人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题8.6二元一次方程组(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题8.6二元一次方程组(原卷版+解析)，共32页。

一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x的方程x−2a−ax6=x3+2有正整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．−24B．−6C．−19D．−13
2．（2022春·福建泉州·七年级校考阶段练习）已知关于x、y的方程组2ax−3by=2c3ax+2by=16c的解是x=4y=2，则关于x、y的方程组2ax−3by+2a=2c3ax+2by+3a=16c的解是 （ ）
A．x=4y=2B．x=3y=2C．x=5y=2D．x=5y=1
3．（2023春·七年级单元测试）关于x，y的两个方程组ax−2by=22x−y=7和3ax−5by=93x−y=11有相同的解，则ab的值是（ ）
A．23B．32C．−23D．12
4．（2022秋·八年级课时练习）已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+y−z=2，若S=2x+y−z，则S的最大值与最小值的和为( )
A．5B．6C．7D．8
5．（2022春·湖北黄石·七年级统考期末）“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．则求得的结果有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
6．（2022春·湖北宜昌·九年级专题练习）如表是德国足球甲级联赛某赛季的部分球队积分榜：
规定：负一场积0分．观察后可知，柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是（ ）
A．18场B．19场C．20场D．21场
7．（2022秋·八年级课时练习）A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）
A．2B．4C．5D．6
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则x+y+z的和是（ ）
A．6B．15C．18D．24
9．（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的方程组x+2y=5−2ax−y=4a−1，下列结论：
①当a=1时，方程组的解也是x+y=2a−1的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y=8，则a=3．
其中不正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）对x、y定义一种新运算T，规定：Tx，y=axy+bx−4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T0，1=a×0×1+b×0−4=−4，若T2，1=2，T−1，2=−8，则下列结论正确的个数为（ ）
（1）a=1，b=2；
（2）若Tm，n=0，n≠−2，则m=4n+2；
（3）若Tm，n=0，则m、n有且仅有3组整数解；
（4）若Tkx，y=Tky，x对任意有理数x、y都成立，则k=1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组3x+4y=3m3x−2y=6m的解也是方程2x+3y=18的解，则m=___________．
12．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）两位同学在解方程组ax+by=−2cx−7y=8时，甲同学正确地解出x=3y=−2，乙同学因把c写错而解得x=−2y=3，则a=_____，b=_____，c=_____．
13．（2022秋·浙江温州·七年级乐清外国语学校校考阶段练习）一个棱长为5cm的立方体，把它切成36个小立方体，小立方体的大小不必都相同，但棱长必须是整数，则棱长为1cm的小立方体的个数为________．
14．（2023春·七年级单元测试）疫情期间，甲乙两位同学到超市采购食材，其中采购的面食有方便面、油泼面、挂面三种，每种面食的采购量均不超过10，但每种面食均有购买，其中方便面3元一袋，油泼面6元一袋，挂面8元一把，两个同学购买的方便面数量相同，而且甲同学比乙同学多购买了3把挂面，甲采购的面食一共花费71元，乙采购的面食一共花费了101元，则两个同学购买的挂面共有____________把．
15．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）甲、乙、丙、丁是四个不同平台的外卖员，每配送一单即可获得相应配送费且均为整数．已知乙每一单的配送费为甲的两倍，丁每一单的配送费为丙的两倍．12月第一周，甲、乙、丙的配送量之比为4:6:5，丁的配送量为100单，且他们共获得配送费3700元．第二周配送量增加，甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的32%，丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的511，此时甲、乙的配送量之和为丙的配送量的2215倍，丁的配送量增加60单，且他们共获得配送费7660元．若丁每单配送费高于4元且不超过8元，则第二周四位外卖员配送量之和为______单．
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（8分）（2023春·全国·七年级专题练习）解下列二元一次方程组：
（1）5x−2y=42x−y=1； （2）12x−y+13=13x+2y=10；
（3）0.8x−0.9y=26x−3y=2.5； （4）2x+y+3z=113x+2y−2z=114x−3y−2z=4．
17．（5分）（2023春·浙江杭州·七年级杭州育才中学校联考阶段练习）已知关于x ，y 的方程组x+3y=7x−3y+mx+3=0．
（1）请写出方程x+3y=7 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x−3y=2，求 m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m 的值．
18．（6分）（2022秋·全国·八年级专题练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
（1）若2b=3a，且甲车行驶的总时间为52小时，求a和b的值；
（2）若b−a=10，且乙车行驶的总时间为85小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
19．（6分）（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护，若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个，医用口罩和N95口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全用完，小明的妈妈一共有几种购买方案？
20．（6分）（2022秋·八年级课时练习）有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案．
（2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进货方案．
21．（6分）（2022·全国·七年级假期作业）数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B．它们表示的数分别为－3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．
（1）在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
（2）若AM＝BN，MN=43BM，求m和n值．
22．（6分）（2022春·重庆万州·七年级统考期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组2x+3y−z=5①x−2y+3z=1②，求4x+13y−9z的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①×a得：2ax+3ay−az=5a③，由②×b得：bx−2by+3bz=b④．
③＋④得：2a+bx+3a−2by+−a+3bz=5a+b⑤．
当2a+bx+3a−2by+−a+3bz=4x+13y−9z时，
即2a+b=43a−2b=13−a+3b=−9，解得a=3b=−2．
∴①×3+②×−2，得4x+13y−9z=5×3+1×−2=13．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足3x+4y+2z×a+x+6y+5z×b=12x+2y−5z，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
23．（6分）（2022·全国·七年级假期作业）阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且3m+2n=7k−42m+3n=−2求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组3m+2n=7k−42m+3n=−2，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组m+n=32m+3n=−2，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组a+1x−by=18①b+2x+ay=1②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
24．（6分）（2022秋·全国·八年级专题练习）数学方法：
解方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13，若设2x+y=m，x−2y=n，则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，解方程组得m=8n=−1，所以2x+y=8x−2y=−1，解方程组得x=3y=2，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=−2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n+bm−n=6bm+n+am−n=3的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2−x−y3=42x+y+x−y=16．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
求关于x，y的方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


球队
比赛场次
胜场
负场
平场
积分
沃尔夫斯堡
34
21
7
6
69
斯图加特
34
20
7
7
67
柏林赫塔
34
8
64
评卷人
得 分


评卷人
得 分


专题8.6 二元一次方程组（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x的方程x−2a−ax6=x3+2有正整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．−24B．−6C．−19D．−13
【思路点拨】
直接解方程，根据方程有正整数解，并且a为整数求出可能的取值，相加即可．
【解题过程】
解：x−2a−ax6=x3+2，
则6x−2a+ax=2x+12，
∴4+ax=12+2a，
若a=−4，则0=4不成立，
若a≠−4，则x=12+2a4+a=44+a+2，
∵x−2a−ax6=x3+2有正整数解，
∴a的取值为0，−2，−3，−8，
∴0−2−3−8=−13，
故选D．
2．（2022春·福建泉州·七年级校考阶段练习）已知关于x、y的方程组2ax−3by=2c3ax+2by=16c的解是x=4y=2，则关于x、y的方程组2ax−3by+2a=2c3ax+2by+3a=16c的解是 （ ）
A．x=4y=2B．x=3y=2C．x=5y=2D．x=5y=1
【思路点拨】
方程组2ax−3by+2a=2c3ax+2by+3a=16c可化为2a（x+1）−3by=2c3a（x+1）+2by=16c，由方程组2ax−3by=2c3ax+2by=16c的解是x=4y=2即可求得方程组2ax−3by+2a=2c3ax+2by+3a=16c的解为x=3y=2.
【解题过程】
解：方程组2ax−3by+2a=2c3ax+2by+3a=16c可化为2a（x+1）−3by=2c3a（x+1）+2by=16c，
∵方程组2ax−3by=2c3ax+2by=16c的解是x=4y=2，
∴x+1=4y=2，
即方程组2ax−3by+2a=2c3ax+2by+3a=16c的解为x=3y=2.
故选B.
3．（2023春·七年级单元测试）关于x，y的两个方程组ax−2by=22x−y=7和3ax−5by=93x−y=11有相同的解，则ab的值是（ ）
A．23B．32C．−23D．12
【思路点拨】
由题意知，可重新组成两个关于x，y的两个方程组ax−2by=23ax−5by=9和2x−y=73x−y=11，先计算不含参的二元一次方程组2x−y=73x−y=11，得x,y的值，然后代入含参的二元一次方程组ax−2by=23ax−5by=9，求a,b的值，然后代入求解即可．
【解题过程】
解：∵两个方程组同解
∴可知关于x，y的两个方程组ax−2by=23ax−5by=9和2x−y=73x−y=11有相同的解
解方程组2x−y=7①3x−y=11②
②−①得x=4
将x=4代入①式得2×4−y=7
解得y=1
∴方程组的解为x=4y=1
将x=4y=1代入方程组ax−2by=23ax−5by=9得4a−2b=212a−5b=9
解关于a,b的方程组4a−2b=2③12a−5b=9④
③×3−④得−b=−3
解得b=3
将b=3代入③式得4a−2×3=2
解得a=2
∴方程组的解为a=2b=3
∴ab=23
故选A．
4．（2022秋·八年级课时练习）已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+y−z=2，若S=2x+y−z，则S的最大值与最小值的和为( )
A．5B．6C．7D．8
【思路点拨】
根据题意，先推断出S取最大值与最小值时的x、y、z的值，再求S的最大值与最小值的和．
【解题过程】
解：联立得方程组{3x+2y+z=5①x+y−z=2②，
①+②：得4x+3y=7，y=7−4x3，
①−②×2得，x+3z=1，z=1−x3，
把y=7−4x3，z=1−x3代入S=2x+y−z，整理得，S=x+2，当x取最小值时，S有最小值，
∵x、y、z是三个非负实数，
∴x的最小值是0，
∴S最小=2，
①−②得到：2x+y=3−2z，
∴S=3−3z，
∵z是非负数，
∴z=0时，S有最大值3，
∴S的最大值与最小值的和3+2=5．
故选：A．
5．（2022春·湖北黄石·七年级统考期末）“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．则求得的结果有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【思路点拨】
设需要小圈舍x间，大圈舍y间，利用鹿的只数=4×小圈舍的间数+6×大圈舍的间数，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出结果的个数．
【解题过程】
解：设需要小圈舍x间，大圈舍y间，
依题意得：4x+6y=40，
∴x=20−3y2．
又∵x，y均为正整数，
∴x=7y=2或x=4y=4或x=1y=6，
∴共有3种结果．
故选：B．
6．（2022春·湖北宜昌·九年级专题练习）如表是德国足球甲级联赛某赛季的部分球队积分榜：
规定：负一场积0分．观察后可知，柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是（ ）
A．18场B．19场C．20场D．21场
【思路点拨】
现根据题意求出胜一场积3分，平一场积1分，再设柏林赫塔在这个赛季的胜场次数x场，根据胜场积分与平场积分的和=总积分列出方程，解方程即可．
【解题过程】
解：设球队胜一场积m分，平一场积n分，
由题意得：
21m+6n=6920m+7n=67，
解得：m=3n=1，
球队胜一场积3分，平一场积1分，
设柏林赫塔在这个赛季的胜场次数x场，则平（34-x-8）=（26-x）场，
根据题意得：3x+（26-x）=64，
解得：x=19，
∴柏林赫塔在这个赛季的胜场次数是19，
故选：B．
7．（2022秋·八年级课时练习）A和B同学每人都有若干本课外读物．A对B说：“你若给我2本书，我的书数将是你的n倍”；B对A说：“你若给我n本书，我的书数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【思路点拨】
首先设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，根据题意可得方程组：{x+2=n(y−2)y+n=2(x−n)，消去x，可整理得：2n=1+152y−7，由n为正整数分析，即可求得结果．
【解题过程】
解：设A同学有x本课外读物，B同学有y本课外读物，x，y均为非负整数，
由题意可得方程组：{x+2=n(y−2)①y+n=2(x−n)②，
将x=n(y−2)−2代入②中得，消去x得：(2y−7)n=y+4
即：2n=(2y−7)+152y−7=1+152y−7
∵152y−7为正整数
∴2y−7的值分别为1，3，5，15，
∴y的值只能为4，5，6，11，
∴当y=4时，n=8，
当y=5时，n=3，
当y=6时，n=2，
当y=11时，n=1，
综上可得：n的值分别为8，3，2，1；
即n的可能值有4个．
故答案选：B．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求△ABC和△DEF的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则x+y+z的和是（ ）
A．6B．15C．18D．24
【思路点拨】
把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余三个圈所填的数位之和为c．列出关于a，b，c的方程，进行求解即可．
【解题过程】
解：把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；
D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；
其余三个圈所填的数位之和为c．
显然有a+b+c=1+2+…+9=45①，
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有c+3b+2a=6×18=108②，
②﹣①，得a+2b=108−45=63③，
把AB，BC，CA每一边上三个圈中的数的和相加，则可得2a+b=3×18=54④，
联立③，④，解得a=15，b=24，
则x+y+z=15．
故选：B．
9．（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的方程组x+2y=5−2ax−y=4a−1，下列结论：
①当a=1时，方程组的解也是x+y=2a−1的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y=8，则a=3．
其中不正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】
①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x+y=2a−1即可判断；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程x+y=3的自然数解即可得结论；
④根据整体代入的方法即可求解．
【解题过程】
解：将a=1代入原方程组，得x+2y=3x−y=3，
解得：x=3y=0．
将x=3，y=0，a=1代入方程x+y=2a−1的左右两边，
得：左边=3，右边=1，即左边≠右边，
∴当a=1时，方程组的解不是方程x+y=2a−1的解，故①错误，符合题意；
解原方程组，得x=2a+1y=2−2a，
∴x+y=2a+1+2−2a=3，
∴无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确，不符合题意；
∵x+y=3，
∴x、y为自然数的解有x=0y=3，x=1y=2，x=2y=1，x=3y=0，
∴x，y都为自然数的解有4对，故③正确，不符合题意；
∵x=2a+1y=2−2a，2x+y=8，
∴2(2a+1)+2−2a=8，
解得：a=2，故④错误，符合题意．
综上所述：②③正确，①④错误．
故选B．
10．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）对x、y定义一种新运算T，规定：Tx，y=axy+bx−4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T0，1=a×0×1+b×0−4=−4，若T2，1=2，T−1，2=−8，则下列结论正确的个数为（ ）
（1）a=1，b=2；
（2）若Tm，n=0，n≠−2，则m=4n+2；
（3）若Tm，n=0，则m、n有且仅有3组整数解；
（4）若Tkx，y=Tky，x对任意有理数x、y都成立，则k=1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】
由题意联立方程组2a+2b−4=2−2a−b−4=−8，求出a、b的值，即可确定（1）正确；由已知，得到mn+2m−4=0，求出m即可确定（2）正确；根据n+2=±1，n+2=±2，n+2=±4，可求m、n的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程kxy+2kx−4=kxy+2ky−4，得到2kx−y=0，由对任意有理数x、y都成立，则k=0，即可 确定（4）不正确．
【解题过程】
解：∵T2，1=2，T−1，2=−8，
∴2a+2b−4=2−2a−b−4=−8，
解得a=1b=2，故（1）正确；
∵Tm，n=0，
∴mn+2m−4=0，
∵n≠−2，
∴m=4n+2，故（2）正确；
∵Tm，n=0，
∴mn+2m−4=0，
当n=−2时，则−4=0不成立，
∴n≠−2，
∴m=4n+2，
∵m、n都是整数，
∴n+2=±4或n+2=±2或n+2=±1，
∴n=2或−6或0或−4或−1或−3，
∴满足题意的m、n的值可以为m=−1n=−6，m=1n=2，m=2n=0，m=4n=−1，m=−4n=−3，m=−2n=−4，故（3）错误；
∵Tkx，y=Tky，x，
∴kxy+2kx−4=kxy+2ky−4，
∴2kx−2ky=0，
∴2kx−y=0，
∵Tkx，y=Tky，x对任意有理数x、y都成立，
∴k=0，故（4）错误；
故选B．
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2023春·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知关于x，y的方程组3x+4y=3m3x−2y=6m的解也是方程2x+3y=18的解，则m=___________．
【思路点拨】
首先应用加减消元法，求出关于x，y的方程组3x+4y=3m3x−2y=6m的解；然后根据2x+3y=18即可求解．
【解题过程】
解：3x+4y=3m ①3x−2y=6m ②，
①−②得：6y=−3m，
解得：y=−12m，
把y=−m2代入①得，x=53m，
∵2x+3y=18，
∴2×53m+3×−12m=18，
整理得：116m=18，
解得：m=10811，
故答案为：10811．
12．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）两位同学在解方程组ax+by=−2cx−7y=8时，甲同学正确地解出x=3y=−2，乙同学因把c写错而解得x=−2y=3，则a=_____，b=_____，c=_____．
【思路点拨】
先把x=3y=−2代入ax+by=−2cx−7y=8得3a−2b=−23c+14=8 ，由方程组中第二个式子可得：c=-2，然后把解x=−2y=3代入ax+by=-2即可得出答案．
【解题过程】
解：把x=3y=−2代入ax+by=−2cx−7y=8，
得3a−2b=−23c+14=8，解得，c=-2．
再把x=−2y=3代入ax+by=-2，
得3a−2b=−2−2a+3b=−2 ，
解得：a=−2b=−2 ，
所以a=-2，b=-2，c=-2．
故答案为-2，-2，-2．
13．（2022秋·浙江温州·七年级乐清外国语学校校考阶段练习）一个棱长为5cm的立方体，把它切成36个小立方体，小立方体的大小不必都相同，但棱长必须是整数，则棱长为1cm的小立方体的个数为________．
【思路点拨】
由小立方体的棱长以厘米作单位必须是整数，从最长棱长4cm，开始分析，得出符合要求的答案．
【解题过程】
解：棱长为5cm的立方体中的体积为53=125cm3，
若最大的立方体是一个棱长为4cm的立方体，
则棱长为4cm的立方体只有1个，则其余的只能切成棱长为1cm的立方体，
即棱长为4cm的立方体的体积为43=64cm3，
则剩余的体积为：125−64=61cm3，
则可切成61个棱长为1cm的立方体，
此时正方体的总数为：61+1=62>36，不符合要求；
若最大的立方体是一个棱长为3cm的立方体，
则3cm的立方体只有1个，则设y个棱长为2cm的立方体，z个棱长为1cm的立方体，
根据题意有：33+23×y+13×z=1251+y+z=36，
解得：y=9z=26，
则有9个棱长为2cm的立方体，26个棱长为1cm的立方体；
若最大的立方体是一个棱长为2cm的立方体，
设y个棱长为2cm的立方体，z个棱长为1cm，
根据题意有：23×y+13×z=125y+z=36，
解得：y=1257z=2327，
方程组的解不为整数，不符合题意，舍去；
综上：有26个棱长为1cm正方体，
故答案为：26．
14．（2023春·七年级单元测试）疫情期间，甲乙两位同学到超市采购食材，其中采购的面食有方便面、油泼面、挂面三种，每种面食的采购量均不超过10，但每种面食均有购买，其中方便面3元一袋，油泼面6元一袋，挂面8元一把，两个同学购买的方便面数量相同，而且甲同学比乙同学多购买了3把挂面，甲采购的面食一共花费71元，乙采购的面食一共花费了101元，则两个同学购买的挂面共有____________把．
【思路点拨】
设甲同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、y、z，则乙同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、m、z−3；根据题意可列出方程组，再运用加减消元法可得m−y=9，然后根据题意确定m、y的值；再将m、y的值代入②得到z=65−3x8，然后讨论x的值求得z，最后列出两同学购买挂面把数的代数式并将z的值代入计算即可．
【解题过程】
解：设甲同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、y、z，则乙同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、m、z−3
由题意可得:3x+6y+8z=713x+6m+8z−3=101 ，即3x+6y+8z=71①3x+6m+8z=125②
由②-①得：m−y=9
当y=1，m=10，符合题意；
当y=2，m=11>10，不符合题意
同理：y=3、4、5、6、7、8、9、10，m>10不符合题意；
当y=1、m=10时，由②可得z=65−3x8（x≤10,y≤10且为整数）
当x=1，z=65−38=314，不符合题意；
当x=2，z=65−68=598，不符合题意；
当x=3，z=65−98=7，符合题意；
经计算x=4、5、6、7、8、9、10均不符合题意
所以两个同学购买的挂面z+z−3=2z−3=2×7−3=11．
故答案为11．
15．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）甲、乙、丙、丁是四个不同平台的外卖员，每配送一单即可获得相应配送费且均为整数．已知乙每一单的配送费为甲的两倍，丁每一单的配送费为丙的两倍．12月第一周，甲、乙、丙的配送量之比为4:6:5，丁的配送量为100单，且他们共获得配送费3700元．第二周配送量增加，甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的32%，丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的511，此时甲、乙的配送量之和为丙的配送量的2215倍，丁的配送量增加60单，且他们共获得配送费7660元．若丁每单配送费高于4元且不超过8元，则第二周四位外卖员配送量之和为______单．
【思路点拨】
设甲每一单的配送费为x元，则乙每一单的配送费为2x元，丙每一单的配送费为y元，则丁每一单的配送费为2y元，设甲的配送量为4a单，乙的配送量为6a单，丙的配送量为5a单，根据题意可得4ax+12ax+5ay+200y=3700①，设第二周乙的配送量为b单，丙的配送量为c单，则甲第二周的配送量为4a+32%(b+d)单，由题意可得c−5a=511(32%b+32%c+b−6a+c−5a)，整理得，c=1.5b，再由32%b+32%c+4a+b=2215c，整理得，b=10a，根据第二周的配送费可得12ax+20ax+150y+(100+60)×2y=7660②，联立①②可得(a−16)y=52，由题意可得4<2y≤8，配送费且均为整数，求出y=3或y=4，当y=3时，3(a−16)=52，解得a=1003（舍)；当y=4时，4(a−16)=52，解得a=29，则第二周四位外卖员配送量之和为160+12a+10a+15a=37a+160=1233（单)．
【解题过程】
解：设甲每一单的配送费为x元，则乙每一单的配送费为2x元，丙每一单的配送费为y元，则丁每一单的配送费为2y元，
∵第一周，甲、乙、丙的配送量之比为4:6:5，
设甲的配送量为4a单，乙的配送量为6a单，丙的配送量为5a单，
∴4ax+12ax+5ay+200y=3700，
∴16ax+5ay+200y=3700①，
设第二周乙的配送量为b单，丙的配送量为c单，
∵甲增加的配送量占乙、丙配送量之和的32%，
∴甲增大的配送量为32%(b+d)单，则甲第二周的配送量为4a+32%(b+d)单，
∵丙增加的配送量占甲、乙、丙增加的配送量之和的511，
∴c−5a=511(32%b+32%c+b−6a+c−5a)，
整理得，c=1.5b，
∵甲、乙的配送量之和为丙的配送量的2215倍，
∴32%b+32%c+4a+b=2215c，
整理得，b=10a，
∴第二周丙的配送量为15a单，甲的配送量为12a单，
∵他们共获得配送费7660元，
∴12ax+20ax+150y+(100+60)×2y=7660，
整理得，32ax+15ay+320y=7660②，
联立①②可得(a−16)y=52，
∵丁每单配送费高于4元且不超过8元，
∴4<2y≤8，
∴2∵配送费且均为整数，
∴y=3或y=4，
当y=3时，3(a−16)=52，解得a=1003（舍)；
当y=4时，4(a−16)=52，解得a=29，
∴第二周四位外卖员配送量之和为：160+12a+10a+15a=37a+160=1233（单)，
故答案为：1233．
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（8分）（2023春·全国·七年级专题练习）解下列二元一次方程组：
（1）5x−2y=42x−y=1；
（2）12x−y+13=13x+2y=10；
（3）0.8x−0.9y=26x−3y=2.5；
（4）2x+y+3z=113x+2y−2z=114x−3y−2z=4．
【思路点拨】
（1）利用加减消元法进行计算即可；
（2）利用加减消元法进行计算即可；
（3）先利用去分母把方程组化简，再利用加减消元法进行计算即可；
（4）由①×2+②×3可得13x+8y=55，再由③−②得：x−5y=−7，然后解二元一次方程，即可求出x、y．再代入求出z．
【解题过程】
（1）解：5x−2y=4①2x−y=1②，
由①−②×2可得：x=2，
把x=2代入②可得：y=3，
所以原方程组的解为：x=2y=3．
（2）解：原方程组整理得：3x−2y=8①3x+2y=10②，
由①+②可得：6x=18，解得：x=3，
把x=3代入①得：y=12，
所以原方程组的解为：x=3y=12．
（3）解：0.8x−0.9y=2①6x−3y=2.5②，
①×10得：8x−9y=20③，
②×3得：18x−9y=7.5④，
③−④得：−10x=12.5，
解得：x=−54，
把x=−54代入①得：−1−0.9y=2
解得：y=−103，
故原方程组的解是x=−54y=−103．
（4）解：2x+y+3z=11①3x+2y−2z=11②4x−3y−2z=4③，
由①×2+②×3得：13x+8y=55④，
由③−②得：x−5y=−7⑤，
由④⑤组成方程组13x+8y=55x−5y=−7得：x=3y=2，
把x=3，y=2代入①得：6+2+3z=11，解得：z=1．
∴原方程组的解为x=3y=2z=1．
17．（5分）（2023春·浙江杭州·七年级杭州育才中学校联考阶段练习）已知关于x ，y 的方程组x+3y=7x−3y+mx+3=0．
（1）请写出方程x+3y=7 的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x−3y=2，求 m的值；
（3）如果方程组有正整数解，求整数m 的值．
【思路点拨】
（1）对x、y分别赋值讨论即可；
（2）用代入法求二元一次方程组的解即可；
（3）用加减消元法求出方程组的解，由题意可得m=−1或m=0或m=2，再将满足条件的m的值进行验证即可．
【解题过程】
（1）解：方程x+3y=7 的所有正整数解为：x=4y=1或x=1y=2；
（2）解：x+3y=7①x−3y+mx+3=0②，
∵2x−3y=2，即3y=2x−2③，
将③代入①得，x=3，3y=4，
将x=3，3y=4代入②得，m=−23；
（3）解；x+3y=7①x−3y+mx+3=0②，
由①+②得：2x+mx+3=7，得x=4m+2，
将x=4m+2代入①得，y=7m+103m+2，
∵方程组有正整数解，则m+2=1或m+2=2或m+2=4，
∴m=−1或m=0或m=2，
当m=−1时，y=1，符合题意；
当m=0时，y=53，不符合题意；
当m=2时，y=2，符合题意；
综上所述，m的值为−1或2．
18．（6分）（2022秋·全国·八年级专题练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
（1）若2b=3a，且甲车行驶的总时间为52小时，求a和b的值；
（2）若b−a=10，且乙车行驶的总时间为85小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
【思路点拨】
（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为52小时及2b=3a建立方程组求出其解即可；
（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为45小时，由两段路程之和等于120及b−a=10建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为67h，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．
【解题过程】
（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得：60a+60b=522a=3b，
解得：a=60b=40；
即a和b的值分别为60，40；
（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为45小时
∴由题意得：45a+45b=120b−a=10
解得：a=70b=80；
∴甲车前一半的时间为：60÷70=67h，
由于67＞45，则乙67h时行的路程为：70×45+80×（67−45）=4247km，
∵4247＞60，
∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为：120−(70×45+70×45)÷(70+80)+45=6475h，
则离A地的路程为：6475×70=89615km．
即：两车相遇时，离A地89615km．
19．（6分）（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）为了防治“新型冠状病毒”，小明妈妈准备购买医用口罩和洗手液用于家庭防护，若医用口罩买100个，洗手液买6瓶，则需300元；若医口罩买200个，洗手液买4瓶，则需400元．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）小明妈妈准备了600元，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为3元的N95口罩a个，医用口罩和N95口罩共200个，购买洗手液b瓶，钱恰好全用完，小明的妈妈一共有几种购买方案？
【思路点拨】
（1）设医用口罩和洗手液的单价分别为x元和y元，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）根据题意有：医用口罩的数量为200−a个，即有：3a+25b+200−a×1.5=600，即有：a=200−50b3，根据200−a>0，a=200−50b3>0，a，b为正整数，可得0【解题过程】
解：（1）设医用口罩和洗手液的单价分别为x元和y元，
根据题意，有：100x+6y=300200x+4y=400，
解得：x=1.5y=25，
即：医用口罩和洗手液的单价分别为1.5元和25元；
（2）根据题意有：医用口罩的数量为200−a个，
即有：3a+25b+200−a×1.5=600，
即有：a=200−50b3，
∵a，b为正整数，
∴50b是3的倍数，
∴b是3的倍数，
∴b是可以为3、6、9，
当b=3时，a=150，200−a=50；
当b=6时，a=100，200−a=100；
当b=9时，a=50，200−a=150；
即小明的妈妈一共有3种购买方案，
第一种方案：购买医用口罩50个，购买N95口罩150个，购买洗手液3瓶；
第二种方案：购买医用口罩100个，购买N95口罩100个，购买洗手液6瓶；
第一种方案：购买医用口罩150个，购买N95口罩50个，购买洗手液9瓶．
20．（6分）（2022秋·八年级课时练习）有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案．
（2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进货方案．
【思路点拨】
设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台．（1）因为商场同时要购进两种不同型号电视机，所以分三种情况讨论：甲乙组合，甲丙组合，乙丙组合．设未知数，根据等量关系：台数相加=60，钱数相加=70000，列方程组解答即可；
（2）由题意列出关于x、y、z的三元一次方程组，继而根据电视机的台数为正整数进行求解即可．
【解题过程】
解：设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台．
（1）①若选甲、乙两种型号，则{x+y=601100x+1300y=70000，
解得 {x=40y=20，
② 若选甲、丙两种型号，则{x+z=601100x+2100z=70000，
解得 {x=56z=4，
③若选乙、丙两种型号，则{y+z=601300y+2100z=70000，
解得 {y=70z=−10，不合题意，舍去．
答：若商场同时购进其中两种不同型号的电视机，有两种进货方案：①甲：40，乙：20；②甲：56，丙：4；
（2）根据题意得{x+y+z=501100x+1300y+2100z=60000，
∵x、y、z均为正整数，
∴方程组的正整数解有四组，
{x=41y=5z=4或{x=37y=10z=3或{x=33y=15z=2或{x=29y=20z=1，
综上所述，共有四种进货方案：
方案一：应进货甲型号电视机41台，乙型号电视机5台，丙型号电视机4台；
方案二：应进货甲型号电视机37台，乙型号电视机10台，丙型号电视机3台；
方案一：应进货甲型号电视机33台，乙型号电视机15台，丙型号电视机2台；
方案一：应进货甲型号电视机29台，乙型号电视机20台，丙型号电视机1台．
21．（6分）（2022·全国·七年级假期作业）数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B．它们表示的数分别为－3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．
（1）在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
（2）若AM＝BN，MN=43BM，求m和n值．
【思路点拨】
（1）分三种情况：①当M是A，N的中点时；②当A是M、N的中点时；③当N是M、A的中点时分别进行求解；
（2）根据AM＝BN，可得m+3=n−1，再根据MN=43BM，可得n−m=43m−1，二者组成方程组即可求解．
【解题过程】
（1）解：①当M是A，N的中点时，m=n−32
∴n＝2m＋3
②当A是M、N的中点时，−3=m+n2
∴n＝－6－m
③当N是M、A的中点时，n=−3+m2．
（2）解：∵AM＝BN，
∴m+3=n−1，
∵MN=43BM，
∴n−m=43m−1
∴m+3=n−13n−3m=4m−4或m+3=−n+13n−3m=4m−4或−m−3=n−13n−3m=−4m+4或−m−3=−n+13n−3m=−4m+4，
解得m=4n=8或m=−2n=2或m=−0.2n=−1.8或m=−5n=3
∵n＞m ，
∴m=4n=8或m=−2n=2或m=−5n=3．
22．（6分）（2022春·重庆万州·七年级统考期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组2x+3y−z=5①x−2y+3z=1②，求4x+13y−9z的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①×a得：2ax+3ay−az=5a③，由②×b得：bx−2by+3bz=b④．
③＋④得：2a+bx+3a−2by+−a+3bz=5a+b⑤．
当2a+bx+3a−2by+−a+3bz=4x+13y−9z时，
即2a+b=43a−2b=13−a+3b=−9，解得a=3b=−2．
∴①×3+②×−2，得4x+13y−9z=5×3+1×−2=13．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足3x+4y+2z×a+x+6y+5z×b=12x+2y−5z，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【思路点拨】
（1）把左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，得出a和b的方程组求解；
（2）设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，然后按照小华的解法解答即可．
【解题过程】
（1）解：∵3x+4y+2z×a+x+6y+5z×b=12x+2y−5z，
∴3ax+4ay+2az+bx+6by+5bz=12x+2y−5z，
∴3a+bx+4a+6by+2a+5bz=12x+2y−5z，
∴3a+b=124a+6b=2，解得a=5b=−3；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得2x+3y+z=18①3x+5y+2z=28②，求x+3y+2z的值．
设①×a得：2ax+3ay+az=18a③
②×b得：3bx+5by+2bz=28b④
③＋④得：2a+3bx+3a+5by+a+2bz=18a+28b⑤
当2a+3bx+3a+5by+a+2bz=x+3y+2z时，
即2a+3b=13a+5b=3a+2b=2，解得a=−4b=3，
∴x+3y+2z=18a+28b=12，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
23．（6分）（2022·全国·七年级假期作业）阅读以下内容：
已知有理数m，n满足m+n＝3，且3m+2n=7k−42m+3n=−2求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组3m+2n=7k−42m+3n=−2，再求k的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；
丙同学：先解方程组m+n=32m+3n=−2，再求k的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x，y的方程组a+1x−by=18①b+2x+ay=1②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．求a和b的值．
【思路点拨】
（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；
（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．
【解题过程】
解：（1）选择甲，3m+2n=7k−4①2m+3n=−2②，
①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，
解得：m＝21k−85，
②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，
解得：n＝2−14k5，
代入m+n＝3得：21k−85+2−14k5＝3，
去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，
移项合并得：7k＝21，
解得：k＝3；
选择乙，
3m+2n=7k−4①2m+3n=−2②，
①+②得：5m+5n＝7k﹣6，
解得：m+n＝7k-65，
代入m+n＝3得：7k-65＝3，
去分母得：7k﹣6＝15，
解得：k＝3；
选择丙，
联立得：m+n=3①2m+3n=−2②，
①×3﹣②得：m＝11，
把m＝11代入①得：n＝﹣8，
代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，
解得：k＝3；
（2）根据题意得：a+1=3b+2=7，
解得：b=5a=2，
检验符合题意，
则a和b的值分别为2，5．
24．（6分）（2022秋·全国·八年级专题练习）数学方法：
解方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13，若设2x+y=m，x−2y=n，则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，解方程组得m=8n=−1，所以2x+y=8x−2y=−1，解方程组得x=3y=2，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
（1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组ax+by=6bx+ay=3，的解为x=−2y=4，那么关于m、n的二元一次方程组am+n+bm−n=6bm+n+am−n=3的解为： ．
（2）知识迁移：请用这种方法解方程组x+y2−x−y3=42x+y+x−y=16．
（3）拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
求关于x，y的方程组2a1x+3b1y=5c12a2x+3b2y=5c2的解．
【思路点拨】
（1）设m+n=x，m−n=y，即可得m+n=−2m−n=4，解方程组即可求解；
（2）设x+y2=m，x−y3=n，则原方程组可化为m−n=44m+3n=16，解方程组即可求解；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为，a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，根据a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，可得m=4n=−3，即有2x5=43y5=−3，则问题得解．
【解题过程】
解：（1）设m+n=x，m−n=y，则原方程组可化为ax+by=6bx+ay=3，
∵ax+by=6bx+ay=3的解为x=−2y=4，
∴m+n=−2m−n=4，
解得m=1n=−3，
故答案为：m=1n=−3；
（2）设x+y2=m，x−y3=n，则原方程组可化为m−n=44m+3n=16，
解得m=4n=0，
即有x+y2=4x−y3=0，
解得x=4y=4，
即：方程组的解为x=4y=4；
（3）设2x5=m，3y5=n，则原方程组可化为5ma1+5nb1=5c15ma2+5nb2=5c2，
化简，得a1m+b1n=c1a2m+b2n=c2，
∵关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解为x=4y=−3，
∴m=4n=−3，即有2x5=43y5=−3，
解得：x=10y=−5，
故方程组的解为：x=10y=−5．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


球队
比赛场次
胜场
负场
平场
积分
沃尔夫斯堡
34
21
7
6
69
斯图加特
34
20
7
7
67
柏林赫塔
34
8
64
评卷人
得 分


评卷人
得 分