2022-2023学年广东省梅州市职业技术学校高二（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省梅州市职业技术学校高二（下）期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B＝（ ）
A．{1，2，3，4，5}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{1，3，4}
2．（5分）已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{1，﹣1，3}，那么A∩B＝（ ）
A．{﹣1}B．{1}C．{﹣1，1}D．{1，﹣1，3}
3．（5分）“a＝1”是“关于x的方程x2﹣3x+a＝0有实数根”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）若z是真命题，q是假命题，则（ ）
A．z∧q是真命题B．z∨q是假命题
C．￢z是真命题D．￢q是真命题
5．（5分）已知tanα＝3，那么tan（π+α）等于（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
6．（5分）在等差数列{an}中，若a2＝4，a6＝8，则a8＝（ ）
A．6B．10C．32D．16
7．（5分）实数m不超过，是指（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）对于简单随机抽样，个体被抽到的机会（ ）
A．相等B．不相等
C．不确定D．与抽取的次数有关
9．（5分）某校职一共有10个班，编号分别为01，02，⋯，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设职一（1）班被抽到的概率为a，职一（3）班被抽到的概率为b，则（ ）
A．a＝，B．，
C．，D．，
10．（5分）为了了解全校300名职一学生的身高情况，从中抽取80名学生进行测量．下列说法正确的是（ ）
A．总体是300名B．个体是每一个学生
C．样本是80名学生D．样本量是80
11．（5分）为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中500个零件的长度，在这个问题中，500个零件的长度是（ ）
A．总体B．个体
C．总体的一个样本D．样本容量
12．（5分）下列是古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
13．（5分）同时抛掷两枚均匀扑克牌，落地时反面都向上的概率是（ ）
A．B．C．D．
14．（5分）不等式x2﹣3x+2＜0的解集是（ ）
A．{x|x＜﹣2或x＞﹣1}B．{x|x＜1或x＞2}
C．{x|﹣2＜x＜﹣1}D．{x|1＜x＜2}
15．（5分）已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若q＝2，S2＝6，则S3＝（ ）
A．8B．10C．12D．14
二、填空题（共5题，共25分）
16．（5分）已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{0，1，3，5，7}，则A∩B＝ ．
17．（5分）计算：lg2+lg5＝ 。
18．（5分）如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，则＝ ．
19．（5分）一个总体中共有600个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 ．
20．（5分）某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品数量之比为2：3：5：1．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n为 ．
三、解答题（共5题，共50分）
21．（10分）如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直AN于点D，CB垂直AM于点B，|CD|＝|AB|＝3m，|AD|＝|BC|＝2m，设|DN|＝xm，|BM|＝ym．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．
22．（10分）如图，四边形ABCD中，，AD⊥CD，设∠ACD＝θ，若△ABC面积是△ACD面积的6倍，求sin2θ．
23．（10分）已知复数z满足，z2的虚部为2．
（1）求复数z；
（2）当复数z的虚部大于零，设复数z，z2，z﹣z2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的值．
24．（10分）双曲线的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|．
（1）求C的离心率；
（2）若B在第一象限，证明：2∠BAF＝∠BFA．
25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，E为PD的中点．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）在线段AB上是否存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年广东省梅州市职业技术学校（梅州旅游职业技术学校、梅州商业学校、梅州财贸学校）高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的答案.
1．【答案】A
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∪B＝{1，2，3，4，5}，
故选：A．
2．【答案】C
【解答】解：集合A＝{﹣1，1}，B＝{1，﹣1，3}，
那么A∩B＝{﹣1，1}．
故选：C．
3．【答案】A
【解答】解：若程x2﹣3x+a＝0有实数根，
则判别式Δ＝9﹣4a≥0，即a≤，
即“a＝1”是“关于x的方程x2﹣3x+a＝0有实数根”的充分不必要条件，
故选：A．
4．【答案】D
【解答】解：∵z是真命题，q是假命题，
∴z∧q是假命题，z∨q是真命题，￢z是假命题，￢q是真命题，
∴只有D正确．
故选：D．
5．【答案】D
【解答】解：∵tanα＝3，∴tan（π+α）＝tanα＝3，
故选：D．
6．【答案】B
【解答】解：因为数列{an}是等差数列，
所以a6﹣a2＝4d，
又a2＝4，a6＝8，
所以8﹣4＝4d，
解得d＝1，
所以a8＝a2+6d＝4+6×1＝10．
故选：B．
7．【答案】D
【解答】解：实数m不超过，是指．
故选：D．
8．【答案】A
【解答】解：对于简单随机抽样，个体被抽到的机会相等．
故选：A．
9．【答案】C
【解答】解：∵用抽签法从中抽取3个班进行调查，
∴职一（1）班被抽到的概率为，职一（3）班被抽到的概率为．
故选：C．
10．【答案】D
【解答】解：∵为了了解全校300名职一学生的身高情况，从中抽取80名学生进行测量，
∴总体是300名学生的身高情况，个体是每名学生的身高情况，样本是80名学生的身高情况，样本容量是80，
∴只有D正确．
故选：D．
11．【答案】C
【解答】解：∵为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中500个零件的长度，
∴500个零件的长度是样本．
故选：C．
12．【答案】C
【解答】解：点数之和出现的可能性不相等，A不是古典概型，
取出的正整数出现的可能性不相等，B不是古典概型，
在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，四人被选中的概率均相等，C是古典概型，
抛掷的次数出现的可能性不相等，D不是古典概型，
故选：C．
13．【答案】D
【解答】解：同时抛掷两枚均匀扑克牌，落地时反面都向上的概率是＝，
故选：D．
14．【答案】D
【解答】解：∵不等式x2﹣3x+2＜0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＜0，
∴1＜x＜2，
∴不等式的解集为{x|1＜x＜2}．
故选：D．
15．【答案】D
【解答】解：依题意，，
则，
则a3＝4×2＝8，
则S3＝2+4+8＝14．
故选：D．
二、填空题（共5题，共25分）
16．【答案】{0，1}．
【解答】解：∵集合A＝{x|x≤2}，B＝{0，1，3，5，7}，
∴A∩B＝{0，1}．
故答案为：{0，1}．
17．【答案】1.
【解答】解：lg2+lg5＝lg10＝1，
故答案为：1.
18．【答案】．
【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，
∴＝＝，
故答案为：．
19．【答案】．
【解答】解：一个总体中共有600个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是＝．
故答案为：．
20．【答案】88．
【解答】解：∵某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品数量之比为2：3：5：1，
又现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，
∴＝，
∴n＝88．
故答案为：88．
三、解答题（共5题，共50分）
21．【答案】矩形草坪AMPN面积的最小值为24m2．
【解答】解：∵|CD|＝|AB|＝3m，|AD|＝|BC|＝2m，|DN|＝xm，|BM|＝ym，
∴，
∴3+y＝，
∴矩形草坪AMPN面积S＝（3+y）（x+2）＝＝3（x++4）≥3（2×+4）＝24，当且仅当x＝2，y＝3时取等号，
∴矩形草坪AMPN面积的最小值为24m2．
22．【答案】．
【解答】解：设AC＝a，则，AD＝asinθ，CD＝acsθ，
∵△ABC面积是△ACD面积的6倍，
∴，
∴2sinθcsθ＝，
∴．
23．【答案】（1）z＝1+i或z＝﹣1﹣i．（2）．
【解答】解：（1）设z＝a+bi，
∵|z|＝＝，z2＝a2﹣b2+2abi，
∴a2+b2＝2，2ab＝2，
∴a＝1，b＝1或a＝﹣1，b＝﹣1，
∴z＝1+i或z＝﹣1﹣i；
（2）∵复数z的虚部大于零，
∴z＝1+i，
∴z2＝2i，z﹣z2＝1﹣i，
∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），
∴＝（1，3）•（1，﹣1）＝1﹣3＝﹣2．
24．【答案】（1）2；（2）证明过程见解答．
【解答】解：（1）当BF⊥AF时，，
因为|AF|＝|BF|，
所以，则a2+ac＝c2﹣a2，
即c2﹣ac﹣2a2＝0，即e2﹣e﹣2＝0，
故（e﹣2）（e+1）＝0，
可得e＝2（e＝﹣1舍去）．
（2）证明：由，得c＝2a，
故双曲线C的方程为，
设B（x0，y0），
当x0≠c时，，tan∠BFA＝，
则＝，
因为B在双曲线C上，
所以，
则＝＝，
故∠BFA＝2∠BAF．
当x0＝c时，BF⊥AF，则|AF|＝|BF|，
则∠BFA＝90°，∠BAF＝45°，
故∠BFA＝2∠BAF．
综上，∠BFA＝2∠BAF．
25．【答案】（1）证明详情见解答．
（2）在线段AB上存在一点F（不与 A，B 两点重合），使得AE∥平面PCF，且．
【解答】解：（1）证明：因为 PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD，
取AD的中点G，连接GC，
因为底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝1，
所以四边形 ABCG 为正方形，
所以CG⊥AD，且，
所以∠ACD＝90°，即AC⊥CD，
又AC∩PA＝A，AC⊂面PAC，PA⊂面PAC，
所以CD⊥面PAC．
（2）因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，
所以AB⊥AD，
如图建立空间直角坐标系，
因为PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，E为PD的中点．
所以A（0，0，0），P（0，0，2），B（1，0，0），D（0，2，0），E（0，1，1），
假设在线段AB上存在点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF，
设F（a，0，0），则，，
设平面PCF的法向量为，
由， 得，
令x＝1，则y＝a﹣1，，
所以 是平面PCF的一个法向量，
因为AE∥平面PCF，
所以，即，
解得，
所以在线段AB上存在一点F（不与 A，B 两点重合），使得AE∥平面PCF，且．