2023-2024学年广东省深圳市行知职业技术学校高二（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省深圳市行知职业技术学校高二（上）期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（5分）双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）圆O1：x2+y2＝2和圆O2：x2+y2+4y+3＝0的位置关系是（ ）
A．相离B．外切C．内切D．相交
4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P（﹣2，4）、Q（2，6）两点，若圆M以PQ为直径，则圆M的标准方程为（ ）
A．x2+（y+5）2＝5B．x2+（y﹣5）2＝5
C．x2+（y+5）2＝25D．x2+（y﹣5）2＝25
5．（5分）“m＝”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y＝0互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知点F1，F2分别是椭圆＝1的左、右焦点，点Р在此椭圆上，则△PF1F2的周长等于（ ）
A．20B．16C．18D．14
7．（5分）设F1和F2为椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）若抛物线y2＝4x上的点P到直线x＝﹣1的距离等于4，则点P到焦点F的距离|FP|＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分。
（多选）9．（5分）过点A（4，1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A．x+y＝5B．x﹣y＝3C．x﹣4y＝0D．x+4y＝0
（多选）10．（5分）已知abc≠0，直线l：ax+by+c＝0经过第一、二、四象限，则（ ）
A．ab＞0B．bc＜0C．ac＜0D．a＜0
（多选）11．（5分）设a，b为实数，已知圆P：x2+y2＝16，点Q（a，b）在圆P外，以线段PQ为直径作圆M，与圆P相交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．直线QA与圆P相切
B．当|QB|＝3时，点Q在圆x2+y2＝25上
C．直线ax+by＝16与圆P相离
D．当a＝2，b＝4时，直线AB方程为x+2y﹣8＝0
（多选）12．（5分）已知M是椭圆上一点，F1，F2是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2
B．椭圆的离心率
C．椭圆的短轴长为4
D．△MF1F2的面积的最大值是4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知直线3x+2y﹣3＝0和6x+my+1＝0互相平行，则它们之间的距离是 ．
14．（5分）直线l：y＝x与圆x2+y2﹣2x﹣6y＝0相交A、B两点，则|AB|＝ ．
15．（5分）已知椭圆的焦点在x轴上，离心率，则b＝ ．
16．（5分）方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的范围是 ．
四、解答题：本题共6小题。
17．（10分）已知直线l：4x+5y﹣7＝0，求：
（1）求直线l的斜率；
（2）若直线m与l平行，且过点（0，2），求直线m的方程．
18．（12分）分别写出下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程．
（1）9x2﹣16y2＝144；
（2）．
19．（12分）已知直线l1：（m+2）x+my﹣6＝0和直线l2：mx+y﹣3＝0，其中m为实数．
（1）若l1⊥l2，求m的值；
（2）若点P（1，2m）在直线l2上，直线l过P点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程．
20．（12分）已知圆x2+y2﹣4x+2y＝0，x2+y2﹣2y﹣4＝0．
（1）求过两圆交点的直线方程及弦长；
（2）求过两圆交点，且圆心在直线2x+4y﹣1＝0上的圆的方程．
21．（12分）倾斜角为60°的直线1过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点．
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求△OAB的面积（O为坐标原点）．
22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），点（2，）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F的两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，若AB，PQ的中点分别为M，N，证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标．
2023-2024学年广东省深圳市行知职业技术学校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小愿给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．【答案】B
【解答】解：直线的斜率k＝，
∵tan60°＝，
所以，直线的倾斜角是60°．
故选：B．
2．【答案】D
【解答】解：由题意，由双曲线方程与渐近线方程的关系，可得
将双曲线方程中的“1”换为“0”，双曲线的渐近线方程为y＝x，
故选：D．
3．【答案】D
【解答】解：圆O1的圆心坐标为（0，0），半径为，
圆O2的圆心坐标为（0，﹣2），半径为1，
由于两圆圆心间的距离为2，且，
则两圆相交．
故选：D．
4．【答案】B
【解答】解：线段PQ的中点坐标为（0，5），
则圆心M（0，5），
故半径，
则圆M的方程为x2+（y﹣5）2＝5．
故选：B．
5．【答案】A
【解答】解：若直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y＝0互相垂直，则（m+2）（m﹣2）+3m（m+2）＝0，解得m＝或m＝﹣2，
则“m＝”是“直线（m+2）x+3my+1＝0与直线（m﹣2）x+（m+2）y＝0互相垂直”的充分不必要条件．
故选：A．
6．【答案】C
【解答】解：∵点F1，F2分别是椭圆＝1的左、右焦点，点Р在此椭圆上，
∴△PF1F2的周长等于2+2＝18，
故选：C．
7．【答案】B
【解答】解：∵F1和F2为椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，
若F1，F2，P（0，2b）是等边三角形的三个顶点，
∴＝tan60°，
∴＝，
∴4b2＝3c2，
∴4（a2﹣c2）＝3c2，
∴7c2＝4a2，
∴＝，
∴e＝．
故选：B．
8．【答案】D
【解答】解：∵抛物线y2＝4x上的点P到准线x＝﹣1的距离等于4，
∴点P到焦点F的距离|FP|＝4．
故选：D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分。
9．【答案】AC
【解答】解：设直线方程为y﹣1＝k（x﹣4），
当y＝0时，x＝4﹣，当x＝0时，y＝1﹣4k，
∵过点A（4，1）且在两坐标轴上截距相等，
∴4﹣＝1﹣4k，
∴k＝或k＝﹣1，
∴直线方程为y＝x或x+y＝5，
故选：AC．
10．【答案】ABC
【解答】解：将直线l的方程转化为，因为l经过第一、二、四象限，
所以即ab＞0，bc＜0，ac＜0．
对D，若a＞0，则b＞0，c＜0，满足题意，故D错误．
故选：ABC．
11．【答案】ABD
【解答】解：∵PQ为圆的直径，A为圆上的点，
∴QA⊥AP，
∴直线QA与圆P相切，A正确，
∵|QB|＝3，|PB|＝4，
∴|QP|＝＝5，
∵P在原点，
∴点Q在圆x2+y2＝25上，B正确，
∵点Q（a，b）在圆P外，
∴a2+b2＞16，
∴圆P的圆心到直线ax+by＝16的距离d＝＝＜4，
∴直线ax+by＝16与圆P相交，C错误，
当a＝2，b＝4时，PQ中点为（1，2），|PQ|＝＝2，圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，
直线AB方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣5﹣（x2+y2﹣16）＝0，即x+2y﹣8＝0，D正确，
故选：ABD．
12．【答案】BCD
【解答】解：因椭圆方程为，
所以，
所以椭圆的焦距为2c＝4，离心率，短轴长为2b＝4，
故A错误，B，C正确；
对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，△MF1F2以F1F2为底时的高最大，为2，
此时△MF1F2的面积取最大为，故正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【答案】．
【解答】解：直线3x+2y﹣3＝0与6x+my+1＝0相互平行，
所以m＝4，
故直线3x+2y﹣3＝0与3x+2y+平行，
由平行线的距离公式可知d＝＝．
故答案为：．
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为直线l：y＝x与圆x2+y2﹣2x﹣6y＝0相交A、B两点，
并且圆心为（1，3），半径为，
所以弦心距为圆心到直线l的距离为，
所以AB＝，
所以AB＝4；
故答案为：．
15．【答案】9．
【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，
∴a＝5，则离心率e＝，
又∵b＞0，∴解得b＝9．
故答案为：9．
16．【答案】（2，9）．
【解答】解：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆，
∴，
∴实数k的范围是（2，9）．
故答案为：（2，9）．
四、解答题：本题共6小题。
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）直线l：4x+5y﹣7＝0，即的斜率为．
（2）若直线m与l平行，则m斜率为，又过点（0，2），
故直线m的方程为，即4x+5y﹣10＝0．
18．【答案】（1）双曲线的实半轴长为4，虚半轴长为3，焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），顶点坐标（4，0）和（﹣4，0），渐近线方程为；
（2）双曲线的实半轴长为2，虚半轴长为，焦点坐标为和，顶点坐标为（0，2）和（0，﹣2），渐近线方程为．
【解答】解：（1）将9x2﹣16y2＝144化为标准方程为，
则焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝9，c2＝25，
故双曲线的实半轴长为4，虚半轴长为3，焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），
顶点坐标（4，0）和（﹣4，0），渐近线方程为；
（2）双曲线的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝3，c2＝7，
则双曲线的实半轴长为2，虚半轴长为，焦点坐标为和，
顶点坐标为（0，2）和（0，﹣2），渐近线方程为．
19．【答案】（1）m＝﹣3或0；
（2）2x﹣y＝0或x+2y﹣5＝0．
【解答】解：（1）若m＝0，则直线l1：2x﹣6＝0，即x＝3，l2：y＝3，两直线垂直，符合题意；
若m≠0，则，解得m＝﹣3．
综上所述，m＝﹣3或0．
（2）由P（1，2m）在直线l2上，得m+2m﹣3＝0，解得m＝1，可得P（1，2），
显然直线l的斜率一定存在且不为0，不妨设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），
令x＝0，可得y＝2﹣k，再令y＝0，可得，
所以，解得k＝2或，
所以直线l的方程为y﹣2＝2（x﹣1）或，
即2x﹣y＝0或x+2y﹣5＝0．
20．【答案】（1）直线方程为x﹣y﹣1＝0，弦长为；
（2）．
【解答】解：（1）将方程x2+y2﹣4x+2y＝0与方程x2+y2﹣2y﹣4＝0相减，
可得x﹣y﹣1＝0，
则过两圆交点的直线方程为x﹣y﹣1＝0，
又圆x2+y2﹣2y﹣4＝0的圆心坐标为（0，1），半径为，
则由垂径定理可知，所求弦长为；
（2）联立，
解得或，
则两圆的交点坐标为，
设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
则，
解得，
则所求圆的方程为．
21．【答案】（1）x＝﹣1；（2）．
【解答】解：（1）由于抛物线C的方程为y2＝4x，
则其准线方程为x＝﹣1；
（2）由于直线l的倾斜角为60°，
则其斜率为，
又过焦点（1，0），
则直线l的方程为，
将直线l的方程代入抛物线方程可得，3x2﹣10x+3＝0，
解得，
则，
又点O到直线l的距离为，
则△OAB的面积为．
22．【答案】（1）；
（2）证明过程见解答．
【解答】解：（1）依题意，，
解得，
则椭圆C的方程为；
（2）证明：当两条直线的斜率存在时，设AB的方程为x＝my﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理可得，（m2+3）y2﹣4my﹣2＝0，
则Δ＝16m2+8（m2+3）＝24m2+24＞0，
故，，即，
同理可得：，
则，
故直线MN的方程为：，
取，
＝，
故直线过定点；
当有直线斜率不存在时，MN为x轴，过点．
综上所述：直线MN必过定点．