2≤，
即2m﹣2≤3，
解得m≤，
结合图象可知，当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣2（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，m的取值范围是≤m≤．
13．【分析】（1）直线的解析式得到点A的坐标，再利用平面直角坐标系内两点之间的距离即可解答；
（2）①根据点P为直线y＝﹣2x+4位于第一象限内一点列不等式求解即可；②根据坐标与图形得到△POB与△PAC的面积列关于a的方程即可解答．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，
∴当x＝0时，y＝﹣2×0+4＝4，
∴A（0，4），
∵C（0，﹣3），
∴AC＝|4﹣（﹣3）|＝7；
（2）解：①∵直线y＝﹣2x+4与x轴分别交于点B，
∴点B（2，0），
∵P为直线y＝﹣2x+4位于第一象限内一点，点P的横坐标为a，
∴P（a，﹣2a+4），
∴，
解得：0＜a＜2；
故答案为：0＜a＜2．
②∵点P的横坐标为a，点P在直线y＝﹣2x+4上，
∴点P（a，﹣2a+4），
∴，，
∵△POB的面积与△PAC的面积相等，
∴，
∴．
专家押题
一．选择题
1．【分析】由已知得k＜0，b＞0即可确定图象经过的象限，然后就知道不经过的象限．
【解答】解：∵y＝﹣3x+3，
∴k＝﹣3＜0，b＝3＞0，
∴图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
2．【分析】根据平移的性质得到平移后的函数解析式，再把点A坐标代入平移后的解析式即可得出结论．
【解答】解：设平移后直线的表达式为：y＝x+b﹣2，
将点A（1，2）代入y＝x+b﹣2得，2＝1+b﹣2，
解得：b＝3，
故选：C．
3．【分析】利用ab＜0，得到a＜0，b＞0或b＜0，a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
【解答】解：因为ab＜0，得到a＜0，b＞0或b＜0，a＞0，
当a＜0，b＞0，图象经过一、二、四象限；
当a＞0，b＜0，图象经过一、三、四象限，
故选：D．
4．【分析】先将点B代入y＝﹣x+4，求出b，即可确定方程组的解．
【解答】解：将点A（﹣1，b）代入y＝x+4，
得b＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∴方程组的解为，
故选：B．
5．【分析】根据直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+2的图象互相平行，且与y轴交于4，即可得到k，b的值，即可求得直线y＝kx+b与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣3x+2的图象互相平行，
∴k＝﹣3，
∵与y轴交于（0，4），
∴b＝4，
∴这条直线的解析式为y＝3x+4，
令y＝0，则3x+4＝0，解得x＝﹣，
∴直线y＝3x+4与x轴的交点为（﹣，0），
∴直线y＝kx+b与坐标轴围成的面积是＝，
故选：A．
6．【分析】根据函数图象知甲车没有停留，6小时行驶360km，由此求出速度；利用甲车的速度和时间5求出a，利用5到5.6小时段的路程和时间求出乙车的速度；再由图象，分两种情况：在乙车出故障前，在乙车出故障后，根据题意列方程解答．
【解答】解：甲车的速度为360÷6＝60（km/h），
∴a＝5×60＝300（km），
∴乙车的速度为（360﹣300）÷（5.6﹣5）＝100（km/h），
甲车先出发的时间为60÷60＝1h，
∴B（1，0），
在乙车出故障前，由题意得|60x﹣100（x﹣1）|＝40，
解得：x＝或，
∴﹣1＝或﹣1＝，
在乙车出故障后，由题意得60x+40＝300或|100（x﹣5）﹣60（x﹣5）|＝40，
解得：x＝或x＝6（不合题意，舍去），
∴﹣1＝，
综上，乙车出发h或h或h时，两车相距40km，
故选：C．
二．填空题
7．【分析】根据一次函数的图象即可得关于k的不等式组，求解即可．
【解答】解：∵函数y＝（1﹣k）x+2k﹣4的图象不过第一象限，
∴1﹣k＜0，且2k﹣4≤0，
∴1＜k≤2，
故答案为：1＜k≤2．
8．【分析】根据一次函数的解析式判断出其增减性，再根据两点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：一次函数y＝3x+b中，k＝3，
∴y随x的增大而增大，
∵点A（﹣，m），B（2，n）中，2＞﹣，
∴m＜n，
故答案为：＜．
9．【分析】利用待定系数法求得一次函数解析式，进一步求得一次函数y＝kx+b的图象交x轴于（﹣2，0），利用图象即可得到关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象交y轴于（0，2），且函数图象经过（1，3），
∴，解得，
∴y＝x+2，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴一次函数y＝kx+b的图象交x轴于（﹣2，0），
由图象得：一次函数y＝kx+b中，y＞0时，图象在x轴上方，x＞﹣2，
则不等式kx+b＞0的解集为x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．
10．【分析】根据甲先出发2秒求出甲的速度，再根据题意，80秒时乙到达终点求出乙的速度，然后根据乙出发80秒时两人的距离等于两人行驶的路程的差列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意，t＝0时，甲出发3秒行驶的路程为12米，
所以，甲的速度＝12÷3＝4（米/秒），
∵先到终点的人原地休息，
∴80秒时，乙先到达终点，
∴乙的速度＝400÷80＝5（米/秒），
∴c＝400﹣4×（80+3）＝68（米）．
故答案为：68．
三．解答题
11．【分析】（1）根据点（0，2）在一次函数图象上，用待定系数法代入求解即可；
（2）根据题意列出不等式（k﹣1）x+2﹣k＞0，因为不等式的解包含x＜4，所以k﹣1＜0、＞4，求解即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+b经过点（0，2），
∴将点（0，2）代入y＝﹣x+b，
得b＝2，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+2．
（2）令y1＝﹣x+2，y2＝kx﹣k，
∴y1+y2＝﹣x+2+kx﹣k＝（k﹣1）x+2﹣k，
∵当x＜4时，（k﹣1）x+2﹣k＞0，
∴k﹣1＜0，解得k＜1，
解（k﹣1）x+2﹣k＞0，得x＜，
∴≥4，
∴解得k≥，
当k＝1时，
y1+y2＝﹣x+2+x﹣1＝2＞0，满足题意
综上，k的取值范围是≤k≤1．
12．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，再根据点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线l1的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，利用三角形的面积公式结合△OCD的面积是△AOC面积的，可求出OD的长，进而可得出点D的坐标；
（3）设点E的坐标为（m，n），分OA为对角线、OC为对角线及AC为对角线三种情况，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可求出点E的坐标．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝2x＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
设直线l1的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将B（0，3），C（1，2）代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+3．
（2）当y＝0时，﹣x+3＝0，解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0）．
∵S△OCD＝S△AOC，即×1×OD＝××2×OA，
∴OD＝OA＝4，
∴点D的坐标为（0，4）或（0，﹣4）．
（3）设点E的坐标为（m，n），分三种情况考虑（如图2）：
①当OA为对角线时，∵O（0，0），A（3，0），C（1，2），
∴，解得：，∴点E1的坐标为（2，﹣2）；
②当OC为对角线时，∵O（0，0），A（3，0），C（1，2），
∴，解得：，∴点E2的坐标为（﹣2，2）（不合题意）；
③当AC为对角线时，∵O（0，0），A（3，0），C（1，2），
∴，解得：，∴点E3的坐标为（4，2）．
综上所述：平面内存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为（2，﹣2）或（4，2）．
13．【分析】（1）把P（a，2）代入y＝2x+4，求出其横坐标，把P（﹣1，2），C（3，0）代入，y＝kx+b，求出k、b即可；
（2）①根据直线解析式求出点M、N的坐标，即可求得MN的长；②分两种情况讨论，根据题意列出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝﹣2x+4过点P（a，2），
∴2＝﹣2a+4，
解得a＝1，
∴P（1，2），
设l2的表达式为：y＝kx+b（k≠0），
将P（1，2），C（﹣3，0）代入l2得，解得，
∴l2的表达式为；
（2）①根据题意，可知N（，），M（，1），
∴MN＝﹣1＝；
②当0＜m＜1时，点M，E关于N点对称，则NE＝ME，
∴＝×（﹣2m+4），
解得m＝，
当1＜m＜2时，点N，E关于M点对称，则ME＝NE，
∴﹣2m+4＝，
解得m＝，
故m的值为或．
中考倒计时
13天
反比例函数
1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题或填空题的形式出现，少数题目以解答题的形式出现,属于中档题。
2.从考查内容来看，主要有：反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数解析式的确定；反比例函数的应用。
3.从考查热点来看，主要有：反比例函数的性质及其解析式的确定；反比例函数与一次函数交点的综合应用；反比例函数与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。
1、反比例函数的概念：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数．
2、反比例函数的图象和性质
（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．
当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．
当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
3、反比例函数解析式的确定
1）待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2）待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
4、反比例函数中|k|的几何意义
1）反比例函数图象中有关图形的面积
2）涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则
S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
5、反比例函数与一次函数的综合
1）涉及自变量取值范围型：当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
2）求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
6、反比例函数的实际应用
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
一．选择题
1．（2022•阜新）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A．（4，2）B．（1，8）C．（﹣1，8）D．（﹣1，﹣8）
【分析】先把点（﹣2，4）代入反比例函数的解析式求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，4），
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
A、∵4×2＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、∵1×8＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、﹣1×8＝﹣8，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D、（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选：C．
2．（2022•南京）反比例函数为常数，k≠0）的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、二象限D．第三、四象限
【分析】首先判断比例系数的符号，然后根据其性质确定其图象所处的位置即可．
【解答】解：∵k为常数，k≠0，
∴k2＞0，
∴反比例函数为常数，k≠0）的图象位于第一、三象限，
故选：A．
3．（2022•黔西南州）在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四
【分析】先根据反比例函数的图象位于二，四象限，可得k＜0，由一次函数y＝kx+2中，k＜0，2＞0，可知它的图象经过的象限．
【解答】解：由图可知：k＜0，
∴一次函数y＝kx+2的图象经过的象限是一、二、四．
故选：B．
4．（2022•钢城区）如图，一次函数y＝kx+1与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（2，t），过点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，下列结论错误的是（ ）
A．t＝3
B．k＝1
C．△OAP 的面积是3
D．点B（m，n）在y＝（x＞0）上，当m＞2时，n＞t
【分析】由反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（2，t），可得t＝3，判断A正确；把（2，3）代入y＝kx+1k＝1，判定B正确；由反比例函数中k的几何意义可判断C正确；根据y＝的增减性可D错误．
【解答】解：∵反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（2，t），
∴t＝3，故A正确，不符合题意；
∴P（2，3），
把（2，3）代入y＝kx+1得：
2k+1＝3，
解得k＝1，故B正确，不符合题意；
∵PA⊥x轴，y＝，
∴△OAP 的面积是＝3，故C正确，不符合题意；
当x＞0时，y＝中，y随x的增大而减小，
∴m＞2时，n＜3，故D错误，符合题意，
故选：D．
5．（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜0或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2D．﹣1＜x＜2
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k1x+b＜的解集，此题得解．
【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，
∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，
故选：A．
二．填空题
6．（2022•陕西）将函数y＝﹣x的图象沿y轴向上平移6个单位后，与反比例函数y＝的图象交于点A（n，3），则k的值为 18 ．
【分析】将函数y＝﹣x的图象沿y轴向上平移6个单位得y＝﹣x+6，把A（n，3）代入得n＝6，A（6，3），把A（6，3）代入y＝即得答案．
【解答】解：将函数y＝﹣x的图象沿y轴向上平移6个单位后，得到的图象函数解析式为y＝﹣x+6，
把A（n，3）代入y＝﹣x+6得：3＝﹣n+6，
解得n＝6，
∴A（6，3），
把A（6，3）代入y＝得：
3＝，
解得k＝18，
故答案为：18．
7．（2022•益阳）反比例函数y＝的图象分布情况如图所示，则k的值可以是 1（答案不唯一）． （写出一个符合条件的k值即可）．
【分析】根据反比例函数的图象所处的位置确定k﹣2的符号，从而确定k的范围，可得答案．
【解答】解：由反比例函数y＝的图象位于第二，四象限可知，k﹣2＜0，
∴k＜2，
∴k的值可以是1，
故答案为：1（答案不唯一）．
8．（2022•黔西南州）已知点（2，y1），（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1与y2的大小关系是 y1＞y2 ．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据0＜x1＜x2，判断出两点所在的象限，根据该函数在此象限内的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝6＞0，
∴此函数图象的两个分支在一、三象限，
∵0＜2＜3，
∴两点都在第一象限，
∵在第一象限内y的值随x的增大而减小，
∴y1＞y2．
故答案为：y1＞y2．
9．（2022•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y＝（k≠0）图象上的三点．若S△ABC＝2，则k的值为 ．
【分析】连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，由B、C点的坐标可知B、C关于原点对称，则BO＝CO，即可求得S△AOB＝1，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，即可得出|6n+2m|•|3m﹣m|＝1，求得m2＝，由于k＝6m2，即可求得k＝．
【解答】解：如图，连接OA，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，
∵点A（m，6m），B（3m，2n），C（﹣3m，﹣2n）是函数y＝（k≠0）图象上的三点．
∴k＝6m2＝6mn，
∴n＝m，
∴B（3m，2m），C（﹣3m，﹣2m），
∴B、C关于原点对称，
∴BO＝CO，
∵S△ABC＝2，
∴S△AOB＝1，
∵S△AOB＝S梯形ADEB+S△AOD﹣S△BOE＝S梯形ADEB，
∴|6m+2m|•|3m﹣m|＝1，
∴m2＝，
∵k＝6×，
∴k＝，
故答案为：．
10．（2022•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是 ．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE＝S△OBD＝k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，
∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE＝S△BOD＝k，S△ACD＝S△OCD＝1，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴△OCE与△OAB得到面积比为1：4，
∴4S△OCE＝S△OAB，
∴4×k＝1+1+k，
∴k＝．
故答案为：．
三．解答题
11．（2022•攀枝花）如图，一次函数y＝x﹣2的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，求△OAB的面积．
【分析】解析式联立成方程组，解方程组即可得到A、B两点的坐标，由一次函数解析式求得直线与y轴的交点C，然后根据S△OAB＝S△AOC+S△BOC求得即可．
【解答】解：解方程组得或，
所以A点坐标为（3，1），B点坐标为（﹣1，﹣3），
设一次函数y＝x﹣2的图象交y轴于点C，则C（0，﹣2），
∴OC＝2，
∴S△OAB＝S△AOC+S△BOC＝×3+＝4．
故△OAB的面积为4．
12．（2022•德州）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）请求出这个反比例函数的解析式；
（2）蓄电池的电压是多少？
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，将点（8，6）代入I＝，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）根据电压＝电流×电阻即可求解；
（3）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，
∵图象经过（8，6），
∴6＝，
解得k＝6×8＝48，
∴I＝；
（2）蓄电池的电压是6×8＝48；
（3）∵I≤10，I＝，
∴≤10，
∴R≥4.8，
即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．
13．（2022•淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集．
【分析】（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
（2）直线AC：y＝﹣x+与双曲线：y＝（x＞0）相交于A（1，2），B两点，联立方程组，求出点B的坐标为（3，），根据组合法（即基本图形面积的和差）即可以解决问题；
（3）根据图象即可解决问题．
【解答】解：（1）将A（1，2），C（4，0）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，
将A（1，2）代入y＝（x＞0），
得m＝2，
∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）；
（2）∵直线AC的解析式为y＝﹣x+与y轴交点D，
∴点D的坐标为（0，），
∵直线AC：y＝﹣x+与双曲线：y＝（x＞0）相交于A（1，2），B两点，
∴，
∴，，
∴点B的坐标为（3，），
∴△AOB的面积＝4×﹣4×﹣×1＝；
（3）观察图象，
∵A（1，2），B（3，），
∴当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞的解集是1＜x＜3．
14．（2022•六盘水）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）将直线y＝x向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若＝，求a的值．
【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数，即可求出两交点坐标；
（2）根据直线y＝x向下平移a个单位长度，可得直线CD解析式为：y＝x﹣a，所以点D的坐标为（a，0），过点C作CF⊥x轴于点F，根据CF∥OE，可得＝＝，所以FD＝a，可得点C的坐标是（a，a）．然后利用反比例函数即可解决问题．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，
∴x＝，
解得x＝±2，
∴A（2，2），B（﹣2，﹣2）；
（2）∵直线y＝x向下平移a个单位长度，
∴直线CD解析式为：y＝x﹣a，
当y＝0时，x＝a，
∴点D的坐标为（a，0），
如图，过点C作CF⊥x轴于点F，
∴CF∥OE，
∴＝＝，
∴FD＝a，
∴OF＝OD+FD＝a，
∵点C在直线CD上，
∴y＝a﹣a＝a，
∴CF＝a，
∴点C的坐标是（a，a）．
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴a×a＝4，
解得a＝±3（负值舍去），
∴a＝3．
一．选择题
1．（2023•南岗区校级二模）如果反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），则k的值是（ ）
A．7B．5C．﹣6D．6
2．（2023•鹿城区校级模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I与电阻R是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数表达式为I＝B．蓄电池的电压是18V
C．当R＝3.6Ω时，I＝4AD．当I≤10A时，R≥3.6Ω
3．（2023•和平区二模）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
4．（2023•攀枝花模拟）如图，已知直线y＝mx与双曲线的一个交点坐标为（﹣1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A．（1，3）B．（3，1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，3）
5．（2023•峄城区校级一模）如图所示，△OAB、△BCD都是等边三角形，且均在第一象限，若双曲线y＝经过A、C两点，OB＝2，则点C的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题
6．（2023•乾县一模）已知点A是函数y＝ax与的图象的一个交点，且该交点的横坐标为1，那么点A的纵坐标是 ．
7．（2023•三亚模拟）已知点（2，y1），（3，y2）在反比例函数的图象上，则y1 y2（填“＞”或“＜”）．
8．（2023•迎泽区校级二模）已知反比例函数y＝，当2≤x＜5时，y的取值范围是 ．
9．（2023•三原县二模）若反比例函数的图象经过点A（﹣4，a）和点B（4，b），且a﹣b＝﹣4，则k的值为 ．
10．（2023•蚌山区校级二模）如图，一次函数y＝ax+8与反比例函数的图象交于M（m，6）和N（n，2）两点，已知S△MON＝8，则k＝ ．
三．解答题
11．（2023•南充模拟）如图，点A（m，1）在双曲线上，点B在x轴上．将线段AB平移到CD，点C仍在双曲线上，点D在y轴上，OB＝2OD＝2．
（1）求m和k的值；
（2）直线AC与x轴交于E，与y轴交于F．求证：OE＝2OF．
12．（2023•大连一模）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为200欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为6欧姆时，电流I为24安培．
（1）求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数解析式；
（2）若2≤R≤200，求电流I的变化范围．
13．（2023•成华区模拟）如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于A（a，4），B两点，连接OA，OB．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数y＝x+2图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
一．选择题
1．反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），则下列各点也在这个函数图象上的是（ ）
A．（2，4）B．（﹣1，﹣8）C．（﹣2，﹣4）D．（4，﹣2）
2．反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．点（﹣3，a）、（﹣1，b）在函数的图象上，则a、b的大小关系是（ ）
A．a＞bB．a＜b
C．a＝bD．无法比较大小
4．如图的电路图中，用电器的电阻R是可调节的，其范围为110～220Ω，已知电压U＝220V，下列描述中错误的是（ ）
A．P与R成反比例：
B．P与R成反比例：
C．电阻R越大，功率P越小
D．用电器的功率P的范围为220～440W
5．反比例函数y＝，y＝图象如图所示，点A在y＝图象上，连接OA交y＝图象于点B，则AB：BO的比为（ ）
A．1：2B．2：3C．4：5D．4：9
二．填空题
6．请写一个函数表达式，使其图象经过点（﹣1，4），且函数值随自变量的增大而减小： ．
7．反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），则k的值为 ．
8．反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限内，则k的取值范围是 ．
9．已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＞x2＞0，则y1 y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
10．在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 ．
三．解答题
11．如图，一次函数y＝﹣2x+b（b为常数）的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（﹣1，4）．
（1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
（2）点C在y轴上，当S△ABC＝3时，求点C的坐标．
12．为预防疾病传播，某小区业主对自己的家庭进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例；燃烧完，y与x成反比例（如图）．现测得药物16min燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg，根据以上信息解答下列问题：
（1）求药物燃烧阶段y关于x的函数表达式．
（2）求药物燃烧完y关于x的函数表达式．
（3）当每立方米空气中的含药量低于1.6mg时，对人体方才无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间业主才可以回家？
13．如图，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C，D两点，点D（2，﹣3），B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的解析式；
（2）①求△COD的面积；
②当k1x+b﹣≥0时，直接写出自变量x的取值范围．
名校预测
一．选择题
1．【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特点得出答案．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣2，﹣3），
∴k＝xy＝6．
故选：D．
2．【分析】根据函数图象可设I＝，再将（4，9）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【解答】解：设I＝，
∵图象过（4，9），
∴k＝36，
∴I＝，故选项A错误，不符合题意；
∴蓄电池的电压是36V，故选项B错误，不符合题意；
当R＝3.6Ω时，I＝＝10（A），故选项C错误，不符合题意；
当I＝10A时，R＝3.6Ω，
由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
3．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数中，k＝2＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵﹣3＜0，0＜1＜2，
∴点A（﹣3，y1）在第三象限，点B（1，y2），C（2，y3）在第一象限，
∴y1＜y3＜y2．
故选：B．
4．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（﹣1，3），另一个交点的坐标为（1，﹣3）．
故选：C．
5．【分析】过点A，C分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F，根据等边三角形的性质，勾股定理得出，进而得出，设BF＝m，则，则，代入反比例函数解析式，解方程即可求解．
【解答】解：如图所示，过点A，C分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F，
∵△OAB、△BCD都是等边三角形，OB＝2
∴，
∴，
∴，反比例函数为，
设BF＝m，则，
∴，
∵C在反比例函数上，
∴，
解得：或（负值舍去），
∴，
∴，
故选：B．
二．填空题
6．【分析】把x＝1代入两个函数的解析式，则纵坐标相等，即可求得a的值，从而求得函数的解析式，然后把x＝1代入解析式即可求得点A的纵坐标．
【解答】解：根据题意，得：a＝4﹣a，
解得：a＝2，
则正比例函数的解析式是：y＝2x，反比例函数的解析式是：y＝，
把x＝1代入y＝2x，则y＝2，
∴点A的纵坐标为2，
故答案为：2．
7．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出y1和y2的值，然后比较它们的大小．
【解答】解：∵点（2，y1），（3，y2）在反比例函数的图象上，
∴y1＝﹣3，y2＝﹣2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
8．【分析】求出x＝2和x＝5对应的y的值，再根据x的范围求出答案即可．
【解答】解：把x＝2代入y＝得：y＝5，
把x＝5代入y＝得：y＝2，
所以当2≤x＜5时，y的取值范围是2＜y≤5，
故答案为：2＜y≤5．
9．【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣4a＝4b＝k，即可得到b＝﹣a，由a﹣b＝﹣4求得a＝﹣2，从而求得k＝﹣4a＝8．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，a）和点B（4，b），
∴﹣4a＝4b＝k，
∴b＝﹣a，
∵a﹣b＝﹣4，
∴2a＝﹣4，即a＝﹣2，
∴k＝﹣4a＝8，
故答案为：8．
10．【分析】过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为Q，P，根据题意得出S△OMN＝S梯形MNPQ＝8，代入M，N的坐标得出n﹣m＝2，将M，N代入一次函数，得出a＝﹣2，进而求得点M（1，6），根据反比例函数的k的几何意义，即可求解．
【解答】解：如图所示，过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为Q，P，
依题意，S△OMN+S△ONP＝S△OMQ+S梯形MNPQ，
又∵S△ONP＝S△OMQ，
∴S△OMN＝S梯形MNPQ＝8，
∵M（m，6）和N（n，2），
∴，
解得：n﹣m＝2，
∵M（m，6）和N（n，2）在y＝ax+8上，
∴6＝am+8，2＝an+8，
∴a（n﹣m）＝﹣4，
∴a＝﹣2，
∴m＝1，
∴M（1，6），
∴k＝6，
故答案为：6．
三．解答题
11．【分析】（1）根据OB＝2OD＝2可得点B、D的坐标，根据点A的坐标为（m，1），由平移规律可得点C的坐标，点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值；
（2）根据平移的性质证得四边形ABDC是平行四边形，即可得到BD∥EF，根据平行线分线段成比例定理即可证得结论．
【解答】解：（1）由题意得：B（﹣2，0），D（0，1），
由平移可知：线段AB向上平移1个单位，再向右平移2个单位，
∵点A（m，1），
∴C（m+2，2），
∵点A和点C在双曲线上，
∴k＝m＝2（m+2），
∴k＝m＝﹣4；
（2）由题意得：AB∥CD，CD＝AB，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴BD∥EF，
∴，即，
∴OE＝2OF．
12．【分析】（1）设函数解析式为，把R＝6时，I＝24代入求出k值即可得答案；
（2）根据反比例函数性质，把R＝2，R＝200代入求出I的最大值和最小值即可得答案．
【解答】解：（1）设函数解析式为，
∵当R＝6时，I＝24，
∴，
解得：k＝144，
∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为．
（2）∵中，144＞0，R＞0，
∴图象在第一象限，I随R的增大而减小，
∵2≤R≤200，
∴把电阻最小值R＝2代入，得到电流的最大值，，
把电阻最大值R＝200代入，得到电流的最小值，，
∴电流I的变化范围是0.72≤I≤72．
13．【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△AOB的面积＝S△COA+S△COB，即可求解；
（3）当OB是对角线时，由中点坐标公式列出方程组，进而求解；当OM或ON是对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：4＝x+2，则x＝2，即点A（2，4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2×4＝8，
即反比例函数表达式为：y＝；
（2）联立y＝x+2和y＝并解得：x＝﹣4，即点B（﹣4，﹣2），
对于y＝x+2，当x＝0时，y＝2，即点C（0，2），即OC＝2，
则△AOB的面积＝S△COA+S△COB＝OC×（xA﹣xB）＝×（2+4）＝6；
（3）设点M的坐标为（m，）（m＞0），点N（t，t+2），
当OB是对角线时，由中点坐标公式得：
，解得：m＝2（不合题意的值已舍去），
即点M（2，2）；
当OM或ON是对角线时，由中点坐标公式得：
或，解得：m＝2﹣2或2（不合题意的值已舍去），
即点M的坐标为：（2﹣2，2）或（2，2）；
综上，点M的坐标为：（2﹣2，2）或（2，2）．
专家押题
一．选择题
1．【分析】由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）经过点（﹣2，4），
∴k＝﹣2×4＝﹣8．
A、2×4＝8；B、﹣1×（﹣8）＝8；C、﹣2×（﹣4）＝8；D、4×（﹣2）＝﹣8．
故选：D．
2．【分析】根据反比例函数的性质，当k＞0时，图象分布在第一、三象限，进而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数，k＝6＞0，
∴图象分布在第一、三象限，即．
故选：C．
3．【分析】把点A（﹣3，a），B（﹣1，b）分别代入函数，求出a、b的值，再进行比较即可．
【解答】解：把点A（﹣3，a）代入函数可得，a＝；
把点B（﹣1，b）代入函数可得，b＝1．
∵＜1，
∴a＜b．
故选：B．
4．【分析】根据物理知识可得：U2＝P•R；故当U＝220时，P、R成反比例函数，故有P＝，根据反比例函数的性质可以得到答案．
【解答】解：根据电学知识，当U＝220时，有P＝，
即输出功率P是电阻R的反比例函数，函数解析式为P＝．
从P＝式可以看出，电阻越大则功率越小．
把电阻的最小值R＝110代入P＝，
得到输出功率的最大值P＝＝440，
把电阻的最大值R＝220代入P＝，
得到输出功率的最小值P＝＝220，
因此用电器的功率P的范围为220～440W．
可以看出选项BCD是正确的，选项A是错误的，
故选：A．
5．【分析】作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，根据反比例函数y＝系数k的几何意义得到S△AOM＝×9＝，S△BOC＝＝2，然后根据三角形相似的性质求得结论．
【解答】解：作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∵点A在y＝图象上，连接OA交y＝图象于点B，
∴S△AOM＝×9＝，S△BOC＝＝2，
∵AM∥BN，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∴＝，即＝，
故选：A．
二．填空题
6．【分析】设一次函数解析式：y＝kx+b，根据函数值随自变量的增大而减小，可知k＜0，取k＝﹣1，然后将点（﹣1，4）代入函数解析式即可．
【解答】解：设一次函数解析式：y＝kx+b，
∵函数值随自变量的增大而减小，
∴k＜0，
可取k＝﹣1，
将点（﹣1，4）代入y＝﹣x+b，
得1+b＝4，
解得b＝3，
∴一次函数解析式：y＝﹣x+3，
故答案为：y＝﹣x+3．
7．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到k+1＝﹣2×3，然后解方程即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，3），
∴k+1＝﹣2×3，
∴k＝﹣7．
故答案为﹣7．
8．【分析】根据反比例函数 （k是常数，k≠0）的图象在第一，三象限，即可得出k＞0．
【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴k＞0，
故答案为：k＞0．
9．【分析】根据一元二次方程根的判别式可得m的值，再根据反比例函数的增减性即可进行比较．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4m＝0，
解得m＝4，
∵x1＞x2＞0，
根据反比例函数的图象，在每一象限内，y的值随着x增大而减小，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
10．【分析】连接OA，根据平行线间的距离相等得出S△AOB＝S△ABC＝8，然后根据反比例函数性质k的几何意义即可求得k＝﹣16．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△AOB＝S△ABP＝2，
∵S△AOB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵反比例函数y＝在第二象限，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
三．解答题
11．【分析】（1）分别把点A的坐标代入一次函数与反比例函数解析式求解即可；
（2）联立两函数解析式，解方程组即可得到点B的坐标．
【解答】解：（1）∵两函数图象相交于点A（﹣1，4），
∴﹣2×（﹣1）+b＝4，＝4，
解得b＝2，k＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
一次函数的表达式为y＝﹣2x+2；
（2）联立，解得（舍去），，
所以，点B的坐标为（2，﹣2），
设C（0，m），则有×|2﹣m|×3＝3，
∴m＝0或4，
∴C（0，0）或（0，4）．
12．【分析】（1）首先根据题意，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y与燃烧时间x成正比例；
（2）燃烧后，y与x成反比例；且其图象都过点（16，12），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（3）根据题意可知得 y＝ （x＞16）．进一步求解可得答案．
【解答】解：（1）当0≤x≤16，
∵点（16，12）在y＝kx上，
∴12＝16k，即k＝0.75，
∴药物燃烧时y与x的函数关系式为y＝0.75x（0≤x≤16）．
（2）当x＞16时，即药物燃烧后，
设y与x的函数关系式为y＝（a≠0），
∵点（16，12）在函数上，
∴12＝，即a＝192，
∴药物燃烧后y与x的函数关系式为 y＝ （x＞16）．
（3）将y＝1.6代入y＝ （x≥16）中，
得x＝120，
故从消毒开始经120分钟后业主才能回家．
13．【分析】（1）把点D的坐标代入y2＝的利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得C的坐标，然后根据S△COD＝S△AOC+S△AOD即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2＝的图象上，
∴k2＝2×（﹣3）＝﹣6，
∴y2＝﹣；
作DE⊥x轴于E，
∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，
∴A（﹣2，0），
∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1＝k1x+b的图象上，
∴，解得k1＝﹣，b＝﹣，
∴y1＝﹣x﹣；
（2）由，解得，，
∴C（﹣4，），
∴S△COD＝S△AOC+S△AOD＝×2×+×2×3＝；
（3）当k1x+b﹣≥0时，x≤﹣4或0＜x≤2．
中考倒计时
12天
二次函数
1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题与解答题的形式考查，也可能在填空题中出现，题目难度中高档。
2.从考查内容来看，主要有：二次函数的性质与图象；用待定系数法确定函数解析式；二次函数的最值与平移问题等。
3.从考查热点来看，主要有：二次函数的性质与图象；通过具体问题情境学会用三种方式表示二次函数关系；通过在实际问题中应用二次函数的性质，发展应用二次函数解决实际问题的能力。
1、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
3、二次函数的图象及性质
4、抛物线的平移
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
5、二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
6、二次函数的综合
1）函数存在性问题
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2）函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
一．选择题
1．（2022•兰州）已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1B．x＞1C．x＜2D．x＞2
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故选：B．
2．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
3．（2022•陕西）若二次函数y＝x2+2x+3m﹣1的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ）
A．m＞B．m＜2
C．m＜﹣2或m≥﹣D．≤m＜2
【分析】利用二次函数的性质，抛物线与x轴有2个交点，与y轴的交点不在负半轴上，即Δ＞0，且3m﹣1≥0，然后解不等式组即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+3m﹣1经过第一、二、三象限，
∴Δ＝（2）2﹣4（3m﹣1）＞0且3m﹣1≥0，
解得≤m＜2．
故选：D．
4．（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点（0，2）在函数图象上B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1D．与直线y＝3x有两个交点
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；
C、根据对称轴公式计算；
D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x＝﹣
＝，
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
5．（2022•淄博）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），
∴3＝a+2，
∴a＝1，
∴y＝x2+2，
∵Q（m，n）在y＝x2+2上，
∴n＝m2+2，
∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，
∵（m2﹣2）2≥0，
∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为1．
故选：A．
6．（2022•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x＝﹣1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），从而得到x1＝﹣3，x2＝1，则可对③进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
即﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a﹣bt≤at2+b，所以②正确；
∵图象经过点（1，3）时，得ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），
即x1＝﹣3，x2＝1，
∴x1+3x2＝﹣3+3＝0，所以③正确．
故选：D．
二．填空题
7．（2022•黑龙江）把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 y＝2（x+1）2﹣2 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
8．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1或﹣ ．
【分析】函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．
【解答】解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，
②与x、y轴各一个交点，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
解得m＝0（舍去）或m＝﹣，
综上所述：m的值为1或﹣．
9．（2022•黔西南州）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 10 m．
【分析】根据题目中的函数解析式和图象可知，OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y＝0求出相应的x的值，即可得到OA的长．
【解答】解：∵y＝﹣x2+x+，
∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，
解得x1＝﹣2，x2＝10，
∴OA＝10m，
故答案为：10．
10．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ﹣1﹣ ．
【分析】函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，
当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，
∴x＝﹣1±，
∵﹣1+＞，
∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，
∴a＝﹣1﹣．
故答案为：﹣1﹣．
三．解答题
11．（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【分析】（1）将（2，4）代入解析式求解．
（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．
【解答】解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
12．（2022•无锡）某水果店出售一种水果，每箱定价58元时，每周可卖出300箱．试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每周将少卖出10箱．已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗费为3元．
（1）若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？
（2）根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？
【分析】（1）根据已知列式计算即可；
（2）分两种情况：若每箱水果降价x元，这种水果的每周销售利润为y元，可得：y＝（58﹣35﹣3﹣x）（300+25x）＝﹣25（x﹣4）2+6400，若每箱水果涨价x'元，这种水果的每周销售利润为y'元，有y'＝（58﹣35﹣3+x'）（300﹣10x'）＝﹣10（x'﹣5）2+6250，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵58﹣35﹣3＝20，20×300＝6000（元），
∴若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；
（2）若每箱水果降价x元，这种水果的每周销售利润为y元，
根据题意得：y＝（58﹣35﹣3﹣x）（300+25x）＝﹣25（x﹣4）2+6400，
由二次函数性质可知，当x＝4时，y的最大值为6400元；
若每箱水果涨价x'元，这种水果的每周销售利润为y'元，
根据题意得：y'＝（58﹣35﹣3+x'）（300﹣10x'）＝﹣10（x'﹣5）2+6250，
由二次函数性质可知，当x'＝5时，y'的最大值为6250元；
综上所述，当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．
13．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，即可得解；
（2）根据正方形的性质得出∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，再由BF＝BF，得出△BOF≌△BDF，最后利用全等三角形的性质得出结论；
（3）分两种情况讨论解答，当M在线段BD的延长线上时，先求出∠M，再利用解直角三角形得出结果，当M在线段BD上时，得出∠BOM＝30°，类比①解答即可．
【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入
得：，解得，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：∵正方形OBDC，
∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，
∵BF＝BF，
∴△BOF≌△BDF，
∴∠BOF＝∠BDF；
（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，
∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，
∴E（2，3），
①如图，
当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，
∴∠FDM为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴DF＝DM，
∴∠M＝∠DFM，
∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，
∵BM∥OC，
∴∠M＝∠MOC，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，
∴∠M＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；
②如图，
当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，
∵△MDF为等腰三角形，
∴MF＝DM，
∴∠BDF＝∠MFD，
∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BMO＝2∠BOM，
∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，
∴∠BOM＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，
综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．
14．（2022•无锡）如图，二次函数y＝的图象与x轴交于点A、B（A在B左侧），点C（0，3），点E在对称轴上．
（1）求A、B两点坐标；
（2）设直线AC与抛物线的另一个交点为D，求点D坐标；
（3）设E关于直线BD、CD的对称点分别为F、G，求以GF为直径的圆面积的最小值．
【分析】（1）在y＝中，令y＝0可解得A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）用待定系数法求出直线AC对应的函数表达式为y＝x+3，再联立解析式可得D（5，8）；
（3）设EF交BD于点P，抛物线y＝的对称轴交x轴于点Q，直线AD交EQ于N，连接NG，EG，过D作DH⊥x轴于H，过F作FM⊥EQ于M，求出N（﹣1，2），由E，G关于AD对称，可得∠ENG＝90°，△ENG是等腰直角三角形，设EM＝a，EQ＝b，则E（﹣1，b），G（b﹣3，2），证明△DBH∽△FEM，即得＝＝，故F（2a﹣1，b﹣a），P（a﹣1，b﹣），把P（a﹣1，b﹣）代入y＝2x﹣2可得a＝，从而F（，），得FG2＝（b﹣3﹣）2+（2﹣）2＝（b﹣8）2+，再由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）在y＝中，
令y＝0得：＝0，
解得x＝1或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）设直线AC对应的函数表达式为y＝kx+t，
把A（﹣3，0），C（（0，3）代入得：
，
解得
∴直线AC对应的函数表达式为y＝x+3，
联立，
解得或，
∴D（5，8）；
（3）设EF交BD于点P，抛物线y＝的对称轴交x轴于点Q，直线AD交EQ于N，连接NG，EG，过D作DH⊥x轴于H，过F作FM⊥EQ于M，如图：
由y＝得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
在y＝x+3中，令x＝﹣1得y＝2，
∴N（﹣1，2），
∵OA＝OC＝3，
∴∠CAO＝45°＝∠ANQ＝END，
∵E，G关于AD对称，
∴∠END＝∠GND＝45°，EN＝GN，
∴∠ENG＝90°，△ENG是等腰直角三角形，
设EM＝a，EQ＝b，则E（﹣1，b），
∴EN＝b﹣2＝EG，
∴G（b﹣3，2），
∵E，F关于BD对称，
∴∠KPF＝90°，P为EF的中点，
∴∠DBH＝∠PKF＝90°﹣∠PFK＝∠MEF，
∵∠DHB＝90°＝∠EMF，
∴△DBH∽△FEM，
∴＝，
∵B（1，0），D（5，8），
∴BH＝4，DH＝8，
∴＝＝，
∴FM＝2EM＝2a，
∴F（2a﹣1，b﹣a），
∵P为EF的中点，
∴P（a﹣1，b﹣），
由B（1，0），D（5，8）可得直线BD解析式为y＝2x﹣2，
把P（a﹣1，b﹣）代入y＝2x﹣2得：
2（a﹣1）﹣2＝b﹣，
∴a＝，
∴F（，），
∴FG2＝（b﹣3﹣）2+（2﹣）2＝b2﹣b+40＝（b﹣8）2+，
∵＞0，
∴FG2的最小值为，
∴以GF为直径的圆面积最小为π（）2＝FG2＝π，
答：以GF为直径的圆面积最小为π．
一．选择题
1．（2023•东城区校级模拟）二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，1）C．（3，﹣1）D．（3，1）
2．（2023•浠水县一模）若抛物线y＝x2+ax+1的顶点在y轴上，则a的值为（ ）
A．2B．1C．0D．﹣2
3．（2023•新昌县模拟）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3平移，使平移后的抛物线经过原点，这个平移过程不可能是（ ）
A．向右平移1个单位B．向下平移1个单位
C．向上平移3个单位D．向左平移3个单位
4．（2023•南充模拟）针对抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴公共点的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个公共点B．有一个公共点
C．一定有公共点D．可能无公共点
5．（2023•金牛区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．c＜0
B．方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝1，x2＝3
C．当x＞1时，y随x值的增大而减小
D．当y≥0时，0＜x＜3
6．（2023•衡水模拟）某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（ ）
A．AB＝24m
B．池底所在抛物线的解析式为
C．池塘最深处到水面CD的距离为3.2m
D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的
二．填空题
7．（2023•金山区二模）抛物线在y轴的右侧呈 趋势（填“上升”或者“下降”）．
8．（2023•大庆一模）函数y＝kx2+x+1（k为常数）的图象与坐标轴有两个交点，则k的值为 ．
9．（2023•武侯区模拟）在二次函数y＝ax2﹣2ax+1图象上有A（2，y1）、B（4，y2）两点，若y1＞y2，则a的取值范围是 ．
10．（2023•福安市一模）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（﹣1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．给出四个结论：①a+b+c＝0，②abc＜0；③2a+b＞0；④a+c＝1；
其中正确的结论的序号是
三．解答题
11．（2023•东城区校级一模）如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，演员在弹跳过程中，当身体离地面最大高度为5米时，与点A所在y轴的水平距离为3米，已知点A距离地面高度为1米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知人梯BC＝3.15米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是5米，问这次表演能否成功（接触到人梯则代表表演成功）？请说明理由．
12．（2023•三原县二模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，点P是直线l左侧抛物线上一点且点P在x轴上方．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求PD+PH的最大值及此时点P的坐标．
13．（2023•合肥模拟）已知关于x的抛物线y＝x2﹣2x+m2+4，其中m为实数．
（1）求证：该抛物线与x轴没有交点；
（2）若与x轴平行的直线与这条抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左侧），已知点M到y轴的距离为，求点N到y轴的距离；
（3）设这条抛物线的顶点的纵坐标为p，当﹣3≤m≤2时，求p的取值范围．
一．选择题
1．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣4B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2﹣6
3．以下对二次函数y＝4x2的图象与性质的描述中，不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．图象经过点（﹣1，﹣4）
D．x＞0时，y随x的增大而增大
4．已知二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+c+1的图象如图所示，则在同一坐标系中y1＝ax2+bx+1与y2＝x﹣c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
（1）4ac＜b2；（2）abc＜0；（3）2a+b＜0；（4）（a+c）2＜b2
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题
6．若抛物线y＝x2﹣6x+m与坐标轴只有一个交点，则m的取值范围是 ．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如表：当x＝4时，对应的函数值y＝ ．
8．惠水涟江大桥形状好似一道绚烂的彩虹，故当地人又习惯称之为“彩虹桥”，白天桥上车水马龙，到了夜晚更是惠水一道美丽别致的风景线，桥的形状类似一道抛物线．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中，现已知抛物线最高点A离地面B的高度为12m，跨度OC为60m，请你求出涟江大桥的抛物线解析式 ．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为直线x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b）（n≠1）．其中正确的是 （填序号）．
三．解答题
10．已知点P（m，n）在抛物线y＝ax2+2x+1上运动．
（1）当a＝﹣1时，若点P到y轴的距离小于2，求n的取值范围；
（2）当﹣4≤m≤0时，n的最大值是1，求a的取值范围．
11．云浮市各级公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，郁南县某商场同时购进A，B两种类型的头盔，已知购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元．
（1）A，B两类头盔每个的进价各是多少元？
（2）在销售中，该商场发现A类头盔每个售价50元时，每个月可售出100个；每个售价提高5元时，每个月少售出10个．设A类头盔每个x元（50≤x≤100），y表示该商家每月销售A类头盔的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
12．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（5，0）两点，过点C（2，4）．动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB方向运动，设运动的时间为t秒．
（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）过D作DE⊥AB交AC于点E，连接BE．当t＝3时，求△BCE的面积；
（3）如图2，点F（4，2）在抛物线上．当t＝5时，连接AF，CF，CD，在抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠DCF？若存在，直接写出此时直线CP与x轴的交点Q的坐标，若不存在，请简要说明理由．
​
名校预测
一．选择题
1．【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该函数的顶点坐标是：（3，1）．
故选：D．
2．【分析】根据顶点在y轴上，可知对称轴为y轴，根据对称轴公式得到关于a的方程，计算即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+ax+1的顶点在y轴上，
∴对称轴直线，
解得a＝0．
故选：C．
3．【分析】首先根据平移的规律分别求出平移后的表达式，然后将x＝0代入表达式判断即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
A、向右平移1个单位得到y＝（x﹣1﹣1）2﹣4＝（x﹣2）2﹣4，
将x＝0代入得，y＝（0﹣2）2﹣4＝0，
∴经过原点，不符合题意；
B、向下平移1个单位得到y＝（x﹣1）2﹣4﹣1＝（x﹣1）2﹣5，
将x＝0代入得，y＝（0﹣1）2﹣5＝﹣4≠0，
∴不经过原点，符合题意；
C、向上平移3个单位得到y＝（x﹣1）2﹣4+3＝（x﹣1）2﹣1，
将x＝0代入得，y＝（0﹣1）2﹣1＝0，
∴经过原点，不符合题意；
D、向左平移3个单位得到y＝（x﹣1+3）2﹣4＝（x+2）2﹣4，
将x＝0代入得，y＝（0+2）2﹣4＝0，
∴经过原点，不符合题意；
故选：B．
4．【分析】根据判别式Δ≥0，即可判断．
【解答】解：∵Δ＝[﹣（a+1）]2﹣4a
＝a2﹣2a+1
＝（a﹣1）2≥0，
所以抛物线与x轴一定有公共点，
故选：C．
5．【分析】根据图象判断c的符号，由抛物线对称性与对称轴方程求出与x轴交点坐标，由二次函数图象判定其二次函数的性质．
【解答】解：A、由抛物线与y轴交于正半轴知：c＞0，故说法错误，不符合题意；
B、由抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）知：方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1、x2＝3，故说法错误，不符合题意；
C、由函数图象知：当x＞1时，y随x值的增大而减小，故说法正确，符合题意；
D、由函数图象知：当y≥0时，﹣1≤x≤3，故说法错误，不符合题意．
故选：C．
6．【分析】利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可．
【解答】解：设解析式为y＝ax2+bx+c，抛物线上点A（﹣15，0），B（15，0），P（0，﹣5），代入抛物线解析式中得：
，
解得：，
解析式为．
选项A中，AB＝15﹣（﹣15）＝30，故选项A错误，该选项不符合题意；
选项B中，解析式为，故选项B错误，该选项不符合题意；
选项C中，池塘水深最深处为点P（0，﹣5），水面CD：，
﹣1.8﹣（﹣5）＝3.2（米），
所以水深最深处为点P到水面CD的距离为3.2米，故选项C正确，该选项符合题意；
选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于y轴对称可知，抛物线上点横坐标±6，代入解析式算得，即到水面CD距离为米，而最深处到水面的距离为3.2米，减少为原来的．故选项D错误，该选项不符合题意．
故选：C．
二．填空题
7．【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【解答】解：∵中的a＝﹣＜0，b＝0，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴y轴右侧部分下降，
故答案为：下降．
8．【分析】分情况讨论①二次函数图象与x轴有1个交点，②一次函数图象与坐标轴有两个交点，来计算．
【解答】解：∵函数y＝kx2+x+1（k为常数）的图象与坐标轴有两个交点，
①二次函数图象与x轴有1个交点，
∴1﹣4k＝0，
∴k＝，
②一次函数图象与坐标轴有两个交点，
∴k＝0，
∴k的值为0或，
故答案为：0或．
9．【分析】先根据已知条件求出二次函数的对称轴，再根据点A和点B的横坐标，结合给出的纵坐标的大小，判断a的取值范围即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∵2＜4，y1＞y2，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴a＜0．
故答案为：a＜0．
10．【分析】①由点（1，0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出a+b+c＝0，结论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在y轴右侧以及与y轴交于负半轴，可得出a＞0，﹣＞0，c＜0，进而可得出abc＞0，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及a＞0，可得出2a＞﹣b，进而可得出2a+b＞0，结论③正确；④由二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2）和（1，0），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出a﹣b+c＝2，a+b+c＝0，进而可得出a+c＝1，结论④正确．综上，此题得解．
【解答】解：①∵点（1，0）在二次函数图象上，
∴a+b+c＝0，结论①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，﹣＞0，c＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，结论②错误；
③∵﹣＜1，a＞0，
∴2a＞﹣b，
∴2a+b＞0，结论③正确；
④∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2）和（1，0），
∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝0，
∴a+c＝1，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
三．解答题
11．【分析】（1）由抛物线的顶点为（3，5），可设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），代入点A的坐标，可求出a值，进而可得出该抛物线的解析式；
（2）这次表演不能成功，代入x＝5，求出y值，由该值＞3.15，可得出这次表演不能成功．
【解答】解：（1）设该抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），
将点A（0，1）代入y＝a（x﹣3）2+5得：1＝a（0﹣3）2+5，
解得：a＝﹣，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5；
（2）这次表演不能成功，理由如下：
当x＝5时，y＝﹣×（5﹣3）2+5＝，
∵≈3.22＞3.15，
∴这次表演不能成功．
12．【分析】（1）解法一：由题意可设抛物线的函数表达式为y＝a（x+4）（x﹣1），，以此即可求解；
解法二：直接利用待定系数法即可求解；
（2）根据待定系数法求得直线AC的解析式为，设点P的坐标为，则点H的坐标为，点D的坐标为，再求出PD＝﹣3﹣2a，PH＝，于是PD+PH＝＝，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）解法一：由题意可设抛物线的函数表达式为y＝a（x+4）（x﹣1），
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
解法二：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣4，0）、B（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝kx+t，
将点A（﹣4，0），（0，3）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
设点P的坐标为，则点H的坐标为，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
∴点D的坐标为，
∴PD＝﹣3﹣a﹣a＝﹣3﹣2a，PH＝，
∴PD+PH＝＝＝
∴当a＝时，PD+PH有最大值，最大值为，
此时，点P的坐标为，
∴PD+PH的最大值为，点P的坐标为．
13．【分析】（1）令y＝0，即 x2﹣2x+m2+4＝0，利用根的判别式即可即可判断；
（2）求得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性即可求得N点的横坐标，从而求得点N到y轴的距离；
（3）求得顶点的纵坐标为p＝m2+3，利用二次函数的性质，根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．
【解答】（1）证明：令y＝0，即 x2﹣2x+m2+4＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4（m2+4）＝﹣4m2﹣12＜0，
∴这条抛物线与x轴没有交点；
（2）解：∵抛物线 y＝x2﹣2x+m2+4，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∵与x轴平行的直线与这条抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左侧），
∴M，N关于x＝1对称，
∴点M到y轴的距离为，
∴当M的横坐标为 或 ，
∴点N横坐标为或，
∴点N到y轴的距离为 或；
（3）解：∵y＝x2﹣2x+m2+4＝（x﹣1）2+m2+3，
∴顶点的纵坐标为p＝m2+3
∴m＝0时，p的最小值为3，
∵对于二次函数 p＝m2+3，当﹣3≤m≤0，p随m的增大而减小，
∴当m＝﹣3时，p取最大值12；
当0＜m≤2，p随m的增大而增大，即当m＝2时，p取最大值7．
∴当﹣3≤m≤2时，p的取值范围为3≤p≤12．
专家押题
一．选择题
1．【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），
∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），
∴新抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣1，
故选：C．
2．【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，
故选：D．
3．【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【解答】解：∵y＝4x2，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），
∴x＞0时，y随x增大而增大，函数值y≥0，
故选：C．
4．【分析】由已知二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+c+1的图象与x轴的交点的横坐标为m、n，就可以确定二次函数y＝ax2+bx+1与直线y＝x﹣c的交点的横坐标为m、n．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+c+1的图象与x轴的交点的横坐标为m、n，
∴二次函数y＝ax2+bx+1与直线y＝x﹣c的交点的横坐标为m、n，
∴在同一坐标系中y1＝ax2+bx+1与y2＝x﹣c的图象可能是A，
故选：A．
5．【分析】首先根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，即可判断（1）；根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，即可判断（2）；根据对称轴判断（3）；根据x＝±1的函数值可以确定（4）是否成立．
【解答】解：根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
即4ac＜b2，
故（1）正确．
∵抛物线开口朝下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故（2）正确；
∵对称轴x＝﹣＞1，
∴2a+b＞0，故（3）错误；
根据图象知道当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故（4）正确；
故选：C．
二．填空题
6．【分析】根据函数y＝x2﹣6x+m的图象与坐标轴只有一个交点得出函数y＝x2﹣6x+m的图象与y轴有一个交点，与x轴无交点，得出Δ＜0，解不等式即可．
【解答】解：函数y＝x2﹣6x+m的图象与坐标轴只有一个交点，
∴函数y＝x2﹣6x+m的图象与y轴有一个交点，与x轴无交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×m＝36﹣4m＜0，
解得m＞9，
故答案为：m＞9．
7．【分析】把（﹣1，﹣4），（0，﹣1），（1，0）代入二次函数的解析式，利用待定系数法即可求得函数解析式，然后把x＝3代入即可求得y的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则二次函数的解析式是y＝﹣x2+2x﹣1，
当x＝4时，y＝﹣16+8﹣1＝﹣9．
故答案是：﹣9．
8．【分析】先确定抛物线的顶点为A（30，12），与x轴的两个交点分别为O（0，0），C（60，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣30）2+12（a＜0）．把C（60，0）代入，即可求得答案．
【解答】解：由题意得：抛物线的顶点为A（30，12），与x轴的两个交点分别为O（0，0），C（60，0）．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣30）2+12（a＜0）．
把C（60，0）代入，得0＝a（60﹣30）2+12，
解得：a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣30）2+12＝﹣x2+8x，
故答案为：y＝﹣x2+8x．
9．【分析】由抛物线开口方向，对称轴，抛物线与y轴交点位置可判断①②，由x＝﹣1时y＜0 可判断③，由x＝1时y取最大值可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴b﹣2a＞0，②错误．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误．
由图象可得x＝﹣1是，y＝a﹣b+c＜0，
∴③错误．
由图象可得x＝1时，y＝a+b+c为最大值，
∴a+b+c＞an2+bn+c（n≠1），即a+b≥n（an+b）（n≠1），④正确．
故答案为：④．
三．解答题
10．【分析】（1）将a＝﹣1代入解析式，求出﹣2＜x＜2时y的取值范围．
（2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴及x＝0时函数值为1，分类讨论a＞0与a＜0两种情况求解．
【解答】解：（1）∵a＝﹣1，
∴y＝ax2+2x+1＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，2），
∴x＝1时，y取最大值为y＝2，
∵点P到y轴距离小于2，
∴﹣2＜m＜2，
将x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+1＝﹣4﹣4+1＝﹣7，
∴﹣7＜n≤2．
（2）∵y＝ax2+2x+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣，
当a＞0时，抛物线开口向上，﹣＜0，
∵x＝0时，y＝1，
∴x＝﹣4时，y≤1符合题意，
将x＝﹣4代入y＝ax2+2x+1得y＝16a﹣6，
∴16a﹣7≤1，
解得a≤，
∴0＜a≤．
当a＜0时，抛物线开口向下，﹣＞0，
∴x≤0时，y随x增大而增大，
当x＝0时y＝1为最大值，
∴a＜0满足题意，
综上所述，0＜a≤或a＜0．
11．【分析】（1）设A类头盔每个的进价是a元，B类头盔每个的进价是b元，根据购进3个A类头盔和4个B类头盔共需288元；购进6个A类头盔和2个B类头盔共需306元列出方程组，解方程组即可；
（2）根据总利润＝每个A类头盔的利润×销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设A类头盔每个的进价是a元，B类头盔每个的进价是b元，
根据题意得：，
解得，
答：A类头盔每个的进价是36元，B类头盔每个的进价是45元；
（2）根据题意得：y＝（x﹣36）（100﹣×10）＝﹣2x2+272x﹣7200＝﹣2（x﹣68）2+2048，
∵﹣2＜0，50≤x≤100，
∴当x＝68时，y有最大值，最大值为2048，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+272x﹣7200，最大利润为2048元．
12．【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△BCE的面积＝S△ABC﹣S△ABE，即可求解；
（3）取点Q使HQ＝HD，连接CQ，则∠QCH＝∠DCH，得到CQ即为CP和x轴的交点，即可求解；作点Q关于AC的对称点M，求出直线CP的表达式，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+2）（x﹣5）＝a（x2﹣3x﹣10），
将点C的坐标代入上式得：4＝a（22﹣6﹣10），
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；
（2）当t＝3时，点D（1，0），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+2，
当x＝1时，y＝x+2＝3，即点E（1，3），
则△BCE的面积＝S△ABC﹣S△ABE＝AB×（yC﹣yE）＝7×1＝；
（3）由点C、F的坐标得，直线CF的表达式为：y＝﹣x+6，
设CF交x轴于点G，则点G（6，0），
由A、C、G的坐标知，AC＝CG＝4，AG＝8，
∴△ACG为等腰直角三角形，
过点C作CH⊥x轴于点H，则点H是AG的中点，
取点Q使HQ＝HD，连接CQ，则∠QCH＝∠DCH，
根据图象的对称性，∠DCF＝∠ACQ，
则CQ即为CP和x轴的交点，
∵CH⊥AB，
则点H（2，0），
而点D（3，0），
则HD＝HQ＝1＝QO，
即点Q（1，0）；
作点Q关于AC的对称点M，
∵△ACG为等腰直角三角形，
∴∠CAH＝45°，
∵点Q、M关于AC对称，
则连接MA，则∠MAC＝45°，
则∠MAH＝90°，即AM⊥x轴，
则△AMQ为等腰直角三角形，则AM＝AQ＝3，
故点M（﹣2，3），
由点C、M的坐标得，直线CP的表达式为：y＝（x﹣2）+4，
令y＝（x﹣2）+4＝0，
解得：x＝﹣14，
即另外一个点Q的坐标为（﹣14，0），
综上，点Q的坐标为：（﹣14，0）或（1，0）．
中考倒计时
11天
函数综合运用
1.从考查的题型来看，对于一次函数或反比例函数来说，以填空题或选择题为主，属于中档题；对于二次函数来说，一般以解答题的形式考查，属于中高档题。
2.从考查内容来看，主要有：函数的性质与图象；一次函数与反比例函数，反比例函数与二次函数，一次函数与二次函数，函数与其他综合相关的实际问题。
3.从考查热点来看，主要有：一次函数与反比例函数及二次函数之间的问题；函数与几何图形相关的综合应用。
1.函数之间的综合应用
方法归纳：反比例函数与一次函数的应用,根据反比例函数图象与一次函数图象的交点,建立两个方程,通过组建方程组求得方程组的解，即可进一步确定两个函数解析式.解决问题的关键是发掘题目中的条件,确定图象上的坐标，运用待定系数法解出函数的表达式,再利用数形结合的方法求解其他问题.
二次函数、一次函数及反比例函数相综合是中考命题的热点，可以由一次函数或反比例函数中的简单信息来推断二次函数的部分信息,从而解决三个函数之间的问题.或由二次函数的图象推出a,b,c的符号,来进一步推断一次函数图象与反比例函数图象经过的象限,从图象中获取信息来解决函数的问题,综合一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质来解决函数问题.
2.一次函数、方程、一元一次不等式的综合应用
（1）一元一次方程与一次函数的综合应用
方法归纳：由于任何一元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当函数值确定时，求与之对应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.
（2）一元一次不等式与一次函数的综合应用
方法归纳：①一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0)的函数值不等于0的情形．②直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图象）的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图象）的x的取值范围是ax+b<0的解集．
运用一次函数与一元一次不等式解决问题的关键是找出等量关系式,同时正确理解关键词“不低于,不超过”的含义,建立不等式组,将一次函数问题转化为一元一次不等式组问题,体现数学中的转化思想.
（3）一次函数与二元一次方程(组)的综合应用
方法归纳：①任意一个二元一次方程都可化成y=kx+b的形式，即每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.②直线y=kx+b上的每一点的坐标均为这个二元一次方程的解.③二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式.④求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数的交点坐标.两直线的交点坐标是两个一次函数解析式y=k1x+b1和y=k2x+b2所组成的关于x、y的方程组的解.
3.二次函数与一元二次方程的应用
方法归纳:①一元二次方程是二次函数当函数y的值为0时的情况．
②二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程的根．
③当二次函数的图象与x轴有两个交点时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与 x轴没有交点时，一元二次方程没有实数根．
4.二次函数与几何图形的综合应用
此类问题常与三角形、特殊的四边形(如矩形 菱形、平行四边形、梯形等) 、圆等图形相综合进行探究,并且常与生活生产中的实际问题相结合求面积最大问题,通常情况下要联想到二次函数的最值问题.也就是说，将实际问题转化为二次函数问题,运用二次函数的顶点坐标(−,)、对称轴x=−,或者二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)转化为二次函数的顶点式y=a(x−h)2+k,进一步确定当x=h时,y的最值是k.
5.二次函数与线段、角等图形的综合运用
二次函数综合题中的线段问题，常涉及的类型有：（1）直接求线段的长或用含字母的代数式表示线段的长；（2）根据题中给出的线段关系求相应字母的值；（3）求三角形或四边形周长的最值；（4）求多边形面积等问题.其中求三角形或四边形周长的最值，一般要将其转化为求某线段长的最值或利用两点之间线段最短来求最值.
此类问题一般是过抛物线上的一动点作x轴的垂线（或y轴的平行线），且与某直线相交于一点，以确定两点之间长度关系的形式出题.解决此类问题时，一般要将线段问题转化为点的坐标问题，根据抛物线和直线上点的坐标特征，设其中一点的坐标，从而得到另一点的坐标，然后用含字母的式子表示两点间的线段长，特别是遇到线段最值问题时，一般要结合二次函数求最值的方法，将二次函数解析式配成顶点式，然后求最值.
6.二次函数与三角形的综合运用
特殊图形的判定问题，常与点的存在性问题相结合，解决此类问题的关键是要熟练掌握特殊图形的判定方法及性质，如：等腰三角形是直角、等边三角形的三边相等.解决此类问题最常用的方法是假设法，一般先假设存在满足题意的点，根据特殊图形的性质画出草图，确定点的位置，然后根据题中已知条件和特殊图形的性质及判定方法建立动点与已知点的关系，最后列方程求解.在画草图时，要做到不重不漏地画出所有可能的情况，以免在求解过程中遗漏答案，对所求出的结果要进行检验，看是否符合题意，如果不符合题意，应舍去.
7.二次函数与四边形的综合运用
解决二次函数与四边形的综合题时，关键是建立合适的函数模型，将四边形问题和二次函数的解析式相结合.此类型题的考查方式比较灵活，经常在四边形特别是正方形、菱形等几何图形中进行变换.解题时，需要在熟练掌握二次函数图象与性质的基础上，运用数形结合和分类讨论思想，将面积问题转化为函数关系问题.解题技巧一般是过特殊点作x轴或y轴的垂线，从而将边之间的关系问题转化为线段问题，建立未知量和已知变量之间的联系，运用勾股定理等有关手段解决相应的问题.
二次函数与几何图形相结合的综合问题,是近年来全国各地中考的热点题型，不仅考查了二次函数和平面几何的基础知识,还可以考查数形结合、分类讨论等数学思想方法,以及阅读理解能力、收集信息、处理信息的能力、运用数学知识对问题的探究能力等.解这类问题的关键是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识,并充分挖掘题目中的隐含条件,以达到解题目的.
8.对于二次函数的综合应用可能融合多个知识点，直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程、分式方程、分式不等式的解，比较大小等问题.利用数形结合的思路，借助函数的图象和性质，形象直观地解决有关不等式最大（小）值、方程的解以及图形的位置关系等问题.利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点的问题.通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性.建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数.
1．（2022•丹东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；
②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；
③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；
④正确，判断出k＞0，可得结论；
⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴＝，
∴＝，
∴a2＝，
∵a＞0，
∴a＝，故⑤正确，
故选：D．
2．（2022•黑龙江）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
【分析】（1）通过解方程x2﹣14x+48＝0可以求得OC＝6，OA＝8．则C（0，6）；
（2）设直线MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．
【解答】解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0得
x1＝6，x2＝8．
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个实数根，
∴OC＝6，OA＝8．
∴C（0，6）；
（2）设直线MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．
由（1）知，OA＝8，则A（8，0）．
∵点A、C都在直线MN上，
∴，
解得，，
∴直线MN的解析式为y＝﹣x+6；
（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根据题意知B（8，6）．
∵点P在直线MNy＝﹣x+6上，
∴设P（a，﹣a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC＝PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；
②当PC＝BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2＝64，
解得，a＝，则P2（﹣，），P3（，）；
③当PB＝BC时，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2＝64，
解得，a＝，则﹣a+6＝﹣，∴P4（，﹣）．
综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．
3．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可；
（2）①根据“倾斜系数”k的定义分情况得出结论即可；
②根据“倾斜系数”k的定义求出P点坐标，进而求出OP的值即可；
（3）根据k的取值，分情况求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意知，k＝＝3，
即点P（6，2）的“倾斜系数”k的值为3；
（2）①∵点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，
∴＝2或＝2，
即a＝2b或b＝2a，
∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a；
②由①知，a＝2b或b＝2a
∵a+b＝3，
∴或，
∴OP＝＝；
（3）由题意知，满足条件的P点在直线y＝x和直线y＝x之间，
①当P点与D点重合时，且k＝时，P点在直线y＝x上，a有最小临界值，
如图：此时a＜b，
连接OD，延长DA交x轴于E，
此时＝，
则，
解得a＝，
此时B点的坐标为（，），
且k＝＝
∴a＞+1；
②当P点与B点重合时，且k＝时，P点在直线y＝x上，a有最小临界值，
如图：此时a＞b，
连接OB，延长CB交x轴于F，
此时＝，
则＝，
解得a＝3+，
此时D（，），
且k＝＝，
∴a＞+3；
综上所述，若点P的“倾斜系数”k＜，则a＞+3．
4．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）设点A的坐标为（m，），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CH＝AD，设点A的坐标为（m，），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，解方程组即可得到结论；
②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论．
【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，
∴设点A的坐标为（m，），
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，
∴CH＝EH，
∵BC＝CD，OC⊥BD，
∴OB＝OD，
∴OC＝AD，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，
∴E（2m，），
∵2m×＝8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD＝CE，AD垂直平分CE，
∴CH＝AD，
设点A的坐标为（m，），
∴CH＝m，AD＝，
∴m＝×，
∴m＝2（负值舍去），
∴A（2，4），C（0，2），
把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，
∴；
②延长ED交y轴于P，
∵CB＝CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，
则点P即为符合条件的点，
由①知，A（2，4），C（0，2），
∴D（2，0），E（4，2），
设直线DE的解析式为y＝ax+n，
∴，
∴，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．
5．（2022•绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数y2＝的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．
（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．
【分析】（1）根据待定系数法可求出直线AB的解析式，根据△OAP的面积可得出点P的坐标，代入反比例函数解析式可得出反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，可得出点K的坐标，结合图象可直接得出x的取值范围；
（3）作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，求出直线KP′的解析式，令y＝0，可得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，
∴，解得．
∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．
∵△OAP的面积为，
∴•OA•yP＝，
∴yP＝，
∵点P在一次函数图象上，
∴令﹣x+＝．解得x＝4，
∴P（4，）．
∵点P在反比例函数y2＝的图象上，
∴k2＝4×＝2．
∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．反比例函数的解析式为：y2＝．
（2）令﹣x+＝，解得x＝1或x＝4，
∴K（1，2），
由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4．
（3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，
∵P（4，）．
∴P′（4，﹣）．
∴PP′＝1，
∴直线KP′的解析式为：y＝﹣x+．
令y＝0，解得x＝．
∴C（，0）．
∴S△PKC＝•（xC﹣xK）•PP′
＝×（﹣1）×1
＝．
∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为．
6．（2022•湘潭）已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．
（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达式；
（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．
【分析】（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，可知矩形OCPD是正方形，设PD＝PC＝x，利用PD∥OA，得△PDB∽△AOB，从而求出点P的坐标，利用待定系数法解决问题；
（2）利用翻折的性质得，ON＝NM，MN⊥AB，由勾股定理得，AB＝5，再根据S△AOB＝S△AON+S△ABN，求出点N的坐标，利用待定系数法解决问题．
【解答】解：（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，
则四边形OCPD是矩形，
∵以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，
∴PC＝PD，
∴矩形OCPD是正方形，
设PD＝PC＝x，
∵A（3，0）、B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴BD＝4﹣x，
∵PD∥OA，
∴△PDB∽△AOB，
∴，
∴，
解得x＝，
∴P（，），
设过点P的函数表达式为y＝，
∴k＝xy＝＝，
∴y＝；
（2）方法一：∵将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，
∴ON＝NM，MN⊥AB，
由勾股定理得，AB＝5，
∴S△AOB＝S△AON+S△ABN，
∴＝+，
解得，ON＝，
∴N（0，），
设直线AN的函数解析式为y＝mx+，
则3m+＝0，
∴m＝﹣，
∴直线AN的函数解析式为y＝﹣x+．
方法二：利用△BMN∽△BOA，求出BN的长度，从而得出ON的长度，
与方法一同理得出答案．
7．（2022•鞍山）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），连接BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先由△BDC的面积求出OD的长，从而确定D点坐标为（0，﹣4），再由待定系数法求出直线BD的解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求；
（3）当B'在第一象限时，由∠ODB＝45°，可知EB'∥CD，求出直线BC的解析式，可设E（t，﹣t+2），在Rt△OHB'中，B'H＝，则BE＝+t﹣2，在Rt△BHE中，由勾股定理得（+t﹣2）2＝（4﹣t）2+（﹣t+2）2，求出t的值即可求B'坐标；当B'在第二象限时，B'G∥x轴，可得四边形 B'OBE是平行四边形，则B'（t﹣4，﹣t+2），由折叠的性质可判断平行四边形OBEB'是菱形，再由BE＝OB，可得＝4，求出t的值即可求B'坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴B（4，0），
∴OB＝4，
∴S△BCD＝×4×（2+OD）＝12，
∴OD＝4，
∴D（0，﹣4），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣4，
联立方程组，
解得或，
∴P（﹣3，﹣7）；
（3）如图1，当B'在第一象限时，
设直线BC的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设E（t，﹣t+2），
∴OH＝t，EH＝﹣t+2，
∵D（0，﹣4），B（4，0），
∴OB＝OD，
∴∠ODB＝45°，
∵直线EB'与直线BP相交所成锐角为45°，
∴EB'∥CD，
由折叠可知，OB'＝BO＝4，BE＝B'E，
在Rt△OHB'中，B'H＝，
∴B'E＝﹣（﹣t+2）＝+t﹣2，
∴BE＝+t﹣2，
在Rt△BHE中，（+t﹣2）2＝（4﹣t）2+（﹣t+2）2，
解得t＝，
∵0≤t≤4，
∴t＝，
∴B'（，）；
如图2，当B'在第二象限，∠BGB'＝45°时，
∵∠ABP＝45°，
∴B'G∥x轴，
∵将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，
∴BE＝B'E，OB＝OB'，∠BOE＝∠B'OE，
∴∠BOE＝∠B'EO，
∴B'E∥B'O，
∵B'E＝BO，
∴四边形 B'OBE是平行四边形，
∴B'E＝4，
∴B'（t﹣4，﹣t+2），
由折叠可知OB＝OB'＝4，
∴平行四边形OBEB'是菱形，
∴BE＝OB，
∴＝4，
解得t＝4+或t＝4﹣，
∵0≤t≤4，
∴t＝4﹣，
∴B'（﹣，）；
综上所述：B'的坐标为（，）或（﹣，）．
方法2：在Rt△BCO中，BC＝2，CO：OB：BC＝1：2：，
∵BP与x轴和y轴的夹角都是45°，BP与B'E的夹角为45°，
∴B'E∥x轴或B'E∥y轴，
当B'E∥y轴时，延长B'E交x轴于F，
∴B'F⊥OB，
∵∠CBA＝∠OB'E，
∴△OB'F∽△CBO，
∴OF：FB'：B'O＝1：2：，
∵OB＝OB'＝4，
∴FO＝，B'F＝，
∴B'（，）；
当B'E∥x轴时，过B'作B'F⊥x中交于F，
∴B'F⊥OF，B'E∥OB，
∵B'E和BE关于OE对称，OB和OB'关于OE对称，
∴BE∥OB'，
∵∠FOB'＝∠OBC，
∴△OB'F∽△BCO，
∴B'F：FO：OB'＝1：2：，
∵OB＝OB'＝4，
∴B'F＝，OF＝，
∴B'（﹣，）；
综上所述：B'坐标为（，）或（﹣，）．
8．（2022•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标，并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点D作DE⊥x轴于点E，利用轴对称的性质和三角形的中位线的性质定理求得线段OE，DE，则点D坐标可得；利用四边形OADC的面积＝S△OAC+S△ACD，S△ADC＝S△ABC，利用三角形的面积公式即可求得结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC上方时，利用平行线的判定与性质可得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在BC下方时，设PC交x轴于点H，设HB＝HC＝m，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），
∴，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣+x+4；
（2）点D的坐标为（﹣8，8），理由：
将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，如图，
过点D作DE⊥x轴于点E，
∵A（﹣2，0）、B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4．
∵，，
∴．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO．
∵∠CBO+∠OCB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，
∴点D，C，B三点在一条直线上．
由轴对称的性质得：BC＝CD，AB＝AD．
∵OC⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥OC，
∴OC为△BDE的中位线，
∴OE＝OB＝8，DE＝2OC＝8，
∴D（﹣8，8）；
由题意得：S△ACD＝S△ABC，
∴四边形OADC的面积＝S△OAC+S△ADC
＝S△OAC+S△ABC
＝OC•OA+AB•OC
＝4×2+10×4
＝4+20
＝24；
（3）①当点P在BC上方时，如图，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴PC∥AB，
∴点C，P的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为4，
令y＝4，则﹣+x+4＝4，
解得：x＝0或x＝6，
∴P（6，4）；
②当点P在BC下方时，如图，
设PC交x轴于点H，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴HC＝HB．
设HB＝HC＝m，
∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，
在Rt△COH中，
∵OC2+OH2＝CH2，
∴42+（8﹣m）2＝m2，
解得：m＝5，
∴OH＝3，
∴H（3，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴y＝﹣x+4．
∴，
解得：，．
∴P（，﹣）．
综上，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．
9．（2022•钢城区）抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式和t，k的值；
（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+PQ的最大值．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可求解；
（2）作PM⊥x轴交于M，可求PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3，通过证明△COA∽△AMP，利用＝，求m的值即可求P点坐标；
（3）作PN⊥x轴交BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，通过证明△PQN∽△BOC，求出QN＝PN，PQ＝PN，再由△CNE∽△CBO，求出CN＝EN＝m，则CQ+PQ＝CN+PN＝﹣（m﹣）2+，即可求解．
【解答】解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2+x﹣6，
∴64a+22﹣6＝0，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x﹣6，
当y＝0时，﹣t2+t﹣6＝0，
解得t＝3或t＝8（舍），
∴t＝3，
∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上，
∴8k﹣6＝0，
解得k＝；
（2）作PM⊥x轴交于M，
∵P点横坐标为m，
∴P（m，﹣m2+m﹣6），
∴PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3，
在Rt△COA和Rt△AMP中，
∵∠OAC+∠PAM＝90°，∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠OAC＝∠APM，
∴△COA∽△AMP，
∴＝，即OA•MA＝CO•PM，
3（m﹣3）＝6（m2﹣m+6），
解得m＝3（舍）或m＝10，
∴P（10，﹣）；
（3）作PN⊥x轴交BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，
∴PN＝﹣m2+m﹣6﹣（m﹣6）＝﹣m2+2m，
∵PN⊥x轴，
∴PN∥OC，
∴∠PNQ＝∠OCB，
∴Rt△PQN∽Rt△BOC，
∴＝＝，
∵OB＝8，OC＝6，BC＝10，
∴QN＝PN，PQ＝PN，
由△CNE∽△CBO，
∴CN＝EN＝m，
∴CQ+PQ＝CN+NQ+PQ＝CN+PN，
∴CQ+PQ＝m﹣m2+2m＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，CQ+PQ的最大值是．
10．（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，将点A，点B代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；
（2）设出点P的坐标，确定出PD∥CO，由PD＝CO，列出方程求解即可；
（3）过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，证明△CHM≌△HBN（AAS），由全等三角形的性质得出CM＝HN，MH＝BN，求出H点的坐标，由待定系数法求出直线CH的解析式，联立直线CH和抛物线解析式即可得出点Q的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣，0），B（3，）代入到y＝ax2+bx+2中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）设点P（m，﹣m2+m+2），
∵y＝﹣x2+x+2，
∴C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+2，
∴D（m，m+2），
∴PD＝|﹣m2+m+2﹣m﹣2|＝|m2﹣3m|，
∵PD⊥x轴，OC⊥x轴，
∴PD∥CO，
∴当PD＝CO时，以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴|m2﹣3m|＝2，解得m＝1或2或或，
∴点P的横坐标为1或2或或；
（3）①当Q在BC下方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，
∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，
∵∠QCB＝45°，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴CH＝HB，
∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，
∴∠CHM＝∠HBN，
∴△CHM≌△HBN（AAS），
∴CM＝HN，MH＝BN，
∵H（m，n），
∵C（0，2），B（3，），
∴，解得，
∴H（，），
设直线CH的解析式为y＝px+q，
∴，解得，
∴直线CH的解析式为y＝﹣x+2，
联立直线CH与抛物线解析式得，
解得或，
∴Q（，）；
②当Q在BC上方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，
同理得Q（，）．
综上，存在，点Q的坐标为（，）或（，）．
一．选择题
1．（2023•肇源县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则点C到直线DE的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
2．（2023•靖江市校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣x﹣的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．下列四种说法：
①点C在⊙I上；
②IQ⊥PD；
③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为π；
④线段BQ的长可以是3.2．
其中正确说法的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题
3．（2023•靖江市一模）如图，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P坐标为 ．
4．（2023•未央区校级模拟）如图，将矩形AOCD平放在平面直角坐标系中，E是边AD上的点，若沿着OE所在直线对折，点A恰好落在对角线AC上的F点处，已知AE＝4，OC＝5，双曲线y＝经过点F，则k＝ ．
5．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝ °；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为 ．
三．解答题
6．（2023•平江县模拟）如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a），B两点，点C在第四象限，AC∥y轴，BC⊥AB．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求的值．
7．（2023•沈阳一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点B（﹣5，0），与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）若点P在线段AB上，且S△APC＝S△AOB，求点P的坐标；
（3）当 S△PBC＝S△AOB时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．
8．（2023•平阴县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数的图象相交于A、P两点．
（1）求m、n的值；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．
9．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于A、C两点（点C在点A的左侧），与y轴交于点B．
（1）请直接写出A、B、C的坐标；
（2）若点M是AB下方抛物线上的点，且∠ABO＝2∠BAM，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，N为y轴上一点，求点最小值．
10．（2023•菏泽一模）如图，抛物线与坐标轴相交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；DG交直线AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求ED的最大值；
（3）过点B的直线y＝﹣2x+8交y轴于点C，交直线DG于点F，H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标．
一．选择题
1．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A坐标是（ ）
A．（，）B．（，11）C．（2，2）D．（，）
2．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则反比例函数表达式为（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
3．如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝；
②抛物线的最大值为；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值为．
则正确的结论为（ ）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
二．填空题
4．如图，点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点D，交于点E，若BO＝CE，则k的值为 ．
5．如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则：
（1）abc 0（填“＞”或“＜”）；
（2）a的取值范围是 ．
三．解答题
7．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），动点M从点B出发，沿线段BC向终点C运动，同时动点N从点O出发，沿线段OA向终点A运动．点M，N的运动速度均为1个单位/秒，运动时间为t秒．过点M作ME⊥BC交AC于点E．
（1）求直线AC的解析式；
（2）在点M，N的运动过程中，当△ANE为直角三角形时，请求出t的值；
（3）在动点N运动的过程中，在矩形OABC内（包括边界）是否存在一点K使以A，N，E，K为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出K的坐标，若不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，其中cs∠OBC＝，OC＝3．已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过BC边上的中点D，交AB于点E．
（1）求k的值；
（2）猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，请说明理由．
（3）若点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
名校预测
一．选择题
1．【分析】连接OC，由垂径定理得OC⊥AB，再由圆周角定理得点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，利用一次函数解析式确定E（0，﹣3），D（4，0），则DE＝5，然后证△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH的长，得MH、NH的长，即可求解．
【解答】解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE＝＝5，
∵⊙O的半径为2，
∴A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD＝90°，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝，
∴MH＝PH+1＝，NH＝PH﹣1＝．
∴点C到直线DE的最小距离为．
故选：C．
2．【分析】由抛物线y＝x2﹣x﹣得A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣），可得I（1，0），顶点D（1，﹣2），
①根据勾股定理求出IC，即可求解；
②根据垂径定理即可求解；
③点P的运动轨迹为以I为圆心的半圆，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，即可求解；
④根据勾股定理即可求解．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣x﹣的图象与坐标轴交于点A，B，C，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣），
∴点I（1，0），⊙I的半径为2，
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，
∴顶点D的坐标为：（1，﹣2），
∴ID＝2，
∴点D在⊙I上．
①IC＝＝＝≠2，故点C不在⊙I上，故①不正确；
②∵圆心为I，P是半圆上一动点，点D在⊙I上，点Q为PD的中点．
∴IQ⊥PD，故②正确；
③图中实点G、Q、I、F是点N运动中所处的位置，
则GF是等腰直角三角形的中位线，GF＝AB＝2，ID交GF于点R，则四边形GDFI为正方形，
当点P在半圆任意位置时，中点为Q，连接IQ，则IQ⊥PD，连接QR，
则QR＝ID＝IR＝RD＝RG＝RF＝GF＝1，则点Q的运动轨迹为以R为圆心的半圆，
则Q运动的路径长＝×2πr＝π，故③正确；
④由③得，当点Q运动到点G的位置时，BQ的长最大，
最大值为＝＜3.2，
∴线段BQ的长不可以是3.2，故④不正确．
故正确说法有：②③．
故选：B．
二．填空题
3．【分析】求出函数与x轴、y轴的交点坐标，求出函数与x轴的夹角，计算出当⊙P与AB线切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围．
【解答】解：令y＝0，则，
解得x＝﹣3，
则A点坐标为（﹣3，0）；
令x＝0，则y＝，
则B点坐标为（0，），
∴tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝30°，
作⊙P′与⊙P″切AB于D、E，
连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB，
则在Rt△ADP′中，AP′＝2×DP′＝2，
同理可得，AP″＝2，
则P′横坐标为﹣3+2＝﹣1，P″横坐标为﹣1﹣4＝﹣5，
∴P横坐标x的取值范围为：﹣5＜x＜﹣1，
∴横坐标为整数的点P坐标为（﹣2，0）、（﹣3，0）、（﹣4，0）．
故答案为（﹣2，0）、（﹣3，0）、（﹣4，0）．
4．【分析】首先过点F作FN⊥CO于点N，过点F作FS⊥AD于点S，得出△OFN∽△FES，进而得出F点横坐标，再利用勾股定理得出FN的值，即可得出F点坐标，进而得出k的值．
【解答】解：过点F作FN⊥CO于点N，过点F作FS⊥AD于点S，
∵将矩形AOCD平放在平面直角坐标系中，E是边AD上的点，沿着OE所在直线对折，
点A恰好落在对角线AC上的F点处，AE＝4，OC＝5，
∴AE＝EF＝4，
设F点横坐标为x，设AO＝y，
则ON＝x，SE＝x﹣4，FO＝y，
∵FN∥AO，
∴＝，
∴＝，
则FN＝，
∴∠OFE＝∠OAE＝90°，
∴∠OFN+∠EFS＝90°，
∠FON+∠OFN＝90°，
∴∠FON＝∠SFE，
∵∠ONF＝∠FSE＝90°，
∴△OFN∽△FES，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴NC＝5﹣＝，
∴＝＝＝，
∴FN＝y，
∴y2＝（y）2+（）2，
解得：y1＝2，y2＝﹣2（不合题意舍去），
∴FN＝×2＝，
∴F点坐标为：（，），
∴k＝×＝．
故答案为：．
5．【分析】由y＝x2﹣x﹣4可得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），即得AB2＝100，AC2＝20，BC2＝80，故AB2＝AC2+BC2，从而∠ACB＝90°；当NQ＝MQ时，过N作NH⊥x轴于H，设AM交y轴于K，可证△AHN≌△ACN（AAS），即得AH＝AC＝＝2，NC＝HN，有BH＝AB﹣AH＝10﹣2，由△BHN∽△BCA，得＝，求出HN＝5﹣，故NC＝5﹣；当NQ＝NM时，过N作NT⊥y轴于T，可证△AOK∽△COA，得＝，OK＝1，CK＝OC﹣OK＝3，AK＝＝，求出TK＝CT＝CK＝，由△AOK∽△NTK，可得＝，求得NK＝，故NC＝．
【解答】解：在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），
∴AB2＝100，AC2＝20，BC2＝80，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°；
当NQ＝MQ时，过N作NH⊥x轴于H，设AM交y轴于K，如图：
∴∠QMN＝∠QNM＝∠ANC，
∵QM∥y轴，
∴∠QMN＝∠NKC＝∠AKO，
∴∠ANC＝∠AKO，
∴∠OAK＝90°﹣∠AKO＝90°﹣∠ANC＝∠CAN，
∵∠AHN＝90°＝∠ACN，AN＝AN，
∴△AHN≌△ACN（AAS），
∴AH＝AC＝＝2，NC＝HN，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣2，
∵∠HBN＝∠CBA，∠NHB＝90°＝∠ACB，
∴△BHN∽△BCA，
∴＝，即＝，
∴HN＝5﹣，
∴NC＝5﹣；
当NQ＝NM时，过N作NT⊥y轴于T，如图：
∴∠NQM＝∠NMQ，
∵QM∥y轴，
∴∠NKC＝∠NCK，
∴NK＝NC，
∵∠AKO＝∠NKC，
∴∠AKO＝∠NCK，
∴∠OAK＝90°﹣∠AKO＝90°﹣∠NCK＝∠ACO，
∵∠AOK＝90°＝∠COA，
∴△AOK∽△COA，
∴＝，即＝，
∴OK＝1，
∴CK＝OC﹣OK＝4﹣1＝3，AK＝＝＝，
∴TK＝CT＝CK＝，
∵∠AKO＝∠TKN，∠AOK＝90°＝∠NTK，
∴△AOK∽△NTK，
∴＝即＝，
∴NK＝，
∴NC＝，
∴线段NC的长为5﹣或．
故答案为：90，5﹣或．
三．解答题
6．【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）作BD⊥AC于D，如图，利用等角的余角相等得到∠C＝∠ABD，进而求解．
【解答】解：（1）∵点A（1，a）在y＝2x上，
∴a＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2）代入反比例函数表达式得：k＝2×1＝2，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）∵A、B两点关于原点成中心对称，
∴B（﹣1，﹣2）；
如图所示，作BH⊥AC于H，设AC交x轴于点D，
∵∠ABC＝90°，∠BHC＝90°
∴∠C＝∠ABH
∵CA∥y轴，BH∥x轴
∴∠AOD＝∠ABH＝∠C，
∴tanC＝tan∠AOD＝＝，
即＝2．
7．【分析】（1）先根据直线过点A，求出点A坐标，再利用待定系数法求直线AB的函数表达式即可；
（2）设点P坐标为（p，p+4），先求出点C坐标，再求出△AOB的面积，表示出△APC的面积，根据S△APC＝S△AOB，列方程求解即可；
（3）根据S△PBC＝S△AOB，点P是x轴上方的一个动点，可知点P在直线y＝上运动，作点B关于直线y＝的对称点B′，连接CB′，交直线y＝于点P，连接BP，则BP+CP的最小值即为CB′的长，求出CB′的长度，进一步可得t的最小值．
【解答】解：（1）∵点A在y轴上，直线过点A，
∴点A坐标为（0，4），
将点A（0，4）和点B（﹣5，0）代入直线y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为；
（2）设点P坐标为（p，p+4），
令＝0，得x＝3，
∴点C坐标为（3，0），
∵点A（0，4），点B（﹣5，0），
∴OA＝4，OB＝5，BC＝8，
∴＝＝10，
∵点P在线段AB上，
∴S△APC＝S△ABC﹣S△BPC＝，
∵S△APC＝S△AOB，
∴＝10，
解得p＝，
∴点P坐标为（，）；
（3）设点P纵坐标为Py，
∵S△PBC＝S△AOB，点P是x轴上方的一个动点，
∴，
解得Py＝，
作点B关于直线y＝的对称点B′，连接CB′，交直线y＝于点P，连接BP，
则BP+CP的最小值即为CB′的长，
∵点B坐标为（﹣5，0），
∴点B′坐标为（﹣5，5），
∴CB′＝＝，
∵点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，
∴÷1＝（s），
∴t的最小值为．
8．【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，
解得：m＝﹣2，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；
将点P（﹣1，2）代入y＝，得：2＝﹣（n﹣3），
解得：n＝1，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
故m、n的值为﹣2，1．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO；
（3）解：联立正、反比例函数解析式成方程组，得：
，
解得：（舍去），，
∴点A的坐标为（1，﹣2），
∴AE＝2，OE＝1，AO＝＝．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．
所以sin∠CDB的值为．
9．【分析】（1）对于①，令x＝0，则y＝﹣3，即点B（0，﹣3），令＝0，则x＝4或﹣1，即可求解；
（2）在Rt△ART中，由勾股定理得：AR2＝AT2+RT2，求出tan∠OBT＝＝＝tan∠BAM，进而求解；
（3）过点M作MH⊥OH交y轴于点N，则此时，＝MN+HN＝MH为最小，进而求解．
【解答】解：（1）对于①，令x＝0，则y＝﹣3，即点B（0，﹣3），
令＝0，则x＝4或﹣1，即点A、C的坐标分别为：（4，0）、（﹣1，0），
即点A、B、C的坐标分别为：（4，0）、（0，﹣3）、（﹣1，0）；
（2）如图1，作∠OBA的角抛物线OR，交x轴于点R，过点R作RT⊥BA于点T，
则设OR＝x＝RT，
则AR＝4﹣x，
由点A、B的坐标知，AB＝5，OB＝3＝BT，
则AT＝AB﹣BT＝5﹣3＝2，
在Rt△ART中，由勾股定理得：AR2＝AT2+RT2，
即（4﹣x）2＝x2+4，
解得：x＝，
则tan∠OBR＝＝＝tan∠BAM，
则直线AM的表达式为：y＝2（x﹣4）②，
联立①②得：x2﹣x﹣3＝2（x﹣4），
解得：x＝，
即点M（，﹣）；
（3）过点O作直线OH使OH和x轴负半轴的夹角为45°，
则直线OH的表达式为：y＝﹣x，
过点M作MH⊥OH交y轴于点N，则此时，＝MN+HN＝MH为最小，
∵OH和x轴负半轴的夹角为45°，则HM和x轴正半轴的夹角为45°，
故直线MH的表达式为：y＝﹣（x﹣）﹣＝﹣x﹣3，
联立y＝﹣x和y＝﹣x﹣3，并解得：x＝﹣，
则点H（﹣，﹣），
由点M、H的坐标得，MH＝，
即最小值为．
10．【分析】（1）利用待定系数法即可求解抛物线的函数表达式；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式为，设点D的坐标是，则点E的坐标是，得到ED＝＝＝，根据二次函数的性质即可得到ED的最大值；
（3）先求出OC＝8，得到AC＝OA+OC＝10，根据四边形BEHF是矩形，得到EH∥BF，EH＝BF，则∠HEA＝∠FBE，由DF∥y轴得到∠HAE＝∠FEB，∠HCF＝∠EFB，则△HAE≌△FEB（AAS），HA＝FE，同理可得△CHF≌△FEB（AAS），HC＝FE，则，得到HO＝3，得到点H的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与坐标轴相交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+d，把A（0，﹣2），B（4，0）代入得，
，
解得，
∴直线AB的解析式为，
设点D的坐标是，则点E的坐标是，
∴，
∴当m＝2时，ED的最大值是2；
（3）过点B的直线y＝﹣2x+8交y轴于点C，
当x＝0时，y＝8，
∴点C的坐标为（0，8），
∴OC＝8，
∴AC＝OA+OC＝10，
∵四边形BEHF是矩形，
∴EH∥BF，EH＝BF，
∴∠HEA＝∠FBE，
∵过点D作x轴的垂线，垂足为G，
∴DF∥y轴，
∴∠HAE＝∠FEB，∠HCF＝∠EFB，
∴△HAE≌△FEB（AAS），
∴HA＝FE，
∵HF∥BE，HF＝BE，
∴∠CFH＝∠FBE，
∴△CHF≌△FEB（AAS）
∴HC＝FE，
∴，
∴HO＝3，
∴点H的坐标是（0，3）．
专家押题
一．选择题
1．【分析】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，根据M的坐标求得k为﹣，进一步得出k′为，通过证得△COE≌△OAD，得出CE＝OD，OE＝AD，所以设A（a，b），则C（﹣b，a），然后根据待定系数法求得直线AC的斜率为，从而得出＝，整理得b＝7a，然后在RT△AOD中，根据勾股定理得出（7a）2+a2＝128，解得a＝，b＝．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，
∵点M（﹣3，4），
∴4＝﹣3k，
∴k＝﹣，
∵四边形ABCO是正方形，
∴直线AC⊥直线OM，
∴k′为，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°
∴∠COE＝∠OAD，
在△COE和△OAD中，
∴△COE≌△OAD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝AD，
设A（a，b），则C（﹣b，a），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∴
解得m＝，
∴＝，
整理得，b＝7a，
∵正方形面积为128，
∴OA2＝128，
在RT△AOD中，AD2+OD2＝OA2，即（7a）2+a2＝128，
解得，a＝，
∴b＝7a＝7×＝，
∴A（，），
故选：D．
解法二：
解：设yOB＝kx，
把M（﹣3，4）代入求得k＝﹣，
∴yOB＝﹣x，
设P（a，﹣a），则OP＝＝a，
在正方形ABCO中，OB＝2OP＝a，
∴a×a×＝128，
∴a＝﹣，
∴AP＝OP＝8，
作PQ⊥x轴，AN⊥x轴，PH⊥AN，则PQ＝PH，PO＝PA，
∴△APH≌△OPQ，
∴OQ＝AH＝，PQ＝PH＝，
∴ON＝﹣＝，AN＝+＝，
∴A（，），
故选：D．
2．【分析】解方程求得B（8，0），G（0，﹣4），得到OB＝8，OG＝4，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到AE＝BF，BE＝CF，根据相似三角形的性质得到＝，设CF＝a，BF＝2a，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
【解答】解：在y＝x﹣4中，令y＝0，则x＝8，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（8，0），G（0，﹣4），
∴OB＝8，OG＝4，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF，BE＝CF，
∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴＝，
∴设CF＝a，BF＝2a，
∴AE＝2a，BE＝a，
∴A（8﹣a，2a），C（8+2a，a），
∵点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，
∴2a（8﹣a）＝a（8+2a），
∴a＝2，a＝0（不合题意舍去），
∴A（6，4），
∴k＝4×6＝24，
∴反比例函数表达式为y＝，
故选：D．
3．【分析】用待定系数法求出函数的解析式即可对①②进行判断；利用勾股定理对③进行判断即可；求出直线AC的解析式，设P（t，﹣t+2），再利用两点间距离公式求出OP的最大值即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
故①正确；
当x＝时，抛物线有最大值，
故②不正确；
∵B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2），
∴AB＝5，AC＝2，BC＝，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
故③正确；
设直线AC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设P（t，﹣t+2），
∴OP＝，
∴当t＝时，OP有最小值为，
故④正确；
故选：D．
二．填空题
4．【分析】过点A作AP⊥x轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，根据AC＝BD＝，可得点A的横坐标为，点B的横坐标为﹣，从而可得点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣3，进而可得到CD＝AP+BQ＝9，OD＝3，AC∥BD，证明△ACE≌△BDE，可得CE＝DE＝CD＝，即BO＝，在Rt△BOD中，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：过点A作AP⊥x轴于点P，过点B作BQ⊥x轴于点Q，
∵AC＝BD＝，
∴点A的横坐标为，点B的横坐标为﹣，
∵点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，
∴点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为﹣3，
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴CD＝AP+BQ＝9，OD＝3，AC∥BD，
∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，
∴△ACE≌△BDE（AAS），
∴CE＝DE＝CD＝，
∵BO＝CE，
∴BO＝，
在Rt△BOD中，
由勾股定理可得BD2+OD2＝OB2，
即，
解得k＝或k＝﹣（舍去），
故答案为：．
5．【分析】连接OP、OQ．根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
∵一次函数，
当x＝0时，y＝3，
∴A（0，3），
当y＝0时，x＝3，
∴B（3，0），
∴OA＝OB＝3，
∴AB＝＝6，
∴OP＝AB＝3，
∴PQ＝＝2．
故答案为：2．
6．【分析】（1）观察图形发现，由抛物线的开口向下得到a＜0，顶点坐标在第一象限得到b＞0，抛物线与y轴的交点在y轴的上方推出c＞0，由此即可判定abc的符号；
（2）顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与D点重合，可以知道顶点坐标为（1，3）且抛物线过（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点为（3，0），由此可求出a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2）且抛物线过（﹣2，0），则它与x轴的另一个交点为（8，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．
【解答】解：（1）观察图形发现，抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵顶点坐标在第一象限，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
而抛物线与y轴的交点在y轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0；
（2）顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，
当顶点C与D点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3，
由，解得﹣≤a≤﹣；
当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣3）2+2，
由，解得﹣≤a≤﹣；
∵顶点可以在矩形内部，
∴﹣≤a≤﹣．
解法二：由题意及图可知：当抛物线经过（﹣2，0），顶点为F（3，2）时，抛物线开口最大，解得a＝﹣；
当抛物线经过（﹣1，0），顶点为D（1，3）时，抛物线开口最小，解得a＝﹣，∵当a＜0时，a越小抛物线的开口越小，a越大抛物线的开口越大，∴﹣≤a≤﹣
三．解答题
7．【分析】（1）根据矩形性质求出点A、C坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）分∠EAN＝90° 和∠AEN＝90° 两种情况，利用相似即可求解；
（3）分用含t式子表示出点E坐标，分K在E左侧和K在E右侧两种情况，结合菱形性质得到关于t的方程，求解，舍去不合题意解，问题得解．
【解答】（1）解：∵矩形OABC的顶点B的坐标是 （4，2），
∴A的坐标是（4，0），C的坐标是（0，2），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
则：，解得 ，
∴直线AC的解析式为：；
（2）解：①当∠ENA＝90°时，如图，
由题意可知M，E，N三点共线，
∴M，N分别是BC，OA的中点，
∴t＝2 秒；
②当∠AEN＝90°时，如下图，由题意可知，△CME∽△CBA，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠AEN＝∠CME＝90°，∠EAN＝∠MCE，
∴△CME∽△AEN，
∴，
∴，
解得 ，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
∴当 秒或2秒时，△ANE为直角三角形．
（3）解：由题意可知E的坐标为，
①如图，当K在E左侧时：
∵KE＝AN＝4﹣t，
∴可知K的坐标为 ，
∵菱形AEKN，
∴AE＝AN，即AE2＝AN2，
∴，
解得 ， （舍去），
∴K的坐标为 ；
②如下图，当K在E右侧时：
∵KE＝AN＝4﹣t，
∴可知K的坐标为 ，
∵菱形AEKN，
∴AK＝AN，即AK2＝AN2，
∴，
解得 ，t2＝0 （舍去），
∴K 的坐标为 ；
∴K的坐标为 或 时，以A，N，E，K为顶点的四边形是菱形．
8．【分析】（1）根据矩形的性质及三角函数可得cs∠OBC的值，设BC＝4x，OB＝5x，由勾股定理及中点的定义可得D（2，3），再利用待定系数法可得答案；
（2）利用三角形的面积公式及中点定义可得答案；
（3）分当0＜x＜2时，当x＞2时，进行分类讨论可得答案．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB＝90°，
∴cs∠OBC＝＝，
设BC＝4x，OB＝5x，
由勾股定理得，OC2+BC2＝OB2，
∵OC＝3，
∴9+16x2＝25x2，
∴x＝1，
∴BC＝4，OB＝5，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝2，
∴D（2，3），
设y＝，把D（2，3）代入得，
k＝6．
（2）S△OCD＝S△OBE，
由题意可知，S△OCD＝＝3，
∵D是BC的中点，
∴S△OCD＝S△OBD＝S△BDC，
∵△OBC≌△OBA，
∴S△OBA＝S△OBC＝6，
∵E在反比例函数图象上，
∴S△OAE＝＝3，
∴S△OBE＝S△OBA﹣S△OAE＝3，
∴S△OCD＝S△OBE．
（3）当0＜x＜2时，
S矩形QCRP＝CQ•PQ，
∴S＝x（﹣3），
S＝6﹣3x，
当x＞2时，
S矩形QCRP＝CQ•PQ，
S＝x（3﹣），
S＝3x﹣6．
综上所述，．
9．【分析】（1）运用待定系数法将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程组求出b、c即可；
（2）①利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点E作EK⊥y轴于点K，设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），从而得出PE+EG＝﹣（m+）2+，运用二次函数求最值方法即可；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N．先证明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，再运用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）①当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3，
∴点C（0，﹣3）．
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．
∵OA＝OC＝3，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°．
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，
∴∠KEG＝∠KGE＝45°，
∴EG＝＝EK＝OD，
设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），
∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
由题意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0，
当m＝﹣时，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值为；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N．
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG＝45°，
∴∠DEG＝∠DNE＝45°，
∴DE＝DN．
∵∠KGE＝∠ONG＝45°，
∴OG＝ON．
∵y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴MF＝1，
∵∠KGF＝45°，
∴GF＝＝MF＝．
∵∠FDG＝45°，
∴∠FDN＝∠DEG．
又∵∠FDG＝∠DEG，
∴△DGF∽△EGD，
∴＝，
∴DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，
在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，OD＝﹣m，
在Rt△ODG中，
∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9＝﹣2m，
解得m1＝﹣1，m2＝﹣．
点的位置
横坐标符号
纵坐标符号
第一象限
﹢
+
第二象限
-
+
第三象限
-
-
第四象限
+
-
x轴上
正半轴上
+
0
负半轴上
-
0
y轴上
正半轴上
0
+
负半轴上
0
-
原点
0
0
k的符号
函数图象
图象的位置
性质
k>0
图象经过第一、三象限
y随x的增大而增大
k <0
图象经过第二、四象限
y随x的增大而减小
一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b
(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
y随x的增大而增大
k>0，b<0
一、三、四
y=kx+b
(k≠0)
k<0，b>0
一、二、四
y随x的增大而减小
k<0，b<0
二、三、四
x
0
2
5
y
15
19
25
表达式
（k是常数，k≠0）
k
k>0
k<0
大致图象
所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每个象限内，y随x的增大而减小
在每个象限内，y随x的增大而增大
对称性
轴对称图形（对称轴为直线y=x和y=-x），中心对称图形（对称中心为原点）
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，y最小值=
当x=–时，y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣9
﹣4
﹣1
0
﹣1