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北师大版八年级数学下册期末考试点对点压轴题训练(一)(A卷18题)(原卷版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学下册期末考试点对点压轴题训练(一)(A卷18题)(原卷版+解析)，共50页。
(1)求证：∠AFE＝60°；
(2)延长BE到N，使AF＝FN，连接AN，CN．
①判断CN与AD的位置关系并证明；
②当S△ACF，AB＝2时，求BF的长．
2．如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．
（1）求证：CD＋CE＝CA；
（2）求出点M到CE所在直线的距离；
（3）当ME＝时，求CE的值．
3．如图1，在中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠ADC的平分线交BC于点F．
(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；
(2)如图2，连接EF，若EF⊥BC，BF=8，EF=4，求的面积；
(3)如图3，连接EF，作关于直线EF对称的，其中点A，B的对应点分别为点C，H，恰好有HE⊥DF，垂足为G．若，求BE的长．
4．如图，在ABCD中，分别以AB，CD为底边在▱ABCD内侧作等腰△ABF和等腰△DCE，且∠AFB＝∠DEC＝120°，连接CF和AE并延长，分别交边AB，CD于点M和点N．
(1)求证：∠ADE＝∠CBF；
(2)求证：四边形AMCN为平行四边形；
(3)连接MN，若MN∥BC，AB＝BC，ABCD的面积为3，求CF的长．
5．如图，，，，且点在内部，连接，，的延长交线段于点．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系并证明；
(3)连接，若，求四边形的面积．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以线段OA为一边在x轴上方作等边△OAB．C是x轴上一点，连接BC，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD，CD．
(1)当点C在线段OA的延长线上时．
①求证：；
②若AD＝2AC，求线段CD的的长；
(2)若点E的坐标为，连接ED，试问线段ED的长是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，已知点，点B（－3，0）．
(1)如图1，点C为点A关于x轴的对称点，连接BC，判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)如图2，作△ABC关于点B的中心对称图形△EBD，为△EBD沿着x轴向右平移以后的图象，当与△ABC重叠部分的图形为正六边形时，求此时的平移距离；
(3)如图3，点M为x轴上一动点，连接AM，将AM绕点M顺时针旋转60°得到线段NM，若N点恰好在某一条直线上运动，请求出该直线的函数表达式．
8．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)如图，连接，若，，，求的面积；
(3)如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，，恰好有，垂足为若，求的长．
9．如图1，与均为等腰直角三角形，且，连接BC、AG，延长AG与BC交于点F．
(1)求证：；
(2)当点G为CE的中点，时，求CF的长；
(3)如图2，过点C作，过点A作，AD、CD交于点D，在边AB上取一点H，使得，连接DH，探究CG、CD、DH三条线段之间的数量关系，并证明．
10．已知，在中，点M是的中点，点D是线段上一点（不与点A重合）．过点D作的平行线，过点C作的平行线，两线交于点E，连结．
(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)图3，延长交于点H，若，且，求的度数．
11．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O．
(1)求证：；
(2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：．
(3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
12．如图1，在中，，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为．已知，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如图2，延长至点，使，连接，为的中点，连接，．求的长．
（3）如图3，在（2）问的条件下，为边上的一个动点，连接并延长交延长线于点，连接，为的中点，求点从点运动到点时，点所经过的路径长．
13．如图，为的对角线，平分为射线上一点．
（1）如图1，在延长线上，连接与交于点若；
①当为中点时，求证：；
②当时，求长度；
（2）如图2，在线段上，连接与交点于，若，试探究三条线段之间的数量关系，并说明理由．
14．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，设∠ACB＝60°，将△ABC绕着点C顺时针旋转，得到△CDE（点D，E分别与B，A对应），连接BD．
（1）如图1，当点D在线段CA的延长线上时，若AD＝5，求BD的长；
（2）如图2，当点D在如图所示位置时，连接EA并延长交BD于F，过点D作DG∥AB交线段EA的延长线于G，连接AD，BG．求证：四边形ADGB为平行四边形．
（3）在（2）的条件下，如图3，连接CF，若AC＝5，CF＝8，求EF的长．
15．已知点E是正方形ABCD的边CD上的动点，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F．
（1）如图1，求证：FB＝ED；
（2）点G为正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AG，GC，GF，且GC＝GF．
①如图2，求∠GFA的度数；
②如图3，过点G作MHAE，分别交AF，AB，DC于点M，N，H．若AB＝3，BF＝1，求MH的长．
16．已知AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作AB的平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE．
（1）【模型研究】如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）【模型推广】如图2，当点D不与M重合时，四边形ABDE还是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）【模型应用】若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AM的中点（如图3），请直接写出CE的长．
17．在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究．
（1）问题梳理，问题呈现：如图1，点在等边的边上，过点画的平行线，在上取，连接，则在图1中会产生一对旋转图形．请结合问题中的条件，证明：；
（2）初步尝试：如图2，在中，，点在边上，且，将沿某条直线翻折，使得与重合，点与边上点重合，再将沿所在直线翻折，得到，则在图2中会产生一对旋转图形．若，，连接，求的面积；
（3）深入探究：如图3，在中，，，，点是边上的任意一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转75°，得到线段，连接，求线段长度的最小值．
期末考试点对点压轴题训练（一）（A卷18题）
1．如图，在等边△ABC中，点D与点E分别在BC与AC上，且BD＝CE，连接AD与BE于点F，连接CF．
(1)求证：∠AFE＝60°；
(2)延长BE到N，使AF＝FN，连接AN，CN．
①判断CN与AD的位置关系并证明；
②当S△ACF，AB＝2时，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)①CN∥AD；②-1
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABD≌△BCE，得∠CBE=∠BAD，再利用三角形外角的性质可得答案；
（2）①由（1）可知△AFN是等边三角形，再利用SAS证明△BAF≌△CAN，得∠ANC=∠AFB，利用同旁内角互补，两直线平行，可得结论；②作AH⊥FN于H，利用平行线之间的距离处处相等得S△AFC=S△AFN=，则AF=2，再利用勾股定理求出BH的长，从而解决问题．
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠BAD，
∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=∠ABD=60°；
（2）
①CN∥AD，理由如下：
∵AF=AN，∠AFN=60°，
∴△AFN是等边三角形，
∴∠FAN=∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAN，
∵AB=AC，AF=AN，
∴△BAF≌△CAN（SAS），
∴∠ANC=∠AFB，
∵∠AFB=120°，
∴∠ANC=120°，
∴∠FAN+∠ANC=180°，
∴CN∥AD；
②作AH⊥FN于H，
∵AD∥CN，
∴S△AFC=S△AFN=，
∴AF=2，
∵△AFN是等边三角形，
∴FH=1，AH=，
在Rt△ABH中，由勾股定理得，
BH=，
∴BF=BH-FH=-1．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．
（1）求证：CD＋CE＝CA；
（2）求出点M到CE所在直线的距离；
（3）当ME＝时，求CE的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）或；
【分析】（1）依据可证明，可得，即可；
（2）过点作，由（1）知，利用直角三角形的性质，即可求解；
（3）过点作，讨论点，在线段上还是的延长线上，通过直角三角形的性质，即可求解；
【详解】（1）由题知，为等边三角形，∴；
又，逆时针旋转；由旋转的性质可知：；，
∴；
在和中，
，
∴ ，∴
∴
∴；
（2）过点作，
由（1）知，∴，
又为的中点，∴；
在中，，∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴到所在直线的距离为；
（3）过点作，
由（2）知，，；
在中，，；
∴ ；
当点落在线段上时，
；
当点落在线段的延长线时，
；
∴的值为或；
【点睛】本题主要考查全等三角形证明、等边三角形和直角三角形的性质，关键在寻找相关条件作辅助线；
3．如图1，在中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠ADC的平分线交BC于点F．
(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；
(2)如图2，连接EF，若EF⊥BC，BF=8，EF=4，求的面积；
(3)如图3，连接EF，作关于直线EF对称的，其中点A，B的对应点分别为点C，H，恰好有HE⊥DF，垂足为G．若，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)52
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质可推出，再根据得，即可得出结论；
（2）构造直角三角形，设，根据勾股定理可列有关x的一元二次方程，即可求得结果；
（3）根据对称性可得两个三角形全等，构造直角三角形，利用勾股定理可求得结果．
【详解】（1）证明：在中，，，
又∵BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）解：∵BE为∠ABC的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
过点A作AM⊥BC于点M，如图所示，
∵EF⊥BC，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
由（1）在中，，
∴，
∴；
（3）分别过点A、F作AM⊥BC于点M，FN⊥AD于N，如图所示，
∴设，，
由（1）（2）知：，
∵关于直线EF对称的图形为
∴，，
∴CE=CD，∠CEH=∠FDC
又∵，
∴，
∴为等腰直角三角形
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
，，
过点D作延长线于点J，如上图所示，
在中，，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质以及勾股定理解三角形，解题的关键在于作出辅助线，构造出直角三角形．
4．如图，在ABCD中，分别以AB，CD为底边在▱ABCD内侧作等腰△ABF和等腰△DCE，且∠AFB＝∠DEC＝120°，连接CF和AE并延长，分别交边AB，CD于点M和点N．
(1)求证：∠ADE＝∠CBF；
(2)求证：四边形AMCN为平行四边形；
(3)连接MN，若MN∥BC，AB＝BC，ABCD的面积为3，求CF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得 ，再利用平行四边形的对角相等得到，即可证明结论；
（2）先由ASA证明，得到，再利用SAS证明，得CF=AE，继而证明四边形AFCE是平行四边形，据此解答；
（3）利用平行四边形的性质得到BM=AM，则，设，则 ，则，根据的面积为3，解出BM的长，再利用含30°角的直角三角形的性质解答即可．
（1）
解：
四边形ABCD是平行四边形
（2）
证明：四边形ABCD是平行四边形
四边形AFCE是平行四边形
四边形AMCN是平行四边形
（3）
解：
四边形BMNC是平行四边形
四边形AMCN是平行四边形
设，
的面积为3，
，
（负值舍去），
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5．如图，，，，且点在内部，连接，，的延长交线段于点．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系并证明；
(3)连接，若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)1
【分析】(1)证出，根据证明；
(2)和交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
(3)过点作于点，，交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，证出四边形为正方形，证明，得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
．
在和中，
，
；
（2）解：，
证明：如图，和交于点，
，
，
，，
，
；
（3）解：过点作于点，，交的延长线于点，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
四边形为正方形，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以线段OA为一边在x轴上方作等边△OAB．C是x轴上一点，连接BC，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD，CD．
(1)当点C在线段OA的延长线上时．
①求证：；
②若AD＝2AC，求线段CD的的长；
(2)若点E的坐标为，连接ED，试问线段ED的长是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2)存在，
【分析】（1）①由旋转的性质可得BC= BD，∠CBD= 60°，△BCD是等边三角形，结合△AOB是等边三角形由“SAS”可证△OBC≌△ABD；
②根据△OBC≌△ABD，AD＝2AC，得OA=AC= AB=2，∠ACB=∠ABC= 30°，∠OBC= 90°，再由直角三角形的性质可求解；
（2）由全等三角形的性质可得点D在过点A且于y轴成30°的直线上运动，由直角三角形的性质可求解．
【解析】（1）解： ①证明：∵将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，
∴BC = BD，∠CBD = 60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=CD=BD，
∵△AOB是等边三角形，
∴OB= AB，∠ABO= 60°=∠BAO，
∴∠ABO=∠CBD = 60°，
∴∠OBC =∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，
∴△OBC≌△ABD （SAS）；
②∵点A的坐标为（2， 0），
∴OA= 2，
∵△OBC≌△ABD，
∴AD=OC，
∵AD=2AC，
∴OC =2AC，
∴OA=AC= AB=2，
∴∠ACB=∠ABC= 30°，
∴∠OBC = 90°，
∴BC=OB= ，
∴；
（2）
解：如图，延长DA交y轴于N，过点E作EF⊥AD于F，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC = 60°
∴∠OAN = 60°,
∵∠AON = 90°，
∴∠ANO = 30°，
∴点D在过点A且于y轴成30°的直线上运动，
∴当DE⊥AD时，即点D与点F重合时，DE有最小值为EF的长，
∵OA= 2，∠ANO = 30°，
∴ON =OA= ，
∴EN= ，
∵∠ANO= 30°，EF⊥AD，
∴EF=EN=，
∴DE的最小值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，确定点D的运动轨迹是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，已知点，点B（－3，0）．
(1)如图1，点C为点A关于x轴的对称点，连接BC，判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)如图2，作△ABC关于点B的中心对称图形△EBD，为△EBD沿着x轴向右平移以后的图象，当与△ABC重叠部分的图形为正六边形时，求此时的平移距离；
(3)如图3，点M为x轴上一动点，连接AM，将AM绕点M顺时针旋转60°得到线段NM，若N点恰好在某一条直线上运动，请求出该直线的函数表达式．
【答案】(1)△ABC是等边三角形
(2)4
(3)
【分析】（1）求出C点坐标，再分别求出AB=AC=BC=，即可判断三角形的形状；
（2）设向右平移t个单位，由题意可知△FHJ，△HJK，△FGJ都是正三角形，则BF=FH=HK，再由△AHK为正三角形，可得AH=FH=BF，能求出平移距离为4；
（3）当M点与B点重合时，N点与C点重合，可得点N坐标，当N点在x轴上时，N（1，0），再利用待定系数法求求出直线解析式即可．
【详解】（1）解：∵点C为点A关于x轴的对称点，A（0，），
∴C（0，），
∴OA=OC=，
∴AC=，
∵B（-3，0），
∴OB=3，
∴AB=，BC=，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：如图1，设向右平移t个单位，
∵△E'B'D'与△ABC重叠部分的图形为正六边形，
∴△FHJ，△HJK，△FGJ都是正三角形，
∴FJ=GJ，∠GFJ=∠FGJ=60°，
∵FG⊥x轴，
∴∠FJB=30°，
∵∠ABO=30°，
∴BF=FJ，
∴BF=FH=HK，
∵△AHK为正三角形，
∴AH=FH=BF，
∴t=4，
∴平移距离为4；
（3）解：如图2，当M点与B点重合时，
∵∠AMN=60°，∠ABC=60°，
∴N点与C点重合，
∴N（0，），
当N点在x轴上时，
∵AM=MN，∠AMN=60°，∠ABO=30°，
∴∠BAM=30°，
∴∠AMO=30°，
∴MO=1，AM=2，
∴NO=1，
∴N（1，0），
设N所在的直线解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线解析式为：．
【点睛】本题是一次函数的综合应用题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等边三角形的性质，会用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
8．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)如图，连接，若，，，求的面积；
(3)如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，，恰好有，垂足为若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行四边形性质得出：，，，利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图，过点A作于点，则，再证明四边形是矩形，推出，设，则，利用勾股定理求得，再运用平行四边形面积公式即可求得答案；
（3）如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，运用轴对称性质可得出：，，，推出、是等腰直角三角形，再证得是等腰直角三角形，得出，运用角平分线性质可得，进而得出，再利用等腰三角形性质可得出答案．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理可得：，
，
，
即，
四边形为平行四边形；
（2）
如图，过点作于点，
则，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
由（1）得：，，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
▱的面积为；
（3）
如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，
由（1）知，
四边形是平行四边形，
由（1）知，
四边形是菱形，
，，
又关于直线对称的，其中点，的对应点分别为点，，
，，，
由（1）知四边形为平行四边形，
，
又，
，
，
、是等腰直角三角形，
垂直平分，
即，
又，，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
故BE的长为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，平行四边形面积，轴对称性质等知识点，综合性较强，难度较大，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
9．如图1，与均为等腰直角三角形，且，连接BC、AG，延长AG与BC交于点F．
(1)求证：；
(2)当点G为CE的中点，时，求CF的长；
(3)如图2，过点C作，过点A作，AD、CD交于点D，在边AB上取一点H，使得，连接DH，探究CG、CD、DH三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)，证明见解析
【分析】（1）证明△BEC≌△GEA（SAS），根据全等三角形的性质得∠BCE=∠GAE，由∠BCE+∠CBE=90°得∠GAE+∠CBE=90°，可得∠AFB=90°，即可得AF⊥BC；
（2）当点G为CE的中点，AE=2时，可得EB=EG=CG=1，AE=2，利用面积法求出BF的值，根据勾股定理求出BC，即可得CF的长；
（3）过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于M，连接DG，HG，延长HG、DC交于N，证明△DHN为等腰直角三角形，可得2DH2=（CD+CN）2，再证四边形ACNH是平行四边形，则AH=CN=CG，即可得2DH2=（CD+CN）2=（CD+CG）2．
【解析】（1）解：证明：∵△ACE与△BGE均为等腰直角三角形，
∴EB=EG，CE=AE，
∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴△BEC≌△GEA（SAS），
∴∠BCE=∠GAE，
∵∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠GAE+∠CBE=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BC；
（2）
当点G为CE的中点，AE=2时，
∵△ACE与△BGE均为等腰直角三角形，
∴EB=EG=CG=1，AE=CE=2，
∴AB=EB+AE=3，AG=，BC=，
由（1）知AF⊥BC，
∴S△ABG=AB•EG=AG•BF，
∴3×1=BF，
∴BF=，
∴CF=BC-BF=；
（3）
，
证明：如图：过点D作DM⊥AB，交BA的延长线于M，连接DG，HG，延长HG、DC交于N，
∵CD∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴∠ECD=90°，
∴四边形CEMD是矩形，
∴EM=CD，CE=DM，
∴EM=AB，
∴BE=AM，
∵AH=CG，CE=AE，
∴EG=EH．
∵EB=EG，
∴EB=EG=EH=AM，
∴∠EHG=45°，AE=HM，
∵AE=CE=DM，
∴HM=DM，
∴∠DHM=45°，
∴∠DHG=180°-∠EHG-∠DHM=90°，
∵CD∥AB，
∴∠CDH=∠DHM=45°，
∴△DHN为等腰直角三角形，
∴，
∵∠CAE=45°，∠EHG=45°，
∴AC∥NH，
∵CD∥AB，
∴四边形ACNH是平行四边形，
∴AH=CN，
∵AH=CG，
∴CN=CG，
∴
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的相关知识．
10．已知，在中，点M是的中点，点D是线段上一点（不与点A重合）．过点D作的平行线，过点C作的平行线，两线交于点E，连结．
(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)图3，延长交于点H，若，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
(3)30°
【分析】（1）利用平行线的性质可得同位角相等，再利用证明，得，从而证明结论；
（2）过点作交于点，则四边形为平行四边形，得且，由（1）可得且，从而得出结论；
（3）取线段的中点，连接，由三角形中位线定理得，，则，，即可解决问题．
（1）
解：证明：，
，
，
，
是的中线，且与重合，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）
成立，理由如下：
过点作交于点，
，
四边形为平行四边形，
且，
由（1）可得且，
且，
四边形为平行四边形；
（3）
取线段的中点，连接，
是的中位线，
，，
且，
，，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，遇中点取中点构造中位线是解决问题（3）的关键．
11．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O．
(1)求证：；
(2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：．
(3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的可求得，理由含角的直角三角形的性质可得，进而可证明结论；
（2）利用证明即可证明结论；
（3）连接，在上截取，连接，可证得是等边三角形，进而可利用证明，得到，由可说明猜想的正确性．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴平分，平分，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（3）解：．理由如下：连接，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
12．如图1，在中，，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为．已知，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如图2，延长至点，使，连接，为的中点，连接，．求的长．
（3）如图3，在（2）问的条件下，为边上的一个动点，连接并延长交延长线于点，连接，为的中点，求点从点运动到点时，点所经过的路径长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）4
【分析】（1）先证明∠DAE=90°，然后可证四边形是矩形；
（2）连接AG，由勾股定理求出AB的长，进而求出DF、AG的长，然后证明△AGD≌△BGE即可；
（3）由题意知H运动的轨迹是△CQ1F的中位线，求出Q1F即可求出H运动的轨迹H1H2的长．
【详解】解：∵是的一条角平分线，为的外角的平分线，
∴∠3=∠4，∠1=∠2．
∵∠3+∠4+∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=90°，即∠DAE=90°．
∵，是的一条角平分线，
∴AD⊥BC．
∵，
∴四边形是矩形；
（2）连接AG，
∵四边形是矩形，
∴BE=AD，∠DBE=∠ADB=∠BDF=90°，
∵为的中点，
∴DG=BG，
∴∠BDG=∠DBG，
∴∠ADG=∠EBG．
在△ADG和△EBG中
，
∴△ADG≌△EBG，
∴EG=AG．
∵，，
∴=，
∴DF=10-8=2，
∴BF=，
∴BG=GF=，
∴EG=AG=；
（3）由题意知点H运动的轨迹是一条线段，当P与E重合时，Q的位置在Q1，当P与B重合时，Q的位置在F，此时H分别在H1，H2的位置．
∵BE//AD，
∴∠BEG=∠DQ1G．
在△EBG和△Q1FG中
，
∴△EBG≌△Q1FG，
∴Q1F=BE=8，
由题意知H1H2是△CQ1F的中位线，
∴H1H2=Q1F=4．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及三角形的中位线等知识，证明∠DAE=90°是解（1）的关键，证明△ADG≌△EBG是解（2）的关键，H运动的轨迹是△CQ1F的中位线是解（3）的关键．
13．如图，为的对角线，平分为射线上一点．
（1）如图1，在延长线上，连接与交于点若；
①当为中点时，求证：；
②当时，求长度；
（2）如图2，在线段上，连接与交点于，若，试探究三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②；（2）AC=AH+AD，理由见解析
【分析】（1）①由“ASA”可证△ADG≌△FCG，可得AD=CF=BC；
②先证四边形AECG是平行四边形，可得AE=CG，由“AAS”可证△ACE≌△NCE，可得AC=CN=8，AE=EN，在Rt△EBN中，由勾股定理可求EN的长，即可求解；
（2）由角的数量关系和三角形内角和定理可求∠ACE=∠BCE=18°，∠B=54°，由等腰三角形的性质可求∠CAF=∠ACF=36°，由余角的性质可求∠B=∠BAF=54°，可得AF=BF=CF=BC=AD，以C为顶点作∠BCP=36°，交AF的延长线于P，由三角形的外角性质可证∠CHP=∠PCH，∠CFP=∠P，可得CP=CF=PH，可得结论．
【详解】解（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD∥BF，
∴∠D=∠FCD，
∵G是CD中点，
∴DG=CG，
∵∠FGC=∠DGA，
∴△ADG≌△FCG（ASA），
∴AD=FC，
∴FC=BC．
②在Rt△ABC中，AC=8，CD=6，
∴AD==10，
∴BC=10，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AC=AF，
∴∠F=∠CAF，
∵∠ACB=∠F+∠CAF=2∠F=∠ACE+∠BCE=2∠BCE，
∴∠F=∠BCE，
∴CE∥AG，
又∵AB∥CD，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AE=CG，
如图1，过点E作EN⊥BC于N，
∵∠ACE=∠ECN，∠EAC=∠ENC=90°，CE=CE，
∴△ACE≌△NCE（AAS），
∴AC=CN=8，AE=EN，
∴BN=2，
∵BE2=BN2+EN2，
∴（6-EN）2=EN2+4，
∴EN=，
∴AE=CG=；
（3）AC=AH+AD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，
∵∠D=3∠ACE，
∴∠B=3∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE+∠B+∠BAC=180°，
∴∠ACE=∠BCE=18°，∠B=54°，
∵AF=CF，
∴∠CAF=∠ACF=36°，
∴∠B=∠BAF=54°，
∴AF=BF=CF=BC=AD，
如图2，以C为顶点作∠BCP=36°，交AF的延长线于P，
∴∠ACP=72°，
又∵∠CAF=36°，∴∠P=72°=∠ACP，∴AC=AP，
∵∠CHP=∠ACE+∠CAF=54°，∠PCH=∠BCE+∠BCP=54°，∴∠CHP=∠PCH，∴CP=PH，
∵∠CFP=∠ACF+∠FAC=72°，∴∠CFP=∠P，∴CP=CF=PH，
∵AC=AP=AH+PH，∴AC=AH+AD．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
14．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，设∠ACB＝60°，将△ABC绕着点C顺时针旋转，得到△CDE（点D，E分别与B，A对应），连接BD．
（1）如图1，当点D在线段CA的延长线上时，若AD＝5，求BD的长；
（2）如图2，当点D在如图所示位置时，连接EA并延长交BD于F，过点D作DG∥AB交线段EA的延长线于G，连接AD，BG．求证：四边形ADGB为平行四边形．
（3）在（2）的条件下，如图3，连接CF，若AC＝5，CF＝8，求EF的长．
【答案】（1）BD=10；（2）见解析；（3）EF=．
【分析】（1）根据旋转的性质，得到△BDC是等边三角形，即可求解；
（2）过点B作BP⊥EG于点P，过点D作DQ⊥EG于点Q，先后证明△BAP△DEQ (AAS)，△BFP△DFQ (AAS)，△BFA△DFG (AAS)，再利用平行四边形的判定方法即可；
（3）过点C作CR⊥EG于点R，根据旋转的性质以及三线合一的性质，得到∠BCF=∠DCF=∠ACR=∠ECR，证得∠FCR=60°，再利用含30度的角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）根据旋转的性质，BC=CD，∠ACB＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
又∵∠BAC＝90°，即AB⊥CD，
∴BD=CD=2AD=10；
（2）过点B作BP⊥EG于点P，过点D作DQ⊥EG于点Q，
根据旋转的性质，AC=CE，AB=DE，∠CAB＝∠CED＝90°，
∴∠CAE=∠CEA，∠CAE+∠BAP＝90°，∠CEA+∠DEQ＝90°，
∴∠BAP＝∠DEQ，
在△BAP和△DEQ中，
，
∴△BAP△DEQ (AAS)，
∴BP=DQ，
在△BFP和△DFQ中，
，
∴△BFP△DFQ (AAS)，
∴BF=FD，
∵DG∥AB，
同理可证△BFA△DFG (AAS)，
∴AF=FG，
∴四边形ADGB为平行四边形；
（3）过点C作CR⊥EG于点R，
根据旋转的性质，AC=CE，BC=DC，∠BCD＝∠ACE，
由（2）知：BF=FD，则CF⊥BD，
∴∠BCF=∠DCF=∠ACR=∠ECR，
设∠BCF=∠DCF=∠ACR=∠ECR=，
∵∠ACB＝60°，∴∠BCF+∠DCF+∠DCA=60°，即 +∠DCA=60°，
∴∠FCR=∠DCF+∠DCA+∠ACR= +∠DCA=60°，则∠CFR=30°，
在Rt△BDA中，∠CFR=30°，AC＝5，CF＝8，∴CR=4，FR= ，
在Rt△CER中，AC=CE=5，CR=4，∴ER=，
∴EF= ER+ FR=．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，含30度的角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．已知点E是正方形ABCD的边CD上的动点，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F．
（1）如图1，求证：FB＝ED；
（2）点G为正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AG，GC，GF，且GC＝GF．
①如图2，求∠GFA的度数；
②如图3，过点G作MHAE，分别交AF，AB，DC于点M，N，H．若AB＝3，BF＝1，求MH的长．
【答案】（1）见解析；（2）①45°；②
【分析】（1）由“ASA”可证△ABF≌△ADE，可得FB=ED；
（2）①设∠GCF=x，则∠DCG=90°-x，由“SAS”可证△ADG≌△CDG，可得AG=CG=GF，∠DCG=∠DAG=90°-x，由角的数量关系可求∠AGF=90°，即可求解；
②由等腰三角形的性质可得MH是AF的垂直平分线，可得AH=FH，利用勾股定理列出方程可求CH的长，在Rt△FMH中，由勾股定理可求MH的长．
【详解】解：证明：（1）如图1，四边形是正方形，
，，
，
，
，
又，，
，
，
（2）①如图2，设，则，
，
，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
②如图3，连接，，
，，
，，
，
，
又是等腰直角三角形，
是的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，通过勾股定理列出方程求出CH的长是解题的关键．
16．已知AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作AB的平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE．
（1）【模型研究】如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）【模型推广】如图2，当点D不与M重合时，四边形ABDE还是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）【模型应用】若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AM的中点（如图3），请直接写出CE的长．
【答案】（1）见解析（2）是，证明见解析；（3）
【分析】（1）在△ABC中利用中位线性质定理，再利用三角形全等判定平行四边形．
（2）延长BD交EC于点F，再证△BDA与三角形DEF全等即可，
（3）利用等腰三角形的三线合一，AM垂直BC，再构造直角三角形，分段求出EC的长．
【详解】解：（1）设AC与ME交于点F，如图，
在△ABC中，M为BC中点，ME∥AB，
∴MF为△ABC中位线，
∴F为AC中点，
∴AF=AC，
∵AM∥CE，
∴∠AMF=∠CEF，
∵∠AFM=∠CFE，
∴△AFM≌△CFE（AAS），
∴AM=CE，
∵AM∥CE，
∴四边形AMCE是平行四边形，
∴AE∥CM，AE=CM，
∴AE=BM，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）延长BD交CE于点F，如图，
在△AFC中，M为BC中点，AM∥CE，
∴DM为△BFC中位线，
∴D为BF中点，
∴BD=DF，
∵AB∥DE，AM∥CE，
∴∠ABD=∠EDF，∠BDA=∠DFE，
∴△BDA≌△DFE（ASA），
∴AD=EF，
∵AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE∥DF，AE=DF，
∴AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形．
（3）过点D作DF⊥BC，如图，
∵△ABC为等边三角形，M为BC中点，∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，AB=4，BM=BC=2，∴AM=，
∵点D为AM中点，∴DM=，∴CF=，
由（2）可知四边形ABDE为平行四边形，∴AB=DE=4，
在Rt△DFE中，DE=4，DF=MC=2，∴EF=，∴CE=EF+CF=．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，根据题目建立的模型，寻找可以判定四边是平行四边形的条件，在本题中关键是利用三角形的全等的方法判定四边形是平行四边形，第三问考查等边三角形，需要借助等腰三角形的三线合一，关键是将隐藏条件挖掘出来，再构造直角三角形利用勾股定理进行解题，除了上述方法，还可以借助△ABM和△EDF全等求解．
17．在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究．
（1）问题梳理，问题呈现：如图1，点在等边的边上，过点画的平行线，在上取，连接，则在图1中会产生一对旋转图形．请结合问题中的条件，证明：；
（2）初步尝试：如图2，在中，，点在边上，且，将沿某条直线翻折，使得与重合，点与边上点重合，再将沿所在直线翻折，得到，则在图2中会产生一对旋转图形．若，，连接，求的面积；
（3）深入探究：如图3，在中，，，，点是边上的任意一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转75°，得到线段，连接，求线段长度的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）3−3
【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，可得AB＝AC，∠BAC＝∠B＝60°，进而利用SAS可证明△ABD≌△ACE．
（2）如图2，过点E作EH⊥AD于H，由翻折可得△ACE≌△ABD≌△ACF，可得AE＝AD＝6，EH＝3，再运用S△ADE＝×AD×EH，即可求得答案．
（3）如图3中，在AB上截取AN＝AC，连接DN，作NH⊥BC于H，作AM⊥BC于M．利用SAS证明△EAC≌△DAN，推出当DN的值最小时，EC的值最小，求出HN的值即可解决问题．
【详解】（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠B＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）如图2，过点E作EH⊥AD于H，
∵由翻折可得：△ACF≌△ABD，△ACE≌△ACF，
∴△ACE≌△ABD≌△ACF，
∴AE＝AD＝6，∠CAE＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAC＝30°，
∵EH⊥AD，
∴EH＝AE＝3，
∴S△ADE＝×AD×EH＝×6×3＝9；
（3）如图3中，在AB上截取AN＝AC，连接DN，作NH⊥BC于H，作AM⊥BC于M．
∵∠CAB＝∠DAE，
∴∠EAC＝∠DAN，
∵AE＝AD，AC＝AN，
∴△EAC≌△DAN（SAS），
∴CE＝DN，
∴当DN的值最小时，EC的值最小，
在Rt△ACM中，
∵∠ACM＝60°，AC＝6，
∴,
∴,
∴AM＝＝3，
∵∠MAB＝∠BAC−∠CAM＝75°−30°＝45°，
∴为等腰直角三角形，
∴AB＝3，
∴NB＝AB−AN＝3−6，
在Rt△NHB中，∵∠B＝45°，
∴为等腰直角三角形，
∴NH＝=3−3，
根据垂线段最短可知，当点D与H重合时，DN的值最小，
∴CE的最小值为3−3．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
(1)求证：∠AFE＝60°；
(2)延长BE到N，使AF＝FN，连接AN，CN．
①判断CN与AD的位置关系并证明；
②当S△ACF，AB＝2时，求BF的长．
2．如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．
（1）求证：CD＋CE＝CA；
（2）求出点M到CE所在直线的距离；
（3）当ME＝时，求CE的值．
3．如图1，在中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠ADC的平分线交BC于点F．
(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；
(2)如图2，连接EF，若EF⊥BC，BF=8，EF=4，求的面积；
(3)如图3，连接EF，作关于直线EF对称的，其中点A，B的对应点分别为点C，H，恰好有HE⊥DF，垂足为G．若，求BE的长．
4．如图，在ABCD中，分别以AB，CD为底边在▱ABCD内侧作等腰△ABF和等腰△DCE，且∠AFB＝∠DEC＝120°，连接CF和AE并延长，分别交边AB，CD于点M和点N．
(1)求证：∠ADE＝∠CBF；
(2)求证：四边形AMCN为平行四边形；
(3)连接MN，若MN∥BC，AB＝BC，ABCD的面积为3，求CF的长．
5．如图，，，，且点在内部，连接，，的延长交线段于点．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系并证明；
(3)连接，若，求四边形的面积．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以线段OA为一边在x轴上方作等边△OAB．C是x轴上一点，连接BC，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD，CD．
(1)当点C在线段OA的延长线上时．
①求证：；
②若AD＝2AC，求线段CD的的长；
(2)若点E的坐标为，连接ED，试问线段ED的长是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，已知点，点B（－3，0）．
(1)如图1，点C为点A关于x轴的对称点，连接BC，判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)如图2，作△ABC关于点B的中心对称图形△EBD，为△EBD沿着x轴向右平移以后的图象，当与△ABC重叠部分的图形为正六边形时，求此时的平移距离；
(3)如图3，点M为x轴上一动点，连接AM，将AM绕点M顺时针旋转60°得到线段NM，若N点恰好在某一条直线上运动，请求出该直线的函数表达式．
8．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)如图，连接，若，，，求的面积；
(3)如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，，恰好有，垂足为若，求的长．
9．如图1，与均为等腰直角三角形，且，连接BC、AG，延长AG与BC交于点F．
(1)求证：；
(2)当点G为CE的中点，时，求CF的长；
(3)如图2，过点C作，过点A作，AD、CD交于点D，在边AB上取一点H，使得，连接DH，探究CG、CD、DH三条线段之间的数量关系，并证明．
10．已知，在中，点M是的中点，点D是线段上一点（不与点A重合）．过点D作的平行线，过点C作的平行线，两线交于点E，连结．
(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)图3，延长交于点H，若，且，求的度数．
11．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O．
(1)求证：；
(2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：．
(3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
12．如图1，在中，，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为．已知，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如图2，延长至点，使，连接，为的中点，连接，．求的长．
（3）如图3，在（2）问的条件下，为边上的一个动点，连接并延长交延长线于点，连接，为的中点，求点从点运动到点时，点所经过的路径长．
13．如图，为的对角线，平分为射线上一点．
（1）如图1，在延长线上，连接与交于点若；
①当为中点时，求证：；
②当时，求长度；
（2）如图2，在线段上，连接与交点于，若，试探究三条线段之间的数量关系，并说明理由．
14．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，设∠ACB＝60°，将△ABC绕着点C顺时针旋转，得到△CDE（点D，E分别与B，A对应），连接BD．
（1）如图1，当点D在线段CA的延长线上时，若AD＝5，求BD的长；
（2）如图2，当点D在如图所示位置时，连接EA并延长交BD于F，过点D作DG∥AB交线段EA的延长线于G，连接AD，BG．求证：四边形ADGB为平行四边形．
（3）在（2）的条件下，如图3，连接CF，若AC＝5，CF＝8，求EF的长．
15．已知点E是正方形ABCD的边CD上的动点，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F．
（1）如图1，求证：FB＝ED；
（2）点G为正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AG，GC，GF，且GC＝GF．
①如图2，求∠GFA的度数；
②如图3，过点G作MHAE，分别交AF，AB，DC于点M，N，H．若AB＝3，BF＝1，求MH的长．
16．已知AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作AB的平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE．
（1）【模型研究】如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）【模型推广】如图2，当点D不与M重合时，四边形ABDE还是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）【模型应用】若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AM的中点（如图3），请直接写出CE的长．
17．在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究．
（1）问题梳理，问题呈现：如图1，点在等边的边上，过点画的平行线，在上取，连接，则在图1中会产生一对旋转图形．请结合问题中的条件，证明：；
（2）初步尝试：如图2，在中，，点在边上，且，将沿某条直线翻折，使得与重合，点与边上点重合，再将沿所在直线翻折，得到，则在图2中会产生一对旋转图形．若，，连接，求的面积；
（3）深入探究：如图3，在中，，，，点是边上的任意一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转75°，得到线段，连接，求线段长度的最小值．
期末考试点对点压轴题训练（一）（A卷18题）
1．如图，在等边△ABC中，点D与点E分别在BC与AC上，且BD＝CE，连接AD与BE于点F，连接CF．
(1)求证：∠AFE＝60°；
(2)延长BE到N，使AF＝FN，连接AN，CN．
①判断CN与AD的位置关系并证明；
②当S△ACF，AB＝2时，求BF的长．
【答案】(1)见解析
(2)①CN∥AD；②-1
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABD≌△BCE，得∠CBE=∠BAD，再利用三角形外角的性质可得答案；
（2）①由（1）可知△AFN是等边三角形，再利用SAS证明△BAF≌△CAN，得∠ANC=∠AFB，利用同旁内角互补，两直线平行，可得结论；②作AH⊥FN于H，利用平行线之间的距离处处相等得S△AFC=S△AFN=，则AF=2，再利用勾股定理求出BH的长，从而解决问题．
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠BAD，
∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=∠ABD=60°；
（2）
①CN∥AD，理由如下：
∵AF=AN，∠AFN=60°，
∴△AFN是等边三角形，
∴∠FAN=∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAN，
∵AB=AC，AF=AN，
∴△BAF≌△CAN（SAS），
∴∠ANC=∠AFB，
∵∠AFB=120°，
∴∠ANC=120°，
∴∠FAN+∠ANC=180°，
∴CN∥AD；
②作AH⊥FN于H，
∵AD∥CN，
∴S△AFC=S△AFN=，
∴AF=2，
∵△AFN是等边三角形，
∴FH=1，AH=，
在Rt△ABH中，由勾股定理得，
BH=，
∴BF=BH-FH=-1．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，M为AC中点，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE、DE、ME．
（1）求证：CD＋CE＝CA；
（2）求出点M到CE所在直线的距离；
（3）当ME＝时，求CE的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）或；
【分析】（1）依据可证明，可得，即可；
（2）过点作，由（1）知，利用直角三角形的性质，即可求解；
（3）过点作，讨论点，在线段上还是的延长线上，通过直角三角形的性质，即可求解；
【详解】（1）由题知，为等边三角形，∴；
又，逆时针旋转；由旋转的性质可知：；，
∴；
在和中，
，
∴ ，∴
∴
∴；
（2）过点作，
由（1）知，∴，
又为的中点，∴；
在中，，∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴到所在直线的距离为；
（3）过点作，
由（2）知，，；
在中，，；
∴ ；
当点落在线段上时，
；
当点落在线段的延长线时，
；
∴的值为或；
【点睛】本题主要考查全等三角形证明、等边三角形和直角三角形的性质，关键在寻找相关条件作辅助线；
3．如图1，在中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠ADC的平分线交BC于点F．
(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；
(2)如图2，连接EF，若EF⊥BC，BF=8，EF=4，求的面积；
(3)如图3，连接EF，作关于直线EF对称的，其中点A，B的对应点分别为点C，H，恰好有HE⊥DF，垂足为G．若，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)52
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质可推出，再根据得，即可得出结论；
（2）构造直角三角形，设，根据勾股定理可列有关x的一元二次方程，即可求得结果；
（3）根据对称性可得两个三角形全等，构造直角三角形，利用勾股定理可求得结果．
【详解】（1）证明：在中，，，
又∵BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）解：∵BE为∠ABC的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
过点A作AM⊥BC于点M，如图所示，
∵EF⊥BC，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
由（1）在中，，
∴，
∴；
（3）分别过点A、F作AM⊥BC于点M，FN⊥AD于N，如图所示，
∴设，，
由（1）（2）知：，
∵关于直线EF对称的图形为
∴，，
∴CE=CD，∠CEH=∠FDC
又∵，
∴，
∴为等腰直角三角形
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
，，
过点D作延长线于点J，如上图所示，
在中，，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质以及勾股定理解三角形，解题的关键在于作出辅助线，构造出直角三角形．
4．如图，在ABCD中，分别以AB，CD为底边在▱ABCD内侧作等腰△ABF和等腰△DCE，且∠AFB＝∠DEC＝120°，连接CF和AE并延长，分别交边AB，CD于点M和点N．
(1)求证：∠ADE＝∠CBF；
(2)求证：四边形AMCN为平行四边形；
(3)连接MN，若MN∥BC，AB＝BC，ABCD的面积为3，求CF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得 ，再利用平行四边形的对角相等得到，即可证明结论；
（2）先由ASA证明，得到，再利用SAS证明，得CF=AE，继而证明四边形AFCE是平行四边形，据此解答；
（3）利用平行四边形的性质得到BM=AM，则，设，则 ，则，根据的面积为3，解出BM的长，再利用含30°角的直角三角形的性质解答即可．
（1）
解：
四边形ABCD是平行四边形
（2）
证明：四边形ABCD是平行四边形
四边形AFCE是平行四边形
四边形AMCN是平行四边形
（3）
解：
四边形BMNC是平行四边形
四边形AMCN是平行四边形
设，
的面积为3，
，
（负值舍去），
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5．如图，，，，且点在内部，连接，，的延长交线段于点．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系并证明；
(3)连接，若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)1
【分析】(1)证出，根据证明；
(2)和交于点，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
(3)过点作于点，，交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质得出，证出四边形为正方形，证明，得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
．
在和中，
，
；
（2）解：，
证明：如图，和交于点，
，
，
，，
，
；
（3）解：过点作于点，，交的延长线于点，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
四边形为正方形，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以线段OA为一边在x轴上方作等边△OAB．C是x轴上一点，连接BC，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD，CD．
(1)当点C在线段OA的延长线上时．
①求证：；
②若AD＝2AC，求线段CD的的长；
(2)若点E的坐标为，连接ED，试问线段ED的长是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2)存在，
【分析】（1）①由旋转的性质可得BC= BD，∠CBD= 60°，△BCD是等边三角形，结合△AOB是等边三角形由“SAS”可证△OBC≌△ABD；
②根据△OBC≌△ABD，AD＝2AC，得OA=AC= AB=2，∠ACB=∠ABC= 30°，∠OBC= 90°，再由直角三角形的性质可求解；
（2）由全等三角形的性质可得点D在过点A且于y轴成30°的直线上运动，由直角三角形的性质可求解．
【解析】（1）解： ①证明：∵将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，
∴BC = BD，∠CBD = 60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=CD=BD，
∵△AOB是等边三角形，
∴OB= AB，∠ABO= 60°=∠BAO，
∴∠ABO=∠CBD = 60°，
∴∠OBC =∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，
∴△OBC≌△ABD （SAS）；
②∵点A的坐标为（2， 0），
∴OA= 2，
∵△OBC≌△ABD，
∴AD=OC，
∵AD=2AC，
∴OC =2AC，
∴OA=AC= AB=2，
∴∠ACB=∠ABC= 30°，
∴∠OBC = 90°，
∴BC=OB= ，
∴；
（2）
解：如图，延长DA交y轴于N，过点E作EF⊥AD于F，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC = 60°
∴∠OAN = 60°,
∵∠AON = 90°，
∴∠ANO = 30°，
∴点D在过点A且于y轴成30°的直线上运动，
∴当DE⊥AD时，即点D与点F重合时，DE有最小值为EF的长，
∵OA= 2，∠ANO = 30°，
∴ON =OA= ，
∴EN= ，
∵∠ANO= 30°，EF⊥AD，
∴EF=EN=，
∴DE的最小值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，确定点D的运动轨迹是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，已知点，点B（－3，0）．
(1)如图1，点C为点A关于x轴的对称点，连接BC，判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)如图2，作△ABC关于点B的中心对称图形△EBD，为△EBD沿着x轴向右平移以后的图象，当与△ABC重叠部分的图形为正六边形时，求此时的平移距离；
(3)如图3，点M为x轴上一动点，连接AM，将AM绕点M顺时针旋转60°得到线段NM，若N点恰好在某一条直线上运动，请求出该直线的函数表达式．
【答案】(1)△ABC是等边三角形
(2)4
(3)
【分析】（1）求出C点坐标，再分别求出AB=AC=BC=，即可判断三角形的形状；
（2）设向右平移t个单位，由题意可知△FHJ，△HJK，△FGJ都是正三角形，则BF=FH=HK，再由△AHK为正三角形，可得AH=FH=BF，能求出平移距离为4；
（3）当M点与B点重合时，N点与C点重合，可得点N坐标，当N点在x轴上时，N（1，0），再利用待定系数法求求出直线解析式即可．
【详解】（1）解：∵点C为点A关于x轴的对称点，A（0，），
∴C（0，），
∴OA=OC=，
∴AC=，
∵B（-3，0），
∴OB=3，
∴AB=，BC=，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：如图1，设向右平移t个单位，
∵△E'B'D'与△ABC重叠部分的图形为正六边形，
∴△FHJ，△HJK，△FGJ都是正三角形，
∴FJ=GJ，∠GFJ=∠FGJ=60°，
∵FG⊥x轴，
∴∠FJB=30°，
∵∠ABO=30°，
∴BF=FJ，
∴BF=FH=HK，
∵△AHK为正三角形，
∴AH=FH=BF，
∴t=4，
∴平移距离为4；
（3）解：如图2，当M点与B点重合时，
∵∠AMN=60°，∠ABC=60°，
∴N点与C点重合，
∴N（0，），
当N点在x轴上时，
∵AM=MN，∠AMN=60°，∠ABO=30°，
∴∠BAM=30°，
∴∠AMO=30°，
∴MO=1，AM=2，
∴NO=1，
∴N（1，0），
设N所在的直线解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线解析式为：．
【点睛】本题是一次函数的综合应用题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等边三角形的性质，会用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
8．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)如图，连接，若，，，求的面积；
(3)如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，，恰好有，垂足为若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行四边形性质得出：，，，利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图，过点A作于点，则，再证明四边形是矩形，推出，设，则，利用勾股定理求得，再运用平行四边形面积公式即可求得答案；
（3）如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，运用轴对称性质可得出：，，，推出、是等腰直角三角形，再证得是等腰直角三角形，得出，运用角平分线性质可得，进而得出，再利用等腰三角形性质可得出答案．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理可得：，
，
，
即，
四边形为平行四边形；
（2）
如图，过点作于点，
则，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
由（1）得：，，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
▱的面积为；
（3）
如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，
由（1）知，
四边形是平行四边形，
由（1）知，
四边形是菱形，
，，
又关于直线对称的，其中点，的对应点分别为点，，
，，，
由（1）知四边形为平行四边形，
，
又，
，
，
、是等腰直角三角形，
垂直平分，
即，
又，，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
故BE的长为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，平行四边形面积，轴对称性质等知识点，综合性较强，难度较大，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
9．如图1，与均为等腰直角三角形，且，连接BC、AG，延长AG与BC交于点F．
(1)求证：；
(2)当点G为CE的中点，时，求CF的长；
(3)如图2，过点C作，过点A作，AD、CD交于点D，在边AB上取一点H，使得，连接DH，探究CG、CD、DH三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)，证明见解析
【分析】（1）证明△BEC≌△GEA（SAS），根据全等三角形的性质得∠BCE=∠GAE，由∠BCE+∠CBE=90°得∠GAE+∠CBE=90°，可得∠AFB=90°，即可得AF⊥BC；
（2）当点G为CE的中点，AE=2时，可得EB=EG=CG=1，AE=2，利用面积法求出BF的值，根据勾股定理求出BC，即可得CF的长；
（3）过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于M，连接DG，HG，延长HG、DC交于N，证明△DHN为等腰直角三角形，可得2DH2=（CD+CN）2，再证四边形ACNH是平行四边形，则AH=CN=CG，即可得2DH2=（CD+CN）2=（CD+CG）2．
【解析】（1）解：证明：∵△ACE与△BGE均为等腰直角三角形，
∴EB=EG，CE=AE，
∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴△BEC≌△GEA（SAS），
∴∠BCE=∠GAE，
∵∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠GAE+∠CBE=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BC；
（2）
当点G为CE的中点，AE=2时，
∵△ACE与△BGE均为等腰直角三角形，
∴EB=EG=CG=1，AE=CE=2，
∴AB=EB+AE=3，AG=，BC=，
由（1）知AF⊥BC，
∴S△ABG=AB•EG=AG•BF，
∴3×1=BF，
∴BF=，
∴CF=BC-BF=；
（3）
，
证明：如图：过点D作DM⊥AB，交BA的延长线于M，连接DG，HG，延长HG、DC交于N，
∵CD∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵∠AEC=∠BEC=90°，
∴∠ECD=90°，
∴四边形CEMD是矩形，
∴EM=CD，CE=DM，
∴EM=AB，
∴BE=AM，
∵AH=CG，CE=AE，
∴EG=EH．
∵EB=EG，
∴EB=EG=EH=AM，
∴∠EHG=45°，AE=HM，
∵AE=CE=DM，
∴HM=DM，
∴∠DHM=45°，
∴∠DHG=180°-∠EHG-∠DHM=90°，
∵CD∥AB，
∴∠CDH=∠DHM=45°，
∴△DHN为等腰直角三角形，
∴，
∵∠CAE=45°，∠EHG=45°，
∴AC∥NH，
∵CD∥AB，
∴四边形ACNH是平行四边形，
∴AH=CN，
∵AH=CG，
∴CN=CG，
∴
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的相关知识．
10．已知，在中，点M是的中点，点D是线段上一点（不与点A重合）．过点D作的平行线，过点C作的平行线，两线交于点E，连结．
(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)图3，延长交于点H，若，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
(3)30°
【分析】（1）利用平行线的性质可得同位角相等，再利用证明，得，从而证明结论；
（2）过点作交于点，则四边形为平行四边形，得且，由（1）可得且，从而得出结论；
（3）取线段的中点，连接，由三角形中位线定理得，，则，，即可解决问题．
（1）
解：证明：，
，
，
，
是的中线，且与重合，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）
成立，理由如下：
过点作交于点，
，
四边形为平行四边形，
且，
由（1）可得且，
且，
四边形为平行四边形；
（3）
取线段的中点，连接，
是的中位线，
，，
且，
，，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，遇中点取中点构造中位线是解决问题（3）的关键．
11．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O．
(1)求证：；
(2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：．
(3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由等边三角形的可求得，理由含角的直角三角形的性质可得，进而可证明结论；
（2）利用证明即可证明结论；
（3）连接，在上截取，连接，可证得是等边三角形，进而可利用证明，得到，由可说明猜想的正确性．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴平分，平分，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（3）解：．理由如下：连接，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定的与性质，含 角的直角三角形，角平分线的定义等知识的综合运用，属于三角形的综合题，证明相关三角形全等是解题的关键．
12．如图1，在中，，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为．已知，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如图2，延长至点，使，连接，为的中点，连接，．求的长．
（3）如图3，在（2）问的条件下，为边上的一个动点，连接并延长交延长线于点，连接，为的中点，求点从点运动到点时，点所经过的路径长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）4
【分析】（1）先证明∠DAE=90°，然后可证四边形是矩形；
（2）连接AG，由勾股定理求出AB的长，进而求出DF、AG的长，然后证明△AGD≌△BGE即可；
（3）由题意知H运动的轨迹是△CQ1F的中位线，求出Q1F即可求出H运动的轨迹H1H2的长．
【详解】解：∵是的一条角平分线，为的外角的平分线，
∴∠3=∠4，∠1=∠2．
∵∠3+∠4+∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=90°，即∠DAE=90°．
∵，是的一条角平分线，
∴AD⊥BC．
∵，
∴四边形是矩形；
（2）连接AG，
∵四边形是矩形，
∴BE=AD，∠DBE=∠ADB=∠BDF=90°，
∵为的中点，
∴DG=BG，
∴∠BDG=∠DBG，
∴∠ADG=∠EBG．
在△ADG和△EBG中
，
∴△ADG≌△EBG，
∴EG=AG．
∵，，
∴=，
∴DF=10-8=2，
∴BF=，
∴BG=GF=，
∴EG=AG=；
（3）由题意知点H运动的轨迹是一条线段，当P与E重合时，Q的位置在Q1，当P与B重合时，Q的位置在F，此时H分别在H1，H2的位置．
∵BE//AD，
∴∠BEG=∠DQ1G．
在△EBG和△Q1FG中
，
∴△EBG≌△Q1FG，
∴Q1F=BE=8，
由题意知H1H2是△CQ1F的中位线，
∴H1H2=Q1F=4．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及三角形的中位线等知识，证明∠DAE=90°是解（1）的关键，证明△ADG≌△EBG是解（2）的关键，H运动的轨迹是△CQ1F的中位线是解（3）的关键．
13．如图，为的对角线，平分为射线上一点．
（1）如图1，在延长线上，连接与交于点若；
①当为中点时，求证：；
②当时，求长度；
（2）如图2，在线段上，连接与交点于，若，试探究三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②；（2）AC=AH+AD，理由见解析
【分析】（1）①由“ASA”可证△ADG≌△FCG，可得AD=CF=BC；
②先证四边形AECG是平行四边形，可得AE=CG，由“AAS”可证△ACE≌△NCE，可得AC=CN=8，AE=EN，在Rt△EBN中，由勾股定理可求EN的长，即可求解；
（2）由角的数量关系和三角形内角和定理可求∠ACE=∠BCE=18°，∠B=54°，由等腰三角形的性质可求∠CAF=∠ACF=36°，由余角的性质可求∠B=∠BAF=54°，可得AF=BF=CF=BC=AD，以C为顶点作∠BCP=36°，交AF的延长线于P，由三角形的外角性质可证∠CHP=∠PCH，∠CFP=∠P，可得CP=CF=PH，可得结论．
【详解】解（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD∥BF，
∴∠D=∠FCD，
∵G是CD中点，
∴DG=CG，
∵∠FGC=∠DGA，
∴△ADG≌△FCG（ASA），
∴AD=FC，
∴FC=BC．
②在Rt△ABC中，AC=8，CD=6，
∴AD==10，
∴BC=10，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵AC=AF，
∴∠F=∠CAF，
∵∠ACB=∠F+∠CAF=2∠F=∠ACE+∠BCE=2∠BCE，
∴∠F=∠BCE，
∴CE∥AG，
又∵AB∥CD，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AE=CG，
如图1，过点E作EN⊥BC于N，
∵∠ACE=∠ECN，∠EAC=∠ENC=90°，CE=CE，
∴△ACE≌△NCE（AAS），
∴AC=CN=8，AE=EN，
∴BN=2，
∵BE2=BN2+EN2，
∴（6-EN）2=EN2+4，
∴EN=，
∴AE=CG=；
（3）AC=AH+AD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AD=BC，
∵∠D=3∠ACE，
∴∠B=3∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE+∠B+∠BAC=180°，
∴∠ACE=∠BCE=18°，∠B=54°，
∵AF=CF，
∴∠CAF=∠ACF=36°，
∴∠B=∠BAF=54°，
∴AF=BF=CF=BC=AD，
如图2，以C为顶点作∠BCP=36°，交AF的延长线于P，
∴∠ACP=72°，
又∵∠CAF=36°，∴∠P=72°=∠ACP，∴AC=AP，
∵∠CHP=∠ACE+∠CAF=54°，∠PCH=∠BCE+∠BCP=54°，∴∠CHP=∠PCH，∴CP=PH，
∵∠CFP=∠ACF+∠FAC=72°，∴∠CFP=∠P，∴CP=CF=PH，
∵AC=AP=AH+PH，∴AC=AH+AD．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造等腰三角形是解题的关键．
14．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，设∠ACB＝60°，将△ABC绕着点C顺时针旋转，得到△CDE（点D，E分别与B，A对应），连接BD．
（1）如图1，当点D在线段CA的延长线上时，若AD＝5，求BD的长；
（2）如图2，当点D在如图所示位置时，连接EA并延长交BD于F，过点D作DG∥AB交线段EA的延长线于G，连接AD，BG．求证：四边形ADGB为平行四边形．
（3）在（2）的条件下，如图3，连接CF，若AC＝5，CF＝8，求EF的长．
【答案】（1）BD=10；（2）见解析；（3）EF=．
【分析】（1）根据旋转的性质，得到△BDC是等边三角形，即可求解；
（2）过点B作BP⊥EG于点P，过点D作DQ⊥EG于点Q，先后证明△BAP△DEQ (AAS)，△BFP△DFQ (AAS)，△BFA△DFG (AAS)，再利用平行四边形的判定方法即可；
（3）过点C作CR⊥EG于点R，根据旋转的性质以及三线合一的性质，得到∠BCF=∠DCF=∠ACR=∠ECR，证得∠FCR=60°，再利用含30度的角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）根据旋转的性质，BC=CD，∠ACB＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
又∵∠BAC＝90°，即AB⊥CD，
∴BD=CD=2AD=10；
（2）过点B作BP⊥EG于点P，过点D作DQ⊥EG于点Q，
根据旋转的性质，AC=CE，AB=DE，∠CAB＝∠CED＝90°，
∴∠CAE=∠CEA，∠CAE+∠BAP＝90°，∠CEA+∠DEQ＝90°，
∴∠BAP＝∠DEQ，
在△BAP和△DEQ中，
，
∴△BAP△DEQ (AAS)，
∴BP=DQ，
在△BFP和△DFQ中，
，
∴△BFP△DFQ (AAS)，
∴BF=FD，
∵DG∥AB，
同理可证△BFA△DFG (AAS)，
∴AF=FG，
∴四边形ADGB为平行四边形；
（3）过点C作CR⊥EG于点R，
根据旋转的性质，AC=CE，BC=DC，∠BCD＝∠ACE，
由（2）知：BF=FD，则CF⊥BD，
∴∠BCF=∠DCF=∠ACR=∠ECR，
设∠BCF=∠DCF=∠ACR=∠ECR=，
∵∠ACB＝60°，∴∠BCF+∠DCF+∠DCA=60°，即 +∠DCA=60°，
∴∠FCR=∠DCF+∠DCA+∠ACR= +∠DCA=60°，则∠CFR=30°，
在Rt△BDA中，∠CFR=30°，AC＝5，CF＝8，∴CR=4，FR= ，
在Rt△CER中，AC=CE=5，CR=4，∴ER=，
∴EF= ER+ FR=．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，含30度的角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．已知点E是正方形ABCD的边CD上的动点，连接AE，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F．
（1）如图1，求证：FB＝ED；
（2）点G为正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AG，GC，GF，且GC＝GF．
①如图2，求∠GFA的度数；
②如图3，过点G作MHAE，分别交AF，AB，DC于点M，N，H．若AB＝3，BF＝1，求MH的长．
【答案】（1）见解析；（2）①45°；②
【分析】（1）由“ASA”可证△ABF≌△ADE，可得FB=ED；
（2）①设∠GCF=x，则∠DCG=90°-x，由“SAS”可证△ADG≌△CDG，可得AG=CG=GF，∠DCG=∠DAG=90°-x，由角的数量关系可求∠AGF=90°，即可求解；
②由等腰三角形的性质可得MH是AF的垂直平分线，可得AH=FH，利用勾股定理列出方程可求CH的长，在Rt△FMH中，由勾股定理可求MH的长．
【详解】解：证明：（1）如图1，四边形是正方形，
，，
，
，
，
又，，
，
，
（2）①如图2，设，则，
，
，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
②如图3，连接，，
，，
，，
，
，
又是等腰直角三角形，
是的垂直平分线，
，，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，通过勾股定理列出方程求出CH的长是解题的关键．
16．已知AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作AB的平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE．
（1）【模型研究】如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）【模型推广】如图2，当点D不与M重合时，四边形ABDE还是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）【模型应用】若△ABC是边长为4的等边三角形，点D是AM的中点（如图3），请直接写出CE的长．
【答案】（1）见解析（2）是，证明见解析；（3）
【分析】（1）在△ABC中利用中位线性质定理，再利用三角形全等判定平行四边形．
（2）延长BD交EC于点F，再证△BDA与三角形DEF全等即可，
（3）利用等腰三角形的三线合一，AM垂直BC，再构造直角三角形，分段求出EC的长．
【详解】解：（1）设AC与ME交于点F，如图，
在△ABC中，M为BC中点，ME∥AB，
∴MF为△ABC中位线，
∴F为AC中点，
∴AF=AC，
∵AM∥CE，
∴∠AMF=∠CEF，
∵∠AFM=∠CFE，
∴△AFM≌△CFE（AAS），
∴AM=CE，
∵AM∥CE，
∴四边形AMCE是平行四边形，
∴AE∥CM，AE=CM，
∴AE=BM，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）延长BD交CE于点F，如图，
在△AFC中，M为BC中点，AM∥CE，
∴DM为△BFC中位线，
∴D为BF中点，
∴BD=DF，
∵AB∥DE，AM∥CE，
∴∠ABD=∠EDF，∠BDA=∠DFE，
∴△BDA≌△DFE（ASA），
∴AD=EF，
∵AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE∥DF，AE=DF，
∴AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形．
（3）过点D作DF⊥BC，如图，
∵△ABC为等边三角形，M为BC中点，∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，AB=4，BM=BC=2，∴AM=，
∵点D为AM中点，∴DM=，∴CF=，
由（2）可知四边形ABDE为平行四边形，∴AB=DE=4，
在Rt△DFE中，DE=4，DF=MC=2，∴EF=，∴CE=EF+CF=．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，根据题目建立的模型，寻找可以判定四边是平行四边形的条件，在本题中关键是利用三角形的全等的方法判定四边形是平行四边形，第三问考查等边三角形，需要借助等腰三角形的三线合一，关键是将隐藏条件挖掘出来，再构造直角三角形利用勾股定理进行解题，除了上述方法，还可以借助△ABM和△EDF全等求解．
17．在学习了图形的旋转知识后，某数学兴趣小组对教材中有关图形旋转的问题进行了进一步探究．
（1）问题梳理，问题呈现：如图1，点在等边的边上，过点画的平行线，在上取，连接，则在图1中会产生一对旋转图形．请结合问题中的条件，证明：；
（2）初步尝试：如图2，在中，，点在边上，且，将沿某条直线翻折，使得与重合，点与边上点重合，再将沿所在直线翻折，得到，则在图2中会产生一对旋转图形．若，，连接，求的面积；
（3）深入探究：如图3，在中，，，，点是边上的任意一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转75°，得到线段，连接，求线段长度的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）9；（3）3−3
【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，可得AB＝AC，∠BAC＝∠B＝60°，进而利用SAS可证明△ABD≌△ACE．
（2）如图2，过点E作EH⊥AD于H，由翻折可得△ACE≌△ABD≌△ACF，可得AE＝AD＝6，EH＝3，再运用S△ADE＝×AD×EH，即可求得答案．
（3）如图3中，在AB上截取AN＝AC，连接DN，作NH⊥BC于H，作AM⊥BC于M．利用SAS证明△EAC≌△DAN，推出当DN的值最小时，EC的值最小，求出HN的值即可解决问题．
【详解】（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠B＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）如图2，过点E作EH⊥AD于H，
∵由翻折可得：△ACF≌△ABD，△ACE≌△ACF，
∴△ACE≌△ABD≌△ACF，
∴AE＝AD＝6，∠CAE＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAC＝30°，
∵EH⊥AD，
∴EH＝AE＝3，
∴S△ADE＝×AD×EH＝×6×3＝9；
（3）如图3中，在AB上截取AN＝AC，连接DN，作NH⊥BC于H，作AM⊥BC于M．
∵∠CAB＝∠DAE，
∴∠EAC＝∠DAN，
∵AE＝AD，AC＝AN，
∴△EAC≌△DAN（SAS），
∴CE＝DN，
∴当DN的值最小时，EC的值最小，
在Rt△ACM中，
∵∠ACM＝60°，AC＝6，
∴,
∴,
∴AM＝＝3，
∵∠MAB＝∠BAC−∠CAM＝75°−30°＝45°，
∴为等腰直角三角形，
∴AB＝3，
∴NB＝AB−AN＝3−6，
在Rt△NHB中，∵∠B＝45°，
∴为等腰直角三角形，
∴NH＝=3−3，
根据垂线段最短可知，当点D与H重合时，DN的值最小，
∴CE的最小值为3−3．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
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