宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．的值是( )
A.20B.40C.-110D.-10
2．已知函数,则( )
A.1B.2C.3D.4
3．中国灯笼又统称为灯彩,主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生,每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种,则不同的选购方式有( )
A.种B.种C.种D.种
4．的展开式中,含项的系数为( )
A.6B.-6C.15D.-15
5．设随机变量X服从两点分布,若,则成功概率( )
A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8
6．随机变量的分布列如表所示,且,则( )
A.-0.2B.0.4C.0.2D.0.5
7．一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为,在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出黄球的概率为,则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为( )
A.B.C.D.
8．6名研究人员在3个不同的无菌研究舱同时进行工作,每名研究人员必须去一个舱,且每个舱至少去1人,由于空间限制,每个舱至多容纳3人,则不同的安排方案共有_______种( )
A.720B.450C.360D.180
二、多项选择题
9．下列式子正确的是( )
A.B.C.D.
10．若,则( )
A.B.
C.D.
11．甲罐中有5个红球,5个白球,乙罐中有3个红球,7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”,表示事件“从甲罐取出的球是白球”,B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是( )
A.、对立事件B.
C.D.
12．某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴某市的A,B,C,D四个区参加防疫工作,每名医生只能去一个区,则下列说法正确的是( )
A.若四个区都有人去,则共有24种不同的安排方法
B.若恰有一个区无人去,则共有144种不同的安排方法
C.若甲不去 区,乙不去 区,且每区均有人去,则共有18种不同的安排方法
D.若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服,且每区至少发放3箱,则共有84种不同的安排方法
三、填空题
13．已知,,则等于___________．
14．2023年11月12日,连云港市赣马高级中学高品质特色发展暨百年校庆大会隆重举行,赣马高中建校100周年文艺演出中有四个节目：《腰鼓：千年回响》、《歌伴舞：领航》、《器乐：兰亭序》、《情景剧：我们陪你向前走》四个节目,若要对这四个节目进行排序,要求《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻,则不同的排列种数为___________（用数字作答）．
15．的展开式中项的系数为___________．
16．若函数大于的零点有且只有一个,则实数k的值为___________．
四、解答题
17．已知的展开式中的所有二项式系数之和为32.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的系数.
18．今年6月14日是端午节,吃粽子是我国端午节的传统习俗．现有一盘子,装有10个粽子,其中红豆粽2个,肉粽3个,蛋黄粽5个,假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取3个．
（1）求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率;
（2）设表示取到的红豆粽个数,求的分布列．
19．已知数列是首项为1的等差数列,公差,设数列的前n项和为,且,,成等比数列．
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和．
20．如图,在四棱锥中,底面ABCD为矩形,平面ABCD,M为PC中点．
（1）求证：平面MBD;
（2）若,求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．
21．已知函数,,且．
（1）求a的值及曲线在点处的切线方程;
（2）求函数在区间上的最值．
22．已知函数．
（1）若,求的单调区间;
（2）讨论函数的单调性;
（3）若函数在处取得极值,且对,恒成立,求实数b的取值范围．
参考答案
1．答案：B
解析：．
故选：B．
2．答案：C
解析：因为,所以,则.
故选：C.
3．答案：A
解析：由题可知,每名同学都有3种选法,故不同的选购方式有种,经检验只有A选项符合.
故选：A
4．答案：C
解析：展开式的通项为,
令,则,
所以含项的系数为.
故选：C.
5．答案：C
解析：随机变量X服从两点分布,,
根据两点分布概率性质可知：,
解得,
故选：C.
6．答案：B
解析：依题意可得,解得.
故选：B.
7．答案：B
解析：记事件“第一次摸出红球”,事件“第二次黄球”,则,,
由条件概率公式得,则,
故选：B．
8．答案：B
解析：由题意可知,6名研究员的安排可以是按平均分组,即每2人一组分到三个研究舱,
或者是按人数为1,2,3分为3组分到三个研究舱,
每2人一组分到三个研究舱时,共有（种）安排方案,
按人数为1,2,3分为3组分到三个研究舱时,共有（种）安排方案,
故共有（种）安排方案,
故选：B.
9．答案：ABD
解析：A选项,,故,A正确;
B选项,,,故,B正确;
C选项,,故,C错误;
D选项,,,
故,D正确.
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：令,
对于A,由,得,A正确;
对于B,由,得,B错误;
对于C,由,得,因此,C正确;
对于D,,D错误.
故选：AC.
11．答案：AB
解析：因为甲罐中只有红球和白球,所以A正确;当发生时,乙罐中有4个红球,7个白球,此时B发生的概率为,故B正确;当发生时,乙罐中有3个红球,8个白球,此时B发生的概率为,故D不正确;,故 C不正确.
故选：AB.
12．答案：ABD
解析：A：若四个区都有人去,则共有种不同的安排方法,故A正确;
B：若恰有一个区无人去,则共有种不同的安排方法,故B正确;
C：若甲不去A区,乙不去B区,且每区均有人去,则共有种不同的安排方法,故C错误;
D：若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服,且每区至少发放3箱,先每个区发2箱,然后使用3块隔板将剩下的10箱分成4份,且隔板不相邻,不在两端,则共有种不同的安排方法,故D正确;
故选：ABD.
13．答案：
解析：因,,
所以.
故答案为：.
14．答案：12
解析：由于《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻,所以两者“捆绑”,则不同的排列种数为种.
故答案为：12.
15．答案：30
解析：表示5个多项式相乘,展开式中项是上述5个多项式取2个用x,
余下3个再取2个用y,最后1个用1相乘的积,因此该项为,
所以的展开式中项的系数为30.
故答案为：30.
16．答案：
解析：若时恒成立,所以没有零点,
所以,
令,,即,所以,
依题意与在上有且只有一个交点,
令,,则,
所以当时,,当时,,
即在上单调递减,在上单调递增,
所以的最小值是,
而当时,,当时,,所以.
故答案为：.
17．答案：(1)
(2)10
解析：(1)由题意可得，，解得；
(2)，
二项展开式的通项为
由，得.
展开式中的系数为.
18．答案：（1）
（2）分布列见解析
解析：（1）依题意基本事件总数,
选取的三个粽子中恰有1个肉粽包含的基本事件个数,
选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率;
（2）设表示取到的红豆粽个数,则的可能取值为0,1,2,
所以,,
,
的分布列为：
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得,即,
又,故,即或,又,故,
即;
（2）,
故
.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接AC交BD于点O,连接OM,
由四边形ABCD为矩形,
可知O为AC中点,M为PC中点,
所以,
又平面,平面,
所以平面MBD.
（2）以A为原点,,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则 ,,,
所以,,,
设平面的法向量为,
则,
令,则,
设直线与平面所成角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21．答案：（1）;
（2）最小值为-1,最大值为8
解析：（1）根据题意,,则,
因为,所以．
当时,,,
所以曲线在点处的切线方程为,
化简得;
（2）由（1）可知,,．
故函数在区间上单调递增,
则函数最小值为最大值为.
22．答案：（1）答案见解析;
（2）答案见解析;
（3）.
解析：（1）当时,,,
令可得,故当时,单调递减;
当时,单调递增;
故递减区间为,递增区间为.
（2）由可得：函数定义域为,.
当时,,此时函数在定义域上单调递减;
当时,令,解得;令,解得,
此时函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
综上可得：当时,函数在定义域上单调递减;
当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
（3）因为函数在处取得极值,
所以,即,解得.
此时,
令,解得;令,解得,
所以函数在处取得极值,故.
所以.
因为对,恒成立,
所以对,恒成立.
令,则.
令,解得;令,解得,
所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以,则,解得：.
所以实数b的取值范围为
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
0
1
2
P