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所属成套资源：中考数学 初中几何模型24讲（专题练习）
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中考数学 专题10 母抱子模型解直角三角形（专题练习）
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【中考真题】
1、如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
解析：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×（米），又∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，
在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=，
∴CE==（4+）（米），答：拉线CE的长为（4+）米．
2、如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【精典例题】
1、如图，一艘轮船在A处时观测得小岛C在船的北偏东60°方向，轮船以40海里/时的速度向正东方向航行1.5小时到达B处，这时小岛C在船的北偏东30°方向．已知小岛C周围50海里范围内是暗礁区．
（1）求B处到小岛C的距离
（2）若轮船从B处继续向东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．
（参考数据：≈1.73）
解析：（1）由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，∴CB＝AB＝40×1.5＝60（海里），∴B处到小岛C的距离为60海里；
（2）过点C作CE⊥AD，垂足为点E，
∵CE＝CB×sin∠CBE＝60×sin60°＝30≈51.96海里，∴CE＞50，
∴轮船从B处继续向正东方向航行，没有触礁危险．
2、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
Zxxk.Cm]
解析：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，
∴ME＝DC＝3．CM＝ED，
在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝x，
在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，
∴DF＝3，
在Rt△AMC中，∠ACM＝45°，∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，
∵ED＝CM，∴AM＝ED，
∵AM＝AE﹣ME，ED＝EF+DF，∴x﹣3＝x+3，∴x＝6+3，
∴AE＝（6+3）＝6+9，∴AB＝AE﹣BE＝9+6﹣1≈18.4米．
答：旗杆AB的高度约为18.4米．
3、如图，为了测得电视塔AB的高度，在D处用高为1 m 的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔AB的高度(单位：m)为( C )
A．50eq \r(3) B．51 C．50eq \r(3)＋1 D．101
4、(2019·山东菏泽定陶三模)如图，小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，测得B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知热气球离地面的高度为120 m，且大桥与地面在同一水平面上，求大桥BC的长度．(结果保留整数，eq \r(3)≈1.73)
解析：如图，作AD⊥CB交CB所在直线于点D.
由题意知，∠ACD＝45°，∠ABD＝60°.
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝120 m.
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，
∴tan 60°＝eq \f(AD,BD)，∴BD＝eq \f(\r(3),3)AD＝40eq \r(3) m，
∴BC＝CD－BD＝120－40eq \r(3)≈51(m)．
答：大桥BC的长度约为51 m.
5、某数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C．从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得树梢A的仰角为30°，则树高为 米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
解析：根据题意可知：∠ABC＝90°，CD＝10，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝CB，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，BD＝CD+BC＝10+AB，
∴tan30°＝，即＝，解得AB≈13.7（米）．
答：树高约为13.7米．
6、某矩形交通指示牌CDEF如图所示，AB的距离为5m，从A点测得指示牌顶端D点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度CD约为 m．（精确到0.1m．参考数据：≈1.414，≈1.732）
解析：在Rt△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝5，
∵tan∠DAB＝，∴BD＝5•tan60°＝5，
在Rt△BAC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝5，
∴CD＝BD﹣BC＝（5﹣5）m≈3.7（m）．
故答案为：3.7．
7、为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度约为 米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）
解析：如图，
根据题意可知：
DE⊥BE，AB⊥BE，
过点D作DC⊥AB于点C，
所以四边形DEBC是矩形，
∴BC＝ED＝1.70，
DC＝EB＝15，
在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，
∴tan30°＝，
即＝，
解得AC＝5，
∴AB＝AC+CB＝5+1.70≈10.4（米）．
答：无人机距离地面的高度约为10.4米．
8、广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，位于广州市海珠区赤岗塔附近，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔BD附近有一大厦AC高150米，张强在楼底A处测得塔顶D的仰角为45°，上到大厦顶C处测得塔顶D的仰角为37°，求广州塔BD的高．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
解析：如图，过点C作CE⊥BD于点E，即四边形ACEB是矩形
∴BE＝AC＝150，CE＝AB，
根据题意可知：
∠DAB＝45°，
∴DB＝AB＝CE，
∴DE＝DB﹣BE＝DB﹣150，
在Rt△CDE中，∠DCE＝37°，
∴DE＝CE•tan37°，
即DB﹣150≈0.75DB，
解得DB≈600（米）．
答：广州塔BD的高约为600米．
9、如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．求大树BC的高度约为多少米？（≈1.732，结果精确到0.1）
解析：作DH⊥AE于点H，作DG⊥BC于点G，如图，
则四边形DGCH为矩形，
在Rt△ADH中，∵，∴AH＝2DH，
∵AH2+DH2＝AD2，∴．
∴DH＝CG＝3m，∴AH＝2DH＝6m，
设BC＝xm，则BG＝（x﹣3）m，
在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝xm，
∴CH＝DG＝（x+6）m，
在Rt△BDG中，∠BDG＝30°
∵tan30°＝，
∴，解得，x＝≈15.3．
答：大树BC的高度约为15.3米．
【中考真题】
1、如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
解析：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6，
在Rt△ACH中，tan∠CAH=，∴CH=AH•tan∠CAH，
∴CH=AH•tan∠CAH=6tan30°=6×（米），又∵DH=1.5，∴CD=2+1.5，
在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=，
∴CE==（4+）（米），答：拉线CE的长为（4+）米．
2、如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【精典例题】
1、如图，一艘轮船在A处时观测得小岛C在船的北偏东60°方向，轮船以40海里/时的速度向正东方向航行1.5小时到达B处，这时小岛C在船的北偏东30°方向．已知小岛C周围50海里范围内是暗礁区．
（1）求B处到小岛C的距离
（2）若轮船从B处继续向东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．
（参考数据：≈1.73）
解析：（1）由题意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，∴CB＝AB＝40×1.5＝60（海里），∴B处到小岛C的距离为60海里；
（2）过点C作CE⊥AD，垂足为点E，
∵CE＝CB×sin∠CBE＝60×sin60°＝30≈51.96海里，∴CE＞50，
∴轮船从B处继续向正东方向航行，没有触礁危险．
2、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
Zxxk.Cm]
解析：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，
∴ME＝DC＝3．CM＝ED，
在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝x，
在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，
∴DF＝3，
在Rt△AMC中，∠ACM＝45°，∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，
∵ED＝CM，∴AM＝ED，
∵AM＝AE﹣ME，ED＝EF+DF，∴x﹣3＝x+3，∴x＝6+3，
∴AE＝（6+3）＝6+9，∴AB＝AE﹣BE＝9+6﹣1≈18.4米．
答：旗杆AB的高度约为18.4米．
3、如图，为了测得电视塔AB的高度，在D处用高为1 m 的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔AB的高度(单位：m)为( C )
A．50eq \r(3) B．51 C．50eq \r(3)＋1 D．101
4、(2019·山东菏泽定陶三模)如图，小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，测得B，C两点的俯角分别为60°和45°，已知热气球离地面的高度为120 m，且大桥与地面在同一水平面上，求大桥BC的长度．(结果保留整数，eq \r(3)≈1.73)
解析：如图，作AD⊥CB交CB所在直线于点D.
由题意知，∠ACD＝45°，∠ABD＝60°.
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝120 m.
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，
∴tan 60°＝eq \f(AD,BD)，∴BD＝eq \f(\r(3),3)AD＝40eq \r(3) m，
∴BC＝CD－BD＝120－40eq \r(3)≈51(m)．
答：大桥BC的长度约为51 m.
5、某数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C．从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得树梢A的仰角为30°，则树高为 米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
解析：根据题意可知：∠ABC＝90°，CD＝10，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝CB，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，BD＝CD+BC＝10+AB，
∴tan30°＝，即＝，解得AB≈13.7（米）．
答：树高约为13.7米．
6、某矩形交通指示牌CDEF如图所示，AB的距离为5m，从A点测得指示牌顶端D点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度CD约为 m．（精确到0.1m．参考数据：≈1.414，≈1.732）
解析：在Rt△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝5，
∵tan∠DAB＝，∴BD＝5•tan60°＝5，
在Rt△BAC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝5，
∴CD＝BD﹣BC＝（5﹣5）m≈3.7（m）．
故答案为：3.7．
7、为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为30°，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度约为 米．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）
解析：如图，
根据题意可知：
DE⊥BE，AB⊥BE，
过点D作DC⊥AB于点C，
所以四边形DEBC是矩形，
∴BC＝ED＝1.70，
DC＝EB＝15，
在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，
∴tan30°＝，
即＝，
解得AC＝5，
∴AB＝AC+CB＝5+1.70≈10.4（米）．
答：无人机距离地面的高度约为10.4米．
8、广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，位于广州市海珠区赤岗塔附近，是中国第一高塔，世界第四高塔．如图，广州塔BD附近有一大厦AC高150米，张强在楼底A处测得塔顶D的仰角为45°，上到大厦顶C处测得塔顶D的仰角为37°，求广州塔BD的高．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
解析：如图，过点C作CE⊥BD于点E，即四边形ACEB是矩形
∴BE＝AC＝150，CE＝AB，
根据题意可知：
∠DAB＝45°，
∴DB＝AB＝CE，
∴DE＝DB﹣BE＝DB﹣150，
在Rt△CDE中，∠DCE＝37°，
∴DE＝CE•tan37°，
即DB﹣150≈0.75DB，
解得DB≈600（米）．
答：广州塔BD的高约为600米．
9、如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．求大树BC的高度约为多少米？（≈1.732，结果精确到0.1）
解析：作DH⊥AE于点H，作DG⊥BC于点G，如图，
则四边形DGCH为矩形，
在Rt△ADH中，∵，∴AH＝2DH，
∵AH2+DH2＝AD2，∴．
∴DH＝CG＝3m，∴AH＝2DH＝6m，
设BC＝xm，则BG＝（x﹣3）m，
在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝xm，
∴CH＝DG＝（x+6）m，
在Rt△BDG中，∠BDG＝30°
∵tan30°＝，
∴，解得，x＝≈15.3．
答：大树BC的高度约为15.3米．
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