2024版高考数学微专题专练3命题及其关系充分条件与必要条件理（附解析）

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[基础强化]
1．[2022·陕西省高三四模]“a>b>0”是“eq \f(a,b)>1”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．[2022·四川省二诊(理)]设x、y都是实数，则“x>2且y>3”是“x＋y>5且xy>6”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0
B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0
C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0
D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
4．若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是( )
A．¬p是q的必要不充分条件
B．¬q是p的必要不充分条件
C．¬p是¬q的必要不充分条件
D．¬q是¬p的必要不充分条件
5．[2022·北京卷，6]设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．[2021·全国甲卷]等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．[2022·安徽省十校一模]“0＜λ＜4”是“双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,λ)＝1的焦点在x轴上”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．设p：|x－a|>3，q：(x＋1)(2x－1)≥0，若¬p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－4，\f(7,2)))
B．(－∞，－4]∪[eq \f(7,2)，＋∞)
C．(－4，eq \f(7,2))
D．(－∞，－4)∪(eq \f(7,2)，＋∞)
9．[2022·江西省八校联考]“0<θ<π”是“方程eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4sinθ)＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
10．[2020·全国卷Ⅲ]关于函数f(x)＝sinx＋eq \f(1,sinx)有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x＝eq \f(π,2)对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
11．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg (x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
12．已知p：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(x－1,3)))≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分而不必要条件，则m的取值范围为________.
[能力提升]
13．[2022·四川绵阳一模]“(a＋1)eq \s\up6(\f(1,2))<(3－2a)eq \s\up6(\f(1,2))”是“－2A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．[2022·江西省高三二模]已知p：－1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．下列四个结论中正确的是________(填序号).
①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件；
②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0>1”；
③“若x＝eq \f(π,4)，则tanx＝1”的逆命题为真命题；
④若f(x)是R上的奇函数，则f(lg32)＋f(lg23)＝0.
16．[2020·全国卷Ⅱ]设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是________．
①p1∧p4 ②p1∧p2 ③(¬p2)∨p3
④(¬p3)∨(¬p4)
专练3 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．B 由a>b>0，得eq \f(a,b)>1，反之不成立，如a＝－2，b＝－1，满足eq \f(a,b)>1，但是不满足a>b>0，故“a>b>0”是“eq \f(a,b)>1”的充分不必要条件．
2．A 由题意，若x>2且y>3，由不等式的性质可得x＋y>5且xy>6，故充分性成立；反之取x＝1，y＝10满足x＋y>5且xy>6，但x>2且y>3不成立，故必要性不成立；故“x>2且y>3”是“x＋y>5且xy>6”的充分不必要条件．
3．D a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0，故选D.
4．C 由p是q的充分不必要条件可知p⇒q，qD⇒/p，由互为逆否命题的两命题等价可得¬q⇒¬p，¬pD⇒/¬q，
∴¬p是¬q的必要不充分条件．选C.
5．C 设等差数列{an}的公差为d.因为{an}为递增数列，所以d>0.当n>1－eq \f(a1,d)，且n∈N*时，an＝a1＋(n－1)d>a1＋(1－eq \f(a1,d)－1)d＝0，故存在正整数N0≥1－eq \f(a1,d)，当n>N0时，an>0，即充分性成立．若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，则当n>N0≥1时，a1＋(n－1)d>0.当a1≤0时，n－1>0，所以d>－eq \f(a1,n－1)≥0，即{an}为递增数列；当a1>0时，由题意得当n>N0时，an>0恒成立，即a1＋(n－1)d>0恒成立，所以d>－eq \f(a1,n－1)恒成立，所以d>(－eq \f(a1,n－1))max.因为－eq \f(a1,n－1)随着n的增大而增大，且－eq \f(a1,n－1)恒为负值，所以d≥0，所以d>0，即{an}为递增数列，即必要性成立．故选C.
6．B 当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．
7．A 由双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,λ)＝1的焦点在x轴上可知，λ>0.于是“0<λ<4”是“双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,λ)＝1的焦点在x轴上”的充分不必要条件．
8．B p：xa＋3，q：x≤－1或x≥eq \f(1,2)，
¬p：a－3≤x≤a＋3.
因为¬p是q的充分不必要条件，
所以a＋3≤－1或a－3≥eq \f(1,2)，
得a∈(－∞，－4]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞)).
9．D 由0<θ<π，可得0当sinθ＝eq \f(3,4)时，方程可化为x2＋y2＝3，此时方程表示圆，所以充分性不成立；
反之：方程eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4sinθ)＝1表示椭圆，则满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4sinθ>0,4sinθ≠3))，即sinθ>0且sinθ≠eq \f(3,4)，所以0<θ<π不成立，即必要性不成立，
所以“0<θ<π”是“方程eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4sinθ)＝1表示椭圆”的既不充分也不必要条件．
10．②③
解析：要使函数f(x)＝sinx＋eq \f(1,sinx)有意义，则有sinx≠0，∴x≠kπ，k∈Z，∴定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝sin (－x)＋eq \f(1,sin（－x）)＝－sinx－eq \f(1,sinx)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinx＋\f(1,sinx)))＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
∴f(x)的图像关于原点对称，
∴①是假命题，②是真命题．
对于③，要证f(x)的图像关于直线x＝eq \f(π,2)对称，只需证feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)).
∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＋eq \f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x)))＝csx＋eq \f(1,csx)，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＋eq \f(1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)))＝csx＋eq \f(1,csx)，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))，∴③是真命题．
令sinx＝t，－1≤t≤1且t≠0，∴g(t)＝t＋eq \f(1,t)，－1≤t≤1且t≠0，此函数图像如图所示(对勾函数图像的一部分)，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
∴函数的最小值不为2，即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题．
综上所述，所有真命题的序号是②③.
11．(－∞，－3]
解析：由x2＋x－6<0得－3即A＝(－3，2)，
由x－a>0，得x>a，即B＝(a，＋∞)，
由题意得(－3，2)⊆(a，＋∞)，∴a≤－3.
12．[9，＋∞)
解析：由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(x－1,3)))≤2，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m，
设p，q表示的范围为集合P，Q，则
P＝{x|－2≤x≤10}，
Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
因为p是q的充分而不必要条件，所以PQ.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m≥10，))解得m≥9.
13．A 因为y＝xeq \s\up6(\f(1,2))定义域为[0，＋∞)，且为增函数，又(a＋1)eq \s\up6(\f(1,2))<(3－2a)eq \s\up6(\f(1,2))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋1<3－2a,a＋1≥0,3－2a≥0))，解得－1≤a14．B 对于不等式2x＋1由图像可知，不等式2x＋1因为{x|－115．②
解析：①中“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误；
对于②，命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0>1”，故②正确；
对于③，“若x＝eq \f(π,4)，则tanx＝1”的逆命题为“若tanx＝1，则x＝eq \f(π,4)”，其为假命题，故③错误；
对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，
∵lg32＝eq \f(1,lg23)≠－lg23；
∴lg32与lg23不互为相反数，故④错误．
16．①③④
解析：对于命题p1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A、B、C，易知A、B、C三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A∈α，B∈α，可得直线AB⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p1是真命题；
对于命题p2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p2是假命题，从而¬p2是真命题；
对于命题p3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，从而¬p3是真命题；
对于命题p4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬p4是假命题．
综上所述，p1∧p4是真命题，p1∧p2是假命题，(¬p2)∨p3是真命题，(¬p3)∨(¬p4)是真命题，所以答案为①③④.