2024年高考数学第一轮复习讲义第一章1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第一章1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件(学生版+解析)，共15页。试卷主要包含了理解命题的概念等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以____________的陈述句叫做命题，其中________________的语句叫做真命题，________________的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________________．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
常用结论
充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
①若p是q的充分条件，则A⊆B；
②若p是q的充分不必要条件，则AB；
③若p是q的必要不充分条件，则BA；
④若p是q的充要条件，则A＝B.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2－2x－3>0”是命题．( )
(2)已知集合A，B，A∩B＝A∪B的充要条件是A＝B.( )
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )
(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．( )
教材改编题
1．“x2－x<0”是“x<1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．
3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．
题型一 命题及其关系
例1 (1)(2022·赤峰模拟)下列四个命题为真命题的个数是( )
①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；
②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
③命题“全等三角形面积相等”的否命题；
④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)(2022·西安模拟)函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，能说明“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)＝________.
听课记录：___________________________________________________________________
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思维升华 判断命题真假的策略
(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
跟踪训练1 (1)(2022·拉萨模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是( )
A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数
B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数
D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数
(2)命题p：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆否命题为真命题，则a的取值范围是________．
题型二 充分、必要条件的判定
例2 (1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“eq \f(a,b)>1”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
听课记录：___________________________________________________________________
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思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
跟踪训练2 (1)(2022·长春模拟) “a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2022·聊城模拟)使|x＋1|>2成立的一个必要不充分条件是( )
A．x<－3 B．x>0
C．x<－3或x>1 D．x<－3或x>0
题型三 充分、必要条件的应用
例3 在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
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思维升华 求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练3 (2023·宜昌模拟)已知集合A＝{x|－2(1)若m＝2，求集合A∩B；
(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在实数m，使p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
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________________________________________________________________________若p⇒q，则p是q的__________条件，q是p的__________条件
p是q的____________条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的________________条件
p⇏q且q⇏p
§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考试要求 1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
知识梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
常用结论
充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
①若p是q的充分条件，则A⊆B；
②若p是q的充分不必要条件，则AB；
③若p是q的必要不充分条件，则BA；
④若p是q的充要条件，则A＝B.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2－2x－3>0”是命题．( × )
(2)已知集合A，B，A∩B＝A∪B的充要条件是A＝B.( √ )
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( √ )
(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．( √ )
教材改编题
1．“x2－x<0”是“x<1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由x2－x<0，可得0所以“x2－x<0”是“x<1”的充分不必要条件．
2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．
答案 两直线不平行，同位角不相等
3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．
答案 (3，＋∞)
解析 因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，
所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，
由图可知m>3.
题型一 命题及其关系
例1 (1)(2022·赤峰模拟)下列四个命题为真命题的个数是( )
①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；
②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
③命题“全等三角形面积相等”的否命题；
④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①命题“若x>1，则x2>1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题，例如取x＝－2；
②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题；
③命题“全等三角形面积相等”的否命题为“不全等的三角形面积不相等”，是假命题；
④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题为“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”，是真命题．
综上可得，真命题的个数为2.
(2)(2022·西安模拟)函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，能说明“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)＝____________.
答案 (x－1)2(答案不唯一)
解析 函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，且“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题，可知函数f(x)满足在(0,2)上存在零点，且f(0)·f(2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f(x)＝(x－1)2.
思维升华 判断命题真假的策略
(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
跟踪训练1 (1)(2022·拉萨模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是( )
A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数
B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数
D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数
答案 D
解析 命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数”．
(2)命题p：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆否命题为真命题，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，1)
解析 依题意，命题p的逆否命题为真命题，则命题p为真命题，即“若m≤a－2，则m<－1”为真命题，则a－2<－1，解得a<1.
题型二 充分、必要条件的判定
例2 (1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“eq \f(a,b)>1”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由a>b>0，得eq \f(a,b)>1，反之不成立，
如a＝－2，b＝－1，满足eq \f(a,b)>1，
但是不满足a>b>0，
故“a>b>0”是“eq \f(a,b)>1”的充分不必要条件．
(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B
解析 当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件．
思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
跟踪训练2 (1)(2022·长春模拟) “a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝|a||b|，
所以cs〈a，b〉＝1，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉＝0，
所以a与b共线，充分性成立；
当a与b共线时，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，
所以a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝|a||b|
或a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝－|a||b|，必要性不成立，所以“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件．
(2)(2022·聊城模拟)使|x＋1|>2成立的一个必要不充分条件是( )
A．x<－3 B．x>0
C．x<－3或x>1 D．x<－3或x>0
答案 D
解析 由|x＋1|>2，可得x>1或x<－3，
所以x<－3是|x＋1|>2的充分不必要条件，
x>0是|x＋1|>2的既不充分也不必要条件，
x<－3或x>1是|x＋1|>2的充要条件，
x<－3或x>0是|x＋1|>2的必要不充分条件．
题型三 充分、必要条件的应用
例3 在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解 (1)由(x＋1)(x－3)<0，
解得－1所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)若选①A∪B＝B，则A⊆B，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1若选③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，
则A⊆B，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>－1，,a＋2<3，))
解得－1思维升华 求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练3 (2023·宜昌模拟)已知集合A＝{x|－2(1)若m＝2，求集合A∩B；
(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在实数m，使p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 (1)由m＝2及x2－2mx＋m2－1<0，
得x2－4x＋3<0，解得1所以B＝{x|1又A＝{x|－2所以A∩B＝{x|1(2)由x2－2mx＋m2－1<0，
得[x－(m－1)][x－(m＋1)]<0，
所以m－1所以B＝{x|m－1由p是q的必要不充分条件，
得集合B是集合A的真子集，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1≥－2，,m＋1≤3，))解得－1≤m≤2，
所以m的取值范围为[－1,2]．
课时精练
1．(2023·西宁模拟)“x2>2 022”是“x2>2 023”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若x2>2 023，因为2 023>2 022，
故x2>2 022，
故“x2>2 023”可以推出“x2>2 022”，
取x2＝2 022.5，满足x2>2 022，但x2>2 023不成立，
所以“x2>2 022”不能推出“x2>2 023”，
所以“x2>2 022”是“x2>2 023”的必要不充分条件．
2．(2022·渭南模拟)已知a<0，命题“若a2>1，则a<－1”的否命题是( )
A．若a2>1，则－1≤a<0
B．若a2≤1，则－1≤a<0
C．若－1≤a<0，则a2>1
D．若a<－1，则a2>1
答案 B
3．(2023·银川模拟)下列命题中是假命题的是( )
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．任意两个向量都不能比较大小
C．如果|a|＝0，则a＝0
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
答案 A
解析 对于A，0的相反向量是它本身，A是假命题；
对于B，向量是有向线段，不能比较大小，B是真命题；
对于C，如果|a|＝0，则a＝0，C是真命题；
对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D是真命题．
4．(2022·海东模拟)在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可以是( )
A．1或2或3或4 B．0或2或4
C．1或3 D．0
答案 B
解析 ∵原命题和逆否命题具有相同的真假性，逆命题和否命题具有相同的真假性，
∴四种命题中，真命题的个数可以是0或2或4.
5．在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，
则∠B＝90°，
即△ABC为直角三角形；
若△ABC为直角三角形，不一定推出∠B＝90°，
所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，
综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．
6．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由a·c＝b·c，得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．
7．(2023·成都模拟)下列命题为假命题的是( )
A．命题“若a<1，则|a|<1”的逆命题
B．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题
C．空间中垂直于同一直线的两直线平行
D．命题“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的否命题
答案 C
解析 对于A，命题“若a<1，则|a|<1”的逆命题为“若|a|<1，则a<1”，因为|a|<1即－1对于B，命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，则其逆否命题为真命题；
对于C，空间中垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面，故C为假命题；
对于D，命题“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的否命题为“到线段两端点距离不相等的点不在线段的垂直平分线上”，故原命题的否命题为真命题．
8．(2022·长沙模拟)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－a－1)<0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则a的取值范围是( )
A．(2,3)
B．[2,3]
C．(－∞，2)∪(3，＋∞)
D．(－∞，2]∪[3，＋∞)
答案 B
解析 A＝{x|x2－6x＋8<0}
＝{x|2∵a＋1>a，∴B＝{x|a若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，
则必有B是A的子集，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1≤4，,a≥2，))∴2≤a≤3.
9．(2022·固原模拟)命题“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”的逆否命题是______________________．
答案 若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
10．使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________．
答案 x<－1(答案不唯一)
解析 由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，
解得x<0，所以使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需使x的取值范围为集合{x|x<0}的子集即可．
11．已知直线l和平面α，β满足l⊄α，l⊄β.在l∥β，l⊥α，α⊥β这三个关系中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论所构成的命题中，真命题的个数为_______．
答案 2
解析 当l∥β且l⊥α时，α⊥β成立；
当l∥β且α⊥β时，l⊥α不一定成立；
当l⊥α且α⊥β时，结合l⊄β，得l∥β成立．
故有2个真命题．
12．给出下列四个命题：
①在△ABC中，“sin B>sin C”是“B>C”的充要条件；
②命题“若数列{an}是等比数列，则aeq \\al(2,2)＝a1a3”的否命题；
③已知a，b是非零向量，命题“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；
④“直线l与平面α垂直”的充要条件是“直线l与平面α内的两条直线垂直”．
其中真命题是________．(填序号)
答案 ①③
解析 对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，故①是真命题；
对于②，命题“若数列{an}是等比数列，则aeq \\al(2,2)＝a1a3”的否命题是“若数列{an}不是等比数列，则aeq \\al(2,2)≠a1a3”，取an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n≤3，,2，n>3，))故其否命题是假命题；
对于③，已知a，b是非零向量，命题“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题为“若a与b的夹角为锐角，则a·b>0”，故其逆命题是真命题；
对于④，“直线l与平面α内的两条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要不充分条件，故④是假命题．
13.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 命题：“若S1，S2不总相等，则V1，V2不相等”．
根据祖暅原理，当两个截面的面积S1，S2总相等时，这两个几何体的体积V1，V2相等，所以原命题的否命题为真，故是必要条件；
当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故不是充分条件，所以“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分条件．
14．已知p：x<2m－1或x>－m，q：x<2或x≥4，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
解析 设A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{x|x<2或x≥4}，
若p是q的必要条件，则B⊆A，
当2m－1>－m，即m>eq \f(1,3)时，
此时A＝R，B⊆A成立；
当2m－1≤－m，即m≤eq \f(1,3)时，
若B⊆A，此时eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1≥2，,－m<4，))无解．
综上，m>eq \f(1,3).
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a>b”是“A＋cs A>B＋cs B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B.
设f(x)＝x＋cs x，x∈(0，π)，
则f′(x)＝1－sin x，x∈(0，π)，
∵sin x∈(0,1]，
∴f′(x)≥0，
∴f(x)在(0，π)上单调递增，
∴a>b⇔A>B⇔f(A)>f(B)⇔A＋cs A>B＋cs B.
故“a>b”是“A＋cs A>B＋cs B”的充要条件．
16．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．
答案 乙
解析 四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假．若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话，可知罪犯是乙．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p