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辽宁省丹东市第十三中学2022-2023学年八年级下学期数学期中测试题
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这是一份辽宁省丹东市第十三中学2022-2023学年八年级下学期数学期中测试题，共21页。试卷主要包含了选择，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）在下列各式中，是分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2分）下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．（x﹣4）（x+4）＝x2﹣16
B．x2﹣y2+2＝（x+y）（x﹣y）+2
C．2ab+2ac＝2a（b+c）
D．（x﹣1）（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）
3．（2分）如果x＞y，那么下列各式中正确的是（ ）
A．x﹣2＜y﹣2B．＜C．﹣2x＜﹣2yD．﹣x＞﹣y
4．（2分）如果把分式中的a、b都扩大3倍，那么分式的值一定（ ）
A．是原来的3倍B．是原来的5倍
C．是原来的D．不变
5．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是（ ）
A．15cmB．13cmC．11cmD．9cm
6．（2分）下列命题中正确的是（ ）
A．有两条边相等的两个等腰三角形全等
B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．两角对应相等的两个等腰三角形全等
D．一边对应相等的两个等边三角形全等
7．（2分）某厂接到加工720件衣服的订单，每天做48件正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）如图所示，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＞ax的解集是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x＞2D．x＜2
9．（2分）若关于y的不等式组有解，且关于x的分式方程3﹣＝有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
A．9B．10C．11D．12
二.填空（每题2分，共18分）
10．（2分）分解因式：a3b+2a2b2+ab3＝ ．
11．（2分）不等式组的解集是﹣1≤x≤0．则m﹣n的值 ．
12．（2分）当x为 时，分式的值为0．
13．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AB＝ cm．
14．（2分）若，A+B＝ ．
15．（2分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，已知∠B＝50°，则∠CAF的度数为 ．
16．（2分）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是 ．
17．（2分）已知关于x的不等式组有且仅有三个整数解，则a的取值范围是 ．
18．（2分）如图，△ABC边长为后的正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，则△AMN的周长为 ．
三、解答题
19．（8分）因式分解
（1）（m2+4）2﹣16m2
（2）（x2+6x）2+18（x2+6x）+81
20．（8分）（1）解下列不等式组
（2）解分式方程：+1
21．（6分）先化简．再求值：（﹣1）÷，其中0＜x＜．且x是整数．
22．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC绕点O旋转180°后的图形△A1B1C1；
（2）P（a，b）是AC边上一点，将△ABC平移后点P的对应点P′的坐标为（a+4，b+2），请画出平移后的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
23．（9分）已知，如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝4cm，△BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D的直线DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（或AC延长线）
（1）求证：AE＝AF；
（2）求证：BE＝CF；
（3）求AE的长．
24．（8分）郑校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余的学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠．”若全票价为2400元，两家旅行社的服务质量相同，根据“三好学生”的人数你认为选择哪一家旅行社才比较合算？
25．（9分）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
26．（10分）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法l：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．
参考答案与试题解析
一、选择：（每题2分，共18分）
1．（2分）在下列各式中，是分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：，这2个式子分母中含有字母，因此是分式．
此外，π是常数，故是整式；（x+3）÷（x﹣1）是整式的除法；而a+b分母不含字母是整式．
故选：A．
2．（2分）下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．（x﹣4）（x+4）＝x2﹣16
B．x2﹣y2+2＝（x+y）（x﹣y）+2
C．2ab+2ac＝2a（b+c）
D．（x﹣1）（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）
【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、不是化为几个整式的积的形式，错误；
C、是提公因式法，正确；
D、（x﹣1）（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）并没有改变，是恒等变形，错误；
故选：C．
3．（2分）如果x＞y，那么下列各式中正确的是（ ）
A．x﹣2＜y﹣2B．＜C．﹣2x＜﹣2yD．﹣x＞﹣y
【解答】解：A、若x＞y，则x﹣2＞y﹣2，故A选项错误；
B、若x＞y，则x＞y，故B选项错误；
C、若x＞y，则﹣2x＜﹣2y，故C选正确；
D、若x＞y，则﹣x＜﹣y，故D选项错误．
故选：C．
4．（2分）如果把分式中的a、b都扩大3倍，那么分式的值一定（ ）
A．是原来的3倍B．是原来的5倍
C．是原来的D．不变
【解答】解：根据题意得
＝＝，
∴分式的值不变．
故选：D．
5．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是（ ）
A．15cmB．13cmC．11cmD．9cm
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝DC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBE．
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE＝DC＝5cm，
∴△CDE的周长为DE+DC+EC＝5+5+3＝13（cm），
故选：B．
6．（2分）下列命题中正确的是（ ）
A．有两条边相等的两个等腰三角形全等
B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．两角对应相等的两个等腰三角形全等
D．一边对应相等的两个等边三角形全等
【解答】解：A、假如这两边是两腰，则不能推出第三个条件相等，如图AB＝AC，DE＝DF，AB＝DE，AC＝DF，但两三角形不全等，故本选项错误；
B、如图，两腰AB＝DE＝AC＝DF，但两三角形不全等，故本选项错误；
D、由三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，但是根据AAA不能推出两三角形全等，故本选项错误；
D、∵△ABC和△DEF中，AB＝BC＝AC，DE＝DF＝EF，AB＝DE，
∴AC＝DF，BC＝EF，
∴根据SSS可以推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
故选：D．
7．（2分）某厂接到加工720件衣服的订单，每天做48件正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：，
根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，
可以列出方程：．
故选：A．
8．（2分）如图所示，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＞ax的解集是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x＞2D．x＜2
【解答】解：由图象可知：P的坐标是（2，1），
当x＜2时，一次函数y＝kx+b的图象在y＝ax的上方，
即kx+b＞ax，
故选：D．
9．（2分）若关于y的不等式组有解，且关于x的分式方程3﹣＝有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【解答】解：不等式组，
由①得y≤2，
由②得y≥（m﹣1），
∵不等式组有解，
∴（m﹣1）≤2，
解得m≤7，
3﹣＝，
3x﹣3+1＝m，
3x＝2+m，
∴x＝，
∵方程有非负整数解，
∴m＝﹣2或m＝1或m＝4或m＝7，
∵x≠1，
∴m≠1，
∴满足条件的所有整数m的和为9，
故选：A．
二.填空（每题2分，共18分）
10．（2分）分解因式：a3b+2a2b2+ab3＝ ab（a+b）2 ．
【解答】解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2．
故答案为：ab（a+b）2．
11．（2分）不等式组的解集是﹣1≤x≤0．则m﹣n的值 6 ．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥5﹣3m，
解不等式②得：x≤，
∴原不等式组的解集为：5﹣3m≤x≤，
∵不等式组的解集是﹣1≤x≤0，
∴5﹣3m＝﹣1，＝0，
解得：m＝2，n＝﹣4，
∴m﹣n＝2﹣（﹣4）＝2+4＝6，
故答案为：6．
12．（2分）当x为 ﹣3 时，分式的值为0．
【解答】解：根据题意得，x2﹣9＝0且x2﹣4x+3≠0，
解得x＝±3且x≠1且x≠3，
所以，x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AB＝ 6 cm．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，又CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1.5cm，
可得BC＝2BD＝3cm，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝3cm，
则AB＝2BC＝6cm．
故答案为：6．
14．（2分）若，A+B＝ 2 ．
【解答】解：∵﹣
＝
＝
＝，
由题意可知：A﹣B＝2，2A+B＝﹣5，
∴A＝﹣1，B＝﹣3，
∴A﹣B＝﹣1﹣（﹣3）
＝2．
故答案为：2．
15．（2分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，已知∠B＝50°，则∠CAF的度数为 50° ．
【解答】解：∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠FAC＝∠B＝50°．
故答案为：50°．
16．（2分）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是 2或1 ．
【解答】解：x﹣2＝0，解得：x＝2．
方程去分母，得：ax＝4+x﹣2，即（a﹣1）x＝2
当a﹣1≠0时，把x＝2代入方程得：2a＝4+2﹣2，
解得：a＝2．
当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程无解．
故答案为：2或1．
17．（2分）已知关于x的不等式组有且仅有三个整数解，则a的取值范围是 ≤a＜1 ．
【解答】解：解不等式2x≥3（x﹣2）+5，得：x≤1，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴此不等式组的整数解为1、0、﹣1，
又x＞2a﹣3，
∴﹣2≤2a﹣3＜﹣1，
解得：≤a＜1，
故答案为：≤a＜1．
18．（2分）如图，△ABC边长为后的正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，则△AMN的周长为 2 ．
【解答】解：如图，延长AB到点E，使BE＝CN，连结DE，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴AB＝AC＝，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝60°+30°＝90°，
∴∠DBE＝180°﹣∠ABD＝90°＝∠DCN，
在△DBE和△DCN中，
，
∴△DBE≌△DCN（SAS），
∴DE＝DN，∠BDE＝∠CDN，
∵∠MDN＝60°，
∴∠MDE＝∠BDE+∠BDM＝∠CDN+∠BDM＝120°﹣60°＝60°，
∴∠MDE＝∠MDN，
在△MDE和△MDN中，
，
∴△MDE≌△MDN（SAS），
∴ME＝MN，
∴AM+AN+MN＝AM+AN+ME＝AM+AN+BM+BE＝AM+BM+AN+CN＝AB+AC＝2，
∴△AMN的周长是2．
故答案为：2．
三、解答题
19．（8分）因式分解
（1）（m2+4）2﹣16m2
（2）（x2+6x）2+18（x2+6x）+81
【解答】解：（1）原式＝（m2+4+4m）（m2+4﹣4m）
＝（m+2）2（m﹣2）2；
（2）设m＝x2+6x，则
原式＝m2+18m+81
＝（m+9）2
＝（x2+6x+9）2
＝（x+3）4．
20．（8分）（1）解下列不等式组
（2）解分式方程：+1
【解答】解：（1）
解不等式①，得x≥7，
解不等式②，得x＜，
所以不等式组无解；
（2）+1，
＝+1，
方程两边都乘3（x+1），得3x＝x+3（x+1），
3x＝x+3x+3，
3x﹣x﹣3x＝3，
﹣x＝3，
x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，3（x+1）≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣3．
21．（6分）先化简．再求值：（﹣1）÷，其中0＜x＜．且x是整数．
【解答】解：原式＝[﹣1]÷
＝（﹣）÷
＝•x（x﹣2）
＝4x，
∵0＜x＜．且x是整数，
∴x＝1或x＝2，
又x≠±2且x≠0，
∴x＝1，
则原式＝4×1＝4．
22．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC绕点O旋转180°后的图形△A1B1C1；
（2）P（a，b）是AC边上一点，将△ABC平移后点P的对应点P′的坐标为（a+4，b+2），请画出平移后的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 （2，1） ．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
（3）对称中心的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．
23．（9分）已知，如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝4cm，△BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D的直线DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（或AC延长线）
（1）求证：AE＝AF；
（2）求证：BE＝CF；
（3）求AE的长．
【解答】（1）证明：∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF；
（2）证明：连接BD，CD．
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB＝DC；
在Rt△DCF与Rt△DBE中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），
∴CF＝BE；
（3）解：∵AB＝8cm，AC＝4cm，CF＝BE，AE＝AF＝AC+CF，
∴AB＝AE+BE＝AC+BE+CF＝AC+2BE，
∴BE＝2cm，
∴AE＝AB﹣BE＝6cm．
24．（8分）郑校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余的学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠．”若全票价为2400元，两家旅行社的服务质量相同，根据“三好学生”的人数你认为选择哪一家旅行社才比较合算？
【解答】解：设三好学生为x人，选择甲旅行社费用为y1元，乙旅行社费用为y2 元，由题意，得
y1＝2400×0.5x+2400，
y1＝1200x+2400．
y2＝0.6×2400（x+1），
y2＝1440x+1440．
当y1＞y2时，
1200x+2400＞1440x+1440，
解得：x＜4；
当y1＝y2时，
1200x+2400＝1440x+1440，
解得：x＝4；
当y1＜y2时，
1200x+2400＜1440x+1440，
解得：x＞4．
综上所述，
当三好学生人数少于4人时，选择乙旅行社合算；等于4人时，甲、乙两家一样合算；多于4人时，选择甲旅行社合算．
25．（9分）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
【解答】解：（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，
根据题意得：＝3，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，
则1.5x＝1.5×4＝6，
答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作 天，
根据题意得：1000y+×500≤18000，
解这个不等式，得：y≤12，
答：最多安排甲公司工作12天．
26．（10分）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法l：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．
【解答】解：（1）方法1：在BC上截取BM＝BA，连接DM，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△MBD中，
，
∴△ABD≌△MBD（SAS），
∴∠A＝∠BMD，AD＝MD，
∵∠BMD+∠CMD＝180°，∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝∠CMD，
∴DM＝DC，
∴DA＝DC；
方法2：延长AB到N，使BN＝BC，连接DN，
∵BD平分∠ABC，
∴∠NBD＝∠CBD，
在△NBD和△CBD中，
，
∴△NBD≌△CBD（SAS），
∴∠BND＝∠C，ND＝CD，
∵∠NAD+∠BAD＝180°，∠C+∠BAD＝180°，
∴∠BND＝∠NAD，
∴DN＝DA，
∴DA＝DC；
（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC＝BD．
理由：延长CB到P，使BP＝BA，连接AP，
由（1）知AD＝CD，
∵∠DAC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC＝AD，∠ADC＝60°，
∵∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝360°﹣180°﹣60°＝120°，
∴∠PBA＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵BP＝BA，
∴△ABP为等边三角形，
∴∠PAB＝60°，AB＝AP，
∵∠DAC＝60°，
∴∠PAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，
即∠PAC＝∠BAD，
在△PAC和△BAD中，
，
∴△PAC≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，
∵PC＝BP+BC＝AB+BC，
∴AB+BC＝BD；
（3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC﹣AB＝2CE．
连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠FAD＝180°，
∴∠FAD＝∠C，
在△DFA和△DEC中，
，
∴△DFA≌△DEC（AAS），
∴DF＝DE，AF＝CE，
在Rt△BDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△BDF≌和Rt△BDE（HL），
∴BF＝BE，
∴BC＝BE+CE＝BA+AF+CE＝BA+2CE，
∴BC﹣BA＝2CE．
1．（2分）在下列各式中，是分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2分）下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．（x﹣4）（x+4）＝x2﹣16
B．x2﹣y2+2＝（x+y）（x﹣y）+2
C．2ab+2ac＝2a（b+c）
D．（x﹣1）（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）
3．（2分）如果x＞y，那么下列各式中正确的是（ ）
A．x﹣2＜y﹣2B．＜C．﹣2x＜﹣2yD．﹣x＞﹣y
4．（2分）如果把分式中的a、b都扩大3倍，那么分式的值一定（ ）
A．是原来的3倍B．是原来的5倍
C．是原来的D．不变
5．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是（ ）
A．15cmB．13cmC．11cmD．9cm
6．（2分）下列命题中正确的是（ ）
A．有两条边相等的两个等腰三角形全等
B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．两角对应相等的两个等腰三角形全等
D．一边对应相等的两个等边三角形全等
7．（2分）某厂接到加工720件衣服的订单，每天做48件正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2分）如图所示，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＞ax的解集是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x＞2D．x＜2
9．（2分）若关于y的不等式组有解，且关于x的分式方程3﹣＝有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
A．9B．10C．11D．12
二.填空（每题2分，共18分）
10．（2分）分解因式：a3b+2a2b2+ab3＝ ．
11．（2分）不等式组的解集是﹣1≤x≤0．则m﹣n的值 ．
12．（2分）当x为 时，分式的值为0．
13．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AB＝ cm．
14．（2分）若，A+B＝ ．
15．（2分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，已知∠B＝50°，则∠CAF的度数为 ．
16．（2分）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是 ．
17．（2分）已知关于x的不等式组有且仅有三个整数解，则a的取值范围是 ．
18．（2分）如图，△ABC边长为后的正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，则△AMN的周长为 ．
三、解答题
19．（8分）因式分解
（1）（m2+4）2﹣16m2
（2）（x2+6x）2+18（x2+6x）+81
20．（8分）（1）解下列不等式组
（2）解分式方程：+1
21．（6分）先化简．再求值：（﹣1）÷，其中0＜x＜．且x是整数．
22．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC绕点O旋转180°后的图形△A1B1C1；
（2）P（a，b）是AC边上一点，将△ABC平移后点P的对应点P′的坐标为（a+4，b+2），请画出平移后的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．
23．（9分）已知，如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝4cm，△BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D的直线DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（或AC延长线）
（1）求证：AE＝AF；
（2）求证：BE＝CF；
（3）求AE的长．
24．（8分）郑校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余的学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠．”若全票价为2400元，两家旅行社的服务质量相同，根据“三好学生”的人数你认为选择哪一家旅行社才比较合算？
25．（9分）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
26．（10分）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法l：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．
参考答案与试题解析
一、选择：（每题2分，共18分）
1．（2分）在下列各式中，是分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：，这2个式子分母中含有字母，因此是分式．
此外，π是常数，故是整式；（x+3）÷（x﹣1）是整式的除法；而a+b分母不含字母是整式．
故选：A．
2．（2分）下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）
A．（x﹣4）（x+4）＝x2﹣16
B．x2﹣y2+2＝（x+y）（x﹣y）+2
C．2ab+2ac＝2a（b+c）
D．（x﹣1）（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）
【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、不是化为几个整式的积的形式，错误；
C、是提公因式法，正确；
D、（x﹣1）（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）并没有改变，是恒等变形，错误；
故选：C．
3．（2分）如果x＞y，那么下列各式中正确的是（ ）
A．x﹣2＜y﹣2B．＜C．﹣2x＜﹣2yD．﹣x＞﹣y
【解答】解：A、若x＞y，则x﹣2＞y﹣2，故A选项错误；
B、若x＞y，则x＞y，故B选项错误；
C、若x＞y，则﹣2x＜﹣2y，故C选正确；
D、若x＞y，则﹣x＜﹣y，故D选项错误．
故选：C．
4．（2分）如果把分式中的a、b都扩大3倍，那么分式的值一定（ ）
A．是原来的3倍B．是原来的5倍
C．是原来的D．不变
【解答】解：根据题意得
＝＝，
∴分式的值不变．
故选：D．
5．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是（ ）
A．15cmB．13cmC．11cmD．9cm
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝DC，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBE．
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE＝DC＝5cm，
∴△CDE的周长为DE+DC+EC＝5+5+3＝13（cm），
故选：B．
6．（2分）下列命题中正确的是（ ）
A．有两条边相等的两个等腰三角形全等
B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．两角对应相等的两个等腰三角形全等
D．一边对应相等的两个等边三角形全等
【解答】解：A、假如这两边是两腰，则不能推出第三个条件相等，如图AB＝AC，DE＝DF，AB＝DE，AC＝DF，但两三角形不全等，故本选项错误；
B、如图，两腰AB＝DE＝AC＝DF，但两三角形不全等，故本选项错误；
D、由三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，但是根据AAA不能推出两三角形全等，故本选项错误；
D、∵△ABC和△DEF中，AB＝BC＝AC，DE＝DF＝EF，AB＝DE，
∴AC＝DF，BC＝EF，
∴根据SSS可以推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
故选：D．
7．（2分）某厂接到加工720件衣服的订单，每天做48件正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：，
根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，
可以列出方程：．
故选：A．
8．（2分）如图所示，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＞ax的解集是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x＞2D．x＜2
【解答】解：由图象可知：P的坐标是（2，1），
当x＜2时，一次函数y＝kx+b的图象在y＝ax的上方，
即kx+b＞ax，
故选：D．
9．（2分）若关于y的不等式组有解，且关于x的分式方程3﹣＝有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【解答】解：不等式组，
由①得y≤2，
由②得y≥（m﹣1），
∵不等式组有解，
∴（m﹣1）≤2，
解得m≤7，
3﹣＝，
3x﹣3+1＝m，
3x＝2+m，
∴x＝，
∵方程有非负整数解，
∴m＝﹣2或m＝1或m＝4或m＝7，
∵x≠1，
∴m≠1，
∴满足条件的所有整数m的和为9，
故选：A．
二.填空（每题2分，共18分）
10．（2分）分解因式：a3b+2a2b2+ab3＝ ab（a+b）2 ．
【解答】解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2．
故答案为：ab（a+b）2．
11．（2分）不等式组的解集是﹣1≤x≤0．则m﹣n的值 6 ．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥5﹣3m，
解不等式②得：x≤，
∴原不等式组的解集为：5﹣3m≤x≤，
∵不等式组的解集是﹣1≤x≤0，
∴5﹣3m＝﹣1，＝0，
解得：m＝2，n＝﹣4，
∴m﹣n＝2﹣（﹣4）＝2+4＝6，
故答案为：6．
12．（2分）当x为 ﹣3 时，分式的值为0．
【解答】解：根据题意得，x2﹣9＝0且x2﹣4x+3≠0，
解得x＝±3且x≠1且x≠3，
所以，x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AB＝ 6 cm．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，又CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1.5cm，
可得BC＝2BD＝3cm，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝3cm，
则AB＝2BC＝6cm．
故答案为：6．
14．（2分）若，A+B＝ 2 ．
【解答】解：∵﹣
＝
＝
＝，
由题意可知：A﹣B＝2，2A+B＝﹣5，
∴A＝﹣1，B＝﹣3，
∴A﹣B＝﹣1﹣（﹣3）
＝2．
故答案为：2．
15．（2分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，已知∠B＝50°，则∠CAF的度数为 50° ．
【解答】解：∵AD的垂直平分线交BC的延长线于点E，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠FAC＝∠B＝50°．
故答案为：50°．
16．（2分）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是 2或1 ．
【解答】解：x﹣2＝0，解得：x＝2．
方程去分母，得：ax＝4+x﹣2，即（a﹣1）x＝2
当a﹣1≠0时，把x＝2代入方程得：2a＝4+2﹣2，
解得：a＝2．
当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程无解．
故答案为：2或1．
17．（2分）已知关于x的不等式组有且仅有三个整数解，则a的取值范围是 ≤a＜1 ．
【解答】解：解不等式2x≥3（x﹣2）+5，得：x≤1，
∵不等式组有且仅有三个整数解，
∴此不等式组的整数解为1、0、﹣1，
又x＞2a﹣3，
∴﹣2≤2a﹣3＜﹣1，
解得：≤a＜1，
故答案为：≤a＜1．
18．（2分）如图，△ABC边长为后的正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，则△AMN的周长为 2 ．
【解答】解：如图，延长AB到点E，使BE＝CN，连结DE，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴AB＝AC＝，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝60°+30°＝90°，
∴∠DBE＝180°﹣∠ABD＝90°＝∠DCN，
在△DBE和△DCN中，
，
∴△DBE≌△DCN（SAS），
∴DE＝DN，∠BDE＝∠CDN，
∵∠MDN＝60°，
∴∠MDE＝∠BDE+∠BDM＝∠CDN+∠BDM＝120°﹣60°＝60°，
∴∠MDE＝∠MDN，
在△MDE和△MDN中，
，
∴△MDE≌△MDN（SAS），
∴ME＝MN，
∴AM+AN+MN＝AM+AN+ME＝AM+AN+BM+BE＝AM+BM+AN+CN＝AB+AC＝2，
∴△AMN的周长是2．
故答案为：2．
三、解答题
19．（8分）因式分解
（1）（m2+4）2﹣16m2
（2）（x2+6x）2+18（x2+6x）+81
【解答】解：（1）原式＝（m2+4+4m）（m2+4﹣4m）
＝（m+2）2（m﹣2）2；
（2）设m＝x2+6x，则
原式＝m2+18m+81
＝（m+9）2
＝（x2+6x+9）2
＝（x+3）4．
20．（8分）（1）解下列不等式组
（2）解分式方程：+1
【解答】解：（1）
解不等式①，得x≥7，
解不等式②，得x＜，
所以不等式组无解；
（2）+1，
＝+1，
方程两边都乘3（x+1），得3x＝x+3（x+1），
3x＝x+3x+3，
3x﹣x﹣3x＝3，
﹣x＝3，
x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，3（x+1）≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣3．
21．（6分）先化简．再求值：（﹣1）÷，其中0＜x＜．且x是整数．
【解答】解：原式＝[﹣1]÷
＝（﹣）÷
＝•x（x﹣2）
＝4x，
∵0＜x＜．且x是整数，
∴x＝1或x＝2，
又x≠±2且x≠0，
∴x＝1，
则原式＝4×1＝4．
22．（6分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，0），B（﹣5，3），C（﹣1，1）．
（1）画出△ABC绕点O旋转180°后的图形△A1B1C1；
（2）P（a，b）是AC边上一点，将△ABC平移后点P的对应点P′的坐标为（a+4，b+2），请画出平移后的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 （2，1） ．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
（3）对称中心的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．
23．（9分）已知，如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝4cm，△BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG交于点D，过点D的直线DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F（或AC延长线）
（1）求证：AE＝AF；
（2）求证：BE＝CF；
（3）求AE的长．
【解答】（1）证明：∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF；
（2）证明：连接BD，CD．
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB＝DC；
在Rt△DCF与Rt△DBE中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），
∴CF＝BE；
（3）解：∵AB＝8cm，AC＝4cm，CF＝BE，AE＝AF＝AC+CF，
∴AB＝AE+BE＝AC+BE+CF＝AC+2BE，
∴BE＝2cm，
∴AE＝AB﹣BE＝6cm．
24．（8分）郑校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余的学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠．”若全票价为2400元，两家旅行社的服务质量相同，根据“三好学生”的人数你认为选择哪一家旅行社才比较合算？
【解答】解：设三好学生为x人，选择甲旅行社费用为y1元，乙旅行社费用为y2 元，由题意，得
y1＝2400×0.5x+2400，
y1＝1200x+2400．
y2＝0.6×2400（x+1），
y2＝1440x+1440．
当y1＞y2时，
1200x+2400＞1440x+1440，
解得：x＜4；
当y1＝y2时，
1200x+2400＝1440x+1440，
解得：x＝4；
当y1＜y2时，
1200x+2400＜1440x+1440，
解得：x＞4．
综上所述，
当三好学生人数少于4人时，选择乙旅行社合算；等于4人时，甲、乙两家一样合算；多于4人时，选择甲旅行社合算．
25．（9分）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
【解答】解：（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，
根据题意得：＝3，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，
则1.5x＝1.5×4＝6，
答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作 天，
根据题意得：1000y+×500≤18000，
解这个不等式，得：y≤12，
答：最多安排甲公司工作12天．
26．（10分）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°．求证：DA＝DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法l：在BC上截取BM＝BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．
【解答】解：（1）方法1：在BC上截取BM＝BA，连接DM，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△MBD中，
，
∴△ABD≌△MBD（SAS），
∴∠A＝∠BMD，AD＝MD，
∵∠BMD+∠CMD＝180°，∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝∠CMD，
∴DM＝DC，
∴DA＝DC；
方法2：延长AB到N，使BN＝BC，连接DN，
∵BD平分∠ABC，
∴∠NBD＝∠CBD，
在△NBD和△CBD中，
，
∴△NBD≌△CBD（SAS），
∴∠BND＝∠C，ND＝CD，
∵∠NAD+∠BAD＝180°，∠C+∠BAD＝180°，
∴∠BND＝∠NAD，
∴DN＝DA，
∴DA＝DC；
（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC＝BD．
理由：延长CB到P，使BP＝BA，连接AP，
由（1）知AD＝CD，
∵∠DAC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC＝AD，∠ADC＝60°，
∵∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝360°﹣180°﹣60°＝120°，
∴∠PBA＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵BP＝BA，
∴△ABP为等边三角形，
∴∠PAB＝60°，AB＝AP，
∵∠DAC＝60°，
∴∠PAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，
即∠PAC＝∠BAD，
在△PAC和△BAD中，
，
∴△PAC≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，
∵PC＝BP+BC＝AB+BC，
∴AB+BC＝BD；
（3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC﹣AB＝2CE．
连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠FAD＝180°，
∴∠FAD＝∠C，
在△DFA和△DEC中，
，
∴△DFA≌△DEC（AAS），
∴DF＝DE，AF＝CE，
在Rt△BDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△BDF≌和Rt△BDE（HL），
∴BF＝BE，
∴BC＝BE+CE＝BA+AF+CE＝BA+2CE，
∴BC﹣BA＝2CE．
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