人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题6.3实数(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题6.3实数(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了比如等内容，欢迎下载使用。


一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）若15−n是整数，则正整数n不可能是（ ）
A．6B．9C．11D．14
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知mina,b,c表示取三个数中最小的那个数，例加：min{−1,−2,−3}=−3，当minx,x2,x=181时，则x的值为（ ）
A．181B．127C．13D．19
3．（2022春·四川广元·七年级校考阶段练习）若2020+13的小数部分为a，2021−13的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．2021B．2020C．4041D．1
4．（2023春·七年级课时练习）已知x，y为实数，且y=x2−9−9−x2+4，则x−y=（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知m、n是两个连续自然数(mA．总是偶数B．总是奇数
C．总是无理数D．有时是有理数，有时是无理数
6．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）设实数a、b、c满足aA．a+b+c3B．c−aC．c＋aD．−c−a
7．（2022春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆师范大学附属中学校考阶段练习）根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（ ）
①27.889=1.67
②265的算术平方根比16.3大
③只有4个正整数n满足16.4④若一个正方形的边长为16.2，那么这个正方形的面积是262.44
A．①④B．②③C．③④D．②③
8．（2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）我们在初中已经学会了估算n的值，现在用an表示距离n最近的正整数．（n为正整数）比如：a1表示距离1最近的正整数，∴a1=1；a2表示距离2最近的正整数，∴a2=1；a3表示距离3最近的正整数，∴a3=2……利用这些发现得到以下结论：
①a6=2；②an=2时，n的值有3个；③a1−a2+a3−⋅⋅⋅+a9−a10=0；④1a1+1a2+⋅⋅⋅+1a100=20；⑤当1a1+1a2+⋅⋅⋅+1an=100时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
9．（2023春·七年级课时练习）设S1=1+112+122，S2=1+122+132，S3=1+132+142，…，Sn=1+1n2+1(n+1)2，则S1+S2+…+S24的值为（ ）
A．62425B．245C．2425D．57524
10．（2021春·重庆永川·七年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）观察下列算式：a1=1×2×3×4+1=5，a2=2×3×4×5+1=11，a3=3×4×5×6+1=19，…，它有一定的规律性，把第n个算式的结果记为an，则1a1−1+1a2−1+1a3−1+⋯+1a7−1的值是（ ）
A．12B．121360C．5391080D．119240
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2023春·上海·七年级专题练习）若2m−4与3m−1是同一个正数a的平方根，则m=______，a=______
12．（2023春·七年级课时练习）已知x、y是有理数，且x、y满足2x2+3y+2y=14−62，则x+y=______．
13．（2023春·七年级单元测试）若a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，则a+b=______．
14．（2022春·湖北武汉·七年级统考期中）某计算器上的三个按键1x、x2、x的功能分别是：x将屏幕显示的数变成它的算术平方根；1x将屏幕显示的数变成它的倒数；x2将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______．
15．（2022·全国·七年级假期作业）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．
（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2﹣2和﹣2，则M，N间的距离为 ___，MN中点表示的数是 ___．
（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝23|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为 ___．
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（4分）（2023春·七年级课时练习）计算：
（1）−3−8+3125+(−2)2； （2）7−2−2−π−(−7)2；
（3）1+3−27−14+30.125+1−6364； （4）−42+16−3(−3)3−2−2．
17．（3分）（2022秋·山东威海·七年级校考阶段练习）求下列各式中x的值：
（1）25x2−64＝0； （2）343(x+3)3+27＝0；
（3）(2x+1)2=16．
18．（6分）（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）规定：x表示实数x的整数部分．如3.14=3，8=2，在此规定下解决下列问题．
（1）求1+4+9的值；
（2）求1+2+3+...+9的值；
（3）求31+32+33+...+364的值．
19．（6分）（2022秋·河南周口·八年级统考期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m.
（1）m= ______.
（2）求m+1+m−1的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有2c+6与d−4互为相反数，求2c+3d的平方跟.
20．（6分）（2022秋·江苏·八年级专题练习）我们知道，2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即2的整数部分是1，小数部分是2−1，请回答以下问题：
（1）10的小数部分是________，5−13的小数部分是________．
（2）若a是90的整数部分，b是3的小数部分，求a+b−3+1的平方根．
（3）若7+5=x+y，其中x是整数，且021．（6分）（2023春·上海·七年级专题练习）先阅读材料，再解答问题：
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：
（1）我们知道31000=10，31000000=100，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数
（2）在自然数1到9这九个数字中，13=1,33=27,53=________，73=________，93=________．
猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．
（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而33=27，43=64，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．
（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？
22．（8分）（2023春·七年级课时练习）【初步感知】
（1）直接写出计算结果．
①13=___________；
②13+23=_______；
③13+23+33=________；
④13+24+33+43=________；
…
【深入探究】观察下列等式．
①1+2=(1+2)×22；
②1+2+3=(1+3)×32；
③1+2+3+4=(1+4)×42；
④1+2+3+4+5=(1+5)×52；
…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容．
（2）_________=(1+2022)×20222；
（3）1+2+3+⋯+n+(n+1)=_______，
【拓展应用】计算：
（4）13+23+33+⋯+993+1003；
（5）113+123+133+⋯+193+203．
23．（8分）（2023春·七年级课时练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.
24．（8分）（2022春·重庆·七年级西南大学附中校考期末）对于各位数字均不为零的三位自然数m=abc，若m满足各位数字之和能被十位数字整除，则称m为“对偶数”．例如m=327，∵3+2+7=12，12÷2=6，∴327是“对偶数”；又如n=136，∵1+3+6=10，10不能被3整除，∴136不是“对偶数”．将m的百位数字放在其个位数字后得m1=bca，再将m1的百位数字放在其个位数字后得m2=cab．记Fm=m+m1+m2111．
（1）判断248，933是否是“对偶数”，并说明理由；
（2）已知“对偶数”n=100a+10b+4（其中1≤a+b≤9），若18Fn+2a−4能被7整除，求出所有满足条件的n．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


x
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17
x2
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
285.61
289
评卷人
得 分


评卷人
得 分


专题6.3 实数（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）若15−n是整数，则正整数n不可能是（ ）
A．6B．9C．11D．14
【思路点拨】
先确定n的取值范围，再利用15−n 是整数，n为正整数，确定n的值即可．
【解题过程】
解：∵15−n是整数，n为正整数，
∴15﹣n＞0，解得：n＜15，
∵15−n是整数，
∴n的值为：6，11，14，
故选：B．
2．（2022秋·全国·七年级专题练习）已知mina,b,c表示取三个数中最小的那个数，例加：min{−1,−2,−3}=−3，当minx,x2,x=181时，则x的值为（ ）
A．181B．127C．13D．19
【思路点拨】
根据题意可知x,x2,x都小于1且大于0，根据平方根求得x的值即可求解．
【解题过程】
解：∵minx,x2,x=181
∴x,x2,x都小于1且大于0
∴x2∴x2=181
∴x=19（负值舍去）
故选D
3．（2022春·四川广元·七年级校考阶段练习）若2020+13的小数部分为a，2021−13的小数部分为b，则a+b的值为（ ）
A．2021B．2020C．4041D．1
【思路点拨】
先估算13的取值范围，再求出2020+13与2021−13的取值范围，从而求出a，b的值，即可求解．
【解题过程】
解：∵9<13<16，
∴3<13<4，
∴2023<2020+13<2024，2016<2020−13<2017，
∴a=13−3，b=4−13
∴a+b=13−3+4−13=1．
故选：D．
4．（2023春·七年级课时练习）已知x，y为实数，且y=x2−9−9−x2+4，则x−y=（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
【思路点拨】
直接利用算术平方根的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案．
【解题过程】
解：∵y=x2−9−9−x2+4，
∴x2−9≥0，9−x2≥0
∴x2−9=0
∴y＝4，
∴x=±3，
当x=3,y=4时，x−y=3−4=−1；
当x=−3,y=4时，x−y=−3−4=−7；
∴x−y=−1或x−y=−7，
故选：C．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知m、n是两个连续自然数(mA．总是偶数B．总是奇数
C．总是无理数D．有时是有理数，有时是无理数
【思路点拨】
由题意可知，n=m+1，q=mn，代入p=q+n+q−m，根据非负数的算术平方根求解即可．
【解题过程】
解：由题意可知，n=m+1，q=mn，
而p=q+n+q−m,
则p=mn+n+mn−m=n(m+1)+m(n−1)=m+1+m=2m+1，
由于m是自然数，所以2m+1是奇数，
故选B
6．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）设实数a、b、c满足aA．a+b+c3B．c−aC．c＋aD．−c−a
【思路点拨】
根据ac<0可知，a，c异号，再根据a【解题过程】
解：∵ac<0
∴a，c异号
∵a∴a<0，c> 0
又∵a∴ax−a+x−b+x+c表示到a，b，−c三点的距离的和．当x在表示b点的数的位置时距离最小，即x−a+x−b+x+c最小，最小值是a与−c之间的距离，即−c−a．
故选D．
7．（2022春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆师范大学附属中学校考阶段练习）根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（ ）
①27.889=1.67
②265的算术平方根比16.3大
③只有4个正整数n满足16.4④若一个正方形的边长为16.2，那么这个正方形的面积是262.44
A．①④B．②③C．③④D．②③
【思路点拨】
根据被开方数扩大或缩小100倍，算术平方根扩大或缩小10倍来判断①；根据265.69=16.3判断②；根据16.4＜n＜16.5，得到268.96＜n＜272.25，进而判断③；根据正方形的面积公式判断④．
【解题过程】
解：∵278.89=16.7，
∴2.7889=1.67，
故①不符合题意；
∵265.69=16.3，
∴265<16.3，
故②不符合题意；
∵16.4＜n＜16.5，
∴268.96＜n＜272.25，
∴正整数n有269，270，271，272共4个，
故③符合题意；
∵16.22＝262.44，
∴若一个正方形的边长为16.2，那么这个正方形的面积是262.44，
故④符合题意；
故正确的有③④，
故选：C．
8．（2023秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）我们在初中已经学会了估算n的值，现在用an表示距离n最近的正整数．（n为正整数）比如：a1表示距离1最近的正整数，∴a1=1；a2表示距离2最近的正整数，∴a2=1；a3表示距离3最近的正整数，∴a3=2……利用这些发现得到以下结论：
①a6=2；②an=2时，n的值有3个；③a1−a2+a3−⋅⋅⋅+a9−a10=0；④1a1+1a2+⋅⋅⋅+1a100=20；⑤当1a1+1a2+⋅⋅⋅+1an=100时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【思路点拨】
①根据a6表示距离6最近的正整数，进行判断；②根据an=2，确定n的值；③分别求出a1,a2,a3,a4⋯a10，进行求解即可；④根据③中的数据，得到相应的数字规律，再进行计算即可；⑤根据规律进行倒推，即可得解．
【解题过程】
解：①a6表示距离6最近的正整数，
∴a6=2；故①正确；
②an=2时，n=3，4，5，6，
∴n的值有4个；故②错误；
③∵a1=1,a2=1,a3=2,a4=2,a5=2,a6=2,a7=3,a8=3,a9=3,a10=3，
∴1−1+2−⋅⋅⋅+3−3=0；故③正确；
④∵a1=1,a2=1,a3=2,a4=2,a5=2,a6=2,a7=3,a8=3,a9=3,a10=3，…，
∴2个1，4个2，6个3，8个4，…，
∴1a1+1a2+⋯+1a100=1×2+4×12+6×13+8×14+⋯+18×19+10×110=19；故④错误；
⑤1a1+1a2+⋯+1an=100=50×2=2×1+4×12+6×13+⋯+100×150，
∴n=2+4+6+…+100=2+1002×50=2550；故⑤正确；
综上：正确的是①③⑤，共3个；
故选B．
9．（2023春·七年级课时练习）设S1=1+112+122，S2=1+122+132，S3=1+132+142，…，Sn=1+1n2+1(n+1)2，则S1+S2+…+S24的值为（ ）
A．62425B．245C．2425D．57524
【思路点拨】
观察第一步的几个计算结果，得出一般规律．
【解题过程】
解：∵S1=1+1+14=32=1+11×2=1+1−12，
S2=1+14+19=76=1+12×3=1+12−13，
S3=1+19+116=1312=1+13×4=1+13−14，
S4=1+116+125=2120=1+14×5=1+14−15，
…，
Sn=1+1n−1n+1，
∴S1+S2+…+S24
=1+1−12+1+12−13+…+1+124−125
=24+1−125
=62425．
故选A．
10．（2021春·重庆永川·七年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）观察下列算式：a1=1×2×3×4+1=5，a2=2×3×4×5+1=11，a3=3×4×5×6+1=19，…，它有一定的规律性，把第n个算式的结果记为an，则1a1−1+1a2−1+1a3−1+⋯+1a7−1的值是（ ）
A．12B．121360C．5391080D．119240
【思路点拨】
先通过观察找出第n个算式的规律为n(n+3)，写出所得代数式；再找出所求代数式的规律，按照裂项法展开计算即可．
【解题过程】
解：∵a1=1×2×3×4+1=5=1×4+1，
a2=2×3×4×5+1=11=2×5+1，
a3=3×4×5×6+1=19=3×6+1，…，
观察以上各式发现规律，由规律可知：a4=4×7+1，a5=5×8+1，a6=6×9+1，a7=7×10+1
an=n·(n+3)+1
验证：a4=4×5×6×7+1=29=4×7+1
故依次为：a5=5×8+1，a6=6×9+1，a7=7×10+1
∴an=n·(n+3)+1
∴1a1−1+1a2−1+1a3−1+⋯+1a7−1
=11×4+12×5+13×6+14×7+15×8+16×9+17×10
=131-14+12-15+13-16+14-17+15-18+16-19+17-110
=131+12+13-18-19-110
=5391080
故选：C
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2023春·上海·七年级专题练习）若2m−4与3m−1是同一个正数a的平方根，则m=______，a=______
【思路点拨】
根据一个数的平方根相等或互为相反数，即可求出m的值．
【解题过程】
解：∵ 2m−4 与 3m−1 是同一个数的平方根，
∴ 2m−4+3m−1=0 或 2m−4=3m−1 ，
解得： m=1 或 m=−3 ；
当m=1时，a=4
当m=-3时，a=100
故答案为：① 1 或 −3②4或100．
12．（2023春·七年级课时练习）已知x、y是有理数，且x、y满足2x2+3y+2y=14−62，则x+y=______．
【思路点拨】
把2x2+3y+2y=14−62化成2x2+3y−14=−6+y2，根据x、y是有理数，得到2x2+3y−14的值为有理数，即−6+y2为有理数，故6+y=0，求出y，再求得x即可求解．
【解题过程】
解：∵2x2+3y+2y=14−62，
∴2x2+3y−14=−62−y2，
∴2x2+3y−14=−6+y2，
∵x、y是有理数，
∴2x2+3y−14的值为有理数，
∴−6+y2为有理数，
∴6+y=0，
解得y=−6，
∴2x2+3y−14=0
∴2x2+3×−6−14=0，
解得x=±4，
∴x+y=−2或x+y=−10，
故答案为：−2或10．
13．（2023春·七年级单元测试）若a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，则a+b=______．
【思路点拨】
先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【解题过程】
解：∵a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，
又∵|a−2022|≥0，b+2022≥0
①当|a−2022|=0，b+2022=2时，
∴a=2022，b=−2018
∴a+b=2022−2018=4
②当|a−2022|=1，b+2022=1时，
∴a=2023或a=2021，b=−2021
∴a+b=2023−2021=2或a+b=2021−2021=0
③当|a−2022|=2，b+2022=0时，
∴a=2024或a=2020，b=−2022
∴a+b=2024−2022=2或a+b=2020−2022=2
故答案为：4或2或0
14．（2022春·湖北武汉·七年级统考期中）某计算器上的三个按键1x、x2、x的功能分别是：x将屏幕显示的数变成它的算术平方根；1x将屏幕显示的数变成它的倒数；x2将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______．
【思路点拨】
根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得．
【解题过程】
解：由题意知第1步结果为x2，
第2步结果为1x2，
第3步结果为1x2=1x，
第4步结果为1x2，
第5步结果为x2，
第6步计算结果为x，
第7步计算结果为x2，
……
∴运算的结果以x2，1x2，1x，1x2，x2，x六个数为周期循环，
∵2021÷6=336……5，
∴第2021步之后显示的结果为4，即x2=4，
∴输入的数x是±2，
故答案为：±2．
15．（2022·全国·七年级假期作业）在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N之间的距离为|m﹣n|．
（1）若数轴上的点M，N分别对应的数为2﹣2和﹣2，则M，N间的距离为 ___，MN中点表示的数是 ___．
（2）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝23|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为 ___．
【思路点拨】
（1）直接根据定义，代入数字求解即可得到两点间的距离；根据两点之间的距离得出其一半的长度，然后结合其中一个端点表示的数求解即可得中点表示的数；
（2）先根据|a﹣c|＝|b﹣c|与a≠b推出C为AB的中点，然后根据题意分类讨论求解即可．
【解题过程】
解：（1）由题意，M，N间的距离为2−2−−2=2−2+2=2；
∵MN=2，
∴12MN=1，
由题意知，在数轴上，M点在N点右侧，
∴MN的中点表示的数为−2+1；
（2）∵a−c=b−c=1且a≠b，
∴数轴上点A、B与点C不重合，且到点C的距离相等，都为1，
∴点C为AB的中点，AB=2，
∵23d−a=1，
∴d−a=32，
即：数轴上点A和点D的距离为32，讨论如下：
1>若点A位于点B左边：
①若点D在点A左边，如图所示：
此时，BD=AD+AB=32+2=72；
②若点D在点A右边，如图所示：
此时，BD=AB−AD=2−32=12；
2>若点A位于点B右边：
①若点D在点A左边，如图所示：
此时，BD=AB−AD=2−32=12；
②若点D在点A右边，如图所示：
此时，BD=AD+AB=32+2=72；
综上，线段BD的长度为12或72，
故答案为：2；−2+1；12或72．
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（2023春·七年级课时练习）计算：
（1）−3−8+3125+(−2)2；
（2）7−2−2−π−(−7)2；
（3）1+3−27−14+30.125+1−6364；
（4）−42+16−3(−3)3−2−2．
【思路点拨】
（1）根据立方根的定义和算术平方根的定义计算即可；
（2）根据绝对值的意义、算术平方根的定义计算即可；
（3）根据立方根的定义和算术平方根的定义计算即可；
（4）根据有理数的乘方、立方根、算术平方根的定义、绝对值的意义进行计算即可．
【解题过程】
（1）解：原式=−−2+5+2
=2+5+2
=9；
（2）解：原式=7−2+2−π−7
=−π；
（3）解：原式=1+−3−12+12+164
=−2+18
=−158；
（4）解：原式=−16+4−−3+2−2
=−16+4+3+2−2
=−11+2．
17．（2022秋·山东威海·七年级校考阶段练习）求下列各式中x的值：
（1）25x2−64＝0；
（2）343(x+3)3+27＝0；
（3）(2x+1)2=16．
【思路点拨】
（1）移项，系数化为1后求平方根即可；
（2）移项，系数化为1后求立方根即可解题；
（3）先求平方根，然后解一元一次方程解题．
【解题过程】
（1）25x2−64=0，
25x2＝64，
x2=6425，
x= ±85；
（2）343(x+3)3+27=0，
343(x+3)3=−27，
(x+3)3=−27343，
x+3=− 37，
x= −247；
（3）(2x+1)2=16，
2x+1=±2，
2x+1=2，2x+1=−2，
∴x1=12，x2=−32．
18．（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）规定：x表示实数x的整数部分．如3.14=3，8=2，在此规定下解决下列问题．
（1）求1+4+9的值；
（2）求1+2+3+...+9的值；
（3）求31+32+33+...+364的值．
【思路点拨】
（1）根据算术平方根的定义化简，再根据x的意义取整数计算；
（2）先估算1=1，4=2，9=3，再判断出1=2=3=1，4=5=6=7=8=2，最后取整数计算；
（3）先估算31=1，38=2，327=3，364=4，再判断出31=32=33=，38=39=310=，327=328=329=，最后取整数计算．
【解题过程】
（1）解：1+4+9
=1+2+3
=1+2+3
=6；
（2）∵1=1，4=2，9=3，
∴1=2=3=1，4=5=6=7=8=2，
∴1+2+3+...+9
=1+1+1+2+2+2+2+2+3
=16；
（3）∵31=1，38=2，327=3，364=4，
∴31=32=33=，
38=39=310=，
327=328=329=，
∴31+32+33+...+364
=1×7+2×19+3×37+4
=160
19．（2022秋·河南周口·八年级统考期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m.
（1）m= ______.
（2）求m+1+m−1的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有2c+6与d−4互为相反数，求2c+3d的平方跟.
【思路点拨】
（1）根据两点间的距离公式计算即可；
（2）由（1）可得m+1>0、m−1<0，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答；
（3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出c、d的值，再代入2c+3d，进而求其平方根即可．
【解题过程】
（1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2
∴点B表示−2+2
∴m=−2+2．
故答案为：−2+2．
（2）解：∵m=−2+2
∴m+1=−2+2+1=−2+3>0，m−1=−2+2−1=−2+1<0
∴m+1+m−1
=m+1−m−1
=m+1−m+1
=2．
（3）解：∵2c+4与d−4互为相反数
∴2c+4+d−4=0
∴2c+4=0，d−4=0
∴c=−2，d=4
∴2c+3d=2×(−2)+3×4=8
∴±2c+3d=±8=±22，
即2c+3d的平方根是±22．
20．（2022秋·江苏·八年级专题练习）我们知道，2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即2的整数部分是1，小数部分是2−1，请回答以下问题：
（1）10的小数部分是________，5−13的小数部分是________．
（2）若a是90的整数部分，b是3的小数部分，求a+b−3+1的平方根．
（3）若7+5=x+y，其中x是整数，且0【思路点拨】
（1）确定10的整数部分，即可确定它的小数部分；确定13的整数部分，即可确定5−13的整数部分，从而确定5−13的小数部分；
（2）确定90的整数部分，即知a的值，同理可确定3的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式a+b−3+1的值，从而求得其平方根；
（3）由2<5<3得即9<7+5<10，从而得x=9，y=5−2，将x、y的值代入原式即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵3<10<4，
∴10的整数部分为3，
∴10的小数部分为10−3，
∵3<13<4，
∴−3＞−13＞−4，
∴5−3＞5−13＞5−4即1＜5−13＜2，
∴5−13的整数部分为1，
∴5−13的小数部分为4−13，
故答案为：10−3，4−13；
（2）解：∵9<90<10，a是90的整数部分，
∴a=9，
∵1<3<2，
∴3的整数部分为1，
∵b是3的小数部分，
∴b=3−1，
∴a+b−3+1=9+3−1−3+1=9
∵9的平方根等于±3，
∴a+b−3+1的平方根等于±3；
（3）解：∵2<5<3，
∴7+2<7+5<7+3即9<7+5<10，
∵7+5=x+y，其中x是整数，且0∴x=9，y=7+5−9=5−2，
∴x−y+5=9−5−2+5=11．
21．（2023春·上海·七年级专题练习）先阅读材料，再解答问题：
我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：
（1）我们知道31000=10，31000000=100，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数
（2）在自然数1到9这九个数字中，13=1,33=27,53=________，73=________，93=________．
猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．
（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而33=27，43=64，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．
（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？
【思路点拨】
（1）根据夹逼法和立方根的定义进行解答；
（2）先分别求得1至9中奇数的立方，然后根据末位数字是几进行判断即可；
（3）先利用（2）中的方法判断出个数数字，然后再利用夹逼法判断出十位数字即可；
（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．
【解题过程】
解：（1）∵1000＜59319＜1000000，
∴59319的立方根是两位数；
（2）∵13=1,33=27, 53=125，73=343，93=729，
∴59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是9；
（3）∵33=27 <59< 43=64，且59319的立方根是两位数，
∴59319的立方根的十位数字是3，
又∵59319的立方根的个位数字是9，
∴59319的立方根是39；
（4）∵1000＜103823＜1000000，
∴103823的立方根是两位数；
∵13=1,33=27, 53=125，73=343，93=729，
∴103823的个位数字是3，则103823的立方根的个位数字是7；
∵43=64 <59<53=125，且103823的立方根是两位数，
∴103823的立方根的十位数字是4，
又∵103823的立方根的个位数字是7，
∴103823的立方根是47．
22．（2023春·七年级课时练习）【初步感知】
（1）直接写出计算结果．
①13=___________；
②13+23=_______；
③13+23+33=________；
④13+24+33+43=________；
…
【深入探究】观察下列等式．
①1+2=(1+2)×22；
②1+2+3=(1+3)×32；
③1+2+3+4=(1+4)×42；
④1+2+3+4+5=(1+5)×52；
…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容．
（2）_________=(1+2022)×20222；
（3）1+2+3+⋯+n+(n+1)=_______，
【拓展应用】计算：
（4）13+23+33+⋯+993+1003；
（5）113+123+133+⋯+193+203．
【思路点拨】
（1）直接计算即可；
（2）根据前4个式子的规律填空即可；
（3）根据规律可得1+2+3+⋯+n+（n+1）=(n+1)(n+2)2；
（4）根据（1）的计算可得原式=1+2+3+…+100；
（5）根据规律可得原式=（13+23+33+⋯+193+203）-（13+23+33+⋯+93+103），再根据规律计算即可．
【解题过程】
（1）解：①13=1；
②13+23=3；
③13+23+33=6；
④13+24+33+43=10；
故答案为：①1 ②3 ③6 ④10
（2）解：由规律可得：1+2+3+…+2022=(1+2022)×20222，
故答案为：1+2+3+…+2022；
（3）解：1+2+3+⋯+n+（n+1）=(n+1)(n+2)2．
故答案为：(n+1)(n+2)2；
（4）解：原式=1+2+3+…+100=(100+1)×1002=5050；
（5）解：原式=（13+23+33+⋯+193+203）-（13+23+33+⋯+93+103）
=（13+23+…+203）2-（13+23+...+103）2
=（1+2+…+20）2-（1+2+…+10）2
=（21×202）2-（11×102）2
=2102-552
=41075．
23．（2023春·七年级课时练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.
【思路点拨】
（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出-2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为-1，
①设3表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=94，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
【解题过程】
操作一，
（1）∵表示的点1与-1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则-2表示的点与2表示的点重合，
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，
则折痕表示的点为-1，
①设3表示的点与数a表示的点重合，
则3-（-1）=-1-a，
a=-2-3；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是-5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，
设AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a=94，
∴AB=94，BC=94，CD=92，
x=-1+94+98=198，
如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，
设AB=a，BC=2a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=94，
∴AB=94，BC=92，CD=94，
x=-1+94+94=72，
如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，
设AB=2a，BC=a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=94，
∴AB=92，BC=CD=94，
x=-1+92+98=378，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是198或72或378．
24．（2022春·重庆·七年级西南大学附中校考期末）对于各位数字均不为零的三位自然数m=abc，若m满足各位数字之和能被十位数字整除，则称m为“对偶数”．例如m=327，∵3+2+7=12，12÷2=6，∴327是“对偶数”；又如n=136，∵1+3+6=10，10不能被3整除，∴136不是“对偶数”．将m的百位数字放在其个位数字后得m1=bca，再将m1的百位数字放在其个位数字后得m2=cab．记Fm=m+m1+m2111．
（1）判断248，933是否是“对偶数”，并说明理由；
（2）已知“对偶数”n=100a+10b+4（其中1≤a+b≤9），若18Fn+2a−4能被7整除，求出所有满足条件的n．
【思路点拨】
（1）根据“对偶数”的定义直接判断即可；
（2）先表示出F(n)，进而得出F(n)=a+b+4，即可得出18F(n)+2(a−4)=7(2a+2b+9)+6a+4b+1，进而得出(6a+4b+1)是7的倍数，可推导6a+4b+1=21或35或49，最后分类讨论即可求出答案．
【解题过程】
（1）解：248不是“对偶数”，933是“对偶数”，理由如下：
∵对于248，2+4+8=14，14不能被4整除，
∴248不是“对偶数”，
∵对于933，9+3+3=15，15能被3整除，
∴933是“对偶数”；
（2）∵n=100a+10b+4，
∴n1=b4a=100b+40+a，n2=4ab=400+10a+b，
∴F(n)=n+n1+n2111
=100a+10b+4+100b+40+a+400+10a+b111
=a+b+4，
∴18F(n)+2(a−4)
=18(a+b+4)+2(a−4)
=20a+18b+64
=7(2a+2b+9)+6a+4b+1，
∵18Fn+2a−4能被7整除，
∴(6a+4b+1)是7的倍数，
∵1≤a+b≤9，且a、b为整数，
∴1≤a≤8，1≤b≤8，
∴11≤6a+4b+1≤53，
∴6a+4b+1=14或21或28或35或42或49，
∵6a+4b=2(3a+2b)，即为偶数，
∴6a+4b+1是奇数，
∴6a+4b+1=21或35或49，
①当6a+4b+1=21时，b=5−32a，
∵a、b为整数，
∴a=2，b=2，
∴n=224，
∵2+2+4=8，8能被2整除，
∴224是“对偶数”，符合题意；
②当6a+4b+1=35时，b=17−3a2，
∵a、b为整数，
∴a=1，b=7或a=3，b=4或a=5，b=1，
当a=1，b=7时，n=174，1+7+4=12，12不能被7整除，故174不是“对偶数”，不符合题意；
当a=3，b=4时，n=344，3+4+4=11，11不能被4整除，故344不是“对偶数”，不符合题意；
当a=5，b=1时，n=514，5+1+4=10，10能被1整除，故514是“对偶数”，符合题意；
③当6a+4b+1=49时，b=12−32a，
∵a、b为整数，
∴a=4，b=6或a=6，b=3，
当a=4，b=6时，n=464，4+6+4=14，14不能被6整除，故464不是“对偶数”，不符合题意；
当a=6，b=3时，n=634，6+3+4=13，13能被3整除，故634不是“对偶数”，不符合题意；
综上所述，所以满足条件的n为224或514．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


x
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17
x2
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
285.61
289
评卷人
得 分


评卷人
得 分